APPUNTI DELLE LEZIONI DI MATEMATICA DISCRETA Queste

APPUNTI DELLE LEZIONI DI MATEMATICA DISCRETA
DONATELLA IACONO
Queste note sono state scritte come ulteriore supporto a favore della preparazione
dello studente.
Sono note integrative alle lezione, contengono solo alcuni argomenti del corso, e questi
sono esposti sinteticamente. NON intendono sostituirsi ai libri di testo consigliati, ma
al più affiancarsi a questi.
Pertanto, NON possono essere usati come unico riferimento nella preparazione dell’esame1.
Nonostante l’impegno, errori, sviste e imprecisioni sono sparsi ovunque all’interno
delle note (pertanto lo studente deve stare attento!!), la loro segnalazione è molto apprezzata.
Inoltre, NON sono autorizzate diffusioni e ripubblicazione di tale materiale (esempio:
diffusione e ripubblicazione del pdf degli appunti o di una parte).
LIBRI CONSIGLIATI
A. FACCHINI: ALGEBRA E MATEMATICA DISCRETA, ed. ZANICHELLI
G.M. PIACENTINI CATTANEO: MATEMATICA DISCRETA, ed. ZANICHELLI
M.G. BIANCHI, A. GILLIO: INTRODUZIONE ALLA MATEMATICA DISCRETA, ed. McGRAW-HILL
L. DI MARTINO, M.C. TAMBURINI: APPUNTI DI ALGEBRA, ed. CLUED
1Esempio: Risolvo un esercizio (sia teorico che computazionale) esattamente come è svolto nlle note.
Prendo sicuramente il massimo punteggio? No, perché in queste note potrebbe essere stato svolto con
qualche errore o in maniera sintetica non esauriente.
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DONATELLA IACONO
Contents
1. Insiemi
1.1. Inclusione, Uguaglianza, Unione e Intersezione di Insiemi
1.2. Complementare, Differenza, Insieme delle parti, Prodotto cartesiano
2. Logica
3. Negazione, Congiunzione, Disgiunzione, Implicazione
3.1. Tecniche di dimostrazione
4. Funzioni
4.1. Funzioni Iniettive
4.2. Funzioni Suriettive
4.3. Funzioni Biettive
4.4. Composizione di Funzioni
4.5. Inversa di Funzioni
5. Contare oggetti di un insieme
6. Principio di Induzione
6.1. Principio di Induzione (prima forma)
6.2. Principio di Induzione (seconda forma)
6.3. Principio di Induzione Generalizzato (prima forma)
6.4. Principio di Induzione Generalizzato (seconda forma)
7. Successioni
7.1. I numeri di Fibonacci
7.2. Le Torri di Hanoi
7.3. Simbolo di Sommatoria
8. Combinatoria
8.1. Regola della Somma
8.2. Principio di inclusione-esclusione
8.3. Regola del Prodotto
9. Combinazioni e disposizioni
9.1. Caso 1) scegliere k elementi distinti
9.2. Caso 2) Scegliere k elementi con ripetizione in un insieme con n elementi
10. Relazioni
11. Relazioni d’ordine
12. Relazioni di equivalenza
13. Classi di equivalenza e Insieme quoziente
14. I Numeri Interi
15. Divisione
16. Massimo Comun Divisore
16.1. Minimo Comune Multiplo
17. I numeri primi
17.1. Crivello di Eratostene
17.2. Metodi di Fattorizzazione
18. Equazioni diofantee
19. Congruenze modulo n
20. Congruenze lineari
21. Sistemi di congruenze lineari
22. Strutture Algebriche
22.1. Esempio: Monoide delle parole
23. Gruppi
23.1. Operazioni compatibili con relazioni di equivalenza
23.2. Sottogruppi
23.3. Gruppi ciclici
24. Gruppo Simmetrico
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25. Anelli e Campi
26. Campo dei numeri complessi
27. Matrici
28. Grafi
29. Reticoli
29.1. Legame tra reticoli e insiemi parzialmente ordinati
29.2. Diagrammi di Hasse
Index
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1. Insiemi
In questa sezione ci concentriamo sul concetto di insieme2, impareremo a descrivere
gli insieme. Introdurremo molti esempi, descriveremo alcune proprietà e costruiremo
insiemi a partire da altri insiemi.
Quello di insieme è un concetto primitivo: questo vuol dire che non si può dare la
definizione di insieme ricorrendo ad altre definizioni. La stessa cosa vale, per esempio,
in geometria per il concetto di punto. Si può pensare ad un insieme come ad una
famiglia di oggetti, che vengono chiamati elementi dell’insieme. Quindi, un insieme A è
una collezione di oggetti, detti elementi dell’insieme, e per poter dire di aver assegnato
l’insieme A, bisogna aver stabilito dei criteri secondo i quali si possa essere in grado di
stabilire se un elemento appartenga o meno ad A.
Esempio 1. Per esempio hanno senso matematicamente:
• A=l’insieme delle lettere che costituiscono la parola ROMA.
• B=l’insieme dei cittadini italiani nati nel 2010.
• N = insieme dei numeri naturali.
• Z = insiemi dei numeri interi.
• Q = insieme dei numeri razionali.
• R = insiemi dei numeri reali.
• C=l’insieme dei numeri interi positivi.
• D=l’insieme dei numeri interi pari e dispari.
NOTAZIONE Gli insiemi si indicano con la lettere Maiuscola. Gli elementi dell’insieme
si denotano con la lettera minuscola.
Se un elemento appartiene ad un insieme, si usa il simbolo di appartenenza
∈
ad esempio a ∈ A, si legge: a “appartiene”ad A oppure a “è elemento di”A. Se un
elemento a non appartiene ad un insieme A, allora scriveremo
a 6∈ A
Esempio 2. Nell’Esempio 1. Possiamo scrivere
2
6∈ C.
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Definizione 1. (INSIEME VUOTO) L’insieme vuoto, si indica con ∅, ed è l’unico
insieme che non contiene elementi.
5 ∈ C,10 ∈ C, −2 6∈ C,
Esempio 3. Non ci sono numeri interi che siano contemporaneamente pari e dispari,
per cui l’insieme D, sebbene sia ben definito, è privo di elementi: D non è altro che
l’insieme vuoto, D = ∅.
Si osservi che frasi del tipo:“la strada è l’insieme dell’asfalto che contiene”oppure “un
litro è l’insieme di 10 decilitri”, non definiscono insiemi.
Possiamo descivere un insieme in diversi modi:
1) Elencare i suoi elementi
Esempio 4. Alcuni esempi
• N = insieme dei numeri naturali={0, 1, 2, 3, . . .}
• Z = insiemi dei numeri interi={0, 1, −1, 2, −2, 3, −3, . . .}
2Se vogliamo essere matematicamente corretti, fissiamo un universo che contiene tutti gli insiemi che
tratteremo.
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• X = {a, b, 3, ∗, −1, 0}
• Y = {a, b, c, . . . , u, v, z}= lettere alfabeto italiano.
Quindi 0 ∈ N e 0 ∈ Z. c ∈ Y e c 6∈ X.
Nota Bene 1. Per indicare un insieme si usano le parentesi graffe. A = {. . .}.
Nota Bene 2. Non importa l’ordine in cui elenchiamo gli elementi ed ogni elemento
viene scritto una sola volta. Ad esempio X = {a, b, 3, ∗, −1, 0} = {3, ∗, b, −1, a, 0}.
2) Specificare una proprietà caratteristica, ovvero una proprietà verificata da
tutti e soli gli elementi di A.
In generale, per assegnare un insieme tramite una proprietà caratteristica si scriverà:
A = {x | x soddisfa P } oppure A = {x : x soddisfa P }
I due punti : o | si leggono “tale che ”, ovvero A è l’insieme di tutti gli x che soddisfano
la proprietà P .
Esempio 5. Q = insiemi dei numeri razionali={ pq | p, q ∈ Z e q 6= 0}
Esempio 6. A insieme dei numeri interi compresi tra −3 e 7, estremi esclusi.
A = {a ∈ Z | −3 < a < 7} = {−2, . . . , 6}
Notiamo anche che {a ∈ Z | −3 < a < 7} = {x ∈ Z | −3 < x < 7}.
3) Diagrammi di Venn3.
Esempio 7. Aggiungere Disegno
1.1. Inclusione, Uguaglianza, Unione e Intersezione di Insiemi.
Definizione 2. (INCLUSIONE) Siano A, B insiemi. Si dice che A è incluso in B,
oppure A è contenuto in B o anche che A è sottoinsieme di B e si scrive
A⊆B
se ogni elemento di A è anche elemento di B.
Se A non è sottoinsieme di B, scriveremo A 6⊆ B.
Osservazione 1. Non confondere il simbolo di appartenenza “∈” di un elemento ad
un insieme: con il simbolo di inclusione “⊆” di un insieme in un altro. Sono corrette le
scritture:
3 ∈ N; {−5} ⊆ Z; {4, 0, 2} ⊆ Q.
Sono invece errate:
1 ⊆ N, {−5} ∈ Z.
Esempio 8. Siano
A = {n ∈ Z | −1 < n ≤ 5}
B = {n ∈ N | n < 5}
C = {p ∈ R | −1 < p < 5}
dove R denota l’insieme dei numeri reali.
Allora A 6⊆ B e B ⊆ A, A 6⊆ C, C 6⊆ A, B ⊆ C, C 6⊆ B
Esempio 9. N ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R
Esercizio 1. Convincersi delle inclusioni degli Esercizi 8 e 9
Osservazione 2. Si osservi che per ogni insieme A l’insieme vuoto ed A stesso risultano
essere sottoinsiemi di A:
∅⊆A
A ⊆ A.
3 John Venn, matematico inglese che ha introdotto l’uso dei diagrammi nel 1881.
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Definizione 3. (INCLUSIONE PROPRIA) Se A è sottinsieme di B ed esiste un elemento di B che non appartiene ad A, diremo che l’ inclusione è propria e scriveremo
A ⊂ B o A ( B.
Si dice anche che che A è incluso strettamente in B oppure è contenuto propriamente
o strettamente in B o anche che A è sottoinsieme proprio di B.
Esempio 10. N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R. Nell’ Esempio 8, B ⊂ A e B ⊂ C.
Definizione 4. (UGUAGLIANZA) Siano A e B insiemi. Si dice che A e B sono uguali,
e si scrive A = B, se A ⊆ B e B ⊆ A. In tak caso, gli insiemi A e B hanno gli stessi
elementi.
Esempio 11.
A = {n ∈ Z | n ≤ 0}
B = {−n | n ∈ N}
oppure
A = {a, b, 3, −1, ∗, 0}
B = {3, ∗, 0, b, a, −1}
Esempio 12. A = insieme dei residenti a Bari nati nel 2000.
B = insieme dei residenti a Bari nati nel 2000 che praticano attività sportiva.
Sicuramente sarà B ⊆ A, ma non si può scrivere B ⊂ A se non si è sicuri che almeno
un ragazzo tra i residenti a Bari nati nel 2000 non pratichi attività sportiva.
È di fondamentale importanza comprendere l’utilizzo dei quantificatori:
quantificatore universale : ∀
quantificatore esistenziale : ∃
∀ si legge per ogni, ∃ si legge esiste.
Si usa anche il simbolo
∃!
che si legge esiste ed è unico.
Inoltre, introduciamo il simbolo di “se e solo se ”
se e solo se :⇐⇒
Esempio 13.
∀A insieme
si ha che ∅ ⊆ A e A ⊆ A
Esempio 14.
A ⊆ B ⇐⇒ ∀a ∈ A si ha che a ∈ B.
A ⊂ B ⇐⇒ A ⊆ B e A 6= B.
oppure
A ( B ⇐⇒ ∀a ∈ A si ha che a ∈ B ed ∃ b ∈ B tale che b 6∈ A.
Definizione 5. (INTERSEZIONE) Siano A e B insiemi. Si definisce intersezione di A
e B e si indica con A ∩ B, l’insieme costituito dagli elementi che appartengono sia ad A
che a B, ovvero l’insieme
A ∩ B = {x | x ∈ A e x ∈ B}.
√
Esempio 15. Siano A = {a, b, 1, 2, 3, +, ∗, ◦}, B = {1, −1, 2, −2, ∗, 5}. Allora
A ∩ B = {1, 2, ∗}.
APPUNTI DELLE LEZIONI DI MATEMATICA DISCRETA
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Esempio 16.
A = {−1, −2, −3, 1, 2}
C = {−1, 2, 1}
B = {0, 5, −3, 2}
D = {p ∈ Z : −1 < p ≤ 5}
Allora
A ∩ B = {−3, 2},
A ∩ D = {1, 2}.
Esercizio 2. Calcolare A ∩ C, B ∩ C, B ∩ D, D ∩ C dell’Esercizio 16.
Definizione 6. (INSIEMI DISGIUNTI) Due insiemi A e B sono disgiunti se la loro
intersezione è vuota, ovvero A ∩ B = ∅.
Esempio 17. Sono disgiunti, per esempio, gli insiemi P = {n ∈ Z | n è pari} e D =
{n ∈ Z | n è dispari}.
Definizione 7. (UNIONE) Siano A e B insiemi. Si definisce unione di A e B e si indica
con A ∪ B, l’insieme costituito dagli elementi che appartengono ad A oppure a B, ovvero
l’insieme
A ∪ B = {x | x ∈ A oppure x ∈ B}.
√
Esempio 18. Siano A = {a, b, 1, 2, 3, +, ∗, ◦}, B = {1, −1, 2, −2, ∗, 5}. Allora
√
A ∪ B = {a, b, 1, −1, 2, −2, 3, +, ∗, ◦, 5}.
Esercizio 3. Calcolare le unioni a due a due degli insiemi dell’Esempio 16.
Osservazione 3. Descrivere l’intersezione e l’unione con i diagrammi di Venn.
Proposizione 1. Siano A, B, C insiemi. Si ha allora:
(1) A ∪ ∅ = A
(2) A ∩ ∅ = ∅
(3) A ∪ A = A e A ∩ A = A
(4) A ⊆ B ⇐⇒ A ∪ B = B ⇐⇒ A ∩ B = A
(5) A ⊆ A ∪ B e B ⊆ A ∪ B
(6) A ∩ B ⊆ A e A ∩ B ⊆ B
(7) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) proprietà associativa dell’unione
(8) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) proprietà associativa dell’intersezione
(9) A ∪ B = B ∪ A proprietà commutativa dell’unione
(10) A ∩ B = B ∩ A proprietà commutativa dell’intersezione
(11) (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C), A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
proprietà distributive dell’intersezione rispetto all’unione,
(12) (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C), A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
proprietà distributive dell’unione rispetto all’intersezione.
Dimostrazione. Si può trovare su uno qualsiasi dei testi consigliati.
Osservazione 4. Si osservi che le Proprietà (1) e (2) della proposizione precedente
sono un caso particolare della Proprietà (4), ma si è preferito, in ogni modo, evidenziarle. Anche nelle Proprietà (11) (e (12)) la seconda segue dalla prima per la Proprietà
commutativa.
1.2. Complementare, Differenza, Insieme delle parti, Prodotto cartesiano.
Definizione 8. (COMPLEMENTARE) Siano A insieme e B ⊆ A. Si definisce il complementare di B rispetto ad A l’insieme di tutti gli elementi di A che non appartengono
a B, ovvero l’insieme:
{A (B) = {x ∈ A | x ∈
/ B}.
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Esempio 19. Sia
A = {n ∈ Z | n ≥ −4}
Allora B = N ⊆ A e {A (B) = {−4, −3, −2, −1}.
B=N
Proposizione 2. Siano A un insieme e B e C sottoinsiemi di A. Risulta allora:
(1) {A (A) = ∅
(2) {A (∅) = A
(3) B ∪ {A (B) = A
(4) B ∩ {A (B) = ∅
(5) {A (B ∪ C) = {A (B) ∩ {A (C)
(6) {A (B ∩ C) = {A (B) ∪ {A (C).
Le proprietà (5) e (6) vanno sotto il nome di Leggi di De Morgan4.
Dimostrazione. Si può trovare su uno qualsiasi dei testi consigliati.
Esercizio 4. Dimostrare le leggi di De Morgan (una fatta in classe).
Definizione 9. (INSIEME DIFFERENZA) Siano A, B insiemi. L’ insieme differenza
tra l’insieme A e l’insieme B è l’insieme costituito da tutti gli elementi di A, tranne gli
elementi di B, ovvero
A r B = {x ∈ A | x ∈
/ B}.
L’insieme differenza tra A e B può anche essere denotato con A − B.
Osservazione 5. Questa definizione generalizza la definizione di insieme complementare
che si puó dare solo nel caso di sottoinsiemi.
Osservazione 6. Si prova che A r B = {A (A ∩ B). Inoltre, se B ⊆ A, allora {A (B) =
A r B.
Esempio 20. N \ {3}, Q \ {0}.
√
Esempio 21. In riferimento all’Esempio 18: A = {a, b, 1, 2, 3, +, ∗, ◦}, B = {1, −1, 2, −2, ∗, 5},
risulta:
√
A r B = {a, b, 3, +, ◦}, B r A = {−1, −2, 5},
√
{(A∪B) (A ∩ B) = {a, b, −1, −2, 3, +, ◦, 5}.
√
Esempio 22. N \ {0}, Q \ {0}, Q \ { 21 }, R \ { 4},
Osservazione 7. Descrivere il complementare e la differenza con i diagrammi di Venn.
Definizione 10. (INSIEME delle PARTI) Sia A un insieme.L’ insieme delle parti di A
si indica con P(A) ed è l’insieme formato da tutti i sottoinsiemi di A. In simboli:
P(A) = {X | X ⊆ A} = {∅, A, . . .}
Osservazione 8. Notiamo che se a ∈ A allora {a} ⊆ A e {a} ∈ P(A).
Osservazione 9. Sia A un insieme. Allora: A ∈ P(A) e ∅ ∈ P(A).
Esempio 23.
1. Se A = ∅, allora P(∅) = {∅}.
2. Se A = {1}, allora P(A) = {∅, {1}} = {∅, A}.
3. Se A = {a, b}, allora P(A) = {∅, {a}, {b}, {a, b}}.
4. Se A = {1, 2, ∗}, allora P(A) = {∅, {1}, {2}, {∗}, {1, 2}, {1, ∗}, {2, ∗}, A}.
Esercizio 5. Determinare P(A) nei seguenti casi:
A = {3, 6, 9}
e
A = {x, y, z, w}
4Augustus De Morgan, 1806-1871, matematico britannico, nato in India
APPUNTI DELLE LEZIONI DI MATEMATICA DISCRETA
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Definizione 11. (PRODOTTO CARTESIANO) Siano A e B due insiemi. Il prodotto
cartesiano di A e B, si indica con A × B ed è l’insieme di tutte le coppie ordinate (a, b)
con a ∈ A e b ∈ B, ovvero in simboli
A × B = {(a, b) | a ∈ A e b ∈ B}
Esempio 24. Siano
A = {3, 6, 9}
e
B = {x, y, ∗}
Allora
A × B = {(3, x), (3, y), (3, ∗), (6, x), (6, y), (6, ∗), (9, x), (9, y), (9, ∗), }
Inoltre, ad esempio (2, a) 6∈ A × B e (y, 3) 6∈ A × B
Esercizio 6. Dati
A = {−1, −2, −3, 1, 2}
C = {−1, 2, 1}
Calcolare A × B, C × B, D × C.
B = {0, 5, −3, 2}
D = {p ∈ Z : −1 < p ≤ 5}
Check list. In questo capitolo sono stati introdotti vari simboli: ∈, 6∈, ∀, ∃, |, ∩, ∪, =
, ⊂, ⊆, A × B, P, {A (A), A \ B
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DONATELLA IACONO
2. Logica
Alla base della logica (matematica) ci sono le cosı̀ dette proposizioni (dichiarative),
ovvero le proposizioni (nel senso della logica classica) delle quali (tramite giudizio) si
possa affermare con certezza (stabilire senza ambiguità) se sono vere o false. Se una
proposizione è vera, ad essa si attribuisce valore di verità V (o 1 o anche T), se è falsa
si attribuisce ad essa valore di verità F (o 0). Pertanto una proposizione non può essere
contemporaneamente vera e falsa.
Esempio 25. Consideriamo
P : 8 è un numero dispari.
Q: Il cane è un mammifero.
Certamente la proposizione P è falsa, la proposizione Q è vera. Quindi il valore di verità
di P è F, il valore di verità di Q è V.
Esempio 26. Consideriamo:
R: le cicorie sono buone. S: x è un numero positivo.
Queste non possono essere classificate come proposizioni: R perchè presenta un predicato che non è di carattere oggettivo, per cui ciascuno può attribuire valore di verità
V o F secondo i propri gusti; S presenta una variabile e quindi non si può stabilire se è
vera o falsa. Ad esempio se x = 4 allora S è vera, se x = −1 oppure x = penna allora
S è falsa.
Esempio 27. Se si usano i quantificatori, si ha:
∀x ∈ Z allora x è positivo. Questa è una proposizione che ha valore di verità F.
∃x ∈ Z tale che x è positivo. Questa è una proposizione che ha valore di verità V,
ad esempio esiste il numero intero x = 2 che è positivo.
Esempio 28. P: Parigi è una citta in Puglia. F
Esempio 29. P: La bici è verde.( Quale bici? È detrerminata la bici di cui stiamo
parlando?)
Esempio 30. P: z+2=5. Questa non è una proposizione visto che non si può dire se è
vera o falsa. Se z = 3 allora è vera, se z = 4 allora è falsa.
3. Negazione, Congiunzione, Disgiunzione, Implicazione
Le proposizioni possono essere combinate tramite i connettivi logici per costruire altre
proposizioni. 5
Data una proposizione, con la negazione costruiamo una nuova proposizione.
Definizione 12. (NEGAZIONE) Data una proposizione P , la negazione della proposizione P si indica con
P̄ oppureqP.
Se P è vera allora P̄ è falsa. Se P è falsa allora P̄ è vera.
Esempio 31. P : Roma è una citta del Lazio. V
P̄ : Roma non è una citta del Lazio. F
Esempio 32. P : Parigi è una citta in Puglia. F
P̄ : Parigi non è una citta in Puglia. V
Dalla definizione si deduce subito la tavola di verità della negazione
P P̄
V F
F V.
5Inotrodotto dal matematico Inglese George Boole, The Laws of Tought, 1854.
APPUNTI DELLE LEZIONI DI MATEMATICA DISCRETA
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Esempio 33. Scrivere la negazione della seguente proposizione.
P: Ogni giorno Marco va a Roma ( ∀).
Allora si ha:
P̄ : Non è vero che ogni giorno Marco va a Roma = Esiste un giorno in cui Marco non
va a Roma (∃).
Esempio 34. Scrivere la negazione della seguente proposizione.
P: Esiste un numero pari (∃).
Allora si ha:
P̄ : Non esiste un numero pari = Ogni numero non è pari ( ∀) = Ogni numero è dispari
( ∀).
La negazione costruisce da una proposizione una nuova proposizione. Ora introduciamo i connettivi logici, che da due proposizione, costruiscono altre proposizioni.
Definizione 13. (CONGIUNZIONE, ∧) Siano P e Q due proposizioni. La proposizione
“P e Q ”(congiunzione di P e Q) si denota con
P ∧ Q.
È vera quando P e Q sono entrambe vere ed è falsa altrimenti (ovvero è falsa quando
una delle due è falsa).
La tavola di verità della congiunzione è:
P Q P∧Q
V V
V F
F V
F F
V
F
F
F.
Esempio 35. Scrivere la congiunzione delle seguenti proposizioni.
P : Il cellulare è vecchio.
Q: Il cellulare è a led.
Allora si ha:
P ∧ Q: Il cellulare è vecchio ed è a led.
Esercizio 7. Scrivere la congiunzione delle seguenti proposizioni.
P : La mosca è un insetto.
Q: 4 è un numero dispari.
Allora si ha:
P ∧ Q: La mosca è un insetto e 4 è un numero dispari.
Certamente P ∧ Q ha valore di verità F perchè P ha valore di verità V ma Q ha valore
di verità F.
Definizione 14. (DISGIUNZIONE, ∨) Siano P e Q due proposizioni. La proposizione
“P o Q ”(disgiunzione di P e Q) si denota con
P ∨ Q.
È falsa quando P e Q sono entrambe false ed è vera altrimenti (ovvero vera quando
almeno una delle due è vera).
Si deduce la tavola di verità della disgiunzione:
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P Q P∨Q
V V
V F
F V
F F
V
V
V
F.
Esempio 36. Scrivere la disgiunzione delle seguenti proposizioni.
P : Il cellulare è un iphone.
Q: Il cellulare è un lumia.
Allora si ha:
P ∨ Q: Il cellulare è un iphone o un lumia.
Esempio 37. Scrivere la tabella di verità di P ∧ P̄ .
P P̄ P ∧ P̄
V F
F V
La proposizione P ∧ P̄ è sempre falsa.
F
F
Definizione 15. Una proposizione sempre falsa si dice contraddizione.
Esempio 38. Scrivere la tabella di verità di P ∨ P̄ .
P P̄ P ∨ P̄
V F
F V
La proposizione P ∨ P̄ è sempre vera.
V
V
Definizione 16. Una proposizione sempre vera si dice tautologia.
Esempio 39. P : Ogni giorno vado a Roma.
Q: Ogni giorno uso il cellulare. Scrivere P ∧ Q e la sua negazione P ∧ Q.
P ∧ Q: Ogni giorno vado a Roma e ogni giorno uso il cellulare
P ∧ Q: Non è vero che ogni giorno vado a Roma e ogni giorno uso il cellulare = Esiste
almeno un giorno in cui non vado a Roma o esiste almeno un giorno in cui non uso il
cellulare.
Esempio 40. P : Ogni giorno vado a Roma.
Q: Ogni giorno uso il cellulare. Scrivere P ∨ Q e P ∨ Q.
P ∨ Q: Ogni giorno vado a Roma o ogni giorno uso il cellulare
P ∨ Q: Non è vero che ogni giorno vado a Roma o ogni giorno uso il cellulare = Esiste
almeno un giorno in cui non vado a Roma ed esiste almeno un giono in cui non uso il
cellulare.
Definizione 17. (IMPLICAZIONE, −→) Siano P e Q due proposizioni. La proposizione implicazione “P implica Q ”si denota con P −→ Q ed è falsa quando P è vera e
Q è falsa ed è vera altrimenti, (ovvero se P è vera allora Q deve essere vera).
Possiamo costruire la tavola di verità della implicazione.
P Q P −→ Q
V V
V F
F V
F F
Se P è falsa tutto può succedere.
V
F
V
V
APPUNTI DELLE LEZIONI DI MATEMATICA DISCRETA
13
Esempio 41. Scrivere l’implicazione delle seguenti proposizioni:
P: La penna bic scrive.
Q: La penna bic ha inchiostro.
P −→ Q: Se la penna bic scrive allora la penna bic ha inchiostro.
Se la penna non scrive non possiamo sapere se ha inchiostro o meno.
Esempio 42. P: Mario va negli stati uniti
Q: Mario ha il passaporto
P −→ Q: Se Mario va negli Stati Uniti allora Mario ha il passaporto.
Se Mario non va negli Stati Uniti non possiamo dire nulla
Esempio 43. (Differenza con i linguaggi di programmazione)
P: 2+4=6
Q: x:=x+1
P −→ Q: if 2+4=6 then x:=x+1
Se assegnamo alla x = 0, allora ci restituisce x = 1.
Intanto non sono proposizioni, P è una proposizione mentre Q è un programma da
eseguire. Il computer esegue solo se la prima è vera altrimenti non fa nulla.
Definizione 18. (DOPPIA IMPLICAZIONE ←→) La doppia implicazione di P e Q
è una proposizione che è vera solo se P e Q sono entrambe vere o entrambe false. Si
denota con
P ←→ Q,
e si legge P se e solo se Q.
La tavola di verità dell’equivalenza è:
P Q P ←→ Q
V V
V
V F
F
F
F V
F F
V
Quindi la doppia implicazione è vera quando sono vere entrambe le implicazioni P −→
Q e Q −→ P
Definizione 19. (EQUIVALENZA ⇐⇒) Due proposizioni P e Q si dicono equivalenti
e si scrive
P ⇐⇒ Q,
se P è vera se e soltanto se Q è vera, ovvero se P e Q hanno le stesse tavole di verità. In
tal caso diremo P è equivalente a Q. Notiamo che P ⇐⇒ Q se e solo se la proposizione
P ←→ Q è una tautologia.
Osservazione 10. Qui potrebbe nascere un pó di confusione sulla differenza tra P ←→
Q e P ⇐⇒ Q. La prima è una proposizione con i suoi valori di verità riassunti nella
tavola. La seconda P ⇐⇒ Q non è una proposizione ma il simbolo ⇐⇒ rappresenta
che le due proposizioni sono equivalenti. Le due proposizioni sono equivalenti quando la
loro doppai implicazione è una tautologia.
Esercizio 8. Siano P e Q due proposizioni. Dimostrare che le seguenti proposizioni
sono equivalenze:
P ∧ Q ⇐⇒ P ∨ Q
Fare tavole di verità.
e
P ∨ Q ⇐⇒ P ∧ Q
14
DONATELLA IACONO
Esempio 44. Consideriamo le proposizioni:
P : Il computer ha Linux (come sistema operativo).
Q: Il computer ha 500GB (di hard disk).
Le proposizioni negazione di P e di Q sono:
P : Non è vero che il computer ha Linux = il computer non ha Linux.
Q: Non è vero che il computer ha 500GB= il computer non ha 500GB.
Allora abbiamo:
P ∨ Q: Il computer ha Linux o 500GB.
P ∨ Q: Non è vero che il computer ha Linux o 500GB = il computer non ha Linux e
non ha 500GB= P ∧ Q.
P ∧ Q: Il computer ha Linux e 500GB.
P ∧ Q: Non è vero che il computer ha Linux e 500GB = il computer non ha Linux o
non ha 500GB= P ∨ Q.
Esempio 45. Consideriamo le Proposizioni degli Esempi 39 e 40.
P : Ogni giorno vado a Roma.
Q: Ogni giorno uso il cellulare.
Abbiamo considerato la negazione
P ∧ Q: Non è vero che ogni giorno vado a Roma e ogni giorno uso il cellulare = Esiste
almeno un giorno in cui non vado a Roma o esiste almeno un giorno in cui non uso il
cellulare.
Le proposizioni negazione di P e di Q sono:
P : Non è vero che ogni giorno vado a Roma = Esiste almeno un giorno in cui non
vado a Roma.
Q: Non è vero che giorno uso il cellulare = Esiste almeno un giorno in cui non uso il
cellulare.
La proposizione P ∨ Q risulta essere
P ∨ Q: Esiste almeno un giorno in cui non vado a Roma o esiste almeno un giorno in
cui non uso il cellulare = P ∧ Q.
La proposizione P ∨ Q risulta essere
P ∨ Q: Non è vero che ogni giorno vado a Roma o ogni giorno uso il cellulare = Esiste
almeno un giorno in cui non vado a Roma ed esiste almeno un giono in cui non uso il
cellulare = P ∧ Q.
Esercizio 9. Siano P e Q due proposizioni. Dimostrare che P −→ Q equivale a Q −→ P .
P Q P Q P −→ Q Q −→ P
V V F F
V
V
V F F V
F
F
F V V F
V
V
F F V V
V
V
3.1. Tecniche di dimostrazione. Cosa Significa provare un teorema?
Un teorema è una affermazione che vogliamo dimostrare essere vera. Generalmente è
della forma
Se P allora Q.
P è detta ipotesi del teorema e Q è la tesi.
Quindi vogliamo dimostrare l’implicazione. Poiche è falsa solo nel caso in cui P è vera
e Q è falsa, per dimostrare che è vera basta dimostrare che se P è vera allora anche Q è
vera.
Per questo si dice, nel teorema c’è l’ipotesi vera e vogliamo dimostrare vera anche la
tesi. In generale in un teorema useremo la notazione P =⇒ Q, Q è conseguenza logica
di P.
Dimostrazione diretta: è appunto assumere P vera e usando, definizioni, cose gia note
o dimostrate, assiomi e connettivi logici, provare che anche Q vera.
APPUNTI DELLE LEZIONI DI MATEMATICA DISCRETA
15
Dimostrazione indiretta:
Poichè P −→ Q equivale a qQ −→ qP , allora per dimostrarlo basta dimostrare che
qQ −→ qP è vera. Quindi si assume vera qQ e si dimostra vera qP .
Per Saperne di più. A cosa serve la logica? La logica è alla base del ragionamento
matematico e non solo. È alla base della programmazione, dell’intelligenza artificiale,
dei linguaggi di programmazione, etc..
Per capire la matematica, dobbiamo capire cosa è un ragionamento corretto, ovvero
una dimostrazione. Una volta che con un ragionamento logico abbiamo provato che una
affermazione è vera, allora l’affermazione la chiamiamo teorema e il nostro ragionamento
logico la sua dimostrazione.
Le dimostrazioni, non sono solo un artificio (o tortura) che piace ai matematici, le
dimostrazioni sono fondamentali nella computer science.
Le dimostrazioni sono usate nel linguaggio di programmazione per verificare che
l’output è corretto per tutti i possibili input.
Sono usate per verificare che gli algoritmi usati danno i risultati corretti e ovviamente
sono alla base dell’intelligenza artificiale.
Inoltre conoscendo una dimostrazione di un teorema, spesso ci suggerisce l’idea di
come poterla estendere e modificare per applicarla in nuovi casi. Analizzando varie
tecniche dimostrative, implementiamo il nostro bagaglio di strategie da utilizzare per
affrontare e superare problemi tecnici nell’ambito dell’Informatica.
Vedremo vari metodi di dimostrazioni, e li useremo per prendere pratica con queste
tecniche. Uno degli obiettivi principali del corso è capire cosa sia un ragionamento
corretto e soprattutto come costruirlo, in modo da poter utilizzare queste tecniche nei
campi dell’Informatica.
Check list. In questo capitolo abbiamo introdotto tutti i simboli logici che useremo:
∨, ∧, P̄ , −→, =⇒, ←→, ⇐⇒ .
16
DONATELLA IACONO
4. Funzioni
Definizione 20. (FUNZIONE) Dati due insieme A e B, una funzione (o applicazione)
f dall insieme A all’insieme B è una legge che ad ogni elemento di A associa un unico
elemento dell’insieme B. Notazione
f : A −→ B.
A è l’insieme di partenza ed è anche detto dominio di f .
B è l’insieme di arrivo di f .
Formalmente,
∀a ∈ A
∃!b ∈ B tale che f (a) = b
Se f (a) = b, allora b è il valore della funzione in a, b è detto immagine di a; per
definizione b è unico. Per indicare f (a) = b si usa anche la notazione a 7→ b.
Fare graficamente con i diagramma di Venn.
Esempio 46. Siano A = {a, b, c} e B = {2, 4, 6} e f : A → B la legge che associa ad
a 7→ 4, b 7→ 4, c 7→ 2. Tale f è una funzione.
Esempio 47.
f :N→N
∀n∈N
f (n) = n + 3
ovvero f (n) = n + 3 è una funzione. Ad esempio f (1) = 4, f (10) = 13 e f (0) = 3.
Esempio 48.
f :Z→N
∀n∈N
n 7→ n + 3
ovvero f (n) = n + 3 Non è una funzione perché f(-10)= -10+3=-7 che non appartiene
ad N.
Si puó chiamare la legge anche g, h, etc.. Cosı̀ come anche l’elemento dell’insieme.
Esempio 49. Consideriamo
g:Q→R
∀x∈Q
g(x) =
4
.
x−2
Allora g NON è una funzione, perché g(2) non è definito.
Esempio 50. Consiedriamo
g : Q \ {2} → R
∀ y ∈ Q \ {2}
g(y) =
4
.
y−2
Allora g è una funzione.
Esempio 51. Siano A = {citta0 d0 Italia} e B = {regioni d0 Italia} e f la legge che
associa ad ogni città la regione di appartenza, f : A → B è una funzione ben definita.
La legge g che associa ad ogni città una regione a cui non appartiene non è ben
definita, perché ad una città non corrisponde una unica regione.
Definizione 21. (FUNZIONI che COINCIDONO) Due funzioni f e g coincidono (si
dice anche sono uguali ) se e solo se hanno lo stesso insieme di partenza A, lo stesso
insime di arrivo B, e f (a) = g(a) ∀a ∈ A.
Esempio 52.
f :N→N
∀n∈N
f (n) = 6n + 3
ovvero f (n) = 6n + 3, e
g:N→N
∀n∈N
g(n) = (1 + 2n)3
coincidono. Infatti ∀n ∈ N si ha 6n + 3 = (1 + 2n)3.
APPUNTI DELLE LEZIONI DI MATEMATICA DISCRETA
17
Nota Bene 3.
f :N→N
∀n∈N
f (n) = 6n + 3
∀t∈N
f (t) = 6t + 3
e
f :N→N
sono la stessa funzione.
Definizione 22. (IMMAGINE) L’immagine (o immagine diretta) di una funzione f :
A → B si indica con Im(f ) oppure f (A) ed è il sottoinsieme di B i cui elementi sono le
immagini di tutti gli elementi di A, ovvero
f (A) ⊆ B
f (A) = {b ∈ B | ∃a ∈ A con f (a) = b} = {f (a) | a ∈ A}.
In generale, dato un sottoinsieme A0 ⊆ A. L’immagine di A0 è il sottoinsieme f (A0 ) ⊆ B
con
f (A0 ) ⊆ B
f (A0 ) = {b ∈ B | ∃a ∈ A0 con f (a) = b}.
Grafico di Venn.
Esempio 53. Sia assegnata la seguente funzione
g:Z→Z
∀a∈Z
g(a) = 4a
A0
Calcolare l’immagine g(Z) e di
= {1, −1, −3, −4, 0}.
Allora,
g(Z) = {b ∈ Z | ∃a ∈ A con g(a) = b} =
= {b ∈ Z | ∃a ∈ A con b = 4a} = multipli di 4 .
g(A0 ) = {b ∈ Z | ∃a ∈ A0 con g(a) = b }
g(1)=4, g(-1)=-4, g(-3)=-12, g(-4)=-16, g(0)=0. Quindi
g(A0 ) = {−4, 4, 0, −16, −12}
Esempio 54. Se consideriamo
f :N→N
∀n∈N
f (n) = n + 3,
allora Im(f ) = f (N) = N \ {0, 1, 2}.
Per Saperne di più. Proprietà Sia f : A → B una funzione, e sia X ⊆ A Allora:
(1) f (X) = ∅ se e solo se X = ∅
(2) Notazione f ({a}) = {f (a)}
Definizione 23. (CONTROIMMAGINE) Sia data una funzione f : A → B e sia
Y ⊆ B. La controimmagine di Y (o immagine inversa o immagine reciproca di Y )
è il sottoinsieme di A, e si indica f −1 (Y ), costituito da tutti gli elementi di A la cui
immagine appartiene a Y , ovvero
f −1 (Y ) ⊆ A
f −1 (Y ) = {a ∈ A | f (a) ∈ Y }.
In particolare,
f −1 (B) = {a ∈ A | f (a) ∈ B} = A.
Esempio 55. Sia assegnata la seguente funzione
g:Z→Z
∀a∈Z
g(a) = 4a
Calcolare la controimmagine di Y = {5, 7}, D = {16} e di C = {2, −4, 0}.
Allora,
g −1 (Y ) = {x ∈ Z | g(x) ∈ Y = {5, 7}} = {x ∈ Z | g(x) = 5 o g(x) = 7}
= {x ∈ Z | 4x = 5 o 4x = 7} = ∅.
18
DONATELLA IACONO
g −1 (D) = {4}.
g −1 (C) = {−1, 0}.
Osservazione 11. Data la funzione f : A → B, si usa spesso la notazione f −1 ({b}) =
f −1 (b) con b ∈ B. In generale non è detto che f −1 (b) sia un insieme con un unico
elemento.
Esercizio 10.
f :R→R
Calcolare f −1 (1) e f −1 (−4).
∀x∈R
f (x) = x2
Esempio 56. (Funzione COSTANTE) Siano A e B due insieme e sia b0 ∈ B un elemento
fissato. Allora possiamo definire la funzione costante
f :A→B
∀a ∈ A
f (a) = b0 .
Tutit gli elementi di A sono mandati in b0 .
f −1 (b0 ) = A, f −1 (c) = ∅ per ogni c 6= b0 f (A0 ) = b0 per ogni sottoinsieme A0 non
vuoto di A.
Diagramma di Venn.
Esempio 57.
f :R→R
∀x ∈ R
f (x) = 3
manda tutto in 3.
Esempio 58. (Funzione IDENTITÀ) Sia A un insieme. Allora possiamo definire la
funzione identità (o funzione identica)
f = idA : A → A
∀a ∈ A
f (a) = a.
Ogni elemento mandato in se stesso. Si usa anche la notazione IdA .
Esempio 59. Consideriamo
f :R→R
∀x∈R
f (x) = x.
Allora f manda ogni elemento in se stesso, ovvero f è la funzione identità.
Proprietà Sia f : A → B una funzione, e siano X, X 0 ⊆ A e Y, Y 0 ⊆ B. Allora:
(1) f (X ∩ X 0 ) ⊆ f (X) ∩ f (X 0 )
(2) f (X ∪ X 0 ) = f (X) ∪ f (X 0 )
(3) f −1 (Y ∩ Y 0 ) = f −1 (Y ) ∩ f −1 (Y 0 )
(4) f −1 (Y ∪ Y 0 ) = f −1 (Y ) ∪ f −1 (Y 0 )
Dimostrazione. Proviamo la 1
Dobbiamo dimostrare che per ogni z ∈ f (X ∩ X 0 ) allora z ∈ f (X) ∩ f (X 0 ). Sia
z ∈ f (X ∩ X 0 ), allora z = f (x) con x ∈ X ∩ X 0 ovvero x ∈ X e x ∈ X 0 . Quindi z = f (x)
con x ∈ X ovvero z = f (x) ∈ f (X) e allo stesso modo z = f (x) ∈ f (X 0 ). Quindi
z ∈ f (X) ∩ f (X 0 ).
Il viceversa non è vero.
Esempio 60.
f :R→R
∀x ∈ R
f (x) = x2
Sia X = {−2, 0} e X 0 = {0, 2} allora f (X) = {0, 4}, f (X 0 ) = {0, 4} e quindi f (X) ∩
f (X 0 ) = {0, 4}. Invece, X ∩ X 0 = {0} e f (X ∩ X 0 ) = {f (0)} = {0}.
Utile introdurre grafico di una funzione.
APPUNTI DELLE LEZIONI DI MATEMATICA DISCRETA
19
Definizione 24. (GRAFICO) Il grafico di una funzione f : A → B è un sottoinsieme
del prodotto cartesiano A × B, costituito dalle coppie ordinate (a, f (a)), al variare di
a ∈ A. Ovvero
Γ(f ) = {(a, f (a)) ∈ A × B | a ∈ A}.
Esempio 61. Consideriamo
f :R→R
∀x ∈ R
f (x) = x2 .
Allora il grafico di f :
Γ(f ) = {(x, f (x)) ∈ R × R | x ∈ R} = {(x, x2 ) ∈ R × R | x ∈ R}.
Osservazione 12. Nel corso di Analisi studierete in maniera approfondita il concetto
di grafico.
4.1. Funzioni Iniettive.
Definizione 25. (INIETTIVA) Sia f : A → B una funzione. f è detta funzione iniettiva
se elementi distinti di A hanno immagini distinte in B. Ovvero,
∀a, a0 ∈ A con a 6= a0 =⇒ f (a) 6= f (a0 ).
Equivalentemente
∀a, a0 ∈ A
f (a) = f (a0 ) =⇒ a = a0 .
(L’equivalenza è dovuta al fatto che P −→ Q equivale a qQ −→ qP , Esercizio 9.)
Digramma di Venn
Esempio 62. Consideriamo
f :Z→Z
∀n ∈ Z
Allora la funzione f è iniettiva. Infatti,
che implica n = n0 .
∀n, n0
f (n) = 3n − 4.
∈ Z, se f (n) = f (n0 ) allora 3n−4 = 3n0 −4
Esempio 63. La funzione
f :Z→N
∀n ∈ Z
f (x) = x2
non è iniettiva. Infatti, f (−2) = 4 = f (2).
Esempio 64. La funzione
f :Z→N
∀x ∈ Z
f (x) =| x |
non è iniettiva. La funzione modulo è definita nel seguente modo:
(
x se x ≥ 0,
|x| =
−x se x < 0;
Esempio 65. Consideriamo
f :N→N
∀x ∈ N
f (x) = 2x.
Allora f è iniettiva.
Esempio 66. La funzione costante è iniettiva? Siano A e B due insieme e sia b0 ∈ B
un elemento fissato. Allora possiamo definire la funzione costante
f :A→B
∀a ∈ A
f (a) = b0 .
Tutto mandato in b0 . Quindi la funzione costante è iniettiva se e solo se A contiene un
solo elemento.
20
DONATELLA IACONO
Esempio 67. In generale, siano a, b ∈ R. Consideriamo la funzione
f :R→R
∀x ∈ R
f (x) = ax + b.
La funzione f è iniettiva?
Se a = 0 no perché funzione costante. Altrimenti, se a 6= 0, allora f (x) = f (y) se e
solo se ax + b = ay + b se e solo se x = y quindi iniettiva.
Nota Bene 4. Se f : A → B è una funzione iniettiva, allora per ogni b ∈ B l’insieme
controimmagine f −1 (b) ha al più un elemento.
4.2. Funzioni Suriettive.
Definizione 26. (SURIETTIVA) Sia f : A → B una funzione. f è detta funzione
suriettiva se Im(f ) = f (A) = B, ovvero se ∀y ∈ B
∃a ∈ A con f (a) = b.
Grafico Venn
Esempio 68. Consideriamo
f :Z→Z
∀n ∈ Zf (n) = 3n − 4.
Allora f non è suriettiva. Infatti, ci chiediamo, è vero che ∀b ∈ Z, esiste n ∈ Z tale che
f (n) = z? Dire che 3n − 4 = b allora 3n = b + 4 ovvero n = b+4
3 , ma appartiene a Z per
ogni scelta di b in Z? non sempre! Quindi non è suriettiva.
Esempio 69. Consideriamo
f :Q→Q
∀n ∈ Qf (n) = 3n − 4.
Allora f è suriettiva.
Esempio 70. La funzione costante è suriettiva? Siano A e B due insieme e sia b0 ∈ B
un elemento fissato.
f :A→B
a 7→ b0
∀a ∈ A.
Tutto mandato in b0 . La funzione costante è suriettiva se e solo se B è un elemento.
Esempio 71. In generale, siano a, b ∈ R. Consideriamo la funzione
f :R→R
x 7→ ax + b
∀x ∈ R.
La funzione f è suriettiva?
Se a=0 no perché funzione costante. Altrimenti, se a 6= 0, allora
f è suriettiva se e solo se ∀y ∈ R esiste x ∈ R con f (x) = y. Questo equivale a
ax + b = y ovvero x = y−b
a ∈ R. Quindi si suriettiva per ogni a 6= 0.
Esempio 72.
f :Z→N
∀x ∈ Z
f (x) = x2
f :Q→Q
∀x ∈ Z
f (x) = x4
f :R→R
∀x ∈ R
f (x) = x5
non è suriettiva.
non è suriettiva.
Esempio 73.
è suriettiva.
Nota Bene 5. Come abbiamo visto la nozione di iniettiva e suriettiva, dipendono anche
dall’ insieme di aprtenza e dall’ insieme di arrivo e non solo dalla legge.
Nota Bene 6. f : A → B è una funzione suriettiva, se e solo se f −1 (b) 6= ∅, per ogni
b ∈ B.
APPUNTI DELLE LEZIONI DI MATEMATICA DISCRETA
21
4.3. Funzioni Biettive.
Definizione 27. (BIETTIVA) Una funzione f : A → B è detta funzione biettiva se è
sia iniettiva che suriettiva. Ovvero
∀b ∈ B, ∃! a ∈ A con f (a) = b
Infatti
∀a, a0 ∈ A con a 6= a0 =⇒ f (a) 6= f (a0 )
e
∀b ∈ B, ∃a ∈ A con f (a) = b
Allora, per ogni b ∈ B l’insieme controimmagine f −1 (b) è costituito esattamente da un
elemento.
Osservazione 13. Terminolgia: Una funzione biettiva spesso è chiamata anche corrispondenza biunivoca.
Esempio 74. Sia A un insieme non vuoto, allora la funzione identità è biettiva.
Esempio 75. Si consideri
f :R→R
f (x) = x5 − 4.
∀x ∈ R
La funzione f è biettiva? Come si dimostra?
Esempio 76.
f :Z→N
∀x ∈ Z
f (x) = x2
non è biettiva, poiché non è ne suriettiva ne iniettiva.
f :Q→Q
∀x ∈ Z
f (x) = x4
non è suriettiva ne iniettiva e quindi no non è biettiva.
Esempio 77. In generale, siano a, b ∈ R. Consideriamo la funzione
f :R→R
x 7→ ax + b
∀x ∈ R.
Se a 6= 0 allora biettiva.
4.4. Composizione di Funzioni.
Definizione 28. (COMPOSIZIONE) Date due funzioni f : A → B e g : B → C, la
funzione composizione di f e g, si indica con g ◦ f (si legge anche g dopo f , oppure g
cerchietto f ) ed è la funzione
g ◦ f : A → C tale che
∀a∈A
(g ◦ f )(a) = g(f (a))
ovvero
f
g
A −→ B −→ B
a 7→ f (a) 7→ g(f (a))
ovvero prima facciamo f e poi facciamo g. Il dominio della funzione composta g ◦ f è
uguale al dominio di f , l’insieme di arrivo di g ◦ f è quello di g.
Nota Bene 7. In generale si ha g ◦ f 6= f ◦ g, a volte non sono definite entrambe.
Esempio 78. Si considerino
f :N→N
∀x ∈ N
f (x) = x2 ,
g:N→N
∀x ∈ N
g(t) = t + 2.
Calcolare se esistono g ◦ f e f ◦ g.
Esiste g ◦ f ? Si insieme arrivo di f =dominio g allora
g ◦ f : N → N : ∀a ∈ N
a 7→ a2 7→ a2 + 2.
22
DONATELLA IACONO
Esiste f ◦ g ? Si insieme arrivo di g =dominio f allora
f ◦ g : N → N : ∀b ∈ N
b 7→ b + 2 7→ (b + 2)2 .
Le fuznioni composte sono diverse! Infatti, (g ◦ f )(1) = 3 ed (f ◦ g)(1) = 9.
Esempio 79.
h : N → Q∗
f : Q∗ → Q
∀x ∈ N
∀y ∈ Q∗
x
+1
3
1
g(y) =
y
h(x) =
Calcolare se esistono h ◦ f e f ◦ h.
Esiste h ◦ f ? No insieme arrivo di f è diverso dal dominio di g.
Esiste f ◦ h ? Si insieme arrivo di h =dominio f allora
x
1
3
f ◦h:N→Q:
∀x ∈ N
x 7→ + 1 7→ x
=
.
3
x+3
3 +1
PROPRIETÀ della composizione di funzioni.
(1) (ASSOCIATIVA) Siano f : A → B, g : B → C e h : C → D, tre funzioni allora
h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g) ◦ f .
(2) Siano f : A → B una funzione e IdA : A → A e IdB : B → B le funzioni identità
di A e B, rispettivamente. Allora si ha
f ◦ IdA = IdB ◦ f = f.
(3) Se f : A → B e g : B → C sono funzioni invettive, allora g ◦ f è iniettiva, ma
non è vero il viceversa.
(4) Se f : A → B e g : B → C sono funzioni suriettive, allora g ◦ f è suriettiva, ma
non è vero il viceversa.
(5) Se f : A → B e g : B → C sono funzioni biettive, allora g ◦ f è biettiva, ma non
è vero il viceversa.
Esempio 80. Dimostriamo la Proprietà (3) per l’iniettività.
Siano f : A → B e g : B → C funzioni iniettive. Supponiamo che (g ◦ f )(a) =
(g ◦ f )(a0 ) allora per definizione g(f (a)) = g(f (a0 )), ma g è una funzione iniettiva e
quindi f (a) = f (a0 ) ma f è iniettiva e quindi a = a0 ovvero g ◦ f è iniettiva.
Esercizio 11. Dimostrare la Proprietà (4): se f : A → B e g : B → C sono funzioni
suriettive, allora g ◦ f è suriettiva.
Dall’Esempio 80 e dall’Esercizio 11 segue la Proprietà (5) : se f : A → B e g : B → C
sono funzioni biettive, allora g ◦ f è biettiva. Il viceversa non è vero.
Esempio 81. (CONTROESEMPIO: SURIETTIVITÀ) Esempio di g ◦ f è suriettiva,
ma f non è suriettiva.
Consideriamo f : A → B e g : B → C A = {1}. B = {a, b, c} C = {t} La funzione
f manda tutto in a, la funzione g tutto in t. La composizione è una funzione suriettiva
ma f non è suriettiva.
Esempio 82. (CONTROESEMPIO: INIETTIVITÀ) Esempio di g ◦ f è iniettiva, ma
g non è iniettiva.
Consideriamo f : A → B e g : B → C A = {1}. B = {a, b, c} C = {t} La funzione
f manda tutto in a, la funzione g tutto in t. La composizione è una funzione iniettiva,
ma g non lo è.
APPUNTI DELLE LEZIONI DI MATEMATICA DISCRETA
23
4.5. Inversa di Funzioni.
Definizione 29. (INVERSA) Sia f : A → B una funzione. La funzione f si dice
invertibile se esiste g : B → A tale che g ◦ f = IdA e f ◦ g = IdB .
La funzione g se esiste è unica e si chiama funzione inversa di f e si denota con f −1 .
Quindi
f −1 ◦ f = IdA
f ◦ f −1 = IdB
Dimostriamo l’unicità dell’inversa:
Supponiamo che esistano g : B → A e g 0 : A → B tale che g ◦ f = IdA e f ◦ g = IdB
e g 0 ◦ f = IdA e f ◦ g 0 = IdB .
Allora abbiamo che
g = g ◦ IdB = g ◦ (f ◦ g 0 ) = (g ◦ f ) ◦ g 0 = IdA ◦ g 0 = g 0 .
Come determiniamo se una funzione è invertibie?
Teorema 1. Sia f : A → B una funzione. La fuznione f è invertibile se e solo se f è
biettiva.
Osservazione 14. Come facciamo a determinare l’inversa di una funzione biettiva?
Sia f : A → B una funzione biettiva, quindi ∀b ∈ B, ∃!a ∈ A con f (a) = b Allora
f −1 : B → A è tale che f −1 (b) = a se b = f (a).
Esempio 83. h : N → Q∗
biettiva.
∀x ∈ N
Esempio 84. f : Q∗ → Q
∀y ∈ Q∗
ad immagine), quindi no biettiva.
h(x) =
f (y) =
1
y
x
3
+ 1 non è suriettiva quindi no
non è suriettiva (0 non appartiene
Esempio 85. Consideriamo h : Q → Q
∀x ∈ Q
h(x) = x3 + 1. È una funzione
biettiva? Quindi dobbiamo capire se h è una funzione iniettiva e suriettiva. È iniettiva?
È vero che ∀a, a0 ∈ A se h(a) = h(a0 ) =⇒ a = a0 ?
0
0
Allora h(a) = h(a0 ) implica che a3 + 1 = a3 + 1 che implica a3 = a3 + 1, che implica
a = a0 . Quindi h è iniettiva.
È suriettiva?È vero che ∀b ∈ Q, esiste a ∈ Q tale che h(a) = b? Quindi h(a) = b
implica b = a3 + 1, ovvero b − 1 = a3 , quindi a = 3(b − 1) ∈ Q. Allora h è suriettiva. Ne
segue che h è biettiva e pertanto esiste inversa. La funzione inversa è :
h−1 : Q → Q
∀y ∈ Q
h−1 (b) = 3(b − 1).
1
Esempio 86. Consideriamo h : Q − {1} → Q∗
∀x ∈ Q − {1}
h(x) = x−1
. È in?
1
∗
si (dimsotrare). È su? Sia y ∈ Q , esiste x ∈ Q tale che h(x) = y? Quindi y = x−1
.
Dato che x 6= 1, possiamo moltiplicare. y(x − 1) = 1. Ora sfruttiamo y 6= 0 e otteniamo
x − 1 = y1 che è vero se e solo se x = y1 + 1. Allora h è suriettiva. Ne segue che è biettiva
e pertantoe siste inversa. La funzione inversa è :
1
h−1 : Q∗ → Q − {1}
∀y ∈ Q∗
h−1 (y) = + 1.
y
Esempio 87. h : R → R
∀x ∈ R
h(x) = x5 È in e su? Si (da dimostrare).
Allora h è suriettiva. Ne segue che è biettiva e pertantoe siste inversa. La funzione
inversa è :
√
h−1 : R → R
∀y ∈ R
h−1 (y) = 5 y.
PROPRIETÀ (dimostrate)
(1) Siano f : A → B e g : B → C funzioni biettive. Allora si ha che g ◦ f : C → A è
biettiva (visto prima: è la Proprietà (5) della composizioni di funzioni) e quindi
è invertibile. Inoltre
(g ◦ f )−1 = f −1 ◦ g −1 : C → A
24
DONATELLA IACONO
(2) Se IdA : A → A è la funzione identica, allora (IdA )−1 = IdA .
−1
(3) Sia f : A → B una funzione biettiva. Allora (f −1 )
= f.
Dimostriamo la 1) basta dimostrare che la funzione (f −1 ◦ g −1 ) soddisfa la definizione
di funzione inversa, ovvero (f −1 ◦ g −1 ) ◦ (g ◦ f ) = IdA e (g ◦ f ) ◦ (f −1 ◦ g −1 ) = IdB .
Infatti abbiamo
(f −1 ◦ g −1 ) ◦ (g ◦ f ) = f −1 ◦ g −1 ◦ g ◦ f = IdA .
e
(g ◦ f ) ◦ (f −1 ◦ g −1 ) = g ◦ f ◦ f −1 ◦ g −1 = IdB .
Dimostriamo la 2)
IdA ◦ IdA = IdA
Dimostriamo la 3)
f −1 ◦ f = IdA
f ◦ f −1 = IdB
Nella prossima sezione vediamo come applicare la definizione di funzioni biettive per
contare gli elementi di un insieme.
Per Saperne di più. In Informatica le funzioni sono molto importanti e vengono
usate tantissimo. Un esempio è quando si vuole dare un etichetta ad alcuni oggetti.
Dare l’etichetta corrisponde a definire una funzione dal nostro insieme degli oggetti a
quello delle etichette possibili (ad un oggetto corrisponde una ed una sola etichetta). Se
invece vogliamo associare più etichette ad uno stesso oggetto allora si deve generalizzare
il concetto di funzione.
Un altro esempio è la funzione di hash usata per capire l’integrita’ di un messaggio.
L’hash serve per capire l’integrità di un messaggio
La parola inglese significa pasticcio, fare confusione.
In crittografia, la funziona di hash serve per avere un controllo del messaggio.
L’idea è che questa funzione associa ad un messaggio di lunghezza arbitraria un messaggio di lunghezza fissata (valore di hash, hash message digest o somma di controllo)
Deve avere 4 proprietà:
- calcolare il message digest in modo facile e veloce
- deve essere impossibile capire messaggio dal hash
- impossibile modificare messaggio senza cambiare hash
- impossibile trovare due messaggi con stesso hash
Quindi questa funzione è non invertibile, e soprattutto è iniettiva: se cambiamo anche
minimamente il messaggio vogliamo grandi cambiamenti nell’hash di controllo.
Come si usa in pratica? Alice calcola hash del messaggio. Poi spedisce messaggio
cifrato a Bob e in chiaro la hash trovata (tanto dall’hash non si puo’ ritrovare messaggio
proprio perché la funzione non è invertibile).
Chi riceve il messaggio lo decifra e poi calcola la hash. Se è diversa da quella spedita
in chiaro, allora il messaggio è stato modificato o attaccato da qualcuno.
La funzione di hash viene anche usata per aumentare la sicurezza: sarebbe sempre
meglio conservare la hash e non la password.
Check list. In questo capitolo abbiamo introdotto le funzioni e abbiamo studiato varie
nozioni tra cui: grafico, immagine, controimmagine, funzioni, iniettive, suriettive, biettive, composta di funzioni, funzioni invertibili ed inversa.
APPUNTI DELLE LEZIONI DI MATEMATICA DISCRETA
25
5. Contare oggetti di un insieme
In questa sezione vediamo come applicare la definizione di funzioni biettive per contare
gli elementi di un insieme.
Quanti elementi ha l’insieme {a, b}? Quanti elementi ha l’insieme {a, ∗, n, b}? Vogliamo
rispondere formalmente a questa domanda. Contare gli elementi è un procedimento del
tutto naturale. Nel contare, associamo ad ogni elemento un numero 1,2,3....e li prendiamo tutti (suriettiva) e non contiamo uno stesso elemento due volte (iniettiva).
Definizione 30. (EQUIPOTENTI) Due insieme A e B si dicono equipotenti, oppure
che hanno la stessa cardinalità, oppure la stessa potenza, se esiste una funzione biettiva
tra A e B.
Osservazione 15. Terminologia: Una funzione biettiva spesso è chiamata anche corrispondenza biunivoca.
Esempio 88. Sia A = N e P = {numeri naturali pari} = {n ∈ N | ∃t ∈ N tale che n =
2t}. Consideriamo f : N → P la funzione tale che ∀n ∈ N, f (n) = 2n. Allora f è una
funzione biettiva e quindi A e B sono equipotenti, ovvero hanno la stessa cardinalità.
Lo stesso per C = { numeri naturali dispari}.
Esempio 89. Gli insiemi A = N e D = {7n | n ∈ N} sono equipotenti.
Esempio 90. Sia A = {., :, >} e B = {1, 2, 3}. Definiamo g : A → B la funzione
g(.) = 2, g(:) = 3, g(>) = 1. Allora g è una funzione biettiva e quindi gli insieme A e
B sono equipotenti. (Qui abbiamo fatto una scelta di una funzione biettiva, vedremo
quante sono le funzioni biettive in seguito.) Fare Diagramma di Venn.
Esempio 91. Sia A = {a, b, c, d} e B = {1, 2, 3}. Non sono equipotenti.
Consideriamo gli insieme Jn , al variare di n ∈ N e n 6= 0 definiti da
Jn = {1, 2, ..., n} ⊆ N,
Quindi J1 = {1}, J2 = {1, 2}, J3 = {1, 2, 3}, etc..
Definizione 31. (FINITO) Un insieme A 6= ∅ si dice finito, se per qualche n ∈ N,
con n 6= 0, si ha che A è equipotente a Jn . In questo caso, diremo che la cardinalità
dell’insieme finito A è n e scriveremo |A| = n. Un insieme che non è finito si dice
infinito.
Osservazione 16. Alcuni testi usano In = {0, 1, 2, ..., n − 1} sempre con n elementi.
Osservazione 17. La cardinalità di Jn : |Jn | = n e se esiste g : A → Jn biunivoca allora
|A| = |Jn | = n.
Osservazione 18. Usando il simbolo di cardinalità, due insiemi finiti A e B sono
equipotenti se e solo se | A |=| B | ovvero hanno la stessa cardinalità.
Osservazione 19. Per convenzione: Se A = ∅ allora A è un insieme finito e |A| = 0.
Esempio 92. J6 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, |J6 | = 6.
Esempio 93. Quale è la cardinalità di A = {x, b, a, d}? è 4. Infatti esiste una funzione
biettiva con J4 .
(Jn sono insiemi di riferimento e sono tutti non equipotenti tra loro)
Definizione 32. (MINORE o UGUALE) Diremo che l’insieme A ha cardinalità minore
o uguale a quello di B, e scriveremo |A| ≤ |B| se e solo se esiste f : A → B funzione
iniettiva.
Esempio 94. Sia X sottoinsieme di A, X ⊂ A, allora l’inclusione X → A è iniettiva e
|X| ≤ |A|
26
DONATELLA IACONO
Nota Bene 8. Per ogni n ∈ N, gli insiemi Jn = {1, . . . , n}, hanno la proprietà che non
contengono sottoinsiemi propri equipotenti, ovvero 6 ∃ C ( Jn sottoinsieme proprio con
f : C → Jn biettiva.
(cosi i Jn sono tutti non equipotenti tra loro, per n diversi sono uno contenuto propriamente nell’altro. Quindi non esiste corrispondenza biunivoca tra loro.)
Esempio 95. J5 = {1, 2, 3, 4, 5} ha 5 elementi, non esistono sottoinsiemi propri con 5
elementi.
In generale, si può concludere che un insieme è finito se e solo se non si può mettere
in corrispondenza biunivoca con un suo sottoinsieme proprio.
Teorema 2. Siano A e B due insiemi finiti. Se |A| = |B| allora per ogni funzione
h : A → B si ha
h è iniettiva ⇐⇒ h è suriettiva
Dimostrazione. Si può trovare su uno qualsiasi dei testi consigliati.
Definizione 33. (INFINITO) Un insieme A 6= ∅ è infinito, se e soltanto se non è finito.
Equivalentemente se e solo se esiste un suo sottoinsieme proprio che si può mettere in
corrispondenza biunivoca con l’insieme stesso. Ovvero
A è infinito ⇐⇒ ∃A0 ⊂ A(A0 6= A) e f : A0 → A biunivoca.
Equivalentemente A è un insieme infinito se e solo se esiste una applicazione iniettiva
ma non suriettiva da A in se.
Esempio 96. Consideriamo l’insieme N. Nell’Esempio 88 abbiamo dimostrato che esiste
una corrispondenza biunivoca tra N e il sottoinsieme proprio dei numeri pari P . Pertanto
N è infinito.
Oppure g : N → N, tale che n 7→ 2n + 1. Immagine sono i numeri dispari, applicazione
è iniettiva ma non suriettiva, quindi l’insieme N é infinito.
Esempio 97. f : Z → N, tale che


se x = 0,
 0
f (x) = 2|x|
se x < 0,


2x − 1 se x > 0;
La funzione f è biettiva pertanto N e Z sono equipotenti.
Definizione 34. Un insieme A si dice che ha la potenza del numerabile (o che è numerabile) se è equipotente ad N, ovvero se si può mettere in corrispondenza biunivoca
con N.
Osservazione 20. L’Esempio 97, dimostra che Z è numerabile. Usando il procedimento
diagonale di Cantor, si dimostra che anche Q è numerabile. Al contrario, R non è
numerabile, si dice che ha la potenza del continuo, che è strettamente maggiore.
Check list. In questo capitolo abbiamo introdotto la cardinalità di un insieme e abbiamo definito quando un insieme è finito e quando è infinito.
APPUNTI DELLE LEZIONI DI MATEMATICA DISCRETA
27
6. Principio di Induzione
Dato
definito
Se A
parti di
un insieme A abbiamo visto che è infinito oppure è finito. Se è finito abbiamo
la cardinalità di A usando i sottoinsiemi Jn e l’abbiamo denotata con |A|.
è un insieme finito, con |A| = n, quale è la cardinalità di P(A), insieme delle
A? ovvero |P(A)| =?
Esempio 98. Se A = ∅ P(∅) = {∅}. Allora |P(A)| = 20 = 1.
Se A = {1}, allora P(A) = {∅, {1}} = {∅, A}. Allora |P(A)| = 21 = 2.
Se A = {1, 2} allora P(A) = {∅, {0}, {1}, {0, 1}}. Allora |A| = 2 e |P(A)| = 4 = 22 .
Vogliamo dimostrare un risultato che vale per ogni n ∈ N.
Teorema 3. Siano n in N e A un insieme finito con |A| = n, allora |P(A)| = 2n .
Nota Bene 9. Vogliamo dimostrare l’ugualglianza per ogni n ∈ N, quindi per infiniti
casi. Non si può dimostrare con esempi, altrimenti dovremmo fare un numero infinito
di conti.
Per dimostrarlo introduciamo uno strumento matematico potentissimo: il Principio
di Induzione.
Supponiamo di avere per ogni intero n ∈ N una proposizione P (n) che dipende da n
e di voler dimostrare che P (n) è vera per ogni n ∈ N ovvero ∀n ≥ 0.
6.1. Principio di Induzione (prima forma). Enunciamo il Principio di Induzione
(prima forma).
Base induzione: Dimostrare che P (0) è vera.
Passo induttivo: Dimostrare che ∀k ∈ N si ha che
P (k) vera =⇒ P (k + 1) vera
Allora P (n) è vera ∀n ≥ 0 ovvero per ogni n ∈ N.
Osservazione 21. In alcuni testi il passo induttivo è P (k − 1) vera =⇒ P (k) vera
∀k ≥ 1.
6.2. Principio di Induzione (seconda forma). Enunciamo il Principio di Induzione
(seconda forma).
Base induzione: Dimostrare che P (0) è vera.
Passo induttivo: Dimostrare che
P (h) vera ∀h tale che 0 ≤ h ≤ k =⇒ P (k + 1) vera
Allora P (n) è vera ∀n ≥ 0 ovvero per ogni n ∈ N.
Idea del perché funziona:
Ogni sottoinsimee U di N che contiene 0 e ha la proprietà che se k ∈ U allora k+1 ∈ U
deve coincidere con N ovvero U = N.
Quindi dobbiamo dimostrare due cose: la base di induzione e il passo induttivo. Per
la base di induzione dobbiamo dimostrare che una proposizione è vera: P (0) vera. Per
il passo induttivo non dobbiamo dimostrare che P (k) è vera ∀k ≥ 0, ma dobbiamo
dimostrare solo una implicazione: ∀k ∈ N se P (k) è vera allora P (k + 1) è vera.
Torniamo alla nostra dimostrazione del Teorema 3.
Teorema 3. Siano n in N e A un insieme finito con |A| = n, allora |P(A)| = 2n .
28
DONATELLA IACONO
Dimostrazione. Usiamo il principio di induzione, la prima forma. Vogliamo dimostrare
che ∀n ∈ N la seguente proposizione è vera.
P (n) : Se |A| = n, allora |P(A)| = 2n .
Dobbiamo dimostrare due cose.
1) Base induzione: Dimostrare che P (0) è vera: se |A| = 0, allora |P(A)| = 20 = 1.
Se n = 0, |A| = 0, quindi A = ∅ allora P(A) = {∅} Quindi |P(A)| = 1. Quindi P (0)
vera.
2) Passo induttivo: assumiamo vera P (k) (per un qualsiasi k ≥ 0) e dimostriamo che
P (k + 1) è vera.
Quindi supponiamo vera
P (k): Se |A| = k, allora |P(A)| = 2k ;
e dimostriamo che questa implica
P (k + 1): Se |A| = k + 1, allora |P(A)| = 2k+1 .
Quindi, sia |A| = k +1 ovvero A ha k +1 elementi: A = {a1 , . . . ak+1 } = {a1 , . . . , ak }∪
{ak+1 } = A0 ∪ {ak+1 }. Ora |A0 | = k.
Per contare i sottoinsiemi di A dobbiamo contare tutti i sottoinsiemi di A0 due volte.
In effetti, ogni sottoinsieme di A o contiene ak+1 o non lo contiene. Se non contiente
ak+1 allora è un sottoinsieme di A0 , se invece contiene ak+1 è ottenuto da un sottoinsieme
di A0 a cui abbiamo aggiunto ak+1 .
Infatti dobbiamo contare tutti i sottoinsiemi di A0 (che sono anche sottoinsiemi di A)
e quelli ottenuti aggiungendo l’elemento ak+1 ad ognuno di questi sottoinsiemi. Quindi
contiamo 2 volte i sottoinsiemi di A0 .
Quindi quanti sono i sottoinsiemi di A? Sono tanti quanti quelli di A0 contati due
volte (una volta per contare quelli senza ak+1 e una volta per contare quelli con ak+1 ).
Ora |A0 | = k quindi per il passo induttivo (P (k) vera) sappiamo che |P(A0 )| = 2k ma
allora
|P(A)| = 2|P(A0 )| = 2k + 2k = 2 · 2k = 2k+1
ovvero P(k+1) è vera. Quindi abbiamo dimostrato che ∀k ≥ 0 si ha che P (k) vera =⇒
P (k + 1) vera. Quindi il principio di induzione ci dice che P (n) vera ∀n ∈ N.
Osservazione 22. Daremo altre due dimostrazioni di questo teorema usando tecniche
diverse.
Esempio 99. (Gauss6) Dimostrare che ∀n ∈ N la somma dei numeri naturali minori o
. Quindi:
uguali a n è n(n+1)
2
P (n): 0 + 1 + 2 + · · · n = n(n+1)
per ogni n ∈ N.
2
1) Base induzione: Dimoostrare che P (0) è vera.
P(0): La somma dei numeri naturali ≤ 0 (ovvero 0) è
0. Quindi P (0) è vera.
0(0+1)
2
= 0, ovvero 0 =
0(0+1)
2
=
2) Passo induttivo: Dimsotrare che ∀k ≥ 0, P (k) vera implica P (k + 1) vera.
P (k) : 0 + 1 + 2 + . . . + k = k(k+1)
è vera
2
Vogliamo dimostrare
P (k + 1) : 0 + 1 + 2 + . . . + k + (k + 1) = (k+1)(k+1+1)
sia vera
2
Allora
k(k + 1)
0 + 1 + 2 + . . . + k + (k + 1) = (0 + 1 + 2 + . . . + k) + (k + 1) =
+ (k + 1) =
2
k(k + 1) + 2(k + 1)
(k + 2)(k + 1)
=
.
2
2
6K.F. Gauss, 1777-1855, matematico tedesco.
APPUNTI DELLE LEZIONI DI MATEMATICA DISCRETA
29
Ovvero P (k + 1) vera. Quindi abbiamo mostrato che P (k) vera implica P (k + 1) vera.
Quindi P (n) è vera ∀n ∈ N.
Quando si applica il principio di induzione si devono dimostrare due cose che P (0) è
vera e poi l’implicazione. Non si puo dire che P (k) vera per ogni k dimostriamo P (k +1).
Si deve dire, che per ogni k, se P (k) vera allora P (k + 1) è vera.
Prima di fare altri esempi, descriviamo due generalizzazioni del principio di induzione.
Vogliamo dimostrare che P (n) è vera per ogni n ∈ N con n ≥ n0 per un certo fissato
n0 ∈ N, prima n0 = 0. Ovvero da n0 in poi.
6.3. Principio di Induzione Generalizzato (prima forma). Enunciamo il Principio di Induzione Generalizzato (prima forma).
Base induzione: Dimostrare che P (n0 ) è vera.
Passo induttivo: Dimostrare che ∀k ≥ n0 si ha che
P (k) vera =⇒ P (k + 1) vera
Allora P (n) è vera ∀n ≥ n0 .
6.4. Principio di Induzione Generalizzato (seconda forma). Enunciamo il Principio di Induzione Generalizzato (seconda forma).
Base induzione: Dimostrare che P (n0 ) è vera.
Passo induttivo: Dimostrare che
P (h) vera ∀h tale che n0 ≤ h ≤ k =⇒ P (k + 1) vera
Allora P (n) è vera ∀n ≥ n0 .
Facciamo esempi sbaglaiti : se non si applica il principio di induzione correttamente
allora si possono concludere cose false.
Esempio 100. Ogni numero naturale è uguale al successivo (sappiamo gia che è sbagliata!!).
Vogliamo dimostrare che ∀n ∈ N la proposizione P (n) :
n = n + 1 è vera.
Passo induttivo: se P (k) vera allora P (k + 1) vera
P (k) : k = k + 1 vera
vogliamo dimostrare che
P (k + 1) :
k + 1 = k + 1 + 1 sia vera.
P (k) vera, quindi k = k + 1 sommiamo 1 ad entrambi i membri dell’equazione e
otteniano k + 1 = k + 1 + 1. Ne segue che P (k + 1) vera.
Quindi abbiamo dimostrato l’implicazione, ovvero il passo induttivo.
Il problema è che P (0) è falsa!! Ed è falsa per ogni base dell’induzione n0 ∈ N. Quindi
è fondamentale fare entrambi i passi del principio di induzione.
Esempio 101. Tutti i gatti hanno lo stesso colore.
È come dire in ogni insieme di gatti tutti hanno lo stesso colore.
Vogliamo dimostrare che ∀n ∈ N, in ogni insieme con n gatti questi hanno tutti lo
stesso colore.
1) Base induzione: Mostriamo che P (1) è vera.
P (1): In un insieme di un gatto hanno tutti lo stesso colore.
Questo è vero, quindi P (1) è vera.
2) Passo Induttivo: Mostriamo che ∀k ≥ 1 P (k) vera implica P (k + 1) vera
P (k): In ogni insieme con k gatti questi hanno tutti lo stesso colore.
P (k + 1): In ogni insieme con k + 1 gatti questi hanno tutti lo stesso colore.
Prendiamo un insieme con k + 1 gatti, numeriamo i gatti da 1 a k + 1. Per induzione
quelli numerati da 1 a k hanno tutti lo stesso colore (sono un insieme con k gatti). Ad
esempio hanno tutti lo stesso colore del gatto 2. Analogamente per i gatti numerati da
2 a k + 1, questi sono k gatti e quindi hanno tutti lo stesso colore del gatto numero 2.
Allora tutti i gatti hanno lo stesso colore..... eppure qualche dubbio rimane....
30
DONATELLA IACONO
Esercizio 12. Dimostrare col principio di induzione che ∀n ∈ N
20 + 21 + · · · + 2n = 2n+1 − 1.
Esercizio 13. Dimostrare col principio di induzione che ∀n ∈ N
n(n + 1)(2n + 1)
0 + 12 + 22 + . . . n2 =
.
6
Esercizio 14. Dimostrare col principio di induzione che ∀n ∈ N
n(n + 1) 2
3
3
3
0 + 1 + 2 + ...n =
.
2
Esercizio 15. Dimostrare col principio di induzione che per ogni fisato q ∈ N − {1} e
∀n ∈ N si ha
1 − q n+1
.
q0 + q1 + · · · qn =
1−q
Check list. In questo capitolo abbiamo introdotto il Principio di Induzione matematico,
strumento fondamentale.
APPUNTI DELLE LEZIONI DI MATEMATICA DISCRETA
31
7. Successioni
Dato un insieme, ci ricordiamo che non importa l’ordine in cui sono disposti gli
elementi. Abbiamo visto {a, b, c, d} = {b, c, a, d}.
Ora siamo interessati a risolvere un altro problema: vogliamo disporre gli elementi
ricordandoci l’ordine, (chi viene prima e chi viene dopo). Quindi etichettiamo gli oggetti
con i numeri naturali e questa etichetta ci ricorda l’ordine-la posizione.
Definizione 35. (Successione) Una successione in un insieme A è una funzione f :
N → A oppure f : N∗ → A. Per indicare l’immagine dell’elemento n, ovvero f (n) si
usa la notazione an , (l’etichetta n ci ricorda la posizione). Per indicare una successione
si usa la notazione {an }n∈N ( oppure {an }n∈N∗ ) e an è detto il termine n-esimo della
successione.
Osservazione 23. Notazione: N∗ = N \ {0}.
Esempio 102. A = N, f : N → N f = IdN , ovvero ∀n ∈ N, f (n) = n. Quindi
an = f (n) = n. In questo caso, {an }n∈N = {n}n∈N . Chi è il centesimo termine?
a100 = f (100) = 100
Esempio 103. A = Q, f : N∗ → Q tale che ∀n ∈ N∗
1
{ 3n
}n∈N∗ .
1
Chi è il centesimo termine? a100 = f (100) = 300
.
f (n) =
1
3n .
Quindi {an }n∈N∗ =
Esempio 104. A = Q, f : N → Q .
f (n) =
(
0
1
n
se n = 0,
se n =
6 0.
a0 = f (0) = 0, quindi {an }n∈N = {0, 1, 12 , . . . }.
Chi è il centesimo termine? a100 = f (100) =
1
100 .
Esercizio 16. Data f : N → R, tale che f (n) =
√
n, determinare a4 , a5 , a11 .
Esercizio 17. Data la successione
{an }n∈N = {
2
}n∈N ,
3 + n2
calcolare i termini a4 , a0 , a9 .
Nota Bene 10. {an }n∈N = {aj }j∈N
Esempio 105. Esempio di successione: {an }n∈N = {2n }n∈N . Ovvero a0 = 20 = 1
a1 = 21 a2 = 22 an = 2n an = 2 · 2n−1 = 2an−1 . Ogni volta moltiplichiamo per due.
Quindi “sembrerebbe”uguale a
(
a0 = 20 = 1
an = 2 · an−1 , n > 0.
Dopo dimostreremo cosa significa “sembrerebbe ”uguale. Per ora vediamo che questa
successione è definita in maniera diversa da quella di prima. Ora il termine n + 1 è
espresso in funzione del precedente.
Esempio 106. {an }n∈N
(
a0 = 1
an = an−1 + 3, n > 0.
Se chiediamo chi è il termine 1000, ovvero a1000 , dobbiamo calcolare tutti i termini prima
per poterlo determinare.
32
DONATELLA IACONO
Definizione 36. (RICORRENZA) Una successione si dice definita per ricorrenza, o
ricorsivamente o per induzione, se si definiscono i valori iniziali della successione per
n ≤ n0 e si definisce una regola per determinare i valori della successione per ogni
n ≥ n0 in funzione dei valori dei termini precedenti. Ovvero una successione ricorsiva
esprime il termine n-esimo in funzione dei termini precedenti.
Osservazione 24. Molti algoritmi in informatica si basano sulla struttura ricorsiva.
Esempio 107. {an }n∈N
(
a0 = 0
an = an−1 + n, n > 0.
a1 = 1 e a4 ? a4 = a3 + 4 = a2 + 3 + 4 = a1 + 2 + 3 + 4 = 1 + 2 + 3 + 4 = 10
(a0 fissato + legge per calcolare i termini in funzione del precedente)
Esempio 108. Progressione geometrica: x, d fisati in R∗ , definiamo {an }n∈N
{an }n∈N
(
a0 = x
an = dan−1 , n > 0.
Quindi a0 = x , a1 = xd, e sembrerebbe an = xdn .
Esempio 109. Progressione aritmetica: siano x, d fissati in R, definiamo {an }n∈N
(
a0 = x
an = an−1 + d, n > 0.
Quindi a0 = x , a1 = x + d, e sembrerebbe an = x + nd. Se d = 0 abbiamo successione
costante.
Esempio 110. I numeri fattoriali: {an }n∈N
(
a0 = 1
an = n · an−1 , n > 0.
a0 = 1 , a1 = 1,.. .
Definizione 37. (FORMULA CHIUSA) La formula chiusa di una successione ricorsiva è una formula che esprime direttamente il termine n-simo an usando operazioni in
funzione di n e non in funzione dei termini precedenti della successione.
Osservazione 25. Trovare la formula chiusa di una successione o algoritmo è un procedimento molto complicato: si usa l’analisi matematica, le funzioni generatrici ed equazioni
differenziali. Quindi queste cose sono trattate nei corsi di analisi matematica, noi al più
verifichiamo una formula chiusa.
Osservazione 26. Trovare una formula chiusa per un algoritmo è molto utile dal punto
di vista informatico. Infatti è molto più veloce ed economico da un punto di vista
computazionale calcolare un algoritmo con la formula chiusa piuttosto che usare la
formula ricorsiva.
Esempio 111. Progressione geometrica: x, d fissati in R∗ {an }n∈N
(
a0 = x
an = dan−1 , n > 0.
a0 = x , a1 = xd,..Ogni volta moltiplichiamo per d. Consideriamo la successione {bn }n∈N
con bn = xdn . Ci chiediamo è la formula chiusa? ovvero le due successioni coincidono?
ovvero an = bn per ogni n ∈ N? Bisogna usare principio di induzione.
P (n): an = bn e vogliamo dimostrare questa proposizione per ogni n ∈ N.
BASE INDUZIONE. Dimostrare che P(0) è vera.
APPUNTI DELLE LEZIONI DI MATEMATICA DISCRETA
33
P (0) : a0 = b0 . Vera in quanto a0 = x e b0 = xd0 = x.
PASSO INDUTTIVO: Supponiamo P (k) vera, ovvero ak = bk e dimostriamo P (k +
1) :
ak+1 = bk+1 .
ak+1 = dak = dbk = d xdk = xdk+1 = bk+1
vero. Allora an = bn per ogni n ∈ N.
Esempio 112. Progressione aritmetica: {an }n∈N
(
a0 = x
an = an−1 + d, n > 0.
a0 = x , a1 = x + d,.., consideriamo la successione {bn }n∈N con bn = x + nd. Ci
chiediamo è la formula chiusa? ovvero le due successioni coincidono? ovvero an = bn
per ogni n ∈ N? Bisogna usare principio di induzione.
Esempio 113. {an }n∈N
(
a0 = 1
an = n · an−1 , n > 0.
Introduciamo i numeri fattoriali:
0! = 1 e n! = n · (n − 1) · · · 2 · 1
consideriamo la successione {bn }n∈N con bn = n!. Ci chiediamo è la formula chiusa?
ovvero le due successioni coincidono? ovvero an = bn per ogni n ∈ N? Bisogna usare
principio di induzione.
Esercizio 18. {an }n∈N
(
a0 = 0
an = an−1 + n, n > 0.
ammette come formula chiusa {bn }n∈N con bn =
n(n+1)
.
2
Esercizio 19. {an }n∈N :
(
a0 = 20 = 1
an = 2 · an−1 , n > 0.
ammette come formula chiusa {bn }n∈N = {2n }n∈N .
7.1. I numeri di Fibonacci. I numeri di Fibonacci7 sono definiti ricorsivamente:
{fn }n∈N


f0 = 0
f1 = 1


fn = fn−1 + fn−2 , n > 1.
Ogni termine della successione è somma dei due precedenti
f0 f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7 · · ·
0 1 1 2 3 5 8 13 · · ·
I numeri di Fibonacci sono molto studiati perché modellano la crescita di una popolazione di conigli. Infatti, supponiamo che:
(1) Una coppia di conigli diventa fertile/matura dopo un mese e procrea un’altra
coppia dopo un altro mese.
7Leonardo Fibonacci, matematico Italiano di Pisa, circa 1175-1235.
34
DONATELLA IACONO
(2) Al mese zero non abbiamo conigli e al primo mese abbiamo una coppia non
matura.
(3) I conigli non muoiono mai.
Quante coppie di conigli abbiamo al mese n?
mese 0 = 0
mese 1 = 1, mese 2=1 (fertile), mese 3=2 coppie (una nuova e una vecchia=fertile)
mese 4= 3 coppie (una nuova e due vecchie= fertili) quindi tante fertili quanto quelle
del passo prima e tante nuove quante quelle di due passi prima che sono fertili dopo un
mese e procreano una coppia dopo un altro mese.
Quindi al mese n abbiamo tante coppie quante erano al mese n − 1 (non muoiono)
e in piu le nuove coppie che sono tante quante le coppie mature al mese n − 1 ovvero
tante quante le coppie al mese n − 2. Quindi fn = fn−1 + fn−2 .
Quale è la formula chiusa?
Proposizione 3. La successione dei numeri di Fibonacci {fn }n∈N


f0 = 0
f1 = 1


fn = fn−1 + fn−2 , n > 1,
ammette come formula chiusa la successione {bn }n con
"
√ !n
√ !n #
1+ 5
1− 5
1
−
bn = √
2
2
5
∀ n ≥ 0.
√
Il valore 1+2 5 si indica con Φ e si chiama rapporto aureo (Fidia). È sorprendente
che nella formula di bn compaiono potenze di numeri irrazionali, ma bn è un numero
naturale. La matematica non smette ami di stupirci.
Dimostrazione. Si può trovare su uno qualsiasi dei testi consigliati.
7.2. Le Torri di Hanoi. Il gioco delle Torre di Hanoi è stato pubblicato da E. Lucas8
e consiste nel seguente problema. Supponiamo di avere tre aste (A,B,C) e su una di esse
(A) siano posti n-dischi di diametro decrescente dal basso verso l’alto (tipo piramide).
Scopo del gioco: trasferire i dischi su un’altra asta in modo che formino la stessa
piramide.
Regole:
1) I dischi vanno spostati uno alla volta.
2) Non può mai accadere che un disco di diametro maggiore sia poggiato su un disco di
diamentro inferiore.
Quale è il numero minimo delle mosse per raggiungere lo scopo del gioco?
Se n = 0, allora 0 mosse; se n = 1 allora 1 mossa, dobbiamo spostare un solo disco.
Se n = 2 allora 3 mosse: spostiamo il disco piccolo su un asta vuota, poi spostiamo il
disco grande su l’altra asta libera, e infine mettiamo il disco piccolo sul disco grande.
Indichiamo con an = numero delle mosse. Allora
a0 =
0
{an }n =
an = 2an−1 + 1 n ≥ 1.
Infatti, consideriamo n − 1 dischi, allora servono an−1 mosse per spostarle su un’altra
asta. Poi spostiamo il disco n-esimo (il più grande) e poi rispostiamo sopra gli n − 1
dischi con altre an−1 mosse. Quindi servono an−1 + 1 + an−1 = 2an−1 + 1 mosse.
8 Édouard Lucas, matematico Francese 1841-1891; gioco pubblicato nel 1883.
APPUNTI DELLE LEZIONI DI MATEMATICA DISCRETA
35
Proposizione 4. Verificare che la seguente successione {an }n definita per ricorrenza
a0 =
0
{an }n =
an = 2an−1 + 1 n ≥ 1.
ammette come formula chiusa la successione {bn }n con bn = 2n − 1.
Dimostrazione. Dobbiamo dimostrare che P (n): an = bn è vera per ogni n in N.
Usiamo il Principio di induzione. Pirma cosa il passo base. Poi bisogna verificare il
passo induttivo e concludere.
P (n): an = bn e vogliamo dimostrare questa proposizione per ogni n ∈ N.
BASE INDUZIONE. Dimostrare che P (0) è vera.
P (0) : a0 = b0 . Vera in quanto a0 = 0 = b0 .
PASSO INDUTTIVO: Dimostrare che ∀k ∈ N P (k) vera implica P (k + 1) vera.
Abbiamo:
P (k) :
ak = bk (supponiamo vera)
P (k + 1) :
ak+1 = bk+1 (da dimostrare vera).
Allora
ak+1 = 2ak + 1 = 2bk + 1 = 2 ∗ (2k − 1) + 1 = 2k+1 − 2 + 1 = 2k+1 − 1 = bk+1
vero. Quindi P (k + 1) è vera e il principio di induzione implica che P (n): è vera per
ogni n in N, ovvero an = bn per ogni n ∈ N.
P
7.3. Simbolo di Sommatoria. Introduciamo il simbolo di sommatoria:
.
n
X
i = 0 + 1 + 2 + ··· + n
i=0
Dove i = indice. Questo indica solo la somma dall’indice i = 0 (partiamo da i = 0 fino
ad i = n (finiamo ad n) ovvero dobbiamo fare la somma di questi termini. Il simbolo
non ci dice quanto fa la somma!
Osservazione 27. Noi abbiamo dimostrato nell’Esempio 99 che
n
X
i = 0 + 1 + 2 + ··· + n =
i=0
n(n + 1)
,
2
il simbolo in se non dice il risultato della somma.
Esempio 114. Altri esempi:
3
X
2i = 2 · 0 + 2 · 1 + 2 · 2 + 2 · 3(= 12);
i=0
n+1
X
i2 = (−1)2 + 0 + 12 + 22 + 32 + · · · + n2 + (n + 1)2
i=−1
In generale,
n
X
ai = a0 + a1 + a2 + · · · + an ,
i=0
è la somma dei primi n + 1 termini della successione {an }n∈N .
Proprietà della sommatoria.
n
n
X
X
(1)
ai =
aj indice i o j è la stessa cosa;
i=0
j=0
36
DONATELLA IACONO
(2)
n
X
ai =
i=0
X
ai altra notazione;
0≤i≤n
(3) Per ogni q ∈ R,
n
X
q = q + q + · · · + q = (n + 1) · q sommiamo lo stesso numero
i=0
q, n + 1 volte.
(4) Per ogni q ∈ R,
(5)
n
X
(ai + bi ) =
i=0
(6)
n
X
i=0
ai =
t
X
i=0
n
X
q · ai = q
i=0
n
X
n
X
i=0
i=0
ai +
ai ;
i=0
ai +
n
X
n
X
bi . (Associatività e Commutativita della somma)
ai .
i=t+1
Esempio 115. (IMPORTANTE) Un’esempio dell’ultima proprietà che useremo freuentemente:
n+1
n
X
X
ai =
ai + an+1 .
i=0
i=0
Osservazione 28. Nel corso di analisi verranno studiate le successioni e le serie numeriche, che non sono altro che sommatorie con un numero infinito di termini, sarete
interessati a capire la convergenza della serie.
Check list. In questo capitolo abbiamo definito le successioni, successioni definite per
ricorrenza e formula chiusa, numeri di Fibonacci, Torre di Hanoi e introdotto il simbolo
di sommatoria.
APPUNTI DELLE LEZIONI DI MATEMATICA DISCRETA
37
8. Combinatoria
Siano A e B insiemi finiti e non vuoti: A 6= ∅, B 6= ∅. Abbiamo definito le cardinalità
|A| e |B| (degli insiemi A e B). Adesso vogliamo contare altro: la cardinalità |A ∪
B|, quante sono le funzioni iniettive da A a B, quante quelle biettive, in quanti modi
possiamo scegliere elementi di A,... etc.
Esempio 116. A= insieme di 8 auto. B=insieme di 5 biciclette Allora |A| = 8 |B| = 5.
A ∪ B è un insieme con 8 auto e 5 biciclette. Allora |A ∪ B| = 8 + 5 = 13.
Esempio 117. Abbiamo delle penne. Sia A= insieme di 8 penne blu e B=insieme di 5
penne bic. Allora |A| = 8 |B| = 5. A ∪ B è l’unione dei due insiemi |A ∪ B| non è detto
sia 13, perché alcune penne bic potrebbero essere blu.
Ricordiamo la definizione di insiemi disgiunti (Definizione 6): due insiemi A e B si
dicono disgiunti se A ∩ B = ∅.
8.1. Regola della Somma.
Proposizione 5. Se A e B sono insiemi finiti disgiunti, allora
|A ∪ B| = |A| + |B|.
Quindi se |A| = n e |B| = m allora |A ∪ B| = |A| + |B| = n + m. In generale dati
m-insiemi A1 , A2 , . . . , Am a due a due disgiunti, ovvero Ai ∩Aj = ∅ ∀i 6= j. Se |Ai | = ni ,
m
X
allora |A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ Am | = |A1 | + |A2 | + · · · |Am | = n1 + n2 + · · · + nm =
ni .
i=1
Esempio 118. In una classe, ci sono 6 Iphone, 11 Nokia, 8 Samsung. Quanti sono in
tutto i cellulari?
8.2. Principio di inclusione-esclusione. Dati due insiemi, la cardinalità di |A ∪ B|
è data dal seguente risultato.
Proposizione 6. Se A e B sono insiemi finiti, allora
|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
Dimostrazione. Dobbiamo sottrarre gli elementi che contiamo due volte, ovvero gli
elementi contenuti nell’intersezione.
Fare diagramma di Venn.
Esempio 119. Abbiamo delle penne, Sia A= insieme di 8 penne blu. B=insieme
di 5 penne bic e ci sono 3 bic blu Allora |A| = 8 |B| = 5, |A ∩ B| = 3. Allora
|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| = 8 + 5 − 3 = 10.
Esempio 120. In una autosalone ci sono 13 BMW e 14 auto grigie e 4 sono BMW grigie.
Quante sono in tutto le auto BMW o grigie? Allora |A| = 13 |B| = 14, |A ∩ B| = 4.
Allora |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| = 27 − 4 = 23.
Esempio 121. Consideriamo i seguenti insiemi:
A = {x ∈ N | x è pari e 3 ≤ x < 31}
B = {x ∈ N | 0 ≤ x ≤ 65 e x multiplo di 6 }
Determinare |A ∪ B|.
A = {4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30}
B = {0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60}
Allora |A| = 14 |B| = 11, |A ∩ B| = |{6, 12, 18, 24, 30}| = 5. Allora |A ∪ B| =
|A| + |B| − |A ∩ B| = 14 + 11 − 5 = 20. Scrivere esplicitamente A ∪ B.
Questo vale per l’unione due insiemi. E se vogliamo studiare casi più generali? Ad
esempio |A ∪ B ∪ C|? In tal caso basta generalizzare la Proposizione 6.
38
DONATELLA IACONO
Proposizione 7. Siano A, B, C insiemi finiti. Allora
|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |C ∩ B| − |A ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.
Dimostrazione. Idea della dimostrazione con i diagrammi di Venn. In |A| + |B| + |C|
stiamo contando due volte |A ∩ B| e |C ∩ B| e |A ∩ C| quindi li togliamo; in questo
modo, togliamo 3 volte gli elementi in A ∩ B ∩ C e quindi dobbiamo riaggiungerli ovvero
dobbiamo sommare |A ∩ B ∩ C|.
Dimostriamo, usando il caso a due insiemi studiato nella Proposizione 6:
|A ∪ B ∪ C| = |(A ∪ B) ∪ C| = |A ∪ B| + |C| − |(A ∪ B) ∩ C| =
|A| + |B| − |A ∩ B| + |C| − |(A ∩ C) ∪ (B ∩ C))| =
|A| + |B| − |A ∩ B| + |C| − (|(A ∩ C)| + |(B ∩ C)| − |A ∩ B ∩ C|) =
|A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |C ∩ B| − |A ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.
Esercizio 20. In una autosalone, ci sono solo A= 13 bmw, B= 20 auto grigie, C= 25
auto 4 porte. Quante sono in tutto le auto bmw o grigie o 4 porte (ovvero |A ∪ B ∪ C|),
sapendo che 7 bmw sono grigie, 8 bmw sono 4 porte, 2 bmw sono grigie con 4 porte e ci
sono 10 auto grigie con 4 porte?
Sketch: Allora
|A| = 13 |B| = 20 e |C| = 25 |A ∩ B| = 7. |C ∩ B| = 10 |A ∩ C| = 8 e |A ∩ B ∩ C| = 2
Allora
|A∪B∪C| = |A|+|B|+|C|−|A∩B|−|C∩B|−|A∩C|+|A∩B∩C| = 13+20+25−7−10−8+2 = 35.
Fare anche con diagrammi di Venn.
Esercizio 21. Consideriamo i seguenti insiemi:
A = {x ∈ N | x è pari e 3 ≤ x < 31}
B = {x ∈ N | 0 ≤ x ≤ 65 e x multiplo di 6}
C = {x ∈ N | 0 ≤ x ≤ 50 e x multiplo di 4}.
Determinare | A ∪ B ∪ C |.
Esercizio 22. In una classe ci sono 76 studenti o di Bari o di Brindisi, 35 sono di
Brindisi, 20 hanno occhi chiari, 25 sono di Brindisi e hanno occhi scuri.
Supponendo che gli occhi possono essere o chiari o scuri: Quanti sono gli studenti di
Bari? Quanti sono gli studenti di Bari con occhi chiari? Quanti gli studenti di Bari con
occhi scuri? Quanti sono studenti di Brindisi con occhi chiari?
Sketch: In tutto ci sono 76 studenti.
76 − 35 = 41 studenti di Bari (|A ∪ B| = |A| + |B|);
76 − 20 = 56 studenti con occhi scuri (|A ∪ B| = |A| + |B|);
56 − 25 = 31 studenti di Bari con occhi scuri;
41 − 31 = 10 studenti di Bari con occhi chiari;
35 − 25 = 10 studenti di Brindisi con occhi chiari.
Esercizio 23. In una classe ci sono 90 studenti, 35 sono donne, 20 hanno l’Iphone, 15
donne hanno l’Iphone.
Quanti sono gli studenti maschi e senza Iphone?
E quanti maschi con l’ Iphone? Quanti sono gli studenti o maschi o con Iphone?
Sketch: 90 − 35 = 55 studenti maschi;
Maschi con Iphone: 20-15=5;
Quindi maschi senza iphone 55-5=50.
Gli studenti o Maschi o con Iphone: |M ∪ I| = |M | + |I| − |M ∩ I| = 55 + 20 − 5 = 70.
Abbiamo detto che dati m-insiemi A1 , A2 , . . . , Am a due a due disgiunti, ovvero Ai ∩
Aj = ∅ ∀i 6= j. Allora |A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ Am | = |A1 | + |A2 | + · · · |Am |.
APPUNTI DELLE LEZIONI DI MATEMATICA DISCRETA
39
Se A1 , A2 , . . . , Am sono insiemi a due a due disgiunti, con |Ai | = ni . In quanti modi
distinti possiamo scegliere un elemento? Ovviamente in n1 + n2 + · · · + nm modi.
Esempio 122. Abbiamo 3 penne blu, 3 gialle, 4 rosse, 5 verdi. Ogni penna ha solo una
colorazione e quindi abbiamo in tutto 15 scelte di penne.
8.3. Regola del Prodotto. Supponiamo ora che A e B siano due insiemi finiti con
|A| = n e |B| = m. Abbiamo definito il prodotto cartesiano A × B. Ci chiediamo quale
è la cardinalità di |A × B|.
Ricordiamo che
A × B = {(a, b) | a ∈ A e b ∈ B}.
Un elemento a ∈ A può essere scelto in n modi, un elemento b ∈ B può essere scelto
in m modi distinti. Quindi possiamo fare n · m scelte: possiamo scegliere a ∈ A in n
modi e per ognuna di queste scelte possiamo scegliere un elemento b ∈ B in m modi.
Ovvero |A × B| = nm.
Esempio 123. Sia A = {l, m} e B = {a, b, c}.
A × B = {(l, a), (l, b), (l, c), (m, a), (m, b), (m, c)}
Allora |A × B| = 6.
Esercizio 24. Sia A = {1, 3, 5, 6, 7} e B = {2, 3, x, y}. Allora |A × B| = 5 · 4 = 20.
Anche se abbiamo più insiemi basta moltiplicare le loro cardinalità. A, B e C siano
insiemi finiti con |A| = n, |B| = m e |C| = t. Allora |A × B × C| = nmt.
Esercizio 25. Abbiamo 5 modelli di cellulare 4s, 5c ,5s ,6, 6plus e abbiamo disponibili
4 colori per ogni modello.
Quante scelte di cellulari diversi abbiamo? 20.
Esercizio 26. Abbiamo 5 modelli di cellulare 4s, 5c, 5s , 6, 6plus. Abbiamo disponibili
4 colori per ogni modello. Inoltre possiamo scegliere, le versioni 8gb, 16gb, 32gb, 64gb.
Quanti scelte di cellulari diversi abbiamo?
Esempio 124. In un negozio abbiamo 5 modelli di jeans, 3 colorazioni, 6 taglie. Quanti
jeans diversi abbiamo?
Check list. In questo capitolo abbiamo studiato la cardinalità dell’unione di insiemi
disgiunti o non disgiunti, Regola della somma, Principio di Inclusione-Esclusione, Regola
del prodotto.
40
DONATELLA IACONO
9. Combinazioni e disposizioni
Nella sezione precedente ci siamo interessati a quanti modi abbiamo per scegliere un
elemento con la regola della somma (scegliere un elemento in una unione di insiemi) e
con la regola del prodotto (scegliere un elemento nel prodotto cartesiano di insiemi).
In questa sezione invece abbiamo un insieme non vuoto e vogliamo scegliere più di un
elemento.
Sia A un insieme finito non vuoto con n elementi.
Obiettivo: Studiare come si possono scegliere k elementi in un insieme con n elementi.
Sicuramente dobbiamo fare delle distinzioni:
Caso 1) scegliere k elementi senza ripetizioni (2 sottocasi: se l’ordine è importante o no);
Caso 2) scegliere k elementi con ripetizioni (2 sottocasi: se l’ordine è importante o no).
9.1. Caso 1) scegliere k elementi distinti. In quanti modi possiamo scegliere k
elementi distinti, ovvero senza ripetizioni, in un insieme di ordine n?
Importante: Sicuramente k ≤ n, non possiamo scegliere più elementi distinti, di
quanti ne possiede l’insieme.
Esistono due sottocasi:
i) Scegliere k elementi distinti ordine è importante (k-pla ordinata) “disposizione
semplice di n oggetti di classe k”.
ii) Scegliere k elementi distinti ordine non è importante (k sottoinsiemi) “combinazione semplice di n oggetti di classe k”.
La parola semplice è usata per ricordarci senza ripetizioni, nella Sezione 9.2 vedremo
il Caso 2) con ripetizioni.
9.1.1. Caso 1) i): Disposizioni semplici di n oggetti di classe k. In un insieme con
n elementi, quanti sono i modi distinti per scegliere k elementi distinti ricordandoci
l’ordine? Questo numero si indica con D(n, k) e si ha
D(n, k) = n · (n − 1) · · · · · (n − (k − 1)).
Perchè?
1 2
3
4
5 ···
k
n n-1 n-2 n-3 n-4 · · · n-(k-1).
Si può scegliere il primo elemento in n modi, il secondo n − 1 (perché deve essere diverso
dal primo), il terzo n − 2 (perché deve essere diverso dal primo e dal secondo già scelti)
e cosı̀ via. Osserviamo che n − (k − 1) = n − k + 1.
Esempio 125. Se k = 4. D(n, k) = D(n, 4) = n · (n − 1) · (n − 2) · (n − 3).
Esempio 126. Se n = 6 k = 3. D(6, 3) = 6 · 5 · 4.
Esempio 127. Supponiamo A = {x, y, z} allora n = 3, e sia k = 2. Allora D(n, k) =
D(3, 2) = 3(3 − (2 − 1)) = 3(3 − 1) = 6. Quindi ci sono 6 modi distinti per scegliere 2
elementi distinti ricordandoci l’ordine, infatti: xy, yx, xz, zx, yz, zy.
Esempio 128. Ci sono 50 autovetture in una gara. In quanti modi diversi possiamo
assegnare il 1◦ premio, il 2◦ premio e il 3◦ premio (senza parimerito)? Ovviamente
l’ordine è importante! In questo caso n = 50 e k = 3. D(n, k) = D(50, 3) = 50(50 −
1)(50−2) = 50·49·48. Il primo premio può essere assegnato ad una tra le 50 autovetture,
il secondo ad una tra le 49 autovetture (tutte tranne quella che ha ricevuto il 1◦ premio)
e il terzo ad una tra le 48 autovetture (tutte tranne le due che hanno ricevuto il 1◦ e 2◦
premio).
APPUNTI DELLE LEZIONI DI MATEMATICA DISCRETA
41
Osservazione 29. D(n, 1) = n che indica in quanti modi distinti possiamo scegliere un
elemento in un insieme con n elementi. Infatti in un insieme con n elementi ne possiamo
scegleirei uno in n modi distinti.
Osservazione 30. Notare che D(n, k) =
n!
(n−k)!
=
n·(n−1)·(n−2)·····(n−(k−1))·(n−k)!
(n−k)!
Osservazione 31. D(n, k) = numero delle funzioni iniettive da un insieme finito A con
|A| = k ad un insieme finito B con |B| = n (ricordiamo k ≤ n: Definizione 32).
Infatti, se A = {a1 , a2 , . . . , ak } immagine di a1 può essere scelta in n modi, quella di
a2 in n − 1 modi etc.
(L’ordine è importante per definire una funzione).
Osservazione 32. D(n, n) = n·(n−1)·(n−2) · · · (n−(n−1)) = n·(n−1)·(n−2) · · · 1 = n!
Ovvero in un insieme di n elementi possiamo scegliere n! disposizioni semplici. Ovvero
dati n elementi possiamo ordinarli in n! modi distinti. Un ordinamento di n oggetti è
detto permutazione. Quando introdurremo le strutture algebriche, studieremo il gruppo
delle permutazioni su n elementi, che è un gruppo finito di cardinalità n! (Sezione 24).
Osservazione 33. D(n, n) = n!= numero delle funzioni biettive da un insieme A ad un
insieme B con |A| = |B| = n. Infatti, n! è il numero delle funzioni iniettive ma abbiamo
visto che sono anche suriettive, avendo gli insiemi la stessa cardinalità (Teorema 2).
Analogamente si può dimostrare considerando che l’ immagine di a1 la possiamo scegliere
in n modi, l’immagine di a2 in n−1 modi, . . ., l’immagine di an in un unico modo. Quindi
in tutto ci sono n! funzioni biettive.
Esercizio 27. Abbiamo 12 automobili e 12 autisti, in quanti modi possiamo distribuire
gli autisti nelle automobili? 12!
Esercizio 28. Abbiamo 7 camicie e dobbiamo andare a 7 feste diverse usando camicie
diverse, in quanti modi diversi possiamo andare alla festa?
9.1.2. Caso 1) ii): Combinazioni semplici di n oggetti di classe k. Scegliere k elementi
distinti in un insieme con n elementi e l’ordine non è importante. Ricordiamoci sempre
che k ≤ n. Il numero di combinazioni semplici di n oggetti di classe k èil numero
dei
n
sottoinsiemi con k elementi in un insieme di cardinalità n. Si indica con
e si ha
k
n!
D(n, k)
n
=
.
=
k
k!
k!(n − k)!
Questo numero si chiama coefficiente binomiale. Non è altro che il numero delle kple ordinate D(n, k) diviso numero di modi di ordinare le k-ple, che è k! come visto
nell’Osservazione 32. Analogamente, possiamo anche ragionare considerando
n
k! = D(n, k),
k
n
infatti
indica il numero di sottoinsiemi con k elementi e lo moltiplichiamo per k!
k
che è il numero degli ordinamenti possibili di k elementi (Osservazione 32).
5!
5 · 4 · 3!
5
Esempio 129. Calcolare
=
=
= 10.
3
3!(5 − 3)!
3!2!
Esempio 130. Supponiamo A = {x,
y,
z}. Quanti sono i stottoinsiemi con 2 elementi?
3!
3
{x, y}, {x, z},{y, z} sono 3 infatti
=
= 3. Infatti per l’Esempio 127,
2
2!(3 − 1)!
abbiamo xy, yx, xz, zx, yz, zy e poi dividiamo per 2.
42
DONATELLA IACONO
Esercizio 29. Abbiamo 50 vetture in gara, quanti sono i podi possibili? Adesso non
vogliamo distinguere tra 1◦ , 2◦ e 3◦ , ma solo scegliere la terna di auto. Allora dobbiamo
scegliere 3 vetture tra 50 ovvero
50!
50 · 49 · 48 · 47!
50 · 49 · 48
50
=
=
=
= 50 · 49 · 8.
3
3!(50 − 3)!
3!47!
3!
n
Proprietà di
con k ≤ n.
k
n!
n
(1)
=
= 1, unico modo per non scegliere nulla;
0
0!n!
n!
n
= n, ovvero n modi per scegliere 1 elemento (= D(n, 1));
(2)
=
1
1!(n − 1)!
n!
n
(3)
=
= 1, ovvero unico modo per scegliere tutto;
n
n!(n − n)!
n!
n!
n
n
n
(4)
=
infatti
=
=
uno è
k
n−k
n−k
(n − k)!(n − (n − k))!
(n − k)!k!
scegliere k elementi tra n, l’altro scegliere n − k elementi tra n.
n+1
n
n
(5)
=
+
.
k
k
k−1
Osservazione 34. La Proprietà (4) dipende dal fatto che scegliendo un sottoinsieme
di k elementi in un insieme con n elementi, univocamente è determinato il suo compelmentare, ovvero un sottoinsieme con n − k elementi. Quindi possiamo scegliere tanti
sottoinsiemi di cardinalità k tante quante sono le scelte per i complementari, ovvero
tanti quanti sono i sottoinsiemi di cardinalità n − k.
n+1
n
n
Esercizio 30. Dimostrare che ∀k ≤ n si ha
=
+
.
k
k
k−1
A cosa possono servire i coefficienti binomiali? Perché si chiamano coefficienti binomiali?
I coefficenti binomiali sono i coefficienti della formula dello sviluppo delle potenze di
un binomio.
Formula di Newton: Per ogni n ≥ 0 si ha
n X
n k n−k
n
(x + y) =
x y
.
k
k=0
Ricordiamo che (x + y)n = (x + y) · · · (x + y) moltiplicato n volte. Ogni termine
prodotto di n fattori scelti tra x e y. Se scegliamo x allora non scegliamo y, quindi se x
compare k volte, allora y compare n − k volte.
Quindi quale è il coefficiente di xk y n−k ? Basta scegliere k volte la x (poi la y per forza
scelta n − k volte).
Quindi quanti sono i possibili modi di scegliere la x, quando non importa
l’ordine?
n
Esattamente il numero di modi di scegliere k elementi tra n. Ovvero
.
k
Usiamo i coefficenti binomiali per dare una seconda dimostrazione della cardinalità
dell’insieme delle parti di un insieme finito.
Proposizione 8. Sia A un insieme finito con |A| = n, allora |P(A)| = 2n .
APPUNTI DELLE LEZIONI DI MATEMATICA DISCRETA
43
Dimostrazione. (Seconda dimostrazione). Per definizione P(A) è l’insieme dei
sottoinsiemi di A. Allora
n n X
X
n
n k n−k
|P(A)| =
=
1 1
= (1 + 1)n = 2n .
k
k
k=0
k=0
n
Infatti il numero
è il numero dei sottoinsiemi di cardinalità k in un insieme con
k
n elementi. Sommando tutti i coefficienti binomiali da k = 0 fino ad n, otteniamo il
numero dei sottoinsiemi di A.
Triangolo di Tartaglia. Nel Triangolo di Tartaglia organizziamo i coefficienti binomiali per ottenere i coefficienti delle potenze di un binomio usando la formula di Newton.
Usando la Proprietà (5) ogni coefficiente è somma di quello sopra e quello a sinistra.
k = 0k = 1k = 2k = 3k = 4
n=0
1
n=1
1
1
n=2
1
2
1
n=3
1
3
3
1
n=4
1
4
6
4
n = 5 ···
1
···
9.2. Caso 2) Scegliere k elementi con ripetizione in un insieme con n elementi.
Sia A un insieme finito con n elementi.
Obiettivo: Studiare come si possono scegliere k elementi.
Nella Sezione 9.1 abbiamo analizzato la scelta di k elementi distinti, ovvero senza
ripetizioni, in un insieme di ordine n. Assunzione fondamentale: k ≤ n.
Ora siamo interessati al Caso 2) Scegliere k elementi anche con ripetizione in un
insieme finito di ordine n.
Osservazione 35. Non serve più l’ipotesi k ≤ n. Poiché possiamo avere ripetizioni possiamo anche scegliere sempre uno stesso elemento e quindi k può anche essere maggiore
di n.
Quindi vogliamo rispondere alla domanda:
Caso 2): In quanti modi possiamo scegliere k elementi (anche con ripetizione) in un
insieme di ordine n?
Anche in questo Caso 2) esistono due sottocasi:
i) Scegliere k elementi con ripetizione ordine è importante: “disposizione con ripetizione di n oggetti di classe k”.
ii) Scegliere k elementi con ripetizione ordine non è importante: “combinazione con
ripetizione di n oggetti di classe k”.
44
DONATELLA IACONO
9.2.1. Caso 2) i): Disposizioni con ripetizioni di n oggetti di classe k. In un insieme con
n elementi, quanti sono i modi distinti per scegliere k elementi ricordandoci l’ordine?
Possiamo scegliere il primo elemento in n modi, anche per il secondo abbiamo n scelte
(non richiediamo più che sia diverso dal primo elemento scelto), anche per il terzo
abbiamo n scelte e cosi via. Quindi abbiamo
n · n · · · n = nk .
Esercizio 31. Quante targhe esistono della forma
LL N N N LL
dove N ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} e L appartiene all’alfabeto inglese senza I e O? 24 · 24 ·
9 · 9 · 9 · 24 · 24 = 244 · 93 .
Infatti, dobbiamo scegliere con ripetizione k = 4 lettere tra le n = 24 e k = 3 numeri
tra le n = 9 cifre.
Quante senza lettera straniere? al posto di 24 mettiamo 21-2=19.
Quante con almeno una lettera straniera? Sono tutte tranne quelle senza lettera
straniera.
Osservazione 36. Il numero nk è il numero delle funzioni f : A → B da un insieme A
ad un insieme B, dove |A| = k e |B| = n.
Infatti per il primo elemento abbiamo n scelte possibili per fissare l’ immagine in B,
dato che |B| = n. Per il secondo anche n scelte (non richiediamo iniettività) e cosi via
per tutti i k elementi di A. Ovvero, in tutto abbiamo nk scelte.
Esercizio 32. Calcolare il numero delle funzioni tra A = {x, y} e B = {1, 2, 3}.
Dobbiamo scegliere le immagini degli elementi x e y. Per ognuno abbiamo 3 scelte
quindi, 32 = 9.
Quante sono suriettive? (nessuna)
Quante iniettive? D(n, k) = D(3, 2) = 6
Esercizio 33. Calcolare il numero delle funzioni da A = {1, 2, 3} a B = {x, y}, e
scriverle esplicitamente.
Definizione 38. Sia A0 un sottoinsieme di un insieme A. La funzione caratteristica del
sottoinsieme A0 è la funzione
0 se a 6∈ A0
χA0 : A → {0, 1}
χA0 (a) =
1 se a ∈ A0 .
Quindi χA0 −1 (1) = A0 , χA0 −1 (0) = CA (A0 ).
Esercizio 34. Consideriamo A = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, l} e A0 = {f, g, h}. Determinare
χA 0 .
Osservazione 37. Siano A0 e A00 due sottoinsiemi di A, allora
A0 = A00 ⇐⇒ χA0 = χA00 : A → {0, 1}
−1
Infatti se le funzioni coincidono allora χA0 = χA00 implica che A0 = χ−1
A0 (1) = χA00 (1) =
0
Viceversa se i due insiemi coincidono allora χA0 (a) = 1 se e solo se a ∈ A se e solo
se a ∈ A00 se e solo se χA00 (a) = 1
A00 .
Proposizione 9. Sia A un insieme finito con |A| = n, allora |P(A)| = 2n .
Dimostrazione. (Terza dimostrazione). Per definizione P(A) è l’insieme dei sottoinsiemi di A. Sia B = {0, 1}. Quante sono le funzioni tra A e B? Esattamente 2n .
Vogliamo far vedere che P(A) è in corrispondenza biunivoca con l’insieme {f : A →
B = {0, 1}}. Ovvero esiste una funzione biettiva tra i due insiemi e questo implica che
hanno la stessa cardinalità.
APPUNTI DELLE LEZIONI DI MATEMATICA DISCRETA
45
Sia
g : P(A) → {f : A → B = {0, 1}}
∀ A0 ⊂ A
g(A0 ) = χA0 .
Allora g è una funzione. Inoltre, la funzione g è iniettiva: se g(A0 ) = g(A00 ) allora χA0 = χA00 quindi le funzioni caratteristiche coincidono e allora A0 = A00 per
l’Osservazione 37. Infine, dimsotriamo che g è suriettiva.
Per ogni funzione f : A → B = {0, 1} consideriamo f −1 (1). Questo è un sottoinsieme
di A. Gli elementi di C = f −1 (1) sono tutti e soli quelli la cui immagine è 1. Allora
f = χC , ovvero g(C) = χC = f .
Quindi |P(A)| = |{f : A → B = {0, 1}}| = 2n .
Esercizio 35. Estrazione con reimbussolamento. Abbiamo 15 palline, ne dobbiamo
estrarre 4, l’ordine è importante, con reimbussolamento. Quante scelte distinte abbiamo?
15 · 15 · 15 · 15 = 154 .
Osservazione 38. Possiamo chiederci a cosa serve questo numero e se ha applicazioni
nel campo dell’Informatica. Un esempio semplicissimo ci fa vedere che lo usiamo quotidianamente. Infatti, supponiamo che abbiamo un cellulare con un pin numerico di 4
cifre. Quanti sono i pin possibili? Ogni cifra può essere scelta tra 0 e 9 e quindi abbiamo
10 scelte. Quindi in tutto abbiamo 10 · 10 · 10 · 10 = 104 pin possibili. (Chiaramente
l’ordine è importante).
9.2.2. Caso 2) ii): Combinazioni con ripetizioni di n oggetti di classe k. In quanti modi
si possono scegliere k elementi in un insieme con n oggetti, ammettendo anche ripetizioni
e ordine non importante? In tal caso, abbiamo
(n + k − 1)!
n+k−1
.
=
k
k!(n − 1)!
In questo caso l’ordine non è importante quindi consideriamo uguali, le k-ple con gli
stessi elementi anche in ordine diverso.
La dimostrazione si trova su i testi consiglaiti per il corso.
Esempio 131. Calcolare il numero di combinazioni con ripetizione (no ordine) di
lunghezza 5 delle lettere a e b. Ovvero A = {a, b} n = 2 e k = 5, quindi:
6!
2+5−1
=
= 6.
5
5!1!
Queste sono aaaaa, aaaab, aaabb, aabbb, abbbb, bbbbb.
Esempio 132. Calcolare il numero di combinazioni con ripetizione (no ordine) di
lunghezza 6 in A = {1, 2, 3, 4, 5} n = 5 e k = 6, quindi:
11!
11 · 10 · 9 · 8 · 7 · 6!
11!
5+6−1
=
=
= 11 · 3 · 2 · 7.
=
6
6!5!
6!5 · 4 · 3 · 2
5!
Esempio 133. In quanti modi possiamo scrivere il numero 5 come somma di 2 numeri?
Quindi a, b ∈ N e a + b = 5.
Svolto a lezione.
Esempio 134. In quanti modi possiamo scrivere il numero 35 come somma di 5 numeri
strettamente positivi? Quindi a, b, c, d, e ∈ N∗ e a + b + c + d + e = 35.
La richiesta equivale a dire a, b, c, d, e ∈ N e a + b + c + d + e = 30 (abbiamo sottratto
1 ad ogni fattore e incluso gli zeri).
Svolto a lezione.
Esercizio 36. In quanti modi possiamo scrivere il numero 40 come somma di 4 numeri
strettamente positivi?
46
DONATELLA IACONO
10. Relazioni
Definizione 39. Dati A e B insiemi non vuoti. Una relazione (binaria) R dall’insieme
A all’insieme B è un sottoinsieme del prodotto cartesiano di A × B. Nel caso A = B,
R ⊆ A × A e si dice relazione sull’insieme A.
Quindi R ⊆ A × B è un sottoinsieme, ovvero è costituito da coppie ordinate (a, b) ∈
A × B. Oltre alla notazione (a, b) ∈ R useremo piu spesso la notazione aRb e diremo a
è in relazione con b (oppure a è associato a b nella relazione R).
Osservazione 39. (a, b) 6= (b, a) poiché coppia ordinata, quindi dire aRb non è uguale
a dire bRa.
Esempio 135. A = {s, t, r, x, v} e B = {5, 6, 7, 8}. Sia R ⊆ A × B con
R = {(s, 6), (s, 5), (t, 7), (r, 6), (x, 7), (x, 5)}
R è sottoinsieme di A × B ? si, quindi definisce una relazione e abbiamo
sR6, sR5, tR7, rR6, xR7, xR5
In tal caso, non ha senso ad esempio dire 6Rs.
Esempio 136. Siano A = insieme studenti in questa aula
B = inseme dei giorni dell’anno.
A × B = {(studente, giorno)}
La relazione:
aRb se b è il giorno in cui a ha preso la patente di guida.
Quindi se a ∈ A esiste al più un b (giorno) in B con aRb.
Ma ad esempio non tutti gli studenti hanno la patente, quindi esistono anche elementi
di A che non sono in relazione con alcun elemento di B.
Esempio 137. A = B = Q. Sia R ⊆ Q × Q definita da
∀ a, b ∈ Q
aRb ⇐⇒ 2b − 6a = 4
Quindi
R = {(a, b) ∈ Q × Q | 2b − 6a = 4}
Osserviamo 2b = (4 + 6a), quindi b = 2 + 3a.
Ad esempio (0, 2), (1, 2), (−3, −7).
Inoltre, possiamo chiedere 9 è in relazione con 11? ovvero (9, 11) ∈ R ? 2∗11−6∗9 6= 4,
allora (9, 11) 6∈ R ovvero 9 6 R11.
Esempio 138. A = B = R. Sia R ⊆ R × R definita da
∀ a, b ∈ R
aRb ⇐⇒ a = b2 + 3
Quindi
R = {(a, b) ∈ R × R | a = b2 + 3}
Possiamo fissare b e trovare a. √
Ad esempio (4, 1), (4, −1), (5, 2) ∈ R.
Esempio, 0 è in relazione con qualcosa? Ovvero esiste b con (0, b) ∈ R ? No, ma
(3, 0) ∈ R, ovvero 3R0.
Osservazione 40. Ogni sottoinsieme di A × B è una relazione da A a B. (Quindi
possiamo anche calcolare quante sono le relazione distinte da A a B).
In particolare R = ∅ è detto relazione vuota (nessun elemento di A è in relazione con
un elemento di B).
R = A×B è detta relazione totale, ogni elemento di A è in relazione con ogni elemento
di B.
Se A=B. Allora possiamo considerare la relazione R = {(x, x) ∈ A × A}. R è la
relazione identica o relazione di uguaglianza su A.
APPUNTI DELLE LEZIONI DI MATEMATICA DISCRETA
47
Esempio 139. Sia f : A → B una funzione. Possiamo definire una relazione R su A,
ovvero R ⊂ A × A definita da
R = {(a, a0 ) ∈ A × A | f (a) = f (a0 )}
ovvero aRa0 ⇐⇒ f (a) = f (a0 ).
Esempio 140. Sia f : Z → Z definita ∀x ∈ Z f (x) = x2 + 4. Allora f (a) = f (a0 ) se e
solo se a = ±a0 (convincersi!). Quindi, ad esempio abbiamo 2R2 e 2R − 2 3R − 3, 0R0,
1 6 R0, 3 6 R − 2, 1 6 R5.
Osservazione 41. Se f è iniettiva allora, si può avere solo aRa, ovvero R è la relazione
identica.
Esempio 141. (Relazione associata ad una funzione) Sia f : A → B, la relazione
associata ad f si indica con Rf ⊂ A × B ed è definita da
Rf = {(a, b) ∈ A × B | f (a) = b} = {(a, f (a)) ∈ A × B}.
Notiamo che f funzione quindi per ogni a in A esiste unico b in B tale che aRb. Notiamo
che Rf = Γf , dove Γf è il grafico della funzione f (Definizione 24).
Esempio 142. f : Q → Q tale che ∀a ∈ Q,
f (a) = 3a − 2
aRb ⇐⇒ b = 3a − 2
Quindi
R = {(a, b) ∈ Q × Q | b = 3a − 2} = {(a, 3a − 2) ∈ Q × Q}
Osservazione 42. Data una funzione f : A → B, questa definisce una relazione da A
a B. Il viceversa non è vero. Non tutte le relazioni sono funzioni.
Esempio 143. Alcuni esempi di prima sono relazioni ma non funzioni (“o non è vero
per ogni a in A oppure a in relazione con più elementi ”).
Introduciamo nelle prossime sezioni due classi importanti di relazioni su un insieme
A non vuoto, quindi R ⊆ A × A.
11. Relazioni d’ordine
In questa sezione introduciamo una classe importanti di relazioni: le relazioni d’ordine
definite su un insieme A non vuoto, quindi R ⊆ A × A.
Definizione 40. (ORDINE PARZIALE) Una relazione R definita su un insieme A non
vuoto si dice relazione d’ordine parziale se verifica le seguenti proprietà
(1) Proprietà RIFLESSIVA:
∀a ∈ A allora aRa.
(2) Proprietà ANTISIMMETRICA:
(3) Proprietà TRANSITIVA:
∀a, b ∈ A se aRb e bRa allora a = b.
∀a, b, c ∈ A se ha aRb e bRc allora aRc.
Osservazione 43. Una relazione di ordine parziale si denota spesso col simbolo ≤.
Osservazione 44. Poiché R ⊆ A × A, hanno senso le condizioni: possiamo scambiare
i due termini e chiederci sia se aRb che bRa.
Osservazione 45. Una relazione R su A:
(1) Per non essere riflessiva, basta che ∃a ∈ A tale che (a, a) 6∈ R, ovvero a 6 Ra;
(2) Per non essere antisimmetrica, basta che ∃a, b ∈ A tale che aRb e bRa e a 6= b;
48
DONATELLA IACONO
(3) Per non essere transitiva, basta che ∃a, b, c ∈ A tale che aRb e bRc ma a 6 Rc;
Esempio 144. Sia A = {s, t, r, x, v} . Sia R ⊆ A × A con
R = {(s, s), (s, t), (t, t), (r, r), (x, t), (t, s), (t, v)}
R è sottoinsieme di A × A ? Si, quindi definisce una relazione.
(Sketch) Ci chiediamo è RIFL? ANTISIM? TRANSI? Relazione d’ordine?
Prima cosa: è RIFLE?
È vero che ∀a ∈ A si ha aRa? se si è riflessiva, altrimenti no.
(v, v) 6∈ R quindi non riflessiva.
È antisim? No, perchè (s, t), (t, s) ∈ R ma s 6= t.
È transitiva? No perchè xRt, tRv ma x 6 Rv.
Esempio 145. Sia A = N numeri naturali. Sia R :=≤ ovvero
∀ a, b ∈ N aRb ⇐⇒ ∃x ∈ N tale che b = a + x
(b più grande di a, ovvero a ≤ b).
Ad esempio 3 ≤ 5, 6 ≤ 12,13 ≤ 25 e 5 6≤ 2, 3 6≤ 2.
(Sketch) Ci chiediamo è RIFL? ANTISIM? TRANSI? È una relazione d’ordine?
Prima cosa: è RIFLE?
È vero che ∀a ∈ N si ha a ≤ a? Se si è riflessiva, altrimenti no.
Per definizione:
aRa ⇐⇒ ∃x ∈ N tale che a = a + x.
Si Riflessiva, basta prendere x = 0 ∈ N.
È antisimmetrica? Ci chiediamo è vero che: ∀a, b ∈ A se aRb e bRa allora a = b ?
Allora aRb quindi esiste x ∈ N tale che b = a + x,
inoltre bRa quindi esiste y ∈ N tale a = b + y.
Quindi b = a + x = b + x + y ovvero 0 = x + y ovvero x = y = 0 (siamo in N!).
Quindi è antisimmetrica (chiaro: se a ≤ b e b ≤ a allora a = b).
È transitiva? Ci chiediamo è vero che: ∀a, b, c ∈ A se ha aRb e bRc allora aRc?
Allora aRb implica che esiste x ∈ N tale che b = a + x;
bRc implica che esiste y ∈ N tale che c = b + y;
Ci chiediamo è vero che aRc? Questo è vero se e solo se esiste z ∈ N con c = z + a.
Allora c = b + y = a + x + y, quindi si esiste z = x + y ∈ N.
(Chiaro: se a ≤ b e b ≤ c allora a ≤ c.)
Esempio 146. Sia A un insieme finito, consideriamo l’insieme delle parti di A: P(A).
Definiamo una relazione su P(A), ovvero R ⊆ P(A) × P(A).
∀X, Y ∈ P(A)
XRY ⇐⇒ X ⊆ Y
ovvero R = {(X, Y ) ∈ P(A) × P(A) | X ⊆ Y }, R =⊆ è la relazione di inlcusione.
(Sketch)
Ci chiediamo è RIFL? ANTISIM? TRANSI? relazione d’ordine?
Prima cosa: è RIFLE?
È vero che ∀X ∈ P(A) si ha XRX? Se si è riflessiva, altrimenti no.
Vero, ∀X ∈ P(A) si ha X ⊆ X.
È antisim? Ci chiediamo è vero che:
∀X, Y ∈ P(A) se XRY e Y RX allora
X=Y ?
Allora XRY quindi X ⊆ Y ; Y RX quindi Y ⊆ X ma allora X = Y .
Quindi è antisimmetrica.
Infine, è transitiva? ci chiediamo è vero che: ∀X, Y, Z ∈ P(A) se XRY e Y RZ allora
X ⊆ Z?
X ⊆ Y e Y ⊆ Z implica X ⊆ Y ⊆ Z quindi X ⊆ Z.
Quindi è transitiva. Pertanto è una relazione di ordine parziale.
APPUNTI DELLE LEZIONI DI MATEMATICA DISCRETA
49
Definizione 41. (PARZIALMENTE ORDINATO) Un insieme A si dice parzialmente
ordinato se è definita su A una relazione R di ordine parziale. In tal caso, scriveremo
(A, R) o (A, ≤) è un insieme parzialmente ordinato.
Esempio 147. Esempi (N, ≤) e (P(A), ⊆).
Definizione 42. (CONFRONTABILI) Sia (A, R) un insieme parzialmente ordinato.
Due elementi a e b di A sono confrontabili se aRb oppure bRa.
Osservazione 46. Nella definizione di relazione d’ordine non richiediamo che presi
comunque due elementi a e b essi siano confrontabili.
Definizione 43. (TOTALMENTE ORDINATO) Un insieme A si dice totalmente ordinato se è parzialmente ordinato ed ogni coppia di elementi è confrontabile (ovvero presi
comunque due elementi a, b ∈ A, si ha che aRb o bRa).
Esempio 148. (N, ≤) è totalmente ordinato. Infatti, presi a, b ∈ N, si ha che a ≤ b o
b ≤ a. (Infatti, ∃ x ∈ N tale che b = a + x oppure ∃ y ∈ N tale che a = b + y).
Esempio 149. (P(A), ⊆) non è in generale totalmente ordinato (se A ha un elemeno
ok). Infatti, in generale non è vero che presi comunque due sottoinsiemi X e Y di A, si
ha che X ⊆ Y oppure Y ⊆ X.
Esempio 150. A = {a, b, c}, allora P(A) = {∅, A, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}}.
Allora ad esempio: {a, b} e {c} non sono confrontabili.
12. Relazioni di equivalenza
In questa sezione introduciamo una classe importanti di relazioni: le relazioni di
equivalenza definite su un insieme A non vuoto, quindi R ⊆ A × A.
Definizione 44. Una relazione R definita su un insieme A si dice relazione d’EQUIVALENZA
se verifica le seguenti proprietà
(1) Proprietà RIFLESSIVA:
∀a ∈ A allora aRa.
(2) Proprietà SIMMETRICA:
(3) Proprietà TRANSITIVA:
∀a, b ∈ A se aRb allora bRa.
∀a, b, c ∈ A se ha aRb e bRc allora aRc.
Definizione 45. Sia R una relazione di equivalenza su un insieme A. Se due elementi
a e b in A sono tali che aRb allora si dice che a è equivalente a b.
Osservazione 47. Una relazione R su A:
Per non essere simmetrica, basta che ∃a, b ∈ A tale che aRb ma b 6 Ra.
Vediamo esempi di prima:
Esempio 151. Sia A = {s, t, r, x, v}. Sia R ⊆ A × A con
R = {(s, s), (s, t), (t, t), (r, r), (x, t), (t, s), (t, v)}
Non è di equivalenza. Non è simmetrica perché (x, t) ∈ R ma (t, x) 6∈ R.
Esempio 152. Sia A = N numeri naturali. Sia R :=≤ ovvero
∀ a, b ∈ N
aRb ⇐⇒ ∃x ∈ N tale che b = a + x
Ci chiediamo se è simmetrica: è vero che
∀a, b ∈ A se aRb allora bRa. Se aRb vuol
dire a ≤ b, ma questo non implica b ≤ a. Esempio: 3R5 dato che 3 ≤ 5, ma 5 6≤ 3 non
è simmetrica.
50
DONATELLA IACONO
Esempio 153. Sia A un insieme finito, consideriamo l’insieme delle parti di A: P(A).
Definiamo una relazione su P(A), ovvero R ⊆ P(A) × P(A)
∀X, Y ∈ P(A)
XRY ⇐⇒ X ⊆ Y
è simmetrica? No. Se XRY allora X ⊆ Y e questo non implica Y ⊆ X.
Esempio 154. Sia A = {x, y, z} . Sia R ⊆ A × A con
R = {(x, x), (y, y), (z, z), (x, z), (z, x)}
Stabilire se è riflessiva, è simmmetrica ed è transitiva.
Esempio 155. Sia R la relazione totale su un insieme A (Osservazione 40), allora è
riflessiva, simmetrica, transitiva.
Esercizio 37. Sia A un insieme. La relazione di uguaglianza su A è una relazione di
equivalenza (Osservazione 40. Dove
∀ a, b ∈ A
aRb ⇐⇒ a = b
Esercizio 38. Sia A = { insieme delle rette nel piano }. Definiamo la relazione
∀ a, b ∈ A
aRb ⇐⇒ a è parallela a b : a//b
Determinare se la relazione è riflessiva, simmetrica, transitiva, antisimmetrica, d’equivalenza,
d’ordine.
(Sketch della soluzione)
È riflessiva?
∀a ∈ A si ha aRa?
Per ogni retta r ∈ A, si ha r//r? si.
È SIMMETRICA? È vero che
∀a, b ∈ A se aRb allora bRa? È vero che ∀r, s ∈ A
se r//s allora s//r? Si. Quindi è simmetrica.
È TRANSITIVA? È vero che
∀a, b, c ∈ A se aRb e bRc allora aRc?
Se r//s e s//t allora r//t. Si. (Considerando le direzioni delle rette: dr = ds e ds = dt
allora dr = dt ). Quindi R = // è una relazione di equivalenza.
È antisimmetrica?
∀a, b ∈ A se aRb e bRa allora a = b se r//s è simmetrica
quindi vero s//r ma non è vero che s = r esistono rette parallele ma non coincidenti.
13. Classi di equivalenza e Insieme quoziente
Abbiamo definito le relazioni di equivalenza su un insieme A 6= ∅.
Definizione 46. Una relazione R definita su un insieme A non vuoto si dice relazione
d’EQUIVALENZA se verifica le seguenti proprietà
(1) Proprietà RIFLESSIVA:
∀a ∈ A si ha aRa.
(2) Proprietà SIMMETRICA:
(3) Proprietà TRANSITIVA:
∀a, b ∈ A se aRb allora bRa.
∀a, b, c ∈ A se ha aRb e bRc allora aRc.
Inoltre abbiamo detto che se aRb si dice a è equivalente a b (e viceversa vista la
simmetria).
Definizione 47. (CLASSE di EQUIVALENZA) Sia R una relazione d’equivalenza
sull’insieme A. Si definisce classe di equivalenza modulo R di un elemento a ∈ A
l’insieme di tutti gli elementi di A che sono equivalenti ad a. Si denota con [a]R (oppure
solo [a] quando è chiaro chi sia R), ovvero
[a]R = {x ∈ A | aRx} = {x ∈ A | xRa} = {x ∈ A | (a, x) ∈ R} = {x ∈ A | (x, a) ∈ R}
dato che R è simmetrica.
APPUNTI DELLE LEZIONI DI MATEMATICA DISCRETA
51
Osservazione 48. Tutti gli elementi di una classe di equivalenza sono tutti equivalenti
fra loro.
Osservazione 49. Per la proprietà riflessiva aRa ovvero a ∈ [a]R (SEMPRE), ovvero
∀a ∈ A si ha che [a]R 6= ∅ ovvero le classi di equivalenza non sono mai vuote.
Esempio 156. Si consideri un insieme non vuoto A con R relazione identica su A.
Allora R è di equivalenza e
[a]R = {x ∈ A | aRx} = {a}.
Esempio 157. Si consideri un insieme non vuoto A con R relazione totale su A, ovvero
R = A × A. Allora R è di equivalenza e
[a]R = {x ∈ A | aRx} = A
Esempio 158. A= insieme delle rette del piano con R relazione di parallelismo. Allora
R è di equivalenza e
[a]R = {x ∈ A | aRx} = { rette parallele ad a}.
Teorema 4. Sia R una relazione di equivalenza su un insieme non vuoto. Allora
(1) ∀a ∈ A si ha a ∈ [a]R ;
(2) ∀a, b ∈ A: aRb ⇐⇒ [a]R = [b]R ;
(3) ∀a, b ∈ A: [b]R 6= [a]R ⇐⇒ [a]R ∩ [b]R = ∅.
Osservazione 50. 1) Già vista nell’Osservazione 49: ogni elemento appartiene alla sua
classe di equivalenza.
2) Se a è equivalente a b allora a e b hanno la stessa classe di equivalenza, ovvero una
classe di equivalenza è determinata da un suo qualsiasi elemento.
3) Se le classi sono diverse allora le classi sono disgiunte, ovvero classi distinte non
hanno alcun elemento in comune.
Quindi le classi di equivalenza o coincidono o sono disgiunte.
Dimostrazione. 1) Per la proprietà riflessiva: ∀a ∈ A si ha aRa e quindi a ∈ [a]R .
2) Dimostriamo (⇐=) : ∀a, b ∈ A
se [a]R = [b]R =⇒ aRb.
Se [a]R = [b]R per la 1) a ∈ [a]R . Allora a ∈ [a]R = [b]R ovvero a ∈ [b]R e quindi
aRb.
Viceversa dimostriamo (=⇒) : ∀a, b ∈ A
aRb =⇒ [a]R = [b]R
Se aRb bisogna dimostrare una uguaglianza di insiemi [a]R = [b]R ovvero la doppia
inclusione [a]R ⊆ [b]R e [b]R ⊆ [a]R .
Sia x ∈ [a]R allora xRa per ipotesi aRb e quindi per la transitività xRb ovvero
x ∈ [b]R quindi [a]R ⊆ [b]R .
Viceversa se x ∈ [b]R allora xRb, per ipotesi aRb e quindi per simmetria bRa.
Applichiamo la transitività e otteniamo xRa ovvero x ∈ [a]R quindi [b]R ⊆ [a]R .
3) ∀a, b ∈ A: [b]R 6= [a]R ⇐⇒ [a]R ∩ [b]R = ∅
Dimostriamo (=⇒) : Se [b]R 6= [a]R allora [a]R ∩ [b]R = ∅. Supponiamo per assurdo
[a]R ∩ [b]R 6= ∅ allora esiste x ∈ A con x ∈ [a]R ∩ [b]R allora x ∈ [a]R e x ∈ [b]R . Quindi
xRa e xRb. Per la simmetria abbiamo aRx e xRb. Per la transitività otteniamo aRb.
Quindi per 2) [b]R = [a]R . Assurdo.
Viceversa, dimostriamo (⇐=) : [a]R ∩ [b]R = ∅ =⇒ [b]R 6= [a]R
Per assurdo, se [b]R = [a]R . Allora b ∈ [b]R = [a]R e quindi b ∈ [a]R ∩ [b]R 6= ∅.
Assurdo.
52
DONATELLA IACONO
Esempio 159. A = {insieme rette del piano } e R la relazione di parallelismo che è di
equivalenza. La classe di equivalenza di una retta a, è l’insieme di tutte le rette parallele
alla retta a.
Ogni retta parallela a è parallela a se stessa e quindi appartiene alla sua classe di
equivalenza.
Se due rette sono parallele allora gli insiemi delle rette parallele all’una o all’altra
coincidono.
Se due rette non sono parallele allora non esistono rette che sono parallele ad entrambe.
Definizione 48. (PARTIZIONE) Sia A un insieme non vuoto. Una partizione dell’insieme
A è una collezione di sottoinsiemi {Ai }i∈I dove I è un insieme di indici tali che
(1) Ogni sottoinsieme è non vuoto: ∀i ∈ I
Ai 6= ∅
(2) Gli insiemi sono disgiunti tra loro ∀i 6= j
(3) Gli insiemi ricoprono A ovvero:
S
i∈I
Ai ∩ Aj = ∅.
Ai = A.
In altre parole ogni elemento di A appartiene ad un unico sottoinsieme della partizione.
Gli insieme Ai sono detti elementi della partizione.
S
Esempio 160. A = N, A1 = { numeri pari }, A2 = { numeri dispari }. N = A1 A2 e
A1 6= ∅, A2 6= ∅ e A1 ∩ A2 = ∅.
S
S
Esempio 161. A = N, Ai = {i}, I = N allora N = i∈N Ai = i∈N {i}
Come sono legate le partizioni alle relazioni di equivalenza?
Teorema 5. Sia R una relazione di equivalenza su un insieme A non vuoto. Le classi
di equivalenza di R costituiscono una partizione di A.
Osservazione 51. Il teorema dice che ogni relazione di equivalenza su A determina
una partizione di A i cui elementi sono le classi di equivalenza. È vero il viceversa?
Teorema 6. Ogni partizione di un insieme A determina una relazione di equivalenza
R su A le cui classi di equivalenza sono gli elementi della partizione considerata.
Definizione 49. (INSIEME QUOZIENTE) Sia R una relazione di equivalenza su un
insieme A non vuoto. Si definisce l’insieme quoziente di A rispetto a R, e si indica con
A/R l’insieme
A/R = {[a]R | a ∈ A} = { classi di equivalenza }
(Si deve prendere un rappresentante per ogni classe di equivalenza, ovvero elementi
che non sono equivalenti tra loro. Infatti se due elementi sono equivalenti, allora stessa
classe di equivalenza, quindi rappresentano lo stesso elemento nell’insieme quoziente, e
quindi non lo scriviamo due volte.)
Osservazione 52. Elementi equivalenti in A sono uguali in A/R.
Esercizio 39. A = {1, 3, 4, 5, 7, 8, 9} definiamo la relazione R su A
∀ a, b ∈ A
aRb ⇐⇒ a − b pari
Scrivere tutti gli elementi della relazione R dire se è riflessiva, simmetrica, transitiva,
d’equivalena e se si calcolare l’insieme quoziente.
1R1
3R1
1R3
3R3
1R5
3R5
4R4
1R7
3R7
4R8
1R9
3R9
APPUNTI DELLE LEZIONI DI MATEMATICA DISCRETA
5R1
7R1
5R3
7R3
5R5
7R5
8R4
5R7
7R7
53
5R9
7R9
8R8
9R1
9R3
9R5
9R7
9R9
Quindi i numeri dispari sono in relazione tra loro e i numeri pari sono in relazione fra
loro. È riflessiva? Si. È simmetrica? Si. È transitiva? Si. Pertanto, R è una relazione
di equivalenza. Classi di equivalenza
[1]R = {x ∈ A | 1Rx} = {1, 5, 3, 7, 9} = [3]R = [5]R = [7]R = [9]R
[8]R = {x ∈ A | 8Rx} = {4, 8} = [4]R = [8]R
quindi B/R = {[8]R , [5]R }, oppure B/R = {[4]R , [5]R } = {[7]R , [8]R }.
Esercizio 40. Si consideri la relazione su A = Z
∀ a, b ∈ Z aRb ⇐⇒ a − b pari.
Stabilire se si tratta di una relazione di equivalenza, d’ordine, d’ordine totale. Se si
tratta di una relazione di equivalenza stabilire le classi di 0 e 2,1,-2. Descrivere l’insieme
quoziente.
Esempio 162. A insieme R relazione identica su A ∀ a ∈ A si ha aRa Allora [a]R = {a}.
Quindi A/R = A.
Esempio 163. A insieme R relazione totale su A ∀ a, b ∈ A si ha aRb. Allora [a]R = A,
per ogni ∀ a ∈ A. Quindi A/R = {[a]R } ha un unico elemento.
Esercizio 41. Sia fissato n ∈ N e definiamo la relazione su A = Z
∀ a, b ∈ Z aRb ⇐⇒ ∃k ∈ Z tale che a − b = kn
ovvero a − b multiplo di n.
Stabilire se si tratta di una relazione di equivalenza, d’ordine, d’ordine totale. Se si
tratta di una relazione di equivalenza stabilire le classi di 0 e 1 e determinare insieme
quoziente.
(SVOLTO A LEZIONE)
Esercizio 42. Si consideri la relazione su A = Z
∀ a, b ∈ Z aRb ⇐⇒ ∃k ∈ Z tale che 3a + 8b = 11k
Stabilire se si tratta di una relazione di equivalenza, d’ordine, d’ordine totale. Se si
tratta di una relazione di equivalenza stabilire le classi di 0 e 1.
54
DONATELLA IACONO
14. I Numeri Interi
Sappiamo
N = {0, 1, 2, 3, . . .}
∀a, b ∈ N, si ha a + b ∈ N e a · b ∈ N
Se vogliamo però risolvere x+a = 0, (tipo x+3=0) allora c = −a 6∈ N se a 6= 0. Quindi
l’equazione non ammette soluzioni in N. Dobbiamo estendere l’insieme! Consideriamo
Z = {0, 1, −1, 2, −2, 3, −3, . . .}
Su Z abbiamo somma + e una moltiplicazione · che soddisfano le seguenti proprietà
(1) (proprietà commutativa di +) ∀a, b ∈ Z a + b = b + a;
(2) (proprietà associativa di +) ∀a, b, c ∈ Z (a + b) + c = a + (b + c);
(3) (esistenza elemento neutro di +) ∃!0 ∈ Z tale che a + 0 = 0 + a = a ∀a ∈ Z
(4) (esistenza opposto) ∀a ∈ Z ∃! − a ∈ Z tale che a + (−a) = (−a) + a = 0 (non
vera in N)
(5) (proprietà commutativa di ·) ∀a, b ∈ Z a · b = b · a;
(6) (proprietà associativa di ·) ∀a, b, c ∈ Z (a · b) · c = a · (b · c);
(7) (esistenza elemento neutro di ·) ∃!1 ∈ Z tale che a · 1 = 1 · a = a ∀a ∈ Z
(8) (proprietà distributive del prodotto rispetto alla somma e della somma rispetto
al prodotto) ∀a, b, c ∈ Z (a + b) · c = a · c + b · c e a · (b + c) = a · b + a · c.
15. Divisione
Definizione 50. Dati a, b ∈ Z diremo che a divide b oppure che a è un divisore di b, e
scriveremo a | b, se esiste un intero c ∈ Z tale che b = a · c. Se a non divide b scriveremo
a 6| b.
Osservazione 53. Se a | b (rispettivamente a 6| b) diremo che b è divisibile per a
(rispettivamente b non è divisibile per a) oppure che b è multiplo di a (rispettivamente
b non è multiplo di a).
Esempio 164. 2 | 100 (100 = 2 · 50), 2 | −60, 5 | 125, 3 6| 100.
Osservazione 54. ∀a ∈ Z e per ogni t ∈ Z si ha che a | ta: ogni numero a divide un
suo multiplo ta.
Osservazione 55. Sia a ∈ Z, se a | 1, allora esiste un intero c ∈ Z tale che 1 = a · c.
Ma siamo in Z quindi o a = c = 1 oppure a = c = −1. Quindi a = ±1. I divisorei di 1
in Z sono solo 1 e −1.
Osservazione 56. Per ogni a ∈ Z si ha a | 0. Infatti, a | 0 se esiste un intero c ∈ Z tale
che 0 = a · c. Basta prendere c = 0.
Osservazione 57. Al contrario 0 | a se esiste un intero c ∈ Z tale che a = 0 · c. È
possibile solo se a = 0.
Osservazione 58. Siano a, b ∈ Z \ {0}. Se a | b e b | a allora a = ±b. In tal caso, a e b
si dicono associati.
Dimostrazione: se a | b allora ∃h ∈ Z tale che b = ha. Se b | a allora ∃t ∈ Z tale che
a = tb.
APPUNTI DELLE LEZIONI DI MATEMATICA DISCRETA
55
Allora b = ha = htb, che implica b − htb = 0. Quindi b(1 − ht) = 0 e poiché b 6= 0,
possiamo concludere 1 − ht = 0, ovvero 1 = ht. Come visto nell’Osservazione 55, questo
implica h = t = 1 oppure h = t = −1, ovvero a = b oppure a = −b.
Osservazione 59. Se a | b allora ∀t ∈ Z si ha at | bt. Infatti, se a | b allora esiste un
intero c ∈ Z tale che b = a · c. allora bt = at · c e quindi at | bt.
Esempio 165. 2 | 4 quindi 200 | 400, infatti 2 · 100 | 4 · 100. Oppure 2 · 25 = 50 | 100 =
4 | 25.
Il prossimo risultato è di fondamentale importanza e lo useremo molto spesso.
Proposizione 10. Siano a, b, c, ∈ Z se c | a e c | b allora ∀x, y, ∈ Z si ha c | xa + yb.
Il numero intero xa + yb è detta combinazione lineare di a e b. (Ovvero se un numero
divide a e b allora divide ogni loro combinazione lineare).
Dimostrazione. Per ipotesi c | a e c | b, allora ∃h ∈ Z tale che a = hc ed ∃t ∈ Z tale
che b = tc. Allora ∀x, y, ∈ Z si ha
ax + by = hcx + tcy = c(hx + ty)
ovvero c | xa + yb.
Teorema 7. Siano a e b interi con b 6= 0. Allora esistono e sono univocamente determinati due interi q ed r tali che
a = bq + r
e 0 ≤ r < |b|
q è detto quoziente, r è detto resto.
Osservazione 60. Sottolineamo che il resto r non è un intero qualsiasi ma deve soddisfare la richiesta: 0 ≤ r < |b|.
Esempio 166. a=36 b=5 allora 36 = 5 · 7 + 1 quindi q = 7 e r = 1.
Dimostrazione. Per i più curiosi la dimostrazione si trova su uno qualunque dei testi
consigliati.
Vediamo negli esempi come funziona.
Esempio 167. Se a = 0, b 6= 0 qualsiasi, allora a = 0 · b + 0. Quindi esistono quoziente
e resto e si ha q = r = 0.
Osservazione 61. Se b | a allora ∃h ∈ Z con a = hb quindi q = h e r = 0.
Esempio 168. Ad esempio a = 100 e b = 20 100 = 20 · 5, quindi q = 5 e r = 0.
Adesso studiamo degli esempi in tutti i casi possibili.
Esempio 169. CASO 1: a ≥ 0, b > 0.
a=73, b=5. 73 = 5 · 14 + 3 quindi q = 14 e r = 3 con 0 ≤ 3 < 5. Divisione come a
scuola, il 5 nel 73, è contenuto 14 volte, resto 3.
Esempio 170. CASO 2: a ≥ 0, b < 0.
a = 111, b = −5.
Consideriamo a = 111, b0 = 5. Ora è come nel Caso 1)
111 = 5 · 22 + 1 quindi
111 = (−5)(−22) + 1. Ne segue che q = −22 e r = 1 con 0 ≤ 1 < | − 5|.
Esempio 171. CASO 3: a ≤ 0, b > 0.
a = −82, b = 4.
Consideriamo a0 = 82, b = 4. Ora è come nel Caso 1: 82 = 4 · 20 + 2 con 0 ≤ 2 < |4|
quindi
−82 = 4 · (−20) − 2
Non va bene cosi!! perchè non è vero che 0 ≤ −2 < |4| aggiungiamo e togliamo -4.
Cosı̀ che
−82 = 4 · (−21) + 2 con 0 ≤ 2 < |4|.
56
DONATELLA IACONO
Esempio 172. CASO 4: a ≤ 0, b < 0.
a = −97, b = −6.
Consideriamo a0 = 97, b0 = 6. caso 1: 97 = 6 · 16 + 1 con 0 ≤ 1 < |6|
quindi
−97 = (−6) · 16 − 1
Non va bene cosi!! perchè non è vero che 0 ≤ −1 < | − 6| aggiungiamo e togliamo 6
−97 = (−6) · 17 + 5 con 0 ≤ 5 < | − 6|
Esercizio 43. Fare: a = 97, b = 8; a = −57, b = 5.
16. Massimo Comun Divisore
Definizione 51. (MASSIMO COMUN DIVISORE) Siano a, b ∈ Z non entrambi nulli.
Un massimo comun divisore tra i due interi a e b è un intero d ∈ Z tale che
(1) d | a e d | b (d divide a e b);
(2) ∀d0 ∈ Z, se d0 | a e d0 | b allora d0 | d (massimo divisore).
Esempio 173. a=18 b=12. Allora 3 | 18 e 3 | 12 ma anche 6 | 18 e 6 | 12. Quindi 6 è
un massimo comun divisore.
Ma anche −6 | 18 e −6 | 12. (Notare che −6 | 6 e 6 | −6).
Esempio 174. a=32 b=20. Allora 4 | 32 e 4 | 20 ma anche −4 | 32 e −4 | 20. Quindi 4
e -4 sono un massimo comun divisore.
Osservazione 62. Se d è un massimo comun divisore per a e b allora anche −d lo è e
sono gli unici interi che soddisfano la Definizione 51 di massimo comun divisore. Infatti,
se d0 e d00 sono entrambi massimo comun divisore, allora d0 | d00 e d00 | d0 . Quindi d e d0
sono associati allora d0 = ±d00 (Osservazione 58).
Definizione 52. (MCD) Per convenzione il massimo comun divisore tra due interi a
e b è il massimo comun divisore positivo e si indica M CD(a, b). È unico!!
Prima di studiare un metodo per la sua determinazione, studiamo alcune proprietà.
PROPRIETÀ
(1) M CD(0, 0) non esiste! non è definito (perché ogni intero divide zero e quindi
non esiste massimo).
(2) Se a 6= 0 allora M CD(a, 0) =| a |; perchè |a| | 0 e divide a.
(3) M CD(a, b) = M CD(b, a)
(4) M CD(a, b) = M CD(−a, b) = M CD(a, −b) = M CD(−a, −b)
(5) Se b | a allora M CD(a, b) = |b|.
(6) Se d = M CD(a, b). Allora M CD( ad , db ) = 1
Definizione 53. (COPRIMI) Due interi a, b ∈ Z non entrambi nulli sono coprimi se
M CD(a, b) = 1.
Esempio 175. 2 e 7 oppure 11 e 144.
16.1. Minimo Comune Multiplo.
Definizione 54. (MINIMO COMUNE MULTIPLO) Siano a, b ∈ Z \ {0}. Un minimo
comune multiplo tra i due interi a e b è un intero m ∈ Z tale che
APPUNTI DELLE LEZIONI DI MATEMATICA DISCRETA
57
(1) a | m e b | m (m multiplo di a e b);
(2) ∀m0 ∈ Z se a | m0 e b | m0 allora m | m0 (m minimo multiplo).
Osservazione 63. Anche un minimo comune multiplo è definito a meno del segno,
ovvero se m è un minimo comune multiplo tra a e b anche −m lo è. Per convenzione il
minimo comune multiplo tra a e b si indica con mcm(a, b) ed è quello positivo.
Abbiamo definito il MCD per ogni coppia di interi a, b ∈ Z non entrambi nulli.
Vogliamo dimostrare che esiste il MCD e vogliamo descrivere un algoritmo per determinarlo.
Teorema 8. Per ogni coppia di interi a, b ∈ Z non entrambi nulli esiste il MCD(a,b)
e può essere espresso come combinazione lineare di a e b, ovvero esistono x, y ∈ Z tali
che
M CD(a, b) = ax + by.
Questa equazione si chiama identità di Bézout 9.
La dimostrazione è costruttiva e fornisce un metodo per determinare il Massimo
Comun Divisore e l’identità di Bézout.
Dimostrazione. La dimostrazione si basa sull’ algoritmo di Euclide 10 (algoritmo delle
divisioni successive) che fornisce una dimostrazione costruttiva dell’esistenza del MCD
(esiste e ci dice come si calcola!).
Siano a, b ∈ Z non entrambi nulli. Per le proprietà viste del MCD, possiamo assumere
a, b ≥ 0.
Se uno dei due interi è zero, ad esempio b = 0, abbiamo fatto: perchè M CD(a, 0) = a
(= a · 1 + 0 · 1).
Se a = b allora M CD(a, a) = a(= a · 1 + a · 0)
Quindi possiamo supporre che entrambi gli interi a e b siano non nulli, positivi e
diversi.
Quindi, basta studiare il caso a, b ∈ Z con a > b > 0.
Idea su cui si basa l’algoritmo: fare le divisioni successive.
Per ogni a, b ∈ Z con a > b > 0, possiamo dividere a per b e quindi esistono e sono
univocamente determinati due interi q1 ed r1 tali che
∃q1 , r1 ∈ Z
a = bq1 + r1
e 0 ≤ r1 < |b|.
Se r1 = 0 allora a = bq ovvero b | a e quindi M CD(a, b) = b. Quindi esiste il M CD(a, b).
Se r1 =
6 0 continuiamo con le divisioni e dividiamo b per r1 : quindi
∃q2 , r2 ∈ Z
b = r1 q2 + r2
e 0 ≤ r2 < |r1 | = r1 .
Se r2 6= 0 continuiamo
∃q3 , r3 ∈ Z
r1 = r2 q3 + r3
e 0 ≤ r3 < r2
...
∃qn−1 , rn−1 ∈ Z
rn−3 = rn−2 qn−1 + rn−1
e 0 ≤ rn−1 < rn−2
∃qn , rn ∈ Z
rn−2 = rn−1 qn + rn
e 0 ≤ rn < rn−1
∃qn+1 , rn+1 = 0 ∈ Z
rn−1 = rn qn+1
I resti delle divisioni successive sono tali che
b = |b| > r1 > r2 > · · · > rn ≥ 0,
9Étienne Bézout, matematico francese 1730-1783.
10Euclide, matematico greco vissuto intorno al 300 ac, autore degli: Elementi di Euclide che sono 13
libri.
58
DONATELLA IACONO
quindi è una successione strettamente decrescente di numeri positivi e ad un certo punto
deve essere zero. Se rn+1 = 0. Allora rn è l’ultimo resto non nullo. Allora rn =
M CD(a, b).
Dimostriamo che l’ultimo resto non nullo rn è il M CD(a, b).
1) rn è divisore (procedendo dal basso verso l’alto):
Infatti, rn divide rn−1 .
Dalla “riga”sopra rn dividendo rn e rn−1 allora deve dividere rn−2 , che è combinazione
lineare di rn e rn−1 (Proposizione 10).
Dalla “riga”sopra rn dividendo rn−1 e rn−2 allora deve dividere rn−3 .
Alla fine, rn divide r2 e r1 allora divide b.
rn divide b e r1 allora divide a.
Quindi rn divide a e b.
2) rn è massimo comun divisore (procedendo dall’alto verso il basso).
Se d | a e d | b, allora d | r1 , dato che r1 è combinazione lineare di a e b (Proposizione
10).
Dalla “riga”sotto, d | b e d | r1 , allora d | r2 .
Procedendo verso il basso, d | rn−2 e d | rn−1 , allora d | rn .
Quindi abbiamo dimostrato che rn , che è l’ultimo resto diverso da zero, è il il M CD(a, b).
Infine, per ottenere l’identità di Bézout: procediamo dall’alto verso il basso:
a = bq1 + r1
b = r1 q2 + r2
=⇒
=⇒
r1 = a − bq1
r2 = b − r1 q2 = b − q2 (a − bq1 )
...
Dalla prima equazione otteniamo a − bq1 = r1 ; sostituiamo nella seconda,quindi r2
combinazione di a e b. Sostituiamo nella terza al posto di r1 e r2 e otteniamo r3 come
combinazione di a e b e cosı̀ fino a rn .
Esempio 176. Consideriamo a=200 b=16. Trovare il MCD tra 200 e 16 e determinare
l’identità di Bézout.
Sketch:
Prima cosa 16 divide 200? no. a=200 b=16
200= 16 * 12 +8 q1 = 12 e r1 = 8
16=8*2 +0 r2 = 0 allora r1 = 8 è il MCD. 8 divide 16 e 8 divide 200=25*8
Dalla equazione
200= 16 * 12 +8, concludiamo
8 = 200 − 16 ∗ 12 = a ∗ 1 + b ∗ (−12) che è l’identità di Bézout.
Esercizio 44. Consideriamo a=420 b=11; trovare il MCD e determinare l’identità di
Bézout.
Sketch:
420= 11*38+2 b=11 r=2 11=2*5 +1 2=2*1+0
quindi MCD(420,11)=1.
allora 2 = a − 38b
1 = 11−2∗5 = b−5(a−38b) = b−5a+38∗5b = −5∗a+(38∗5+1)b = −5∗a+191∗b.
Quindi l’identità di Bézout: 1 = −5 ∗ a + 191 ∗ b.
Infatti (−5) ∗ 420 + 191 ∗ 11 = −2100 + 2101 = 1.
Esercizio 45. a=-3110 b=-580
Sketch:
a = 3110 b = 580
3110=580*5+210
580=210*2+160
210=160*1+50
160=50*3+10
APPUNTI DELLE LEZIONI DI MATEMATICA DISCRETA
59
50=10*5
allora 10=MCD(3110,580)=MCD(-3110,-580).
210 = a − 5b
160 = b − 2 ∗ 210 = b − 2a + 10b = −2a + 11b
50 = 210 − 160 = (a − 5b) − (−2a + 11b) = 3a − 16b10 = 160 − 3 ∗ 50 = (−2a + 11b) −
3 ∗ (3a − 16b) = (−11) ∗ a + 59 ∗ b = (−11)(3110) + 59(580) = −34210 + 34220 = 10
quindi 10= (−11)(3110) + 59(580) = 11(−3110) + (−59)(−580)
Esercizio 46. MCD(230,8) = 2; MCD(170,370)= 10; MCD(462,702)=6. ed esprimerlo
come combinazione lineare.
Proposizione 11. Se M CD(a, b) = 1 e a | bc allora a | c.
Dimostrazione. Se M CD(a, b) = 1 allora esistono x, y ∈ Z con 1 = ax + by moltiplichiamo per c e otteniamo c = cax + cby. Allora a divide a ed inoltre a divide cb,
allora a divide la combinazione lineare (Proposizione 10), ovvero a | c.
Possiamo applicare quanto detto per il Massimo Comun Divisore per calcolare il
Minimo Comune Multiplo.
Osservazione 64. Per ogni a, b ∈ Z \ {0}, esiste sempre mcm(a, b) ed inoltre
ab
ab = M CD(a, b) · mcm(a, b) =⇒ mcm(a, b) =
M CD(a, b)
Quindi esiste sempre mcm(a, b).
17. I numeri primi
Definizione 55. (PRIMO) Un numero p ∈ Z p 6= 0, 1, −1 è un numero primo se ogni
volta che p divide il prodotto di due numeri interi allora p divide uno dei due fattori,
ovvero
∀a, b ∈ Z tale che p | ab =⇒ p | a oppure p | b
Equivalentemente p ∈ Z p 6= 0, 1, −1 è primo se p è divisibile solo per ±1 e ±p.
Osservazione 65. Se p è primo ∀a, b ∈ Z tale che p | ab se p 6| a allora p | b.
Se p è primo e p = ab allora a = ±1 e b = ±p o viceversa a = ±p e b = ±1.
Se n non è primo allora ∃a, b ∈ Z con 1 < |a|, |b| < n e n = ab.
Teorema 9. (TEOREMA FONDAMENTALE DELL’ARITMETICA) Ogni numero
intero n con n 6= 0, 1, −1 può essere scritto come prodotto di un numero finito di numeri
primi pj ovvero
n = ±ph1 1 ph2 2 · · · phs s
dove i pj sono tutti primi distinti e gli esponenti hj sono tutti strettamente positivi
(hj > 0).
La scrittura è detta: fattorizzazione di n come prodotto di potenze di primi distinti.
Inoltre tale fattrizzazione è unica, ovvero se esiste una altra fattorizzazione di n:
n = ±q1k1 q2k2 · · · qtkt
dove qi sono tutti primi distinti e ki > 0. Allora il numero di fattori è lo stesso (t = s)
ed i primi qi coincidono con i primi pj a meno dell’ordine (e del segno).
Dimostrazione. Solo esistenza: vogliamo dimostrare che ogni n ∈ Z \ {0, 1, −1} ammette fattorizzazione. Basta dimostrare per ogni n ∈ N con n ≥ 2 la proposizione
P (n):
P (n): il numero n ammette fattorizzazione in primi,
(per i numeri interi negativi possiamo mettere il segno meno).
BASE INDUZIONE: Dimostrare che P(2) è vera.
n = 2 ammette fattorizzazione in primi: n = 2 = 21 . Allora P(2) è vera.
60
DONATELLA IACONO
PASSO INDUTTIVO: Se P(h) vera per ogni 2 ≤ h ≤ k allora P(k+1) è vera.
Ovvero stiamo assumendo che ogni intero h con 2 ≤ h ≤ k ammette fattorizzazione e
vogliamo dimostrare che anche k + 1 ammette fattorizzazione.
Se k + 1 è primo abbiamo già la fattorizzazione, se non è primo per l’Osservazione
65, esistono a, b ∈ Z con 1 < a, b < k + 1 e k + 1 = ab . Per ipotesi induttiva, esiste la
fattorizzazione in potenze di primi distinti per a e b (dato che P (a) e P (b) sono vere).
Allora
e
b = q1k1 q2k2 · · · qtkt ,
a = ph1 1 ph2 2 · · · phs s
quindi
k + 1 = ph1 1 ph2 2 · · · phs s · q1k1 q2h2 · · · qtkt
raccogliamo i primi uguali e sommiamo gli esponenti e abbiamo ottenuto la fattorizzazione di k+1. Quindi P (k + 1) è vera. Per il principio di induzione, concludiamo che
P (n) è vera per ogni n ≥ 2.
Esempio 177. n=100 100 = 10 · 10, 10 = 2 · 5 ,quindi 100 = 2 · 5 · 2 · 5 = 22 · 52 .
n=3600 n = 36 ∗ 100 36 = 62 = 22 ∗ 32 e 100 = 22 · 52 quindi
3600 = 22 · 32 · 22 · 52 = 24 · 32 · 52
A cosa può servire la fattorizzazione? A trovare i divisori e a trovare il MCD.
Osservazione 66. Se n = ph1 1 ph2 2 · · · phs s allora i divisori di n a meno del segno sono
della forma d = pj11 pj22 · · · pjss con 0 ≤ ji ≤ hi per ogni i = 1, . . . , s
Quanti sono a meno del segno? Quante scelte abbiamo per gli indici ji ? Ogni ji può
essere scelto in hi + 1 modi, infatti 0 ≤ ji ≤ hi . Quindi, a meno del segno, esistono
s
Y
(hi + 1) = (h1 + 1) · (h2 + 1) · · · · · (hs + 1)
i=1
divisori di n. (Il simbolo
Q
è l’ analogo del simbolo
P
per il prodotto).
Esempio 178. Consideriamo n = 3600 = 24 · 32 · 52 , quanti sono i divisori positivi?
5∗3∗3 = 45 sono della forma 2x ∗3y ∗5z dove x ∈ {0, 1, 2, 3, 4}, y ∈ {0, 1, 2} z ∈ {0, 1, 2}.
Esempio 179. Consideriamo n = 22 · 32 · 5, quanti sono i divisori positiv? 3 ∗ 3 ∗ 2 = 18
sono della forma 2x ∗ 3y ∗ 5z dove x ∈ {0, 1, 2}, y ∈ {0, 1, 2}z ∈ {0, 1}.
La fattorizzazione serve anche per trovareil massimo comune divisore.
Osservazione 67. Dati a e b con
a = ph1 1 ph2 2 · · · phs s
e b = q1k1 q2k2 · · · qtkt
allora il MCD(a,b) ha come fattorizzazione in primi il massimo fattor comune, ovvero i
primi in comune con il piu piccolo esponente (che è il piu grande esponente comune).
Esempio 180. Siano a = 3600 = 24 · 32 · 52 e b = 36 · 511 · 72 .
Allora M CD(a, b) = 32 · 52 .
Esempio 181. Siano a = 23 · 32 · 53 ∗ 112 e b = 23 · 36 · 511 · 112 .
Allora M CD(a, b) = 23 · 32 · 53 · 112 = a (infatti a | b).
Teorema 10. I numeri primi sono infiniti.
Dimostrazione. Suppponiamo per assurdo che i numeri primi siano finiti. Siano
p1 , p2 , . . . , ps tutti i numeri primi.
Sia ora n = p1 · p2 · · · ps + 1, ovvero il prodotto di tutti i numeri primi a cui sommiamo
1.
Osserviamo che nessuno dei primi pi divide n, altrimenti se pi dividesse n allora
dovrebbe dividere la combinazione lineare n − p1 · p2 · ps = 1, questo implicherebbe che
APPUNTI DELLE LEZIONI DI MATEMATICA DISCRETA
61
p | 1, ovvero pi = 1 oppure −1 che è assurdo dato che pi è un numero primo. Quindi
pi 6| n per ogni i = 1, . . . , s.
Per il teorema fondamentale dell’aritmetica n è primo oppure oppure può essere scritto
come prodotto di due o più primi. Quindi esiste un numero primo che non è nella lista.
(Questo numero è n oppure un fattore primo di n). Questo è un assurdo in quanto
avevamo elencato tutti i numeri primi.
Osservazione 68. Il teorema precdente dimostra che esistono infiniti numeri primi, ma
non è una dimostrazione costruttiva nel senso che non fornisce un metodo costruttivo per
trovarli tutti. Trovare i numeri primi grandi è un problema complesso. Ci sono molte
congetture legate ai numeri primi, alla loro frequenza, distribuzione, ai primi gemelli
etc.
Abbiamo dimostrato che esistono infiniti numeri primi. Come possiamo trovarli?
Anche questo è un problema molto complesso. Esistono alcuni algoritmi per trovare i
numeri primi, diversi tra loro. Descriviamo un metodo noto con il nome di Crivello di
Eratostene.11
17.1. Crivello di Eratostene. Fissato un intero n ≥ 2, come si possono trovare tutti
i numeri primi minori o uguali ad n? Un algoritmo che vediamo si chiama crivello di
Eratostene.
Algoritmo:
(1) Scrivere tutti i numeri ≤ n
(2) Prendere 2, sottolinearlo e cancellare tutti i suoi multipli.
(3) Prendere 3 (che non è stato cancellato) sottolinearlo e cancellare tutti i suoi
multipli.
(4) Poi sottolineare il prossimo numero non cancellato e cancellare i suoi multipli.
(5) Procedere cosı̀ fino a
√
n.
(6) I numeri sotttolineati e quelli non cancellati sono tutti i primi piu piccoli di n.
Esempio 182. n = 41.
Osservazione 69. Sia n√≥ 2, se n √
non è primo, allora esistono 1 < a, b < n tale che
n =√
a · b. Allora
o
a
≤
n
o
b
≤
Infatti se non fosse vero, ovvero se entrambi
√
√n. √
a > n e b > n. Allora n =√ab > n · n = n ovvero n > n. Questo è assurdo. Per
questo basta procedere fino a n.
17.2. Metodi di Fattorizzazione. A cosa serve conoscere i numeri primi? Serve per
trovare la fattorizzazione di un numero intero n. Per trovare la fattorizzazione, possiamo
suppore il numero positivo, se fosse negativo, una volta trovata la fattorizzazione, basta
cambiare sengo.
In generale, trovare la fattorizzazione di un numero è un problema molto difficile
e computazionalmente complesso. Questa non è una disgrazia ma una fortuna: sulla
complessità di questo problema si basa la sicurezza informatica e la crittografia.
Ci sono vari algoritmi per trovare la fattorizzazione di un numero, noi descriviamo
quello che si basa sul Crivello di Eratostene.
Metodo di Eratostene Sia n un intero maggiore di zero. Con il crivello di Eratostene troviamo tutti √
i primi ≤ n. A questo punto proviamo a dividere n per tutti i
primi minori o uguali a n.
11Eratostene di Cirene, matematico greco 275 a.C.- 195 a.C circa.
62
DONATELLA IACONO
√
√
Infatti se n = ab allora, per l’Osservazione 69,√a ≤ n o b ≤ n.
Se n non è divisibile per i primi minori di n allora n è un numero primo. (Se
non lo cancelliamo nell’algoritmo di Eratostene) se invece lo cancelliamo significa che è
multiplo di qualcosa, ovvero troviamo un divisore e quindi n = ab, con 1 < a, b < n.
Consideriamo ora a e b e cerchiamo la loro fattorizzazione, etc.
18. Equazioni diofantee
Dati due interi a, b ∈ Z non entrambi nulli, abbiamo definito il M CD(a, b) ed esistono
interi x, y ∈ Z tale che (identità di Bézout)
M CD(a, b) = ax + by
(Il MCD serve per trovare le soluzioni alle equazioni lineari).
Definizione 56. (EQUAZIONE DIOFANTEA) Una equazione della forma
ax + by = c
con a, b, c ∈ Z interi della quale cerchiamo soluzioni intere (ovvero x, y ∈ Z) è detta
equazione diofantea.
Una soluzione è una coppia x0 , y0 ∈ Z, tale che ax0 + by0 = c.
Notiamo ax + by = c implica by = c − ax e se b 6= 0 allora y = c−ax
b , ovvero cerchiamo
i punti a coordinate intere della retta. Questi punti non è detto che esistano.
Esempio 183. Se c = 0 allora l’equazione diofantea ax + by = 0 ammette sempre
soluzione. Infatti, x0 = −b e y0 = a è soluzione.
Esempio 184. 10x + 7y = 0, se x0 = −7 e y0 = 10 è soluzione, ma anche x0 = 7 e
y0 = −10, oppure x0 = 0, y0 = 0.
Esempio 185. 3x + 6y = 6, ammette soluzioni (2,0) oppure (0,1) oppure (4,-1).
Esempio 186. 2x + 4y = 3, non ammette mai soluzione, visto che a sinistra è sempre
un numero pari e a destra dispari.
Come possiamo capire se esistono soluzioni? E soprattutto come possiamo trovarle?
Teorema 11. Dati a, b, c ∈ Z l’equazione diofantea
ax + by = c
ammette soluzioni intere se e soltanto se M CD(a, b) | c.
La dimostrazione fornisce un metodo costruttivo per determinare le soluzioni.
Dimostrazione. =⇒ Supponiamo ax + by = c ammette soluzioni: ovvero esistono
x0 , y0 ∈ Z tale che ax0 + by0 = c. Sia d = M CD(a, b) allora d | a e d | b allora, per la
Proposizione 10, d divide combinazione lineare ax0 + by0 = c, ovvero d | c.
⇐= Viceversa: Se d = M CD(a, b) | c allora esiste soluzione.
Per l’identità di Bézout, se d = M CD(a, b) allora esistono α, β ∈ Z tale che d =
αa + βb (*).
Inoltre d = M CD(a, b) | c quindi ∃h ∈ Z tale che dh = c. Allora moltiplichiamo (*)
per h e otteniamo c = dh = αha + βhb ovvero x0 = αh e y0 = βh è soluzione. (È questo
il metodo per trovarle!)
Esempio 187. Esempio di prima M CD(3, 6) = 3 | 6 mentre M CD(2, 4) = 2 6| 3.
Come possiamo trovare tutte le soluzioni?
APPUNTI DELLE LEZIONI DI MATEMATICA DISCRETA
63
Teorema 12. Siano a, b, c ∈ Z e sia (x0 , y0 ) una soluzione dell’equazione diofantea
ax + by = c
allora tutte e sole le soluzioni intere di tale equazione sono
(1)
b
a
(x, y) = (x0 − t, y0 + t)
d
d
∀t∈Z
dove d = M CD(a, b).(Quindi se ne esiste una allora sono infinite le soluzioni!!)
Dimostrazione. Verifichiamo solo che sono soluzioni. Per ipotesi (x0 , y0 ) è soluzione
quindi ax0 + by0 = c. Allora
a
ab
ba
b
a(x0 − t) + b(y0 + t) = ax0 − t + by0 + t = ax0 + by0 = c
d
d
d
d
Osservazione 70. Nella formula dell’Equazione (1), il numero t appartiena a Z quindi
la formula è equivalente alla formula:
(2)
a
b
(x, y) = (x0 + t, y0 − t)
d
d
∀t∈Z
Esempio 188. Consideriamo 3x + 6y = 6; abbiamo visto che (2,0) è soluzione. Allora
l’Equazione (1) afferma che per ogni t ∈ Z tutte e sole le soluzioni sono:
a
6
3
b
(x, y) = (x0 − t, y0 + t) = (2 − t, 0 + t) = (2 − 2t, t)
d
d
3
3
∀ t ∈ Z.
Infatti ritroviamo (0,1), (4,-1) ma scopriamo anche che per t = 100 si ha che (-198, 100)
è soluzione.
Esempio 189. Consideriamo 10x + 7y = 0. Abbiamo visto che x0 = 0, y0 = 0 è
soluzione. Allora
b
a
(x, y) = (x0 − t, y0 + t) = (−7t, 10t)
∀ t ∈ Z.
d
d
sono tutte le soluzioni. Infatti, ritroviamo x0 = −7 e y0 = 10 (pert = 1), ma anche
x0 = 7 e y0 = −10 (pert = −1).
Esempio 190. Consideriamo 18x + 9y = 81.
M CD(18, 9) = 9 e 9 | 81 quindi esistono soluzioni.
Ad esempio (x0 , y0 ) = (0, 9) è soluzione quindi tutte le soluzioni sono
b
a
9
18
(x, y) = (x0 − t, y0 + t) = (0 − t, 9 + t) = (−t, 9 + 2t)
d
d
9
9
∀ t ∈ Z.
Esercizio 47. Risolvere se possibile la seguente equazione diofantea indicandone tutte
le soluzioni
585x + 165y = 15.
Sketch: Prima cosa trovare M CD(585, 165).
585 = 165 ∗ 3 + 90,
165 = 90 ∗ 1 + 75,
90 = 75 ∗ 1 + 15
75 = 15 ∗ 5.
Quindi M CD(585, 165) = 15. Inoltre 15 | 15 e pertanto l’equazione diofantea ammette soluzioni. Usiamo l’identità di Bézout 90 = a − 3b
75 = b − 90 = 4b − a
15 = 90 − 75 = a − 3b − 4b + a = 2a − 7b = 2 ∗ 585 − 7 ∗ 165;
ovvero x0 = 2 e y0 = −7 sono soluzioni e tutte le altre sono
b
a
165
585
(x, y) = (x0 − t, y0 + t) = (2 −
t, −7 +
t) = (2 − 11t, −7 + 39t)
d
d
15
15
∀ t ∈ Z.
64
DONATELLA IACONO
Osservazione 71. Dobbiamo risolvere ax + by = c tale che 0 6= d = M CD(a, b) | c
allora dividiamo tutto per d, infatti d | a d | b e d | c e risolviamo l’equazione ottenuta
che è piu facile e le soluzioni sono le stesse.
È una cosa che abbiamo sempre fatto. Formalmente, se a = a0 d, b = bo d e c = c0 d,
consideriamo
ax + by = c
⇐⇒
a0 dx + bo dy = c0 d
⇐⇒
a0 x + b0 y = c0
Esercizio 48. Risolvere
585x + 165y = 15.
Possiamo dividere per 15 39x+11y = 1,
39 = 11∗3+6;
11 = 6∗1+5;
6=
5 ∗ 1 + 1 quindi
6 = 39 − 11 ∗ 3
5 = 11 − 6 = 11 ∗ 4 − 39
1 = 6 − 5 = 2 ∗ 39 − 7 ∗ 11. Ne segue
che una soluzione è (x0 , y0 ) = (2, −7) e tutte e sole le soluzioni sono
(x, y) = (2 − 11t, −7 + 39t)
∀ t ∈ Z.
Osservazione 72. Analogamente a quanto detto nell’Osservazione 71, se un intero k
divide i coefficienti a, d, c di una equazione diofantea ax + by = c, possiamo dividere
tutto per k e risolvere una equazione diofantea equivalente ma più semplice.
Esercizio 49. Risolvere se possibile la seguente equazione diofantea indicandone tutte
le soluzioni
396x + 156y = 24.
Dividiamo per 2, 198x+ 78y=12 ancora per due 99 x+ 39y=6 dividiamo per 3 33x+13y=2
Adesso risolviamo questa equazione 33x+13y=2 (come se avessimo diviso per 12
l’equazione di partenza).
MCD(33,13)=1 quindi ammette soluzioni.
Facciamo le disioni successive: 33 = 2 ∗ 13 + 7, 13 = 1 ∗ 7 + 6, 7 = 1 ∗ 6 + 1 quindi
7 = 33 − 13 ∗ 2
6 = 13 ∗ 3 − 33
1 = 33 ∗ 2 − 13 ∗ 5 quindi 2 = 33 ∗ 4 + 13(−10).
Ne segue che una soluzione è x0 = 4 e y0 = −10 e quindi tutte e sole le soluzioni sono
(x, y) = (4 − 13t, −10 + 33t)
∀ t ∈ Z.
Esercizio 50. Risolvere se possibile la seguente equazione diofantea indicandone tutte
le soluzioni
396x + 156y = 12.
385x + 33y = 143
20x + 144y = 99
819x + 221y = 26.
APPUNTI DELLE LEZIONI DI MATEMATICA DISCRETA
65
19. Congruenze modulo n
A = Z fissiamo n ∈ N con n ≥ 2
Sia fissato n ∈ N e definiamo la relazione su A = Z
∀ a, b ∈ Z aRb ⇐⇒ n | a − b.
È equivalente a richiedere: ∃k ∈ Z tale che a − b = kn se e solo se a − b multiplo di n.
In tal caso diremo, che a è congruo a b modulo n e scriveremo
a ≡ b (mod n).
Nell’Esercizio 41, abbiamo già dimostrato che è una relazione di equivalenza.
Vogliamo studiare le classi di equivalenza e l’insieme quoziente.
Osservazione 73. Sia a ∈ Z. Se a = n · q + r ovvero se r è il resto della divisione di a
per n allora aRr ovvero a ≡ r (mod n)
Dimostrazione. Dato che a = n · q + r si ha a − r = q · n e quindi n | a − r che implica
aRr.
Osservazione 74. Si può dimostrare che a ≡ b (mod n) se e solo se a e b hanno lo
stesso resto nella divisione per n.
Nella relazione di congruenza la classe [a]R si indica con [a]≡n oppure [a]n , inoltre
[a]n = {x ∈ Z | xRa} = {x ∈ Z | n | a−x} = {x ∈ Z | x e a stesso resto nella divisione per n } =
= {a + tn | t ∈ Z}
e la chiameremo classe resto modulo n o classe di congruenza modulo n .
Inoltre, per l’Osservazione 73, ogni elemento è equivalente al suo resto, quindi
[a]n = [r]n , dove r è il resto della divisione di a per n.
I resti possibili nella divisione per n sono 0, 1, 2, . . . , n − 1. Ne segue che
Z/R = Z/ ≡n = {[a]n | a ∈ Z} = {[0]n , [1]n , . . . , [n − 1]n }
Z/ ≡n si denota anche con Z/nZ o Zn ed ha n elementi.
I resti possibili nella divisione per n sono 0, 1, 2, . . . , n − 1. Ne segue che
Z/R = Z/ ≡n = {[a]n | a ∈ Z} = {[0]n , [1]n , . . . , [n − 1]n },
Z/ ≡n si denota anche con Z/nZ o Zn ed ha n elementi.
Esempio 191. Sia n = 5 abbiamo Z/ ≡5 = {[a]5 | a ∈ Z} = {[0]5 , [1]5 , [2]5 , [3]5 , [4]5 }.
Ad esempio, [0]5 = [5]5 = [100]5 .
Quale è la classe di 6? [6]5 = [1]5 = [21]5 = {x ∈ Z | x ha resto 1 nella divisione per n = 5 } =
{1 + 5t | t ∈ Z}
Quale è la classe di -2? Dobbiamo capire resto di −2 nella divisione per n = 5.
-2=5 (-1) +3 e quindi il resto è 3, ovvero [−2]5 = [3]5 .
Proposizione 12. La relazione di congruenza modulo n è compatibile con le operazioni
di somma e prodotto in Z ovvero ∀ a, b, c, d ∈ Z se a ≡ b (mod n) e c ≡ d (mod n)
allora
(1) a + c ≡ b + d (mod n),
(2) a · c ≡ b · d (mod n).
Questa proposizione ci permetterà di definire (Sezione 23.1)
[a]n + [b]n := [a + b]n
[a]n · [b]n := [a · b]n :
possiamo fare la somma e il prodotto perché l’operazione non dipende dal rappresentante
scelto.
66
DONATELLA IACONO
Esempio 192. [6]5 + [−2]5 = [4]5 , [3]5 + [4]5 = [7]5 = [2]5 ,
Usando la Proposizione 12, possiamo concludere le seguenti proprietà.
Proprietà delle congruenze. Se a ≡ b (mod n) allora
(1) am ≡ bm (mod n), per ogni m ≥ 1;
(2) ac ≡ bc (mod n), per ogni c ∈ Z, dato che c ≡ c (mod n);
(3) a + kn ≡ b (mod n) per ogni k ∈ Z, dato che kn ≡ 0 (mod n);
(4) a ≡ b + kn (mod n);
(5) a − b ≡ 0 (mod n).
Esempio 193. Usando la prima proprietà: 1 ≡ 12 (mod 11), quindi per ogni m ≥ 1 si
ha 1m ≡ 12m (mod 11).
Esempio 194. Usando la terza proprietà: 2 ≡ 7 (mod 5), quindi ad esempio 2 + 25 ≡ 7
(mod 5).
Ulteriore Proprietà molto importante per gli esercizi
Proposizione 13. Se ac ≡ bc (mod n) allora a ≡ b (mod nd ), dove d = M CD(c, n) e
viceversa. In particolare se 1 = M CD(c, n) e ac ≡ bc (mod n) allora a ≡ b (mod n) e
viceversa.
Esempio 195. Consideriamo 6 ≡ 14 (mod 8). Possiamo vederlo come 3 · 2 ≡ 7 · 2
(mod 4 · 2). Quindi per la Proposizione 13, la conguenza implica 3 ≡ 7 (mod 4) (ma
non è vero 3 ≡ 7 (mod 8), bisogna dividere anche 8).
6 ≡ 28 (mod 11) ovvero 2 · 3 ≡ 2 · 14 (mod 11), allora 3 ≡ 14 (mod 11).
Osservazione 75. Se a ≡ b (mod n) e inoltre d | n allora a ≡ b (mod d) ma non è vero
il viceversa. Ad esempio abbiamo: 2 ≡ 8 (mod 6); inoltre 3 | 6 e quindi 2 ≡ 8 (mod 3)
ma non è vero che 1 ≡ 4 (mod 3) implica 1 ≡ 4 (mod 6).
Proposizione 14. Se a ≡ b (mod r) e a ≡ b (mod s) allora a ≡ b (mod mcm(r, s)).
Teorema 13. (Piccolo Teorema di Fermat) Siano a ∈ Z e p un numero primo. Allora
ap ≡ a (mod p).
Si chiama piccolo teorema non percheé non sia importante ma perchè esiste il seguente
Teorema di Fermat.
Teorema 14. L’equazione
xn + y n = z n
non ammette soluzioni intere non banali per n ≥ 3.
Per
Per
Per
Per
banali, intendiamo soluzioni come ad esempio x = 0 e y = z.
n = 1, abbiamo una retta x + y = z e abbiamo infinite soluzioni intere.
n = 2, le soluzioni sono le cosi dette terne pitagoriche, come ad esempio 3,4,5.
n ≥ 3, il teorema è stato dimostrato da A. Wiles12 nel 1995.
Il Piccolo Teorema di Fermat vale se p primo. Allora, se a ∈ Z e p un numero primo
ap ≡ a (mod p).
Osservazione 76. Se p primo e M CD(a, p) = 1, allora per la Proposizione 13 dire
ap ≡ a (mod p) implica ap−1 ≡ 1 (mod p).
12A. Wiles, matematico nato nel 1953 a Cambridge, Professore presso la Unviersity of Oxford.
APPUNTI DELLE LEZIONI DI MATEMATICA DISCRETA
67
Se p non è primo cosa possiamo dire? Dobbiamo introdurre la funzione di Eulero.
Definizione 57. (FUNZIONE di EULERO) Sia n ≥ 1. La funzione di Eulero è la
funzione ϕ : N∗ → N dove ϕ(1) = 1 e per ogni n ≥ 2 ϕ(n) è il numero degli interi
positivi (> 0) strettamenti minori di n e coprimi con n, ovvero conta quanti sono gli a
con 1 ≤ a < n tale che M CD(a, n) = 1.
Esempio 196. n=2, allora ϕ(2) = 1
n=3, allora ϕ(3) = 2
n=5 ϕ(5) =?, Abbiamo 1,2,3,4, quindi ϕ(5) = 4
n=10 1,3,7,9 ϕ(10) = 4
In generale, dato n ∈ N∗ come possiamo calcolare ϕ(n)? Elenchiamo alcune proprietà
della funzione di Eulero che serviranno per il suo calcolo.
Proprietà della funzione di Eulero.
(1) ∀p primo ϕ(p) = p − 1;
(2) ∀p primo e per ogni h ≥ 1, ϕ(ph ) = ph − ph−1 ;
(3) ∀a, b ∈ Z se MCD(a,b)=1, allora ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b).
Quindi, ∀n ∈ N \ {0, 1}, se n = ph1 1 ph2 2 · · · phs s è la fattorizzazioni in primi di n, allora
ϕ(n) =
ϕ(ph1 1 ph2 2
· · · phs s )
=
ϕ(ph1 1 )
·
ϕ(ph2 2 ) · · · ϕ(phs s )
=
s
Y
(phi i − pihi −1 ).
i=1
Esempio 197. ϕ(13) = 12 essendo primo
ϕ(30) =? Usando la fattorizzazione 30=2*3*5 quindi ϕ(30) = ϕ(2)ϕ(3)ϕ(5) = 1 ∗ 2 ∗
4 = 8.
ϕ(24 36 115 ) = ϕ(24 )ϕ(36 )ϕ(115 ) = (24 − 23 )(36 − 35 )(115 − 114 ).
Teorema 15. (TEOREMA di EULERO FERMAT) Sia a ∈ Z e M CD(a, n) = 1 allora
aϕ(n) ≡ 1
(mod n).
Osservazione 77. Se n = p primo, riotteniamo il piccolo Teorema di Fermat.
Esempio 198. Dire se è vero o falso che 1148 ≡ 1 (mod 104).
Allora 104 non è primo quindi non possiamo applicare piccolo Teorema Fermat.
MCD(11,104)=1 quindi possiamo applicare teorema di Eulero Fermat.
Dobbiamo calcolare ϕ(104).
104 = 52 ∗ 2 = 13 ∗ 4 ∗ 2 = 13 ∗ 23 . Quindi ϕ(104) = ϕ(23 )ϕ(13) = (23 − 22 )12 =
12 ∗ 4 = 48.
Quindi la congruenza è vera.
Esempio 199. Dire se è vero o falso che 15353 ≡ 7 (mod 8)
allora 8 non è primo quindi non possiamo applicare piccolo Teorema Fermat.
MCD(15,8)=1 quindi possiamo applicare teorema di Eulero Fermat.
Dobbiamo calcolare ϕ(8) = ϕ(23 ) = (23 − 22 ) = 4 (1,3,5,7).
Quindi vero che 154 ≡ 1 (mod 8).
Vogliamo capire la classe di 353 modulo 4.
353 = 4 · 88 + 1 Quindi 15353 = 154·88+1 = 154·88 · 15.
Quindi 15353 = (154 )88 · 15 ≡8 188 · 15 ≡8 1 · 15 ≡ 7 (mod 8).
Quindi la congruenza è vera.
68
DONATELLA IACONO
20. Congruenze lineari
Definizione 58. (CONGRUENZA LINEARE) Dati a e b interi e n ≥ 2 si definisce una
congruenza linearenell’incognita x ogni espressione della forma
ax ≡ b (mod n).
Una soluzione della congruenza lineare è un intero x0 ∈ Z tale che ax0 ≡ b (mod n).
Esempio 200. Data 7x ≡ 1 (mod 3), ad esempio x0 = 1 è soluzione.
Esempio 201. Siamo interessati a trovare soluzioni di 30x ≡ 1 (mod 2) oppure 18x ≡
16 (mod 44) o 104x ≡ 24 (mod 600).
Dobbiamo risolvere due problemi. Come capire se esistono soluzioni e soprattutto
come trovarle tutte.
Teorema 16. (ESISTENZA) La congruenza lineare ax ≡ b (mod n) ammette soluzioni
intere se e soltanto se M CD(a, n) | b.
Dimostrazione. Risolvere ax ≡ b (mod n) equivale a dire n | ax − b ovvero ∃h ∈ Z
tale che nh = ax − b ovvero ax − nh = b. Questa è una equazione diofantea ed ammette
soluzioni se e solo se M CD(a, n) | b, vedere Teorema 11.
La dimostrazione del teorema è costruttiva, ovvero non solo ci dice se le soluzioni
esistono ma ci spiega anche come trovarle: dobbiamo risolvere l’equazione diofantea
associata.
Esempio 202. 7x ≡ 1 (mod 3). M CD(3, 7) = 1 | 1.
30x ≡ 1 (mod 2). M CD(30, 2) = 2 6| 1 non ha soluzioni.
18x ≡ 16 (mod 44). M CD(18, 44) = 2 | 16 ammette soluzioni.
104x ≡ 24 (mod 600). Abbiamo 104 = 52 ∗ 2 = 13 ∗ 4 ∗ 2 = 13 ∗ 23 , 600 = 6 ∗ 100 =
2 ∗ 3 ∗ 52 ∗ 22 = 23 ∗ 3 ∗ 52 , quindi M CD(104, 600) = 8 | 24: ammette soluzioni.
Come possiamo trovare tutte le soluzioni?
Teorema 17. (SOLUZIONI) Se x0 è una soluzione della congruenza lineare ax ≡ b
(mod n) allora tutte e sole le soluzioni di tale equazione sono
n
∀t ∈ Z,
x = (x0 + t)
d
dove d = M CD(a, n). (Quindi se esiste una soluzione allora ne esistono infinite.)
Tra queste soluzioni x0 , x0 + nd , x0 + 2 nd , . . . , x0 + (d − 1) nd sono d soluzioni tutte non
congruenti fra loro modulo n. Ogni altra soluzione è congrua a queste modulo n.
Quindi, la congruenza ax ≡ b (mod n) ammette esattamente d = M CD(a, n) soluzioni
non congruenti fra loro modulo n.
Osservazione 78. Sappiamo che erano fatte cosi le soluzioni della equazione diofantea
per il Teorema 12.
Se MCD(a,n)=1 allora la congruenza ax ≡ b (mod n) ammette una unica soluzione
modulo n. Tutte le altre soluzioni sono x0 +n, x0 +2n, ... ovvero x = x0 +tn
∀t ∈ Z.
Queste sono tutte congruenti modulo n.
Esempio 203. 7x ≡ 1 (mod 3). 1 è soluzione, inoltre M CD(1, 3) = 1. Quindi x0 = 1
è soluzione, ed è l’unica soluzione modulo 3. Altre soluzioni sono 4,7, -2, -5... ovvero
1 + 3t, ∀t ∈ Z. Le possiamo scrivere tutte: ovvero x ≡ 1 (mod 3).
Esercizio 51. Risolvere 18x ≡ 16 (mod 44) indicandone tutte le soluzioni.
M CD(18, 44) = 2 e 2 | 16, quindi ammette soluzioni. Risolvere la congruenza è come
risolvere 44 | 18x − 16 ovvero 44t = 18x − 16 ovvero 18x − 44t = 16. Quindi dobbiamo
risolvere questa equazione diofantea e trovare x.
APPUNTI DELLE LEZIONI DI MATEMATICA DISCRETA
69
Dividiamo per 2 e otteniamo 9x − 22t = 8 MCD(9,22)=1
22 = 9 ∗ 2 + 4
9=4∗2+1
4 = 22 − 2 ∗ 9 = a − 2b;
1 = 9 − 2 ∗ 4 = b − 2a + 4b = 5b − 2a;
1 = −2 ∗ 22 + 5 ∗ 9.
Quindi 8 = (−16) ∗ 22 + 40 ∗ 9. Ne segue che x0 = 40 è soluzione. Infatti 18x0 =
18 ∗ 40 = 720 = 704 + 16 = 44 ∗ 16 + 16 ≡ 16 (mod 44).
M CD(18, 44) = 2 quindi esistono d = 2 soluzioni non congrue modulo 44. L’altra
soluzione è x0 + nd = 40 + 44
2 = 40 + 22 = 62 ovvero 62-44=18.
Quindi le soluzioni non congurenti modulo 44 sono 18 e 40, allora tutte le soluzioni
sono x ≡ 18 (mod 44) e x ≡ 40 (mod 44).
Osservazione 79. La congruenza ax ≡ b (mod n) ha soluzioni se M CD(a, n) = d | b,
allora tutto divisibile per d. Dividiamo e semplifichiamo, ottenendo ad x ≡ db (mod nd ).
Adesso M CD( nd , ad ) = 1 ovvero ora unica soluzione modulo nd .
Esempio 204. Risolvere 18x ≡ 16 (mod 44) indicandone tutte le soluzioni.
M CD(18, 44) = 2, quindi ammette soluzioni.
Dividiamo per 2 e otteniamo: 9x ≡ 8 (mod 22)
Quindi 22 | 9x−8 e allora 9x−22t = 8. Come nell’Esercizio 51. La soluzione abbiamo
visto è 8 = (−16) ∗ 22 + 40 ∗ 9.
x0 = 40 è soluzione. Esiste una sola soluzione non congruente modulo 22 ed è 40,
ovvero tutte le soluzioni sono x ≡ 40 (mod 22). Notiamo che 40 ≡ 18 (mod 22), quindi
possiamo anche scrivere che tutte le soluzioni sono x ≡ 18 (mod 22). Attenzione: otteniamo le stesse soluzioni di prima dell’Esercizio 51! Infatti anche x = 40 è congruo a 18
modulo 22.
Esercizio 52. 104x ≡ 24 (mod 600). M CD(104, 600) = 8 | 24 dividiamo tutto per 8.
13x ≡ 3 (mod 75).
...... (fatto in classe)... x ≡ 6 (mod 75).
Osservazione 80. Supponiamo di avere ax ≡ b (mod n).
Dividiamo a per n, quindi a = nq + r allora
ax ≡ b (mod n)
se e solo se
rx ≡ b (mod n).
Infatti, notiamo che nq ≡ 0 (mod n) e quindi −nqx ≡ 0 (mod n).
Quindi se ax = nqx + rx ≡ b (mod n), sommando ax ≡ b (mod n) con −nqx ≡ 0
(mod n) otteniamo allora rx ≡ b (mod n).
Viceversa, se rx ≡ b (mod n), sommando nqx ≡ 0 (mod n), otteniamo nqx + rx ≡ b
(mod n) ovvero ax ≡ b (mod n).
Lo stesso vale per b. Dividendo b per n, se b = nq + r allora sappiamo che b ≡ r
(mod n) e quindi possiamo sostituire b con r.
Esempio 205. Risolvere la congruenza 11x ≡ 8 (mod 5). Allora 11 ≡ 1 (mod 5).
Quindi possiamo ridurre la congruenza a x ≡ 8 (mod 5). Riduciamo anche 8 e otteniamo
x ≡ 3 (mod 5). Ovvero x0 = 3 è soluzione ed è unica soluzione modulo 5. Tutte le altre
sono x ≡ 3 (mod 5).
Esempio 206. Risolvere la congruenza 14x ≡ 6 (mod 4). Questa congruenza è equivalente a 2x ≡ 2 (mod 4). Dividiamo ora per 2 e otteniamo x ≡ 1 (mod 2). Ovvero
x0 = 1 è soluzione ed è unica soluzione modulo 2. Tutte le altre sono x ≡ 1 (mod 2).
Esempio 207. Risolvere la congruenza 19x ≡ 3 (mod 8). Questa congruenza è equivalente a 3x ≡ 3 (mod 8). Quindi x ≡ 1 (mod 8).
Per n piccolo possiamo anche procedere per tentativi senza risolvere l’equazione diofantea associata.
70
DONATELLA IACONO
Esercizio 53. Risolvere la congruenza 3x ≡ 1 (mod 7). La congruenza ammette
soluzione e modulo 7 è unica. Quindi, la soluzione è una delle classi modulo 7. Possiamo provare tutti i valori possibili e trvovare la soluzione senza ricorrere alla equazione
diofantea associata.
1 no,2 no, 3 no, 4 no, 5 si, quindi x ≡ 5 (mod 7) è la soluzione.
Esercizio 54. Risolvere la congruenza 3x ≡ 7 (mod 11). La congruenza ammette
soluzione e modulo 11 è unica. Quindi, la soluzione è una delle classi modulo 11. Possiamo provare tutti i valori possibili e trvovare la soluzione senza ricorrere alla equazione
diofantea associata.
1 no,2 no, 3 no, 4 no, 5 no, 6 si. Quindi x0 = 6 è soluzione ed è unica soluzione
modulo 11. Tutte le altre sono x ≡ 6 (mod 11).
Esercizio 55. 13x ≡ 3 (mod 200).
M CD(13, 200) = 1 | 3 la soluzione esiste ed è unica modulo 200. Cerchiamola con
equazione diofantea.
200 | 13x − 3 ovvero 200t = 13x − 3 ovvero 13x − 200t = 3.
Ora dobbiamo risolvere questa equazione diofantea e trovare x. Consideriamo 13x +
200t = 3
200=13*15 +5
13=5*2+3
5=3*1+2
3=2*1+1
a=200, b=13
5=a-15b,
3=b-2*5=b-2a+30b=31b-2a (è la soluzione)
2=5-3= a-15b -31b+2a= 3a-46b
1=3-2=31b-2a-3a+46b= 77b-5a= 77*13-5*200=1001-1000
allora 3= 3*77b -15 a. Quindi x=3*77=231, ovvero x ≡ 231 (mod 200) è l’unica
soluzione modulo 200, ovvero x ≡ 31 (mod 200).
21. Sistemi di congruenze lineari
Supponiamo di voler risolvere un sistema di congruenze lineari, ovvero

a x ≡ b1 (mod n1 )


 1
a2 x ≡ b2 (mod n2 )
··· ···



ar x ≡ br (mod nr ).
Una soluzione del sistema è un intero x0 ∈ Z che risolve tutte le congrueze lineari.
Di sicuro è necessario che ogni congruenza sia risolubile, altrimenti non esiste soluzione
al sistema. Inoltre, serve anche una compatibilità tra le congruenze.
Esempio 208.
x ≡ 1 (mod 10)
x ≡ 2 (mod 8)
Non ammette soluzioni perché la prima ha soluzioni solo dispari e la seconda solo
numeri pari.
Proposizione 15. Dato un sistema

a x ≡ b1 (mod n1 )


 1
a2 x ≡ b2 (mod n2 )
··· ···



ar x ≡ br (mod nr ).
APPUNTI DELLE LEZIONI DI MATEMATICA DISCRETA
71
tale che ogni congruenza ammette soluzione allora il sistema è equivalente ad un sistema
della forma

x ≡ c1 (mod n01 )



x ≡ c2 (mod n02 )
··· ···



x ≡ cr (mod n0r ).
Dimostrazione. Ogni singola congruenza ai x ≡ bi (mod ni ) ammette soluzione, quindi
di = M CD(ai , ni ) | bi . Dividiamo ogni congruenza per di e otteniamo una congruenza
equivalente a quella precedente: adi x ≡ bdi (mod ndi ) tale che M CD( ndi , adi ) = 1. Questa
congruenza ammette una unica soluzione modulo ndi , esattamente x ≡ ci (mod ndi ).
Basta porre ndi = n0i e otteniamo il sistema equivalente richiesto.
Esempio 209.
4x ≡ 8 (mod 10)
3x ≡ 3 (mod 9)
M CD(4, 10) = 2 | 8 quindi dividendo per 2 abbiamo che 4x ≡ 8 (mod 10) se e solo
se 2x ≡ 4 (mod 5). Possiamo ancora dividere per 2 (Proposizione 13) e ottenere x ≡ 2
(mod 5).
Nella seconda 3x ≡ 3 (mod 9), M CD(3, 9) = 3 | 3 dividiamo per 3 e otteniamo x ≡ 1
(mod 3).
Quindi il sistema è equivalente a
x ≡ 2 (mod 5)
x ≡ 1 (mod 3)
Teorema 18. (TEOREMA CINESE DEI RESTI) Siano n1 , . . . , nr interi positivi tali
che M CD(ni , nj ) = 1 ∀i 6= j, allora il sistema di congruenze

x ≡ c1 (mod n1 )



x ≡ c2 (mod n2 )
··· ···



x ≡ cr (mod nr )
ammette soluzione unica modulo n1 · n2 · · · nr .
Osservazione 81. Se gli interi non sono coprimi tra loro il teorema non ci dice nulla
ma non è detto che non ci siano soluzioni.
Dimostrazione. Sia N = n1 · n2 · · · · · nr e Ni = nNi , ovvero il prodotto di tutti gli nj
tranne i-esimo. Ne segue che M CD(Ni , ni ) = 1.
Consideriamo
Ni x ≡ ci (mod ni ).
Questa congruenza ha una unica soluzione modulo ni , dato che M CD(Ni , ni ) = 1.
Chiamiamo tale soluzione x̄i , ovvero Ni x̄i ≡ ci (mod ni ). Lo facciamo per ogni i e
troviamo tutte le varie soluzioni x̄i . Allora
x0 = N1 · x̄1 + N2 · x̄2 + · · · + Nr · x̄r
è soluzione del sistema e x ≡ N1 · x̄1 + N2 · x̄2 + · · · + Nr · x̄r (mod N ) è l’unica mod N .
Mostriamo che è soluzione del sistema. Infatti,
x0 = N1 · x̄1 + N2 · x̄2 + · · · + Nr · x̄r ≡ni Ni x̄i ≡ni ci
e questo per ogni i. Ne segue che x0 risolve tutte le congruenze.
Si dimostra anche che è unica mod N .
Q
Ricapitolando la soluzione mod N = i ni è unica e si trova come somma x0 =
N1 · x̄1 + N2 · x̄2 + · · · + Nr · x̄r dove ogni x̄i risolve Ni x ≡ ci (mod ni ).
72
DONATELLA IACONO
Esempio 210. Consideriamo il sistema dell’Esempio 209:
4x ≡ 8 (mod 10)
3x ≡ 3 (mod 9)
Abbiamo visto che il sistema è equivalente a
x ≡ 2 (mod 5)
x ≡ 1 (mod 3)
Applichiamo roa il Teorema Cinese dei Resti per risolverelo, infatti M CD(3, 5) = 1.
Consideriamo le due congruenze:
3x ≡ 2
(mod 5)
e
5x ≡ 1
(mod 3)
La prima ha come soluzione x1 ≡ 4 (mod 5); la seconda x2 ≡ 2 (mod 3). Quindi
x0 = 3 · 4 + 5 · 2 = 22
è soluzione e tutte le soluzioni sono
x ≡ 22
(mod 15)
ovvero
x≡7
(mod 15).
APPUNTI DELLE LEZIONI DI MATEMATICA DISCRETA
73
22. Strutture Algebriche
Definizione 59. (OPERAZIONE) Sia A un insieme non vuoto (finito o infinito). Una
operazione su A è una qualunque funzione:
∗:A×A→A
∀ a, b ∈ A
∗ (a, b) = a ∗ b ∈ A.
La coppia ordinata (A, ∗) si chiama struttura algebrica.
Esempio 211. A = N, ∗ = +. + : N × N → N, tale che ∀ a, b ∈ N con +(a, b) = a + b.
Infatti a + b ∈ N. È ben definita. Allora (N, +) è una struttura algebrica e + è
l’operazione di somma.
Esempio 212. A = N, ∗ = −. − : N × N → N, tale che ∀ a, b ∈ N con −(a, b) = a − b.
Non è una operazione.
Esempio 213. A = Z, ∗ = −. − : Z × Z → Z, tale che ∀ a, b ∈ Z con −(a, b) = a − b.
Infatti a − b ∈ Z, ∀ a, b ∈ Z, quindi è ben definita. Allora (Z, −) è una struttura
algebrica.
Esempio 214. Esempi di strutture algebriche: (N, +), (Z, +), (Q, +), (R, +), (N, ·),
(Z, ·), (Q, ·), (R, ·), (Z, −), (Q, −), (R, −).
Esempio 215. Consideriamo A = Q e definiamo ∗ : Q × Q → Q, tale che ∀ a, b ∈ Q
con ∗(a, b) = 2a2 − 4b3 . Questa operazione è ben definita, infatti a ∗ b ∈ Q. Allora (Q, ∗)
è una struttura algebrica.
Esempio 216. Consideriamo A = Z e definiamo ∗ : Z × Z → Z, tale che ∀ x, y ∈ Z con
∗(x, y) = 2xy + x + y. Questa operazione è ben definita, infatti x ∗ y ∈ Z. Allora (Z, ∗)
è una struttura algebrica.
Definizione 60. (ASSOCIATIVA) Sia (A, ∗) una struttura algebrica. L’operazione ∗ è
associativa su A se ∀x, y, z ∈ A, si ha
(x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z).
In tal caso, diremo che (A, ∗) è una struttura algebrica associativa.
Esempio 217. (Z, +), (Z, ·) sono strutture algebriche associative, già visto (Sezione
14).
Esempio 218. (Q, ·) è una struttura algebrica associativa:
·:Q×Q→Q
· (a, b) = a · b
è associativa: ∀ a, b, c ∈ Q si ha a · (b · c) = (a · b) · c.
Esempio 219. (N, +) (Q, +), (Q, ·), (R, +) (R, ·) sono strutture algebriche associative.
Esempio 220. Consideriamo (R, −) con
−:R×R→R
− (a, b) = a − b.
E ci chiediamo è associativa? Calcoliamo (x ∗ y) ∗ z e x ∗ (y ∗ z):
(x ∗ y) ∗ z = (x − y) − z = x − y − z
x ∗ (y ∗ z) = x − (y − z) = x − y + z,
e i risultati non sono uguali, per ogni scelta di x, y e z ∈ R. Ad esempio se x = 0, y = 0
e z = 1, allora x − y − z = −1; x − y + z = 1. Quindi (R, −) è una struttura algebrica
non associativa.
Esempio 221. Sia B un insieme fissato non vuoto e A = {f : B → B} l’insieme delle
funzioni da B in B. La composizione
◦:A×A→A
◦ (f, g) = g ◦ f
è una operazione su A ed abbiamo già visto che è associativa: ∀f, g, h ∈ A si ha che
f ◦ (g ◦ h) = (f ◦ g) ◦ h (Sezione 4.4). Quindi (A = {f : B → B}, ◦) è una struttura
algebrica associativa.
74
DONATELLA IACONO
Definizione 61. (ELEMENTO NEUTRO) Una struttura algebrica (A, ∗) ammette
elemento neutro se
∃e∈A
tale che
∀x ∈ A
x ∗ e = e ∗ x = x.
Osservazione 82. Nella definizione: ∃e ∈ A tale che ∀x ∈ A; ovvero esiste un elemento
e che “va bene”per ogni elemento x di A.
Esempio 222. Consideriamo A = Z con ∗ = +, dove + : Z × Z → Z, tale che ∀ a, b ∈ Z
con +(a, b) = a + b ∈ Z. Allora ∃e = 0 ∈ Z tale che ∀a ∈ Z si ha a + 0 = 0 + a = a.
Osservazione 83. Se esiste un elemento neutro e in (A, ∗), allora è unico. Infatti, se
ne esistessero due: e1 e e2 in (A, ∗). Allora
e1 = e1 ∗ e2 = e2 .
Nella prima uguaglianza, sfruttiamo che e2 è elemento neutro, nella seconda che e1 è
elemento neutro.
Definizione 62. (MONOIDE) Una strutura algebrica (A, ∗) associativa e dotata di
elemento neutro, si chiama monoide.
Esempio 223. Esempi di Monoide:
(N, +), (Z, +), (Q, +), (R, +), associative ed e = 0 è elemento neutro.
(N, ·), (Z, ·),(Q, ·),(R, ·), associative ed e = 1 è elemento neutro.
(A = {f : B → B}, ◦) associativo ed e = IdB è elemento neutro.
Esempi di Non Monoide: (Z, −),(Q, −),(R, −), (perché sono strutture algebriche non
associative).
22.1. Esempio: Monoide delle parole. Sia L un insieme finito non vuoto, detto
alfabeto (esempio lettere dell’alfabeto italiano o inglese o altro). Gli elementi dell’insieme
L sono dette lettere dell’alfabeto. Una parola nell’alfabeto L è una sequenza (finita) di
elementi di L:
w = a1 a2 . . . an
con ai ∈ L,
∀ i = 1, . . . n;
w è una parola di lunghezza n (n =numero delle lettere della parola).
Notiamo che non è un prodotto, scriviamo le lettere vicino per formare una parola.
Poi abbiamo parola vuota e la indichiamo con ∅ ed è la sequenza vuota, quindi parola
di lunghezza zero.
Definiamo A = insieme delle parole nell’alfabeto L, è un insieme infinito.
Esempio 224. Sia L = {a, b, c}. Allora possiamo fare i seguenti esempi di parole: ∅, a,
b, aa, bb, aaabbbccacbabcbabbcc.
Definiamo una struttura algebrica su A definendo la seguente operazione su A:
∗:A×A→A
∗ (w1 , w2 ) = w1 w2
dove w1 w2 è la giustapposizione (o concatenazione) di parole, ovvero scriviamo una
parola dopo l’altra. Se w1 = a1 a2 . . . an e w2 = b1 b2 . . . bm allora
w1 ∗ w2 = a1 a2 . . . an b1 b2 . . . bm .
Esempio 225. L = {a, b, c}; w1 = aabcaa w2 = abbb allora w1 w2 = aabcaaabbb. Oppure
w2 w1 = abbbaabcaa.
Proprietà della struttura algebrica (A, ∗)
(1) ∀w ∈ A si ha che w ∗ ∅ = ∅ ∗ w = w (ovvero ∅ è l elemento neutro).
(2) ∀w1 , w2 , w3 ∈ A si ha che (w1 ∗ w2 ) ∗ w3 = w1 ∗ (w2 ∗ w3 ) (ovvero ∗ è associativa).
APPUNTI DELLE LEZIONI DI MATEMATICA DISCRETA
75
Quindi (A, ∗) è una struttura algebrica associativa con elemento neutro e = ∅. Quindi
(A, ∗) è un monoide: il monoide (libero) delle parole nell’alfabeto L.
Osservazione 84. Il monoide delle parole su un alfabeto L è usato nei linguaggi di
programmazione. Ad esempio, se L = {a, b, c} allora a volte è chiamato monoide libero
con 3 generatori. Studieremo il significato della parola generatori, quando affronteremo
i gruppi.
Definizione 63. (COMMUTATIVA) Sia (A, ∗) una struttura algebrica. L’operazione
∗ soddisfa la proprietà commutativa se
∀a, b, ∈ A
si ha a ∗ b = b ∗ a.
Se in un monoide l’operazione è commutativa, allora si dice monoide commutativo.
Esempio 226. Esempi di Monoide Commutativo:
(N, +), (Z, +),(Q, +),(R, +), (N, ·), (Z, ·),(Q, ·),(R, ·)
Esempi di Monoide Non Commutativo:
(A = {f : B → B}, ◦), se B ha almeno due elementi.
Il monoide delle parole, se l’alfabeto è costituito da almeno due lettere.
Esercizio 56. Stabilire se ∗ : Z × Z → Z con ∀x, y ∈ Z, x ∗ y = 2xy + x + y è una
operazione associativa, ammette elemento neutro, è commutativa.
Esercizio 57. Stabilire se ∗ : Z × Z → Z con ∀x, y ∈ Z, x ∗ y = xy + x è una operazione
associativa, ammette elemento neutro, è commutativa.
Esercizio 58. Stabilire se ∗ : Q × Q → Q con ∀x, y ∈ Q, x ∗ y = xy − x − y + 3 è una
operazione associativa, ammette elemento neutro, è commutativa.
Definizione 64. (elemento INVERTIBILE) Sia (A, ∗) una struttura algebrica dotata
di elemento neutro e. Un elemento a ∈ A si dice invertibile, se esiste a0 ∈ A con
a ∗ a0 = a0 ∗ a = e
L’elemento a ∈ A si dice inverso di a e si denota con a−1 . Se ∗ = + si denota con −a e
si chiama anche opposto.
Proposizione 16. Sia (A, ∗) un monoide. Se un elemento a ∈ A ammete inverso esso
è unico.
Dimostrazione. Supponiamo che a ammetta due inversi, a0 e a00 . Allora, per definizione:
e = a ∗ a0 = a0 ∗ a
e = a ∗ a00 = a00 ∗ a.
Quindi
a00 inv
ass
a0 inv
a0 = a0 ∗ e = a0 ∗ (a ∗ a00 ) = (a0 ∗ a) ∗ a00 = e ∗ a00 = a00
Osservazione 85. Se a è invertibile ed a−1 è inverso, allora (a−1 )−1 = a. Infatti,
a ∗ a−1 = a−1 ∗ a = e. Ma allora l’inverso di a−1 è a.
Osservazione 86. Sia (A, ∗) un monoide. Se a e b sono invertibili, allora a ∗ b è
invertibile e
(a ∗ b)−1 = b−1 ∗ a−1 .
Infatti (a ∗ b) ∗ (b−1 ∗ a−1 ) = e e (b−1 ∗ a−1 ) ∗ (a ∗ b) = e.
Quindi (a ∗ b)−1 = b−1 ∗ a−1 .
Esempio 227. Consideriamo la struttura algebrica (Q, ·). Allora l’elemento neutro è
1. Se a = 3, allora a−1 = 31 . Allora (a−1 )−1 = ( 31 )−1 = 3 = a.
Se b = 4, allora b−1 = 14 . Allora (b−1 )−1 = ( 14 )−1 = 4.
1
Allora a · b = 12 e (a · b)−1 = 12
= 14 · 13 .
76
DONATELLA IACONO
Osservazione 87. Sia (A, ∗) una struttura algebrica con elemento neutro e, allora e è
inverso di se stesso. SEMPRE!
Osservazione 88. Sia (A, ∗) un monoide.
Se usiamo la notazione moltiplicativa allora (A, ·), ovvero ∗ = ·, elemento neutro e = 1
e l’inverso si indica con a−1 .
Se usiamo la notazione additiva allora (A, +), ovvero ∗ = +, elemento neutro e = 0 e
l’opposto si indica con −a.
Esempio 228. (N, +) (monoide) a + a0 = a0 + a = 0 vero solo se a = 0, e a0 = 0. Quindi
0 è l’unico elemento che ammette opposto (N, +).
(N, ·) (monoide) a · a0 = a0 · a = 1 vero solo se a = 1 e in tal caso esiste a0 = 1 inverso.
Quindi 1 è l’unico elemento che ammette inverso in (N, ·) ed è 1.
(Z, +) (monoide) ogni elemento ha opposto. Infatti a + a0 = 0 = a0 + a ha soluzione
per ogni a ∈ Z, basta prendere a0 = −a.
Analogamente ogni elemento in (Q, +),(R, +) ammette opposto.
(Z, ·) (monoide) a · a0 = 1 = a0 · a ammette soluzione se e solo se a = 1 o a = −1. Se
a = 1 allora inverso a0 = 1. Se a = −1 allora inverso a0 = −1.
(Q, ·) (monoide) a · a0 = 1 = a0 · a ammette soluzione per ogni a 6= 0 basta prendere
a−1 = a1 .
Analogmanete, in (R, ·), ogni elemento a 6= 0 è invertibile e l’inverso è a−1 = a1 .
(A = {f : B → B}, ◦). Le funzioni biettive sono tutti e soli gli elementi invertibili.
23. Gruppi
Definizione 65. (GRUPPO) Una struttura algebrica (A, ∗) è un gruppo se è un monoide
in cui ogni elemento è invertibile, ovvero è una struttura algebrica associativa dotata di
elemento neutro e ogni elemento ha inverso. Esplicitamente
(1) ∗ è associativa: ∀x, y, z ∈ A, si ha (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z).
(2) Esiste elemento neutro: ∃e ∈ A tale che ∀x ∈ A
x ∗ e = e ∗ x = x.
(3) Ogni elemento è invertibile: ∀x ∈ A, ∃x0 ∈ A con x ∗ x0 = x0 ∗ x = e.
Notazione. Per le strutture algebriche scriviamo (A, ∗), per i gruppi si usa la notazione (G, ∗).
Osservazione 89. Nella notazione di gruppo non si richiede che l’operazione sia commutativa.
Definizione 66. (Gruppo abeliano) Un gruppo (G, ∗) si dice gruppo commutativo o
gruppo abeliano 13, se ∗ è commutativa, ovvero se
∀a, b, ∈ A
si ha a ∗ b = b ∗ a.
Esempio 229. (N, +), (N, ·), (Z, ·) non sono gruppi.
(Z, +), (Q, +),(R, +) sono gruppi abeliani.
(Q, ·),(R, ·) non sono gruppi, perché 0 non è invertibile.
(Q − {0}, ·),(R − {0}, ·) sono gruppi abeliani.
B insieme non vuoto, (A = {f : B → B | f biettiva }, ◦) è un gruppo (non abeliano
per |B| ≥ 3). La Sezione 24 è dedicata a questo gruppo.
13N.H. Abel, 1802-1829. Matematico Norvegese.
APPUNTI DELLE LEZIONI DI MATEMATICA DISCRETA
77
23.1. Operazioni compatibili con relazioni di equivalenza.
Definizione 67. Sia (A, ∗) una struttura algebrica. Una relazione di equivalenza R su
A si dice compatibile con ∗ se:
∀a, b, c, d ∈ A
aRb e cRd =⇒ a ∗ c R b ∗ d
ovvero se (a, b) ∈ R e (c, d) ∈ R allora (a ∗ c, b ∗ d) ∈ R.
Ricordiamo che abbiamo visto la seguente proposizione (Proposizione 12):
Proposizione. 12 La relazione di congruenza modulo n è compatibile con le operazioni
di somma e prodotto in Z ovvero ∀ a, b, c, d ∈ Z se a ≡ b (mod n) e c ≡ d (mod n)
allora
(1) a + c ≡ b + d (mod n),
(2) a · c ≡ b · d (mod n).
Esempio 230. 1) Sia (A, ∗) = (Z, +) e ∀n ≥ 2 sia R= congruenza modulo n, ovvero
≡ (mod n). Allora per la Proposizione 12, la relazione di congruenza modulo n è
compatibile con la somma + su Z.
2) Sia (A, ∗) = (Z, ·) e ∀n ≥ 2 sia R= congruenza modulo n, ovvero ≡ (mod n).
Allora per la Proposizione 12, la relazione di congruenza modulo n è compatibile con i
prodotto · su Z.
Teorema 19. Sia (A, ∗) una struttura algebrica e R una relazione di equivalenza su A
compatibile con ∗. Allora è possibile definire sull’insieme quoziente A/R una legge di
composizione ∗R . Ovvero, sull’insieme quoziente
A/R = {[a]R | a ∈ A} = { classi di equivalenza }
è definita l’operazione
∗R : A/R × A/R → A/R
([a]R , [b]R ) 7−→ [a]R ∗R [b]R = [a ∗ b]R .
Scriveremo (A/R, ∗) al posto di (A/R, ∗R ).
Si verifica che ∗ è una operazione ben definita sull’insieme quoziente A/R e gode delle
proprietà di ∗:
(1) Se (A, ∗) è un monoide allora (A/R, ∗) è un monoide.
(2) Se (A, ∗) è un gruppo allora (A/R, ∗) è un gruppo.
(3) Se (A, ∗) è un gruppo commutativo allora (A/R, ∗) è un gruppo commutativo .
ESEMPIO FONDAMENTALE 1) Sia (A, ∗) = (Z, +) e ∀n ≥ 2 sia R= congruenza modulo n, ovvero ≡ (mod n). R è compatibile con la somma + su Z, quindi
per il Teorema 19 è ben definita l’operazione di somma + su Z/ ≡n . Usiamo la notazione
Z/ ≡n = Zn :
+ : Zn × Zn → Zn
tale che ∀[a]n , [b]n ∈ Zn si ha
[a]n + [b]n = [a + b]n .
(La somma di due classi di equivalenza è la classe di equivalenza della somma).
Notiamo che (Z, +) è un gruppo abeliano quindi (Zn , +) è un gruppo abeliano.
78
DONATELLA IACONO
Esempio 231. n=7, consideriamo (Z7 , +);
Z7 = {[0]7 , [1]7 , . . . , [6]7 }
[3]7 + [5]7 = [3 + 5]7 = [8]7 = [1]7 , [6]7 + [1]7 = [6 + 1]7 = [7]7 = [0]7 .
Osservazione 90. Nel gruppo abeliano (Zn , +), l’elemento neutro è [0]n . Infatti:
∀[a]n ∈ Zn
[a]n + [0]n = [0]n + [a]n = [0 + a]n = [a]n .
ESEMPIO FONDAMENTALE 2) Sia (A, ∗) = (Z, ·) e ∀n ≥ 2 sia R= congruenza
modulo n, ovvero ≡ (mod n). R è compatibile con il prodotto · su Z. Quindi per il
Teorema 19 è ben definita l’operazione di prodotto · su Zn :
· : Zn × Zn → Zn
tale che ∀[a]n , [b]n ∈ Zn si ha
[a]n · [b]n = [a · b]n .
(Il prodotto di due classi di equivalenza è la classe di equivalenza del prodotto).
Notiamo che (Z, ·) è un monoide commutativo, quindi (Zn , ·) è un monoide commutativo.
Esempio 232. Ad esempio per n = 8, consideriamo (Z8 , ·);
Z8 = {[0]8 , [1]8 , . . . , [7]8 }
[3]8 · [5]8 = [3 · 5]8 = [15]8 = [7]8 ;
[3 · 3]8 = [9]8 = [1]8 .
[2]8 · [4]8 = [2 · 4]8 = [8]8 = [0]8 ,
[3]8 · [3]8 =
Osservazione 91. Nel monoide commutativo (Zn , ·), l’elemento neutro è [1]n . Infatti:
∀[a]n ∈ Zn
[a]n · [1]n = [1]n · [a]n = [1 · a]n = [a]n .
23.2. Sottogruppi.
Definizione 68. (SOTTOGRUPPO) Un sottogruppo di un gruppo (G, ∗) è un sottoinsieme non vuoto H dell’insieme G, che è un gruppo rispetto a ∗, ovvero rispetto alla
stessa operazione di G: quindi ∗ : H × H → H. Esplicitamente, H 6= ∅ è un sottogruppo
di G se e solo se
(1) ∀h, k ∈ H =⇒ h ∗ k ∈ H (H è chiuso rispetto alla operazione ∗, ovvero ∗ è una
operazione su H).
(2) e ∈ H (l’elemento neutro di G appartiene ad H).
(3) ∀ h ∈ H =⇒ h−1 ∈ H.
Notazione. Per indicare un sottogruppo si usa la notazione H ≤ G.
Osservazione 92. La condizione 1) implica che ∗ è una operazione su H, l’associatività
è automatica, ereditata da ∗ su G.
Il seguente teorema fornisce una caratterizzazione dei sottogruppi.
Teorema 20. (Caratterizzazione dei sottogruppi) Un sottoinsieme non vuoto H di un
gruppo (G, ∗) è un sottogruppo se e soltanto se
∀ h, k ∈ H =⇒ h ∗ k −1 ∈ H.
Esempio 233. Per ogni n ∈ Z si ha che H = nZ = {n · t | t ∈ Z} è sottogruppo
di (Z, +). Basta applicare il Teorema 20. Infatti, siano h, k ∈ H, quindi esistono a
e b in Z tale che h = na e k = nb. Quindi l’inverso di k è −nb = n(−b). Pertanto
h ∗ k −1 = h + (−k) = na + n(−b) = n(a − b) ∈ H.
APPUNTI DELLE LEZIONI DI MATEMATICA DISCRETA
79
Esempio 234. (Z, +) è un gruppo. Consideriamo H = 2Z = {2n | n ∈ Z} ⊆ Z, ovvero
il sottoinsieme dei numeri pari. Allora (H, +) è un sottogruppo.
Esempio 235. (Z, +) è un gruppo. Consideriamo K = {2n + 1 | n ∈ Z}, ovvero
sottoinsieme numeri dispari. Allora (K, +) è un gruppo?
1)+ : K × K → K? Sia h, k ∈ K, allora h = 2n + 1 e k = 2m + 1. Quindi
h + k = 2n + 1 + 2m + 1 = 2(n + m + 1) 6∈ K. Ne segue che + NON è una operazione
su K. Quindi K non è un sottogruppo.
Potevamo anche osservare che 0 6∈ K, quindi K non è un sottogruppo.
Esempio 236. In ogni gruppo (G, ∗):
- il sottoinsieme costituito dal solo elemento neutro e, ovvero {e}, è un sottogruppo
(SEMPRE!).
- G ≤ G, ovvero ogni gruppo è sottogruppo di se stesso (SEMPRE!).
Definizione 69. (ORDINE o CARDINALITÀ) Sia (G, ∗) un gruppo. Si dice ordine o
cardinalità del gruppo la cardinalità dell’insieme G, e la indichiamo con |G|.
Se |G| = +∞, allora diremo che (G, ∗) è un gruppo infinito.
Se |G| = n, con n ∈ N∗ allora diremo che (G, ∗) è un gruppo finito di ordine o
cardinalità n.
Esempio 237. (Z, +), (Q, +), (R, +) sono gruppi abeliani infiniti.
(Q − {0}, ·), (R − {0}, ·) sono gruppi abeliani infiniti.
(Zn , +) gruppo abeliano finito di ordine o cardinalità n.
(Z11 , +) ha cardinalità 11.
Sia B un insieme con n elementi, allora (A = {f : B → B | f biettiva }, ◦) è un
gruppo (non abeliano se |B| ≥ 3) finito con n! elementi (Osservazione 32). La Sezione
24 è dedicata a questo gruppo.
Teorema 21. (Lagrange14) Sia (G, ∗) un gruppo finito, e H ≤ G sottogruppo di G,
allora l’ordine di H divide l’ordine di G ovvero |H| | |G|.
Quindi se |G| = n e H ≤ G, allora |H| = h e h | n.
Esempio 238. Consideriamo (Z8 , +).
H = {[0]8 , [1]8 , [3]8 }, allora |H| = 3 6| 8, quidi H non può essere sottogruppo.
Osservazione 93. Non è vero il viceversa, se un sottoinsieme H ⊆ G ha ordine h e
h | n non è detto che H sia sottogruppo.
Esempio 239. Consideriamo (Z8 , +) e H = {[1]8 , [3]8 }. Ordine di H è 2 e 2 | 8 ma H
non è un sottogruppo (ad esempio perché non ammette elemento neutro).
Proposizione 17. Sia (G, ∗) un gruppo. Il sottoinsieme di G:
< g >= {g t | t ∈ Z}
è un sottogruppo di G e si chiama sottogruppo ciclico di G generato da g.
Con la notazione g t indichiamo le potenze di g in G. Se e denota l’elemento neutro,
e g 0 l’inverso di g, allora ∀t ∈ Z le potenze t-esime di g sono

g 0 = e,

t
g = g ∗ g ∗ g · · · ∗ g (t − volte)
∀t > 0,
 −t
g = (g 0 )t = g 0 ∗ g 0 ∗ g 0 · · · ∗ g 0 (t − volte) ∀t > 0.
Se usiamo la notazione moltiplicativa, cioè il gruppo è (G, ·), allora l’elemento neutro
lo indichiamo con 1, l’opposto di un elemento g lo indichiamo con g −1 . Allora ∀t ∈ Z,
14 Joseph Louis Lagrange circa 1736-1813 matematico nato a Torino.
80
DONATELLA IACONO
le potenze t-esime di g sono

g 0 = 1G

g t = g · g · g · · · · g (t − volte)
∀t > 0,
 −t
−1
g = (g )t = g −1 · g −1 · g −1 · · · · g −1 (t − volte) ∀t > 0.
Se usiamo la notazione additiva, cioè il gruppo è (G, +), allora l’elemento neutro lo
indichiamo con 0, l’opposto di un elemento g lo indichiamo con −g. Allora ∀t ∈ Z, le
potenze t-esime di g di dicono multipli t-esimi di g e sono

0·g =0

t · g = g + g + g · · · + g (t − volte)
∀t > 0

(−t)g = t(−g) = (−g) + (−g) + · · · + (−g) (t − volte) ∀t > 0
Quindi, in un gruppo (G, ·) con la notazione moltiplicativa
< g >= {g t | t ∈ Z} = {g 0 = 1, g, g −1 , g 2 , g −2 , . . .}
è il sottogruppo ciclico di(G, ·) generato da g.
Esempio 240. Consideriamo il gruppo (Q∗ , ·), 1 ∈ Z. Allora
< 1 >= {1n | n ∈ Z} = {1}, gruppo finito di ordine 1.
< −1 >= {(−1)n | n ∈ Z} =potenze di (-1)={1, −1}, gruppo finito di ordine 2.
In generale, per ogni elemento h ∈ Q∗ , abbiamo
< h >= {hn | n ∈ Z} = potenza di h. Ad esempio
< 3 >= {3n | n ∈ Z} = {3, 1, 31 , ..}, che è un gruppo infinito.
Analogamente, in un gruppo (G, +) con la notazione additiva
< g >= {tg | t ∈ Z} = {0g = 0, g, −g, 2g, −2g, 3g, . . .}
è il sottogruppo ciclico di(G, +) generato da g.
Esempio 241. Consideriamo il gruppo (Z, +). Se fissiamo g = 2 ∈ Z, allora
< 2 >= {t · 2 | t ∈ Z} = insieme dei multipli di due= insieme numeri pari=2Z.
< 5 >= {t · 5 | t ∈ Z} = insieme dei multipli di cinque=5Z.
Per ogni elemento n ∈ Z fissato,
< n >= {t · n | t ∈ Z} =multipli di n = nZ. Per l’Esempio 233, sapevamo che era un
sottogruppo. Ora possiamo concludere che è un sottogruppo ciclico generato da n.
< 1 >= {n · 1 | n ∈ Z} =multipli di 1= Z.
< −1 >= {n · (−1) | n ∈ Z} =multipli di -1= Z.
< 0 >= {0}.
Osservazione 94. In ogni gruppo (G, ∗), il sottogruppo generato dall’elemento neutro
e, contiene solo e. Ovvero, < e >= {e}.
Definizione 70. (Periodo o ordine di un elemento) Siano (G, ∗) un gruppo e g ∈ G.
L’ordine o periodo dell’elemento g è l’ordine del sottogruppo generato dall’elemento g e
si indica con o(g), ovvero
o(g) = | < g > |.
Se < g > ha ordine finito, ovvero se | < g > | = n, allora diremo che l’elemento g ha
periodo n (o ordine n) e scriviamo o(g) = n.
Se < g > ha ordine infinito, ovvero | < g > | = ∞, allora diremo che l’elemento g ha
periodo infinito (o ordine infinito) e scriviamo o(g) = ∞.
Esempio 242. In (Z, +), o(0) = | < 0 > | = |{0}| = 1,
o(1) = | < 1 > | = |Z| = ∞
o(2) = ∞, o(3) = ∞. In (Z, +), tutti gli elementi non nulli hanno ordine infinito.
Esempio 243. In (Q∗ , ·), abbiamo che o(1) = 1, o(−1) = 2, o(a) = ∞, ∀a 6= 1, −1
(Esempio 240).
APPUNTI DELLE LEZIONI DI MATEMATICA DISCRETA
81
Osservazione 95. Se G è finito, diciamo |G| = n. Poiché il sottogruppo < g >
generato da g è sottogruppo di G, per il Teorema di Lagrange (Teorema 21), si ha che
| < g > | = h|n. Quindi nei gruppi finiti, l’ordine o(g) di un qualsiasi elemento
g è un divisore dell’ordine del gruppo.
Osservazione 96. L’ordine dell’elemento neutro è 1 (SEMPRE!). Infatti, sia e l’elemento
neutro in un gruppo (G, ∗), sappiamo che < e >= {e} (Osservazione 94). Quindi:
o(e) =|< e >|= |{e}| = 1.
Inoltre, l’elemento neutro è l’unico elemento in qualsiasi gruppo ad avere ordine 1.
Proposizione 18. Sia (G, ∗), un gruppo g ∈ G. Allora valgono le seguenti proprietà:
(1) Se o(g) è infinito, allora ∀h, k ∈ Z se h 6= k, allora g h 6= g k , ovvero tutte le
potenze sono distinte. Analogamente in (G, +), se o(g) è infinito, allora hg 6= kg,
multipli distinti.
(2) Se o(g) è finito e o(g)=n. Allora n è il più piccolo naturale tale che g n = e
(e elemento neutro di G). Inoltre, le potenze distinte di g sono esattamente n:
g 0 , g 1 , . . . , g n−1 . Infine, ∀h, k ∈ Z allora g h = g k , se e solo se h ≡ k (mod n).
Analogamente, in (G, +), se o(g) = n, allora hg = kg se e solo se h ≡ k
(mod n).
Osservazione 97. Per definizione, preso g in un gruppo (G, ∗):
o(g) = | < g > |,
ovvero l’ordine di un elemento g è l’ordine del sottogruppo generato dall’elemento g. La
Proposizione 18 ci dice che se o(g) = n, allora n è il più piccolo intero tale che g n = e,
dove e indica l’elemento neutro del gruppo (G, ∗) e
< g >= {g 0 = e, g 1 , . . . , g n−1 }.
Esercizio 59. In (Z6 , +), calcolare l’ordine di g = [2]6 , [3]6 , [5]6 .
SKETCH: |Z6 | = 6, quindi è un gruppo finito. Allora per il Teorema di Lagrange
(Teorema 21) e l’Osservazione 95, l’ordine di ogni elemento è un divisore di 6, ovvero,
può essere 1, 2, 3 o 6. Ricordiamo che < g >= {hg | h ∈ Z} e o(g) = | < g > |.
Dobbiamo calcolare o([2]6 ). Per definizione o([2]6 ) = | < [2]6 > |. Quindi dobbiamo
determinare il sottogruppo < [2]6 > e contare i suoi elementi. Si ha che < [2]6 >=
{[0]6 , [2]6 , [4]6 }. Questo è il sottogruppo generato da [2]6 (ad esempio −[2]6 = [4]6 ).
Quindi si ha che | < [2]6 > | = 3 da cui concludiamo che o([2]6 ) = | < [2]6 > | = 3.
Dobbiamo calcolare o([3]6 ). Per definizione o([3]6 ) = | < [3]6 > |. Quindi dobbiamo determinare il sottogruppo < [3]6 >. Abbiamo che < [3]6 >= {[0]6 , [3]6 } Quindi:
o([3]6 ) = | < [3]6 > | = 2
Dobbiamo calcolare o([5]6 ) = | < [5]6 > |. Quindi < [5]6 >= {[0]6 , [5]6 , [4]6 , [3]6 , [2]6 , [1]6 }
o([5]6 ) = | < [5]6 > | = 6. (Potevamo fermarci anche dopo aver calcolato 3 · [5]6 = [3]6 .
Infatti questo ci dice che l’ordine di [5]6 non è ne 1, ne 2, ne 3. Poiché abbiamo detto
che l’ordine può essere 1, 2, 3 o 6, possiamo concludere che l’ordine di [5]6 è 6).
Esempio 244. 4[2]6 = [8]6 = [2]6 . Infatti, le potenze 4 e 1 di [2]6 sono equivalenti
modulo o([2]6 ) = 3: 4 ≡ 1 (mod 3).
Esempio 245. In (Z12 , +), consideriamo [4]12 .
I multipli di [4]12 sono: [0]12 , [4]12 , [8]12 , [12]12 = [0]12 . Quindi o([4]12 ) = 3 e <
[4]12 >= {[0]12 , [4]12 , [8]12 }.
82
DONATELLA IACONO
23.3. Gruppi ciclici.
Definizione 71. (CICLICO) Un gruppo (G, ∗) si dice ciclico se esiste un elemento g con
< g >= G ovvero se il sottogruppo generato da g è G. In tal caso, g è detto generatore
del gruppo.
Osservazione 98. Dire che G è un gruppo ciclico generato da g significa dire < g >= G,
quindi ogni elemento h di G è una potenza di g: ∀h ∈ G ∃t ∈ Z tale che h = g t .
Esempio 246. Il gruppo (Z, +) è ciclico. Infatti, < 1 >=< −1 >= Z. Sia 1 che -1
sono generatori: (Z, +) ha 2 generatori.
- (Z6 , +) è ciclico, abbiamo visto nell’Esercizio 59 che [5]6 è generatore.
Osservazione 99. Per ogni n ≥ 2, la classe [1]n è generatore in (Zn , +). Infatti <
[1]n >= {[0]n , [1]n , . . . [n − 1]n } = Zn .
Quindi, (Zn , +) è un gruppo ciclico per ogni n.
Proprietà dei gruppi CICLICI
(1) Ogni gruppo ciclico (G, ∗) è un gruppo abeliano: ∀ g h , g k ∈ G
g k+h = g k ∗ g h .
g h ∗ g k = g h+k =
(2) Siano (G, ∗) un gruppo ciclico di ordine n e g un generatore. Allora, l’elemento
g h di G ha ordine:
n
.
|< g h >|= o(g h ) =
M CD(h, n)
Esempio 247. In (Z8 , +), calcolare o([2]8 ) e o([3]8 ). Allora Z8 =< [1]8 >. Quindi,
[2]8 = 2[1]8 e [3]8 = 3[1]8 . Ne segue che
o([2]8 ) =
8
=4
M CD(2, 8)
o([3]8 ) =
8
=8
M CD(3, 8)
Scrivere sottogruppo generato. Il sottogruppo generato da [2]8 contiene 4 elementi ed è
< [2]8 >= {[0]8 , [2]8 , [4]8 , [6]8 }.
Il sottogruppo generato da [3]8 contiene 8 elementi ed è tutto Z8 :
< [3]8 >= {[0]8 , [3]8 , [6]8 , [1]8 , [4]8 , [7]8 , [2]8 , [5]8 }.
Corollario 1. Sia (G, ∗) gruppo ciclico finito di ordine n generato da g. Allora, i
generatori sono tutti gli element g h tali che M CD(h, n) = 1. Quindi ci sono ϕ(n)
generatori, dove ϕ(n) è la funzione di Eulero.
Esempio 248. In (Zn , +) i generatori sono tutti e soli gli elementi di Zn che sono coprimi
n
con n, ovvero [h]n ∈ Zn tali che M CD(h, n) = 1. Infatti, o([h]n ) = M CD(h,n)
= n1 = n.
Quindi in (Zn , +) ci sono ϕ(n) generatori, dove ϕ(n) è la funzione di Eulero.
In particolare, se n = p primo (Zp , +), allora ogni elemento [h]p 6= [0]p è un generatore.
Esempio 249. Consideriamo (Z16 , +). Sappiamo che è un gruppo ciclico generato da
[1]16 .
Inoltre, la funzione di Eulero ϕ(16) = ϕ(24 ) = 24 − 23 = 16 − 8 = 8, quindi esistono
8 generatori e sono le classi [h]16 tali che M CD(h, 16) = 1.
Quindi, gli elementi [1]16 , [3]16 , [5]16 , [7]16 , [9]16 , [11]16 , [13]16 , [15]16 sono tutti e soli i
generatori.
Esercizio 60. In (Z12 , +) calcolare ordine di ogni elemento. Chi sono i generatori e
quanti sono?
APPUNTI DELLE LEZIONI DI MATEMATICA DISCRETA
83
Fino ad ora gli unici gruppi abeliani finiti che abbiamo studiato sono (Zn , +), con
n ∈ N e i suoi sottogruppi.
Consideriamo ora (Zn , ·) monoide commutativo: · è associativa, commutativa, esiste
elemento neutro [1]n ma non tutti gli elementi hanno inverso.
Consideriamo un elemento in [a]n ∈ Zn ? Ammette inverso? Esiste [x]n ∈ Zn tale che
[a]n · [x]n = [1]n ?
Teorema 22. Un elemento [a]n in (Zn , ·) ammette inverso se e solo se M CD(a, n) = 1.
Dimostrazione. Un elemento [a]n in (Zn , ·) ammette inverso se e solo se esiste [x]n
in Zn , tale che [a]n · [x]n = [1]n . Quindi, dobbiamo risolvere [ax]n = [1]n ovvero la
congruenza lineare ax ≡ 1 (mod n). Questa congruenza ammette soluzioni se e solo
se M CD(a, n) | 1, ovvero se e solo se M CD(a, n) = 1 (Teorema 16). Notiamo che
se il M CD(a, n) = 1, allora la soluzione della congruenza è unica, giusto! Infatti, nei
monoidi se l’inverso esiste è unico, come abbiamo dimostrato nella Proposizione 16.
Teorema 23. Per ogni numero primo p, (Z∗p , ·) è un gruppo abeliano.
Dimostrazione. Osserviamo che · è una operazione su Z∗p : il prodotto di due classi non
nulle in Z∗p è ancora non nulla per la definizione di numero primo: ∀[a]p , [b]p ∈ Z∗p allora
[a]p · [b]p = [ab]p ∈ Z∗p . Infatti, se [a]p , [b]p ∈ Z∗p , allora [a]p 6= [0]p e [b]p 6= [0]p . Quindi,
p 6| a e p 6| b. Allora poiché p è un numero primo, si ha che p 6| ab (p | ab se e solo se p
divide uno dei due fattori). Quindi [ab]p 6= [0]p , ovvero [ab]p ∈ Z∗p . Inoltre, l’operazione
· è associativa, commutativa ed esiste elemento neutro [1]p . Infine, ogni elemento non
nullo ha inverso: essendo p primo, ogni elemento [a]p ∈ Z∗p è tale che M CD(a, p) = 1 e
quindi è invertibile per il Teorema 22.
Esempio 250. (Z∗5 , ·) è un gruppo abeliano.
L’ordine è |Z∗5 | = 4. Determinare generatori e ordine di ogni elemento.
Determinare ordine di [2]5 . Può essere 1,2 o 4.
[2]5 0 = [1]5 , [2]5 1 = [2]5 , [2]5 2 = [4]5 6= [1]5 . Allora ordine di [2]5 non è né 1 né 2,
quindi è necessariamente 4. Infatti [2]5 3 = [8]5 = [3]5 , [2]5 4 = [1]5 . Quindi o([2]5 ) = 4 e
pertanto [2]5 è un generatore.
Possiamo anche determinare tutti gli altri ordini, usando la formula dell’ordine nei
gruppi ciclici.
4
= 4. Quindi anche [3]5 è un generatore.
o([1]5 ) = 1. o([3]5 ) = o([2]5 3 ) = M CD(3,4)
o([4]5 ) = o([2]5 2 ) =
4
M CD(2,4)
= 2, infatti < [4]5 >= {[1]5 , [4]5 } ha 2 elementi.
Esempio 251. (Z∗7 , ·) è un gruppo abeliano.
L’ordine è |Z∗7 | = 6. Determinare generatori e ordine di ogni elemento.
Svolto a lezione.
84
DONATELLA IACONO
24. Gruppo Simmetrico
In questa sezione, approfondiamo l’analisi del gruppo simmetrico.
Sia B un insieme. Abbiamo visto che
(A = {f : B → B | f biettiva }, ◦)
è un gruppo: la composizione ◦ è associativa, esiste l’elemento neutro che è la funzione
identità ed inoltre ogni elemento è invertibile (Sezione 4, Esempio 229).
Se |B| = n, allora possiamo elencare elementi di B da 1 a n, ovvero:
B = {1, 2, 3, . . . , n − 1, n}
Esempio 252. Sia n = 8, allora B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Allora un elemento di A è una
funzione biettiva (o una corrispondenza biunivoca) f : B → B; ad esempio f : B → B,
definita da f (1) = 1, f (2) = 3, f (3) = 4, f (4) = 5, f (5) = 8, f (6) = 7, f (7) = 2, f (8) = 6.
Definizione 72. (GRUPPO SIMMETRICO o GRUPPO DI PERMUTAZIONI)
Il gruppo delle funzioni biettive di un insieme con n elementi è detto gruppo di permutazioni di n elementi, o gruppo simmetrico di n elementi e si indica con Sn . La
cardinalità di Sn è |Sn | = n!. Se n ≥ 3, allora il gruppo NON è abeliano.
Ci ricordiamo che le funzioni biettive vengono anche dette corrispondenze biunivoche
in un insieme di n elementi o anche permutazioni.
Notazione Dato un elemento f ∈ Sn , f si indica nel seguente modo:
1
2
3
···
n
f=
.
f (1) f (2) f (3) · · · f (n)
Ovvero sopra tutti elementi ordinati da 1 a n, sotto le immagini tramite f . Osserviamo
che nella seconda riga compaiono tutti e soli gli elementi da 1 a n una ed una sola volta,
al più cambiamo solo ordine.
Notazione Spesso si usa la notazione σ ∈ Sn , o τ ∈ Sn , ovvero gli elementi di Sn si
indicano con le lettere greche:
1
2
3
···
n
σ=
.
σ(1) σ(2) σ(3) · · · σ(n)
Esempio 253. Sia n = 8, allora B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} un corrispondenza biunivoca
f : B → B definita da f (1) = 1, f (2) = 3, f (3) = 4, f (4) = 5, f (5) = 8, f (6) = 7, f (7) =
2, f (8) = 6. Allora corrisponde a f ∈ S8
1 2 3 4 5 6 7 8
f=
.
1 3 4 5 8 7 2 6
Sia g ∈ S8 data da
1 2 3 4 5 6 7 8
g=
.
2 6 7 5 8 1 3 4
Significa che g è la corrispondenza biunivoca tale che g(1) = 2, g(2) = 6, g(3) = 7, g(4) =
5, g(6) = 1, g(7) = 3, g(8) = 4.
Esempio 254. L’elemento identità di Sn è
1 2 3 ···
Id =
1 2 3 ···
n
.
n
Esempio 255. (n=2). Se n = 2 allora |S2 | = 2! = 2 Ci sono due elementi. B = {1, 2}
ovvero due modi di ordinare 2 elementi. Quindi i due elementi di S2 sono:
1 2
1 2
Id =
f=
.
1 2
2 1
APPUNTI DELLE LEZIONI DI MATEMATICA DISCRETA
Esempio 256. (n=3). Se n = 3 allora |S3 | =
modi di ordinare gli elementi {1, 2, 3}.
1 2 3
1 2
Id =
f1 =
1 2 3
1 3
1 2 3
1 2
f3 =
f4 =
2 3 1
3 1
85
3! = 6 Ci sono sei elementi. Ovvero sei
3
2
3
2
1
f2 =
2
1
f5 =
3
2 3
1 3
2 3
.
2 1
Esercizio 61. Scrivere gli elementi di S4 .
Abbiamo detto che Sn è un gruppo, quindi è ben definita l’operazione ◦ di composizione e ogni elemento ammette inverso. La scrittura introdotta è comoda per determinare la composizione e l’inverso.
Definizione 73. (COMPOSIZIONE) Siano f, g ∈ Sn
1
2
3
···
n
1
2
3
···
f=
g=
f (1) f (2) f (3) · · · f (n)
g(1) g(2) g(3) · · ·
n
.
g(n)
Allora la composizione f ◦ g ∈ Sn è la composizione delle funzioni ovvero (f ◦ g)(i) =
f (g(i)), per ogni i = 1, . . . , n. Quindi i 7→ g(i) 7→ f (g(i)). Quindi consideriamo
l’elemento i, vediamo l’immagine di i con g e poi applichiamo f .
Esempio 257. In S8 abbiamo definito:
1 2 3 4 5 6 7 8
f=
1 3 4 5 8 7 2 6
Allora f ◦ g prima applichiamo g e
1 2 3 4 5 6
f ◦g =
1 3 4 5 8 7
1 2
=
3 7
1 2 3 4 5 6 7 8
g=
.
2 6 7 5 8 1 3 4
dopo f (muovendoci da destra verso sinistra):
7 8
1 2 3 4 5 6 7 8
◦
=
2 6
2 6 7 5 8 1 3 4
3 4 5 6 7 8
.
2 8 6 1 4 5
Calcoliamo l’altra composizione g ◦ f , in questo caso prima applichiamo f e poi
applichiamo g:
1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 3 4 5 6 7 8
g◦f =
◦
=
2 6 7 5 8 1 3 4
1 3 4 5 8 7 2 6
1 2 3 4 5 6 7 8
=
.
2 7 5 8 4 3 6 1
Notiamo che f ◦ g 6= g ◦ f .
Esercizio 62. Calcolare g ◦ g e f ◦ f .
Definizione 74. (INVERSO) Sia f ∈ Sn , allora sappiamo che f −1 ∈ Sn , infatti inverso
di una funzione biettiva esiste sempre ed è una funzione biettiva. Sia
1
2
3
···
n
f=
.
f (1) f (2) f (3) · · · f (n)
Allora f −1 è data da
f (1) f (2) f (3) · · ·
σ=
1
2
3
···
f (n)
n
che poi riordiniamo affinché la prima riga sia 1, 2, . . . , n.
86
DONATELLA IACONO
Esempio 258. Consideriamo f ∈ S8 :
1 2 3 4 5 6 7 8
f=
1 3 4 5 8 7 2 6
Allora f −1 è
1 3 4 5 8
f =
1 2 3 4 5
Consideriamo g ∈ S8 :
1
g=
2
−1
7 2 6
1 2 3 4 5 6 7 8
=
6 7 8
1 7 2 3 4 8 6 5
2 3 4 5 6 7 8
.
6 7 5 8 1 3 4
Allora g −1 è
g
−1
2 6 7 5 8 1 3 4
1 2 3 4 5 6 7 8
=
=
1 2 3 4 5 6 7 8
6 1 7 8 4 2 3 5
Siamo ora interessati a determinare l’ordine di un qualsiasi elemento di Sn .
Definizione 75. (CICLO) Consideriamo il gruppo Sn e sia k ≤ n. Un ciclo di lunghezza
k si indica con (a1 a2 . . . ak ), dove ai ∈ {1, . . . , n} sono tutti elementi distinti e senza
virgole15, ed è la permutazione f tale che:
f (a1 ) = a2 , . . . , f (ai ) = ai+1 ,
f (ak ) = a1
inoltre f (aj ) = aj , per tutti gli aj non appartenenti al ciclo.
I cicli di lunghezza 2 sono detti trasposizioni o scambi.
Esempio 259. Sia n = 8 e k = 4 e consideriamo il ciclo di lunghezza 4 in S8 : (2481).
Questo ciclo a quale permutazione corrisponde?
1 2 3 4 5 6 7 8
2 4 3 8 5 6 7 1
Esempio k=5, consideriamo il ciclo (13546) in S8 . Il ciclo corrisponde alla permutazione:
1 2 3 4 5 6 7 8
3 2 5 6 4 1 7 8
Esempio k=2, il ciclo (87) in S8 corrisponde alla permutazione:
1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 3 4 5 6 8 7
Esercizio 63. In S7 scrivere le permutazioni associate a (2345) e a (675412)
Osservazione 100. Il ciclo (a1 a2 . . . ak ) di lunghezza k può scriversi anche come (a2 . . . ak a1 )
oppure (a3 a4 . . . ak a1 a2 ). In tutto ci sono k modi per scrivere uno stesso ciclo di
lunghezza k.
Esempio 260. In S8 , ad esempio il ciclo (13546) di lunghezza k = 5 corrisponde alla
permutazione:
1 2 3 4 5 6 7 8
3 2 5 6 4 1 7 8.
Questa permutazione corrisponde anche al ciclo 35461) = (54613) = (46135) =
(61354).
Quindi dato un ciclo abbiamo una permutazione. Possiamo moltiplicare i cicli tra
loro.
15Noi non metteremo le virgole, ma alcuni testi usano la notazione con le virgole.
APPUNTI DELLE LEZIONI DI MATEMATICA DISCRETA
87
Osservazione 101. Dati due cicli possiamo considerare il loro prodotto, come prodotto
delle permutazioni associate.
Esempio 261. Siano g = (231) e f = (453) due cicli in S5 , quindi
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
g=
f=
.
2 3 1 4 5
1 2 4 5 3
Allora g ◦ f
1 2 3 4 5
g◦f =
.
2 3 4 5 1
Osservazione 102. Si può calcolare direttamente il prodotto con i cicli e ottenere cicli
disigunti:
(a1 a2 . . . ak ) · (b1 b2 . . . bt ) = (b1 ..),
dove si considera b1 , e procedendo da destra a sinistra si controlla dove viene mandato
nel ciclo di destra e poi si controlla dove va questo elemento con il ciclo di sinistra.
Esempio 262. In S5 , siano g = (231) e f = (453); allora g ◦ f = (231)(453) = (45123)
Muoviamoci da destra a sinistra.
f ◦ g = (453)(231) = (24531) distinti.
Esempio 263. Siano (1256) e (6431) due cicli in S7 . Allora
(1256)(6431) = (64325).
Esercizio 64. Verificare che in S9 , gli elementi g = (13456) e h = (28) commutano.
Teorema 24. Ogni permutazione è un ciclo oppure può essere scritta come prodotto di
cicli disgiunti.
Non dimostriamo il teorema in generale ma vediamo come funziona negli esempi.
Osservazione 103. In particolare, i cicli di lughezza 1 fissano l’elemento, ad esempio
(a) fissa l’elemento a, e possono essere omessi.
Esempio 264. In S8 abbiamo definito:
1 2 3 4 5 6
f=
1 3 4 5 8 7
f corrisponde ad un ciclo di lunghezza 7.
1 2 3 4 5 6
g=
2 6 7 5 8 1
7 8
= (1)(2345867),
2 6
7 8
= (126)(37)(458),
3 4
g corrisponde ad un prodotto di cicli di lunghezza 3,2,3.
Esempio 265. In S10 abbiamo:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
f=
= (1)(23)(48)(5 10)(67)(9)
1 3 2 8 10 7 6 4 9 5
Osservazione 104. Se i cicli sono disgiunti, ovvero gli elementi che compaiono nei cicli
sono distinti allora i cicli commutano tra loro. Equivalentemente se due permutazioni
agiscono su elementi distinti commutano.
Finalmente, usando la scrittura in cicli possiamo determinare l’ordine di una permutazione in Sn .
Teorema 25. - Un ciclo di lunghezza k ha ordine k (sapevamo già che aveva ordine
finito, poichè siamo in un gruppo finito)
- L’ordine di una qualsiasi permutazione è il minimo comune multiplo della lunghezza
dei suoi cicli disgiunti (nella scrittura come prodotto di cicli).
88
DONATELLA IACONO
Esempio 266. In S8 abbiamo:
1 2 3
f=
1 3 4
quindi f ha ordine 7.
1 2 3
g=
2 6 7
4 5 6 7 8
= (1)(2345867),
5 8 7 2 6
4 5 6 7 8
= (126)(37)(458),
5 8 1 3 4
quindi g ha ordine mcm(3, 2, 3) = 6, ovvero l’ordine di g è 6.
Che significa o(g) = 6? Significa che g 6 = g ◦ g ◦ g ◦ g ◦ g ◦ g = Id. Verifichiamo
1 2 3 4 5 6 7 8
2
g =g◦g =
= (162)(3)(7)(485)
6 1 3 8 4 2 7 5
1 2 3 4 5 6 7 8
3
g =g◦g◦g =
= (37)
1 2 7 4 5 6 3 8
1 2 3 4 5 6 7 8
4
g =
= (126)(458)
2 6 3 5 8 1 7 4
1 2 3 4 5 6 7 8
5
g =
= (162)(37)(485)
6 1 7 8 4 2 3 5
Usando i cicli possiamo studiare un altra proprietà.
Teorema 26. Ogni ciclo di lunghezza k > 1 può essere scritto (in maniera non unica)
come prodotto di trasposizioni, ovvero di cicli di lunghezza 2.
Dimostrazione. (a1 a2 . . . ak ) = (a1 ak )(a1 ak−1 )(a1 a3 )(a1 a2 ).
Esempio 267. In S8 abbiamo:
1
f=
1
1
g=
2
2 3 4 5 6 7 8
= (1)(2345867) = (27)(26)(28)(25)(24)(23)
3 4 5 8 7 2 6
2 3 4 5 6 7 8
= (126)(37)(458) = (16)(12)(37)(48)(45)
6 7 5 8 1 3 4
Esempio 268. In S8 , (458) = (48)(45) oppure (458) = (584) = (54)(58). In particoalre,
non è unico il modo.
Osservazione 105. CONSEGUENZA: Ogni permutazione può essere scritta come
prodotto di trasposizioni: per il Teorema 24 ogni permutazione la possiamo scrivere
come prodotto di cicli disgiunti e poi, per il Teorema 26 ogni ciclo prodotto di trasposizioni.
Definizione 76. (PARI) Una permutazione si dice pari se è prodotto di un numero
pari di trasposizioni. Si dice dispari se è prodotto di un numero dispari di trasposizioni.
Osservazione 106. La scrittura non è unica come prodotto di trasposizioni, come
abbiamo visto nell’Esempio 268, ma si può dimostrare che la parità è ben definita ovvero
non dipende dalla scelta della scrittura in trasposizioni.
Esempio 269. In S8 abbiamo:
1 2 3 4 5 6 7 8
f=
= (1)(2345867) = (27)(26)(28)(25)(24)(23),
1 3 4 5 8 7 2 6
ne segue che f è pari. Consideriamo
1 2 3 4 5 6 7 8
g=
= (126)(37)(458) = (16)(12)(37)(48)(45)
2 6 7 5 8 1 3 4
APPUNTI DELLE LEZIONI DI MATEMATICA DISCRETA
ne segue che g è dispari.
Esercizio 65. Si consideri in S7 la seguente permutazione
1 2 3 4 5 6 7
h=
.
7 6 5 2 3 4 1
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Scrivere h come prodotto di cicli disgiunti.
Stabilire se h è pari o dispari.
Calcolare l’ordine di h in S7 .
Calcolare h−1 .
Calcolare l’ordine degli elementi del sottogruppo H generato da h.
Esercizio 66. Si considerino in S9 le seguenti permutazioni:
h=
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 5 9 7 4 6 2 8 3
g=
1 2 3 4 5 6 7 8 9
5 3 4 2 7 9 1 6 8
Scrivere h come prodotto di cicli disgiunti.
Stabilire se h è pari o dispari.
Scrivere l’immagine di 3 e 8 tramite g.
Calcolare h−1 .
Calcolare h ◦ g e g ◦ h.
Calcolare l’ordine di h.
Calcolare l’ordine del sottogruppo generato da h.
89
90
DONATELLA IACONO
25. Anelli e Campi
Nelle sezioni precedenti abbiamo studiato le strutture algebriche, che sono insiemi non
vuoti su cui è definita una operazione. In particolare, ci siamo interessati allo studio dei
gruppi.
In questa sezione ci dedichiamo allo studio degli anelli e dei campi, che sono insiemi
con due operazioni.
Definizione 77. (ANELLO) Un anello (A, +, ·) è un insieme A dotato di due operazioni
+ : A × A → A e · : A × A → A tale che
(1) (A, +) è un gruppo abeliano (quindi l’operazione + è associativa, commutativa,
∃0 elemento neutro e ∀a ∈ A esiste inverso-opposto).
(2) (A, ·) è una struttura algebrica associativa.
(3) Valgono le leggi distributive del prodotto rispetto alla somma:
∀a, b, c ∈ A
si ha che
a(b + c) = ab + bc,
(a + b)c = ac + bc.
Osservazione 107. In un anello (A, +, ·) è importante l’ordine in cui scriviamo le
operazioni! Si richiede che (A, +) sia un gruppo abeliano, mentre basta che (A, ·) sia
una struttura algebrica associativa.
Definizione 78. (ANELLO UNITARIO) Sia (A, +, ·) un anello, se (A, ·) è un monoide,
ovvero se ∃1 ∈ A tale che ∀a ∈ A, a · 1 = 1 · a = a, l’anello si dice anello unitario.
Osservazione 108. Gli anelli unitari possiedono sia lo 0 che l’1 che sono gli elementi
neutri di + e ·.
Definizione 79. (ANELLO COMMUTATIVO UNITARIO) Sia (A, +, ·) un anello unitario, se se (A, ·) è un monoide commutativo, ovvero se l’operazione · è commutativa
(oltre ad essere associativa e ad ammettere elemento neutro), allora (A, +, ·) si dice un
anello commutativo unitario.
Esempio 270. (Z, +, ·) è un anello commutativo unitario. Infatti, (Z, +) è gruppo e
(Z, ·) è un monoide commutativo e valgono le proprietà distriutive.
Analogamente, (Q, +, ·) e (R, +, ·) sono anelli commutativi unitari.
(N, +, ·) non è un anello, perché (N, +) non è un gruppo.
(Z, ·, +) (con operazioni scambiate) non è un anello, perché (Z, ·) non è un gruppo.
(Zn , +, ·) è un anello commutativo unitario, finito.
Esempio 271. Nel Capitolo 27 studieremo l’anello delle matrici.
Definizione 80. (DIVISORE dello ZERO) In un anello (A, +, ·), un elemento a ∈ A,
con a 6= 0 si dice divisore dello zero se ∃ b ∈ A con b 6= 0 e
a · b = b · a = 0.
In tal caso anche b è divisore dello zero.
Esempio 272. Consideriamo l’anello (Z, +, ·) e ci chiediamo se esistono divisori dello
zero, ovvero esiste a ∈ Z∗ tale che esiste b ∈ Z∗ con
a·b=b·a=0
Non esistono: se il prodotto di due interi è zero uno dei due interi deve essere zero!
Analogamente, anche in (Q, +, ·),(R, +, ·) non esistono divisori dello zero.
APPUNTI DELLE LEZIONI DI MATEMATICA DISCRETA
91
Esempio 273. Consideriamo (Z8 , +, ·) e ci chiediamo se esistono divisori dello zero?
Ovvero esiste [a]8 ∈ Z∗8 tale che esiste [b]8 ∈ Z∗8 con
[a]8 · [b]8 = [0]8
Per verificare questa condizione, basta che ab ≡ 0 (mod 8). Ad esempio, a = [2]8 6= [0]8
e b = [4]8 6= [0]8 , e [2]8 · [4]8 = [0]8 . Oppure a = [4]8 e b = [6]8 . Quindi [2]8 , [4]8 e [6]8
sono divisori dello zero in Z8 .
Osservazione 109. In (Zn , +, ·) con n non primo esistono SEMPRE dei divisori dello
zero. In fatti se n non è primo allora n = a · b con 1 < a, b < n quindi [a]n 6= 0 e [b]n 6= 0
con
[a]n · [b]n = [n]n = [0]n .
Il caso di n numero primo lo studiamo nell’Osserervazione 111.
Definizione 81. (INVERTIBILE) In un anello unitario (A, +, ·), un elemento a ∈ A,
con a 6= 0 si dice invertibile (o unitario) se ammette un inverso rispetto al prodotto,
ovvero se ∃ a0 ∈ A con a0 6= 0 e
a · a0 = a0 · a = 1
In tal caso, l’inverso lo denotiamo con a−1 .
Osservazione 110. La definizione è la stessa di quella data per la struttura algebrica
(A, ·) (Definizione 64). In particolare, poiché (A, ·) è un monoide, l’inverso se esiste è
unico (Proposizione 16).
Esempio 274. Consideriamo (Z, +, ·) e ci chiediamo se esistono elementi invertibili? Si
sono solo 1 e -1 (Esempio 228).
Esempio 275. In (Q, +, ·),(R, +, ·) ogni elemento non nullo è invertibile (Esempio 228).
Esempio 276. In (Zn , +, ·) gli elementi inveritibili sono le classi [a]n con M CD(a, n) =
1 (Teorema 22).
In (Zp , +, ·) con p numero primo, ogni elemento non nullo è invertibile.
Proposizione 19. In un anello unitario (A, +, ·), se un elemento è invertibile allora
non è un divisore dello zero.
Dimostrazione. Sia a invertibile, allora ∃a−1 tale che a · a−1 = a−1 · a = 1
Se a fosse un divisore dello zero, per definizione esisterebbe un elemento b 6= 0 ∈ A
tale che a · b = b · a = 0. Moltiplicando l’equazione a · a−1 = 1 per b ottentiamo
b · (a · a−1 ) = b · 1 = b e quindi (b · a) · a−1 = b. Dato che b · a = 0, ne segue 0 = 0 · a−1 = b,
che implica b = 0 che è un assurdo.
Osservazione 111. Dato che in (Zp , +, ·) con p numero primo, ogni elemento non nullo
è invertibile allora non ci sono divisori dello zero.
Osservazione 112. Il viceversa della Proposizione 19 non è sempre vero: se un elemento
non è divisore dello zero non implica che è un elemento invertibile: esempio in (Z, +, ·)
3 non è né invertibile, né divisore dello zero.
Proposizione 20. Sia (A, +, ·) un anello unitario finito, ovvero |A| < +∞, Allora ogni
elemento non nullo o è invertibile o è un divisore dello zero.
Esempio 277. In (Z8 , +, ·), ogni elemento non nullo o è invertibile o è un divisore dello
zero:
Gli invertibili, sono le classi [a]8 con M CD(a, 8) = 1, quindi [1]8 , [3]8 , [5]8 , [7]8 .
I divisore dello zero sono [2]8 , [4]8 , [6]8 . Infatti [2]8 · [4]8 = [0]8 e [6]8 · [4]8 = [0]8 .
Se vogliamo determinare inversi degli elementi invertibili abbiamo che [1]8 è inverso di
se stesso. Inoltre, l’inverso di [3]8 è [3]8 dato che [3]8 · [3]8 = [9]8 = [1]8 ; l’inverso di [5]8 è
[5]8 dato che [5]8 ·[5]8 = [25]8 = [1]8 ; l’inverso di [7]8 è [7]8 dato che [7]8 ·[7]8 = [49]8 = [1]8 .
92
DONATELLA IACONO
Esercizio 67. Determinare i divisori dello zero e gli invertibili negli anelli:
(Z11 , +, ·)
(Z12 , +, ·)
(Z14 , +, ·).
Inoltre calcolare gli inversi.
Definizione 82. (CAMPO) Un anello commutativo unitario in cui ogni elemento non
nullo è invertibile, si dice CAMPO. Si usa la notazione (K, +, ·).
Osservazione 113. Ovvero in un campo (K, +, ·), anche (K∗ , ·) è un gruppo abeliano
Osservazione 114. Se in un anello c’è almeno un divisore dello zero allora l’anello non
è un campo.
Esempio 278. (Q, +, ·),(R, +, ·) sono campi.
(Z, +, ·) non è un campo, esistono elementi non invertibili.
(Zn , +, ·) con n non primo non è un campo, esistono divisori dello zero.
(Zp , +, ·) con p primo è un campo.
Nel Capitolo 26, studieremo il campo (C, +, ·) dei numeri complessi.
APPUNTI DELLE LEZIONI DI MATEMATICA DISCRETA
93
26. Campo dei numeri complessi
Questa sezione è dedicata allo studio di un esempio di campo: il campo dei numeri
complessi.
Vogliamo definire un campo (C, +, ·). Sia C = R×R ovvero ogni elemento dell’insieme
C è una coppia di numeri reali. Definiamo le due operazioni:
+:C×C→C
·:C×C→C
((a, b), (c, d)) 7→ (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
((a, b), (c, d)) 7→ (a, b) · (c, d) = (ac − bd, bc + ad)
Esercizio 68. Verificare le seguenti proprietà :
(1) + e · sono commutative e associative;
(2) + ammette elemento neutro (0, 0), infatti ∀(a, b) ∈ C si ha che (a, b) + (0, 0) =
(a + 0, b + 0) = (a, b);
(3) · ammette elemento neutro (1, 0), infatti ∀(a, b) ∈ C si ha che (a, b)·(1, 0) = (a, b);
(4) ∀ (a, b) ∈ C, esiste opposto (inverso rispetto a +) ed è (−a, −b) ∈ C, infatti
(a, b) + (−a, −b) = (a − a, b − b) = (0, 0);
(5) valgono le proprietà distributive: ∀(a, b), (c, d), (s, t) ∈ C si ha che
(a, b)((c, d)+(s, t)) = (a, b)(c, d)+(a, b)(s, t)
((a, b)+(c, d))(s, t) = (a, b)(s, t)+(c, d)(s, t)
Quindi affinché (C, +, ·) sia un campo, dobbiamo dimostrare che ∀(a, b) ∈ C∗ =
C \ {(0, 0)} = R × R \ {(0, 0)} esiste inverso, ovvero ∃(x, y) ∈ C = R × R tale che
(a, b)(x, y) = (x, y)(a, b) = (1, 0). Verfichiamo:
ax − by = 1
(a, b)(x, y) = (ax − by, bx + ay) = (1, 0) ⇐⇒
bx + ay = 0
Se b = 0 (di sicuro a 6= 0) allora basta prendere x =
1
, y = 0 infatti
a
1
(a, 0)( , 0) = (1, 0)
a
ax − 1
Se b 6= 0 allora dalla prima y =
sostituiamo nella seconda
b
ax − 1
b2 x + a2 x − a
bx + ay = bx + a(
) = 0 ⇐⇒
= 0 ⇐⇒ x(a2 + b2 ) = a ⇐⇒
b
b
2
2
2
a
a −a −b
a( a2 +b
a
ax − 1
−b
2) − 1
2
2
x= 2
y=
=
= a +b
= 2
.
2
a +b
b
b
b
a + b2
(Notiamo che a2 + b2 6= 0 quindi è tutto ben definito.)
Quindi inverso di (a, b) 6= (0, 0) ∈ C è
−1
(3)
(a, b) =
a
−b
, 2
2
2
a + b a + b2
.
Quindi (C, +, ·) è un campo, detto il campo dei numeri complessi.
Ci chiediamo ora perché il campo dei numeri complessi è considerato come estensione
√
dei numeri reali, oppure è il campo che contiene l’unità immaginaria i o dove esiste −1.
94
DONATELLA IACONO
Gli elementi della forma (a, 0) ∈ C sono identificati con i numeri reali a ∈ R.
L’elemento (0, 1) viene detto unità immaginaria e viene denotato con la lettera i.
Quindi ogni numero complesso z = (a, b) ammette la seguente scrittura
(a, b) = (a, 0) + (0, b) = a + ib = a + bi,
dove abbiamo identificato (a, 0) con a ∈ R e (0, b) = b · (0, 1) = bi.
La scrittura a + bi è detta scrittura in forma algebrica di un numero complesso. Il
numero reale a è detto parte reale, il numero reale b è detto parte immaginaria. ovvero
Se z = a + ib
allora
Re(z) = a,
Im(z) = b.
Esempio 279. Ad esempio z = (4, 5) = 4 + i5 = 4 + 5i,
Re(z) = 4,
z = (2, −1) = 2 + i(−1) = 2 − i,
Re(z) = 2,
Im(z) = −1
Im(z) = 5
Adesso consideriamo il numero complesso i, allora abbiamo che
(1) i=(0,1)
(2) i2 = (0, 1)(0, 1) = (−1, 0) = −1
(3) i3 = (−1, 0)(0, 1) = (0, −1) = −i
(4) i4 = (−1, 0)(−1, 0) = (1, 0) = 1
Dato che i2 = −1, si puó dire che che i è radice di −1.
Usando la forma algebrica dei numeri complessi, possiamo anche fare la somma: ∀z1 =
a + ib, z2 = (c + id) ∈ C abbiamo
z1 + z2 = (a + ib) + (c + id) = a + c + i(b + d).
Notiamo che coincide con la definizione di prima, infatti a + c + i(b + d) = (a + c, b + d).
Usando la forma algebrica dei numeri complessi, possiamo fare la moltiplicazione:
∀z1 = a + ib, z2 = (c + id) ∈ C abbiamo
(a + ib)(c + id) = ac + iad + ibc + i2 bd = ac + iad + ibc − bd = (ac − bd) + i(ad + bc).
Notiamo che coincide con la definizione di prima, infatti (ac − bd) + i(ad + bc) = (ac −
bd, ad + bc).
Esempio 280. Siano
z1 = 3 + i
e
z2 = 2 + 4i,
allora
z1 + z2 = 5 + 5i
z1 z2 = (3 + i)(2 + 4i) = 6 + 12i + 2i − 4 = 2 + 14i
e
Siano
z1 =
allora
√
z1 + z2 = ( 2 − 4) + i
e
√
2−i
e
z2 = 2i − 4,
√
√
√
z1 z2 = ( 2 − i)(2i − 4) = (−4 2 + 2) + i(2 2 + 4).
Definizione 83. (CONIUGATO) Dato un numero complesso z = a + ib, si definisce
coniugato di z e si indica con z il numero complesso
z = a − ib
Ovvero, si cambia segno alla sola parte immaginaria.
APPUNTI DELLE LEZIONI DI MATEMATICA DISCRETA
95
Esempio 281. Nei seguenti numeri complessi abbiamo:
z1 = 3 + i,
√
z3 = − 2 − i
z1 = 3 − i
√
z3 = − 2 + i
z2 = 2 − 4i
z4 = 2i − 4
z2 = 2 + 4i.
z4 = −2i − 4.
Proprietà del coniugato: ∀ z, z1 , z2 ∈ C abbiamo
(1) z + z = 2Re(z)
(2) z − z = 2iIm(z)
(3) z1 + z2 = z1 + z2
(4) z1 z2 = z1 z2
Definizione 84. (MODULO) Il modulo di un numero complesso z = a + ib si indica
con |z| ed è il numero reale
p
|z| = a2 + b2 ∈ R
Esempio 282. Calcolare il modulo:
√
z1 = 3 + i,
|z1 | = 9 + 1
√
z1 = 3 − i,
|z1 | = 9 + 1
√
√
z3 = 2 − i
|z3 | = 2 + 1
√
z5 = 2i |z5 | = 4 = 2
z2 = 2 + 4i
|z2 | =
z2 = 2 − 4i
|z2 | =
√
4 + 16.
√
4 + 16.
√
z4 = 2i − 4
|z4 | = 4 + 16.
√
z6 = −3 |z6 | = 9 = 3
Proprietà del modulo: ∀ z ∈ C si ha
(1) |z| = |z|,
(2) zz = |z|2 ,
(3) |z| ≥ 0 e |z| = 0 ⇐⇒ z = 0.
Per quanto riguarda la seconda proprietà, se z = a + ib ∈ C si ha che z · z = (a + ib)(a −
ib) = a2 + b2 = |z|2 .
Infine dato z = a + ib vogliamo calcolare la forma algebrica dell’inverso.
Esempio 283. z = 3 + i allora inverso z −1 =
ovvero del tipo a + ib. Come facciamo?
1
z
=
1
3+i
questo non è in forma algebrica
Proposizione 21. Sia z ∈ C∗ allora
z −1 =
1
z
z
1
1 z
= ·1= · =
= 2.
z
z
z z
zz
|z|
Il denominatore è un numero reale non nullo, quindi ha senso. Inoltre, se z = a + ib =
(a, b), allora
z
a − ib
a
ib
a
−b
−1
= 2
−
=
,
,
z = 2 = 2
|z|
a + b2
a + b2 a2 + b2
a2 + b2 a2 + b2
ovvero coincide con la formula data dall’Equazione (3).
96
DONATELLA IACONO
Esempio 284. Sia z = 3 + i ∈ C∗ , allora la forma algebrica dell’inverso è
1
1
3−i
3−i
3
1
z −1 = =
=
=
=
− i.
z
3+i
(3 + i)(3 − i)
10
10 10
Controlliamo di aver fatto i conti correttamente:
1
3
z · z −1 = (3 + i)( − i) = 1.
10 10
Esercizio 69. Dati i seguenti numeri complessi:
√
z1 = 2 − i, z2 = 2i − 4.
(1) Determinare il modulo di z1 e z2 .
(2) Scrivere in forma algebrica i numeri complessi z1 e z2 .
1
z2
(3) Scrivere in forma algebrica i numeri complessi z1 z2 ,
e .
z2 z1
APPUNTI DELLE LEZIONI DI MATEMATICA DISCRETA
97
27. Matrici
Questa sezione è dedicata alle matrici come esempio di anello unitario (non commutativo).
Definizione 85. Una matrice a coefficenti in un campo (K, +, ·) di tipo (m, n) è una
tabella di m × n elementi di K organizzati in m righe ed n colonne. L’insieme delle
matrici di tipo (m, n) a coefficenti in K si indica con Mm×n (K).
Osservazione 115. A volte, soprattutto in alcuni linguaggi di programmazione, al
posto diMm×n (K) si usa M (m, n, K).
Esempio 285. Matrice 3 × 3 a coefficenti in R,


1 2 3
 6 0 1 ∈ M3×3 (R),
−1 1 2
Matrice 2 × 5 a coefficenti in C,
0 i 2 −1 1
∈ M2×5 (C)
3 1 i 2 2
Matrice 5 × 2 a coefficenti in C,


0 −4
3
1
i 


 1 −1 ∈ M5×2 (C)


 1 −1
−1 4
In generale un elemento di A ∈ Mm×n (K)

a11 a12
 a21 a22

··· ···
A = (aij ) = 
 ai1 ai2

··· ···
am1 am2
è una tabella
···
···
···
···
···
···
a1j
a2j
···
aij
···
amj

· · · a1n
· · · a2n 


···

· · · ain 


···
· · · amn
di m righe e n colonne. Il termine aij ∈ K indica l’elemento al posto (i, j) ovvero riga i
e colonna j.
Notazione: Possiamo indicare in modo compatto una matrice A = (aij ) ∈ Mm×n (K),
i = 1, . . . m, j = 1, . . . n.
Esempio 286.


1 2 3
 6 0 1 ∈ M3×3 (R),
−1 1 2
a33 = 2, a13 = 3, a31 = −1.
Definizione 86. Se n = m allora la matrice si dice quadrata. L’insieme Mn×n (K) si
indica con Mn (K).
Definizione 87. Sia A ∈ Mn (K) una matrice quadrata. Gli elementi aii ∈ K (ovvero
i = j) costituiscono la diagonale principale.
Definizione 88. (SOMMA) Sull’insieme delle matrici Mm×n (K) è possibile definire
l’operazione di somma:
+ : Mm×n (K) × Mm×n (K) → Mm×n (K)
+ (A, B) = A + B
Data A = (aij ) e B = (bij ) allora A + B = (aij + bij ), ovvero sommiamo termine a
termine.
98
DONATELLA IACONO
Osservazione 116. Le matrici sono dello stesso tipo (m, n).
Esempio 287. Siano




1 2 3
1 2 3
1
2
A =  6 0 1 , B = 2 4 6 e C =
,
1 0
−1 1 2
1 1 0
con A, B ∈ M3×3 (R) e C ∈ M2×2 (R). Allora A + C e B + C non

 
 
1 2 3
1 2 3
2 4





6 0 1 + 2 4 6 = 8 4
A+B =
−1 1 2
1 1 0
0 2
esistono.

6
7
2
Esercizio 70. (Per casa) Data


−3 0 0
D = −2 3 −1 ∈ M3×3 (R)
0 3 0
Calcolare A + D, B + D e D + C.
Proprietà della somma di matrici in Mm×n (K):
(1) + è commutativa: ∀A, B ∈ Mm×n (K), A + B = B + A
(2) + è associativa ∀A, B, ∈ Mm×n (K), (A + B) + C = A + (B + C)
(3) Esiste in Mm×n (K) l’elemento neutro che si indica con 0 ed è la matrice nulla,
ovvero tutti i coefficenti 0: ∃0 ∈ Mm×n (K) tale che A + 0 = 0 + A.
(4) Ogni elemento ammette inverso (opposto): ∀A = (aij ) ∈ Mm×n (K), ∃ − A tale
che A + (−A) = (−A) + A = 0, dove −A = (−aij ), ovvero la matrice opposta è
ottenuta dalla matrice A cambiando il segno a tutti i suoi coefficienti.
Quindi (Mm×n (K), +) è un gruppo abeliano.
Esempio 288. Consideriamo M2×4 (C):
0 i 2 −1
A=
−3 1 i 2
0 0 0 0
A + (−A) =
.
0 0 0 0
−A=
0 −i −2 +1
3 −1 −i −2
Definizione 89. (TRASPOSTA) Data A = (aij ) ∈ Mm×n (K). La matrice trasposta di
A si denota con t A ed è la matrice t A = (aji ) in Mn×m (K) ottenuta scambando le righe
e le colonne di A.
Esempio 289. Ad esempio

0 3
 i 1


0 i 2 −1 1
t
2 i
A=
∈ M2×5 (C) =⇒ A = 

 ∈ M5×2 (C)
3 1 i 2 2
−1 2
1 2


1 0
1 2
3
A=
∈ M2×3 (Q) =⇒ t A = 2 −1 ∈ M3×2 (Q)
0 −1 −2
3 −2
−5 4
−5 21
t
A= 1
∈ M2×2 (Q) =⇒ A =
∈ M2×2 (Q)
− 43
4 − 34
2

APPUNTI DELLE LEZIONI DI MATEMATICA DISCRETA
99
Definizione 90. (IDENTITÀ) In Mn×n (K), la matrice identità è la matrice tale che
aii = 1 e aij = 0 se i 6= j, ovvero ha tutti 1 sulla diagonale principale e zero altrove.


1 0 0
1 0
Id =
∈ M2×2 (K)
Id = 0 1 0 ∈ M3×3 (K)
0 1
0 0 1


1
0 ··· 0
 0
1 ··· 0 

Id = 
· · · · · · · · · · · · ∈ Mn×n (K).
0
0 ··· 1
Osservazione 117. La matrice identità è una matrice quadrata.
Definizione 91. Per ogni λ ∈ K e per ogni A = (aij ) ∈ Mm×n (K). Si definisce il
prodotto λA = (λaij ), la matrice ottenuta moltiplicando per λ ogni coefficiente di A.
Esempio 290. Siano λ = 2 ∈ Q e
1 2
3
A=
∈ M2×3 (Q)
0 −1 −2
Allora
2 4
6
λA = 2A =
∈ M2×3 (Q)
0 −2 −4
Definizione 92. (PRODOTTO) 1) Due matrici A e B sono moltiplicabili se e soltanto
se il numero delle colonne di A è uguale al numero delle righe di B, ovvero se e solo se
A ∈ Mm×n (K)
B ∈ Mn×s (K)
e
2) Date due matrici moltiplicabili A ∈ Mm×n (K) e B ∈ Mn×s (K), il prodotto A · B è
una matrice A · B ∈ Mm×s (K), ottenuta moltiplicando le righe di A per le colonne di B,
ovvero
n
X
(A · B)ij =
ait btj .
t=1
Quindi al posto (i, j) abbiamo il prodotto tra la riga i e la colonna j, ovvero la somma
di tutti i prodotti ait btj , per ogni t = 1, . . . , n.
Esempio 291.
1 2
3
A=
M2×3 (Q)
0 −1 −2
−5 −14 −23
M2×3 (Q)
B= 1
7
3
2
4
A · B non esiste!
Esempio 292. Siano date le seguenti matrici a coefficenti in R
−5 4
1 2
3
A= 1
∈ M2×2 (R)
B=
∈ M2×3 (R)
0 −1 −2
− 34
2
Allora A · B ∈ M2×3 (R) è:
−5
A·B = 1
2
4
− 34
−5 −14 −23
1 2
3
= 1
.
7
0 −1 −2
3
2
4
Esempio 293. Siano date le seguenti matrici a coefficenti in C


0 −4
3
1
i 


0 i 2 −1 1

A=
,
B =  1 −1
.
3 1 i 2 2
 1 −1
−1 4
100
DONATELLA IACONO
Allora
A·B =
i
2
.
1+i 2
Esempio 294. Siano date le seguenti matrici a coefficenti in C


−4
0
3
1 i 
0 i 2 −1

A=
,
B=
1 −1 .
3 1 i 2
1 −1
Allora
i + 1 −2
A·B =
.
3 + i −6




−4
−4 −4
− 38
0 −4
3
3
3 i
 3i
1 i  0 i 2 −1
2i
1
−1 + 2i


.
B·A=
1 −1 3 1 i 2 = −3 i − 1 −i + 2
−3 
1 −1
−3 i − 1 −i + 2
−3
Da qui capiamo che la moltiplicazione non è commutativa, può non esistere e può essere
diversa.
Osservazione 118. ∀n ≥ 1, tutte le matrici in Mn×n (K) sono moltiplicabili tra loro, e
il prodotto è ancora una matrice in Mn×n (K), ovvero esiste un prodotto
· : Mn×n (K) × Mn×n (K) → Mn×n (K)
· (A, B) = A · B
Proprietà del prodotto in Mn×n (K):
(1) · è associativa ∀A, B, ∈ Mn×n (K), (A · B) · C = A · (B · C)
(2) Esiste Identità Id ∈ Mn×n (K) tale che A · Id = Id · A = A.
(3) Valgono le proprietà distributive della somma rispetto al prodotto.
CONCLUSIONE: (Mn×n (K), +, ·) è un anello unitario non commutativo (per n > 1).
In particolare, non è un campo perché non è commutativo.
Vogliamo capire se esistono divisori dello zero e elementi invertibili.
Esempio 295.
0 0
2 0
0 0
2 0
0 0
·
=
=
·
3 2
−3 0
0 0
−3 0
3 2
Definizione 93. (MATRICE INVERTIBILE) Sia A ∈ Mn×n (K) una matrice quadrata,
allora A è invertibile se e solo se esiste A0 ∈ Mn×n (K), tale che A0 A = AA0 = Id. Se è
invertibile si dimostra che la matrice A0 è unica e si chiama matrice inversa di A e si
denota con A−1 .
Problema: 1) Capire se una matrice è inveritible. 2) Determinare la matrice inversa.
Risposta al Problema 1:
Teorema 27. Sia A ∈ Mn×n (K), allora A è invertibile se e solo se il determinate di A
è diverso da zero: det(A) 6= 0
Allora dobbiamo capire chi è il determinante di una matrice quadrata.
Se n = 1 A = (a), allora det(A) = a
Se n = 2
a b
A=
det(A) = ad − bc
c d
APPUNTI DELLE LEZIONI DI MATEMATICA DISCRETA
101
Esempio 296.
A=
1 2
4 6
det(A) = ad − bc = 6 − 8 = −2
i
−2
A=
det(A) = 2i + 2(1 + i) = 4i + 2
1+i 2
1
2
A=
det(A) = −4 + 4 = 0
−2 −4
Se n > 2?
Definizione 94. (COMPLEMENTO ALGEBRICO) Data A ∈ Mn×n (K) matrice quadrata,
il complemento algebrico del suo elemento aij è il prodotto (−1)ij det(Aij ) dove Aij è
ottenuta da A togliendo la riga i e la colonna j.
Esempio 297.

3 −3 31
A= 0
4
1
−1 −1 −1
4
1
1+1
il complemento algebrico di a11 = (−1) det
= −4 + 1 = −3
−1 −1
0
1
1+2
il complemento algebrico di a12 = (−1) det
= −1
−1 −1
3 13
il complemento algebrico di a32 = (−1)3+2 det
= −3
0 1

Definizione 95. (DETERMINANTE) Sia A ∈ Mn×n (K) una matrice quadrata. Il
determinante di A, si indica con det(A), ed è l’elemento di K (ovvero det(A) ∈ K), dato
dalla formula, per ogni i fissato
det(A) =
n
X
aij (−1)ij det(Aij )
j=1
oppure per ogni j fissato da
det(A) =
n
X
aij (−1)ij det(Aij ),
i=1
ovvero il determinante della matrice A è ottenudo sommando su una qualsiasi riga (prima
formula) o su una qualsiasi colonna (seconda formula) il prodotto di ogni elemento per
il suo complemento algebrico. Questa formula viene chiamata Regola di Laplace.
Osservazione 119. Si dimostra che non dipende dalla scelta della riga o della colonna.
Esempio 298. Verifichiamo formula per 2, sviluppando rispetto prima riga
a b
A=
det(A) = ad + (−b)c = ad − bc.
c d
Sia data la seguente matrice, sviluppando rispetto prima riga otteniamo
i
−2
A=
det(A) = 2i + 2(1 + i) = 4i + 2;
1+i 2
sviluppo rispetto prima colonna, otteniamo
i
−2
det
= i(2) − (i + 1)(−2) = 4i + 2.
1+i 2
102
DONATELLA IACONO
Esempio 299. Sviluppiamo rispetto prima riga


3 −3 31
det  0
4
1 =
−1 −1 −1
1
0
4
4
1
0
1
1+3
1+1
1+2
=
3(−1) det
+ (−3)(−1) det
+ (−1) det
−1 −1
−1 −1
−1 −1
3
= 3(−3) + 3 + 13 4 = −8 + 34 = − 14
3 Se avessimo scelto di sviluppare rispetto alla prima
colonna


3 −3 13
4
1
−3 31
=
det  0
+ (−1)(−1)3+1 det
4
1  = 3(−1)1+1 det
−1 −1
4 1
−1 −1 −1
= −9 − (−3 − 43 ) = −9 +
13
3
= − 14
3
Risposta al Problema 2:
Definizione 96. (MATRICE INVERSA) Sia A ∈ Mn×n (K) con det(A) 6= 0. Allora la
matrice inversa di A è A−1 dove
1
(trasposta matrice complementi algebrici)
A−1 =
det(A)
ovvero
1
1
(−1)(i+j) det(Aji ) =
∗ complemento algebrico di aji
(A−1 )ij =
det(A)
det(A)
Osservazione 120. Quindi per calcolare l’inversa:
DA IMPARARE a MEMORIA
(1) Matrice deve essere quadrata
(2) il determinante deve essere diverso da zero
Quindi:
1) calcolo determinante
2) calcolo complementi algebrici
3) calcolo matrice
4) faccio trasposta
5) divido per determinante
(Possiamo anche fare prima la divisione per il determiannte e poi trasposta).
Esempio 300.
1 −2
A=
2 3
Quindi è invertibile. Inversa è
complemento algerbico di a11 è 3
complemento algerbico di a12 è -2
complemento algerbico di a21 è 2
complemento algerbico di a22 è 1
dividiamo per det(a) e otteniamo
det(A) = 3 + 4 = 7 6= 0
−2
7
1
7
3
7
2
7
facciamo trasposta allora
A
−1
=
3
7
−2
7
2
7
1
7
APPUNTI DELLE LEZIONI DI MATEMATICA DISCRETA
Controlliamo
AA−1 =
3
1 −2
7
−2
2 3
7
2
7
1
7
=
103
1 0
0 1
Esempio 301.
A=
i
−2
1+i 2
det(A) = 2i + 2(1 + i) = 4i + 2
Quindi è invertibile. Inversa è
complemento algerbico di a11 è 2
complemento algerbico di a12 è -i-1
complemento algerbico di a21 è 2
complemento algerbico di a22 è i
dividiamo per det(a) e otteniamo
2
4i+2
2
4i+2
−i−1 4i+2
i
4i+2
allora trasposta
A
−1
=
2
4i+2
−i−1
4i+2
2 4i+2
i
4i+2
Controlliamo
−1
AA
2
i
−2
4i+2
−i−1
1+i 2
4i+2
=
2 4i+2
i
4i+2
1 0
=
0 1
Esempio 302.


−6 1 −4
3
4 .
C= 0
−2 −1 −2
3
4
1 −4
det(C) = −6det
− 2det
= −6(−6 + 4) − 2(4 + 12) = +12 − 32 =
−1 −2
3 4
−20,
complemento algebrico di a11 è -2
complemento algebrico di a12 è -8
complemento algebrico di a13 è 6
complemento algebrico di a21 è 6
complemento algebrico di a22 è 4
complemento algebrico di a23 è -8
complemento algebrico di a31 è 16
complemento algebrico di a32 è 24
complemento algebrico di a33 è -18
Quindi


−2 −8
6
6
4
−8  .
16 24 −18
Poi trasposta


−2 6
16
−8 4
24  .
6 −8 −18
Infine dividendo per det(C) = −20 otteniamo

C −1 =
1
10
2
5
−3
10
−3
10
−1
5
2
5
−4
5
−6 
.
5
9
10

104
DONATELLA IACONO
28. Grafi
Definizione 97. (GRAFO) Un grafo (semplice) G è una coppia (V, L) dove
(1) V è un insieme non vuoto, i cui elementi si chiamano vertici del grafo, o nodi o
punti.
(2) L è sottoinsieme dell’insieme costituito da due elementi di V , ovvero L =
{{v, w} | v, w ∈ V }. Gli elementi di L sono detti lati (o archi o spigoli) del
grafo; v e w sono detti estremi del lato. Al posto di L si usa anche la notazione
E, per indicare edges.
Osservazione 121. Siamo interessati ai grafi finiti ovvero V è un insieme finito,pos
n
siamo assumere |V | = n ≥ 2. Quindi anche L è un insieme finito, dato che |L| ≤
.
2
n
Infatti,
è il numero di sottoinsiemi con due elementi Sezione 9.1.2.
2
Definizione 98. Se v e w sono vertici distinti e l = {v, w} ∈ L, allora i vertici si dicono
adiacenti.
Se l e l0 sono lati di G e l ∩ l0 6= ∅, ovvero l ed l0 hanno un vertice in comune, allora l
ed l0 sono detti incidenti.
Esempio 303. Rappresentazione dei grafi: un punto per ogni vertice e una linea tra
due punti se esiste il lato.
Esempio 304. V = {v1 , v2 , v3 , v4 , v5 , v6 , v7 } e L = {l1 = {v1 , v6 }, l2 = {v1 , v5 }, l3 =
{v2 , v3 }, l4 = {v7 , v4 }, l5 = {v2 , v7 }}
•
v1
•
v7
•
v2
•
v3
•
v4
•
v5
•
v6
Allora lati incidenti l1 e l2 , l3 e l5 , l4 e l5 .
vertici adiacenti: 1,6; 1,5; e 2,3; 7,4; 2,7.
Esempio 305. Determinare vertici adiacenti e lati incidenti nei seguenti grafi.
•
•
C
C
C
•
•
Q C Q
C
QQC
QC•
•
@
@
@•
•b
"
b"
b"
"" bb
•
•
Definizione 99. (ISOMORFISMO) Un isomorfismo di grafi G = (V, L) → G0 = (V 0 , L0 )
è una biezione di insiemi, f : V → V 0 tale che ∀v, w ∈ V si ha
{v, w} ∈ L ⇐⇒ {f (v), f (w)} ∈ L0
ovvero due vertici sono adiacenti in G se e solo se le immagini sono adiacenti in G0 . (In
particolare hanno lo stesso numeri di vertici e di lati.)
Osservazione 122. Quindi il grafo non dipende dalla rappresentazione usata.
Esempio 306. Queste sono rappresentazioni di uno stesso grafo.
APPUNTI DELLE LEZIONI DI MATEMATICA DISCRETA
105
•
•
, T
l
,
Tll
•,
T •
HH
HH T
HHT
HT
L
L
L
• L
@L
@L
•
•b
•
bb
""
"
" bb
•"
•
•
•
Osservazione 123. Per come abbiamo dato la definizione di grafo semplice, stiamo
considerando sottoinsiemi {v, w} di due elementi. Quindi v 6= w, ovvero il grafo non
contiene lati della forma {v} = {v, v}, quelli che vengono chiamati loop.
Inoltre, {v, w} = {w, v}, quindi non abbiamo un verso di percorrenza del lato.
Infine, fissati due vertici in un grafo, allora esiste al piu un lato tra essi, una coppia
{v, w} è presa al più una volta, ovvero non abbiamo i cosidetti lati multipli.
Per questo abbiamo detto grafo semplice. Vediamo come si può generalizzare la
definizione includendo lati multipli e loops.
Definizione 100. (MULTIGRAFO) Un multigrafo è una tripla (V, L, f ) dove
f : L → {sottoinsiemi di due elementi di V }.
Osservazione 124. Cosı̀ se f non è iniettiva abbiamo lati multipli, se iniettiva otteniamo un grafo semplice. Quindi i multigrafi ammettono lati multipli ma non loop.
Come facciamo ad includere i loop?
Definizione 101. (GRAFO ORIENTATO) Un grafo orientato è una coppia G = (V, L)
con L ⊆ V × V .
Osservazione 125. Un grafo orientato si chiama anche digrafo, dato che in inglese
grafo orientato si dice directed graph.
Osservazione 126. Nei grafi orientati includiamo i loop, basta scegliere (v, v) ∈ V × V .
Inoltre, stiamo orientando ogni lato, che quindi diventa una freccia. Alla coppia ordinata
(v, w) ∈ V × V , associamo il lato che va da v verso w. Questo è diverso dal lato
(w, v) ∈ V × V , che è il lato che va da w verso v.
Non è ancora il caso piu generale, in cui possiamo avere più loop su un vertice o tanti
lati tra due vertici.
Definizione 102. (MULTIGRAFO ORIENTATO) Un multigrafo orientato è una tripla
G = (V, L, f ) con f : L → V × V . In tal caso includiamo i loops e i lati multipli.
Osservazione 127. Noi studiamo solo grafi semplici. Con la parola grafo intendiamo
un grafo semplice e quindi senza loops e senza lati multipli.
Definizione 103. (GRADO o VALENZA) Siano G = (V, L) un grafo finito e v ∈ V
vertice di G. Diremo che v ha grado n o v ha valenza n, e scriveremo d(v) = n
se v appartiene ad n lati. Inoltre, v si dice pari o dispari se d(v) è pari o dispari,
rispettivamente. Se d(v) = 0, allora v è detto vertice isolato.
Esempio 307. Determinare le valenze nei seguenti grafi.
•3
•2
, T
l
,
Tll
3 •,
T •3
HH
HH T
HHT
HT 3
•
3•
3•
bb u ""
b•"
" 4 bb
"
"
b
•3
•3
•v
3@
@• w
2 •
1
106
DONATELLA IACONO
Nel primo grafo tutti i vertici hanno valenza 3. Nel secondo grafo tutti i vertici hanno
valenza 3 tranne il vertice u che ha valenza 4. Infine, nel terzo grafo il vertice v ha
valenza 3, il vertice w ha valenza 1 e i due vertici restanti hanno valenza 2.
Osservazione 128. Se due grafi sono isomorfi, allora i vertici che sono in biezione
hanno la stessa valenza.
Esempio 308. I seguenti grafi non sono isomorfi in quanto nel primo grafo c’è un vetice
di grado 4 mentre nel secondo grafo non esistono vertici con tale valenza.
•
•b
•
"
bb ""
•
"" 4 bbb
"
•
•
@
@
@•
•
bb ""
"
b
"" bb
•
•
Teorema 28. (Teorema delle strette di Mano) Il numero dei lati in un grafo finito è
tale che:
X
2 | L |=
d(v).
v∈V
Dimostrazione. Contiamo gli estremi dei lati: ogni lato ha due estremi, quindi ci sono
2 | L | estremi.
Contiamo ora gli estremi, contando i vertici: ogni vertice è estremo
P di d(v) lati.
Quindi, ogni estremo lo abbiamo contato d(v) volte. Quindi in tutto v∈V d(v).
Pertanto,
X
2 | L |=
d(v).
v∈V
Corollario 2. Ogni grafo finito G = (V, L) ha un numero pari di vertici dispari.
P
Dimostrazione. Per il Teorema delle strette di mano (Teorema 28), v∈V d(v) deve
essere un numero pari.
Esempio 309. Ad esempio, nel grafo
3•
3•
•3
bb
"
b•""
" 4 bb
""
b
•3
Abbiamo
2 | L |= 2 · 8 = 16
X
d(v) = 3 + 3 + 3 + 3 + 4 = 16.
v∈V
Esempio 310. Esiste un grafo con solo 3 vertici di grado tre? No.
Definizione 104. (COMPLETO) Un grafo si dice completo se tutti i suoi vertici sono a
due a due adiacenti, ovvero per ogni coppia di vertici v, w esiste un lato che li congiunge.
Osservazione 129. ∀n ≥ 1 esiste unico (a meno di isomorfismi) grafo completo con n
vertici e si denota con Kn . Quindi K1 è il grafo con solo unvertice
e senza lati. Per
n
ogni n ≥ 2, Kn ha il massimo numero di lati possibile ovvero
lati.
2
Esempio 311. Esempio K1 , K2 , K3 , K4 .
APPUNTI DELLE LEZIONI DI MATEMATICA DISCRETA
•
•
•
107
•
•
A
A
A
A
A
A
L
L
L
• L
@L
@L
•
•
•
•
Esercizio 71. Disegnare K5 , K6 e K7 .
Definizione 105. (CAMMINO) Sia G = (V, L) un grafo. Un cammino dal vertice
v al vertice w è una successione finita di lati distinti tra v e w: l1 = {v, v2 }, l2 =
{v2 , v3 }, · · · , ln = {vn , w}. In tal caso diremo che n è la lunghezza del cammino tra v e
w e i vertici v e w s ono detti vertici o estremi del cammino.
Esempio 312. Cammino da u a v, percorrendo i lati 1, 2, 3, 4 e 5.
•
2
A@ 3
A@
4 A @•
•
b
5b "A"
bb A
1 ""
"
bA
u•
•v
Osservazione 130. Se i lati non sono distinti si chiama percorso.
Definizione 106. (CIRCUITO) Un circuito è un cammino di lunghezza n > 0, i cui
estremi coincidono.
Esempio 313. Esempio di circuto, percorrendo i lati 1, 2, 3, 4 e 5.
•
2
A@ 3
@
AA @
•b
•
b "A"
bb A 4
1 ""
"
bA
•
5
•
Definizione 107. (CONNESSO) Un grafo si dice connesso se per ogni v e w esiste un
cammino tra v e w. Altrimenti il grafo si dice sconnesso.
Esempio 314. Esempio di grafo sconnesso
•
•
A
A
A
A
A
A
•
•
Osservazione 131. 1) Se in un grafo esistono vertici con d(v)=0 allora il grafo non è
connesso.
2) Un grafo connesso con n vertici ha almeno n − 1 lati.
Definizione 108. (CAMMINO EULERIANO) Sia G = (V, L) un grafo. Un cammino
Euleriano è un cammino l1 , l2 , . . . , ln che passa per tutti i lati del grafo, una unica volta.
108
DONATELLA IACONO
Definizione 109. (CIRCUITO EULERIANO) Sia G = (V, L) un grafo. Un circuito
Euleriano è un circuito che passa per tutti i lati del grafo una unica volta (ovvero
cammino euleriano con estremi che coincidono).
Esempio 315. Esistono cammini euleriani nei seguenti grafi? circuiti?
•
•
C
C
C
•
•
Q C Q
C
QQC
QC
@
@
@•
•b
"
b"
b"
"
bb
"
•
•
•
•
Come facciamo a capire se esistono?
Teorema 29. (di Eulero) Un grafo finito connesso con almeno due vertici ammette un
circuito euleriano se e solo se tutti i suoi vertici sono pari.
Corollario 3. (di Eulero) Un grafo finito connesso con almeno due vertici ammette un
cammino euleriano se e solo se ha al più due vertici dispari (quindi o 0 o 2).
Infatti, se non ci sono vertici dispari allora esiste circuito euleriano, che è un particolare
cammino euleriano. Se ci sono due vertici dispari, allora sono obbligatoriamente gli
estremi del cammino euleriano.
Esempio 316. Esempio
•
•
•
C
C
C
•
•
Q C Q
C
QQC
QC•
•
@
@
@•
•
@
@
@
•
•
•
Definizione 110. (CAMMINO HAMILTONIANO) Sia G = (V, L) un grafo. Un cammino Hamiltoniano 16è un cammino l1 , l2 , . . . , ln che passa esattamente una volta per
ogni vertice del grafo.
Esempio 317. Esistono cammini euleriani o hamiltoniani nei seguenti grafi?
•
•
•
•
•
•
•
•H
•
•
•
•
HH
HH
•
•
•
HH
H
H
•
•
Definizione 111. (BIPARTITO) Un grafo G = (V, L) si dice bipartito se esiste una
partizione (V1 , V2 ) di V tale che ogni lato di G ha un estremo in V1 e l’altro in V2 .
Quindi, V1 , V2 ⊆ V non vuoti, V1 ∩ V2 = ∅, V1 ∪ V2 = V e due vertici di V1 o di V2 non
sono adiacenti tra loro.
Esempio 318. Esempio K1 , K2 , K3 , K4 .
16W.R.Hamilton, 1805-1865, scienziato Irlandese.
APPUNTI DELLE LEZIONI DI MATEMATICA DISCRETA
•
•
109
•
•
A
A
A
A
A
A
L
L
L
• L
@L
@L
•
•
•
•
Il primo grafo è bipartito, negli altri due grafi non riusciamo a trovare partizione.
Teorema 30. Un grafo è bipartito se e solo se non ammette circuiti di lunghezza dispari.
Osservazione 132. Per ogni n, m ≥ 1, esistono i grafi Kn,m che sono grafi bipartiti
(completi) di n + m vertici, con |V1 | = n e |V2 | = m, ovvero per ogni elemento di V1 e
per ogni elemento di V2 esiste un lato.
Esempio 319. I grafi K1,1 , K1,2 , K2,2 , K3,2 .
•
•
•
A
A
A
A
•
•
•
•
@
@
@
@
@•
•
•
•
•
AQQ
A
A QQ
A A Q A A QQA •
•
Esercizio 72. Disegnare K3,3 , K4,3 .
Definizione 112. (PLANARE) Un grafo si dice planare se può essere disegnato su un
piano senza incroci, ovvero se i lati si incontrano al più nei vertici in comune. Quindi
un grafo è planare se è isomorfo ad un grafo i cui lati distinti si intersecano al più nel
loro estremi.
Esempio 320. Stabilire se i seguenti grafi sono planari.
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
AQQ
A
A QQ
A A Q A A QQA •
•
•
Osservazione 133. Per capire se un grafo è planare, dobbiamo capire se può essere
rappresentato da un “disegno senza incroci”. La raprpesentazione scelta potrebbe non
essere quelal giusta. Quindi abbiamo bisogno di alcuni risultati che ci aiutino nella
scelta.
Teorema 31. (Teorema di Kuratowski17) Un grafo G = (V, L) finito è planare se e solo
se non contiene come sottografi K5 o K3,3 (o una loro espansione).
Un sottografo di G è un grafo che ha tutti i vertici e i lati in G. Formalmente: sia
G = (V, L) un grafo, un sottografo di G è un grafo G0 = (V 0 , L0 ) con V 0 ⊆ V e L0 ⊆ L,
tale che ogni l0 ∈ L0 ha estremi in V 0 .
Un espansione di un grafo è ottenuta aggiungendo uno o più vertici su un lato. Quindi
un grafo G non è planare se è ottenuto a partire da K5 (o da K3,3 ), aggiugnendo nuovi
vertici e nuovi lati o aggiungendo uno o più vertici su un lato di K5 (o di K3,3 ).
17 K. Kuratowski 1896-1980, matematico Polacco, il Teorema è del 1930.
110
DONATELLA IACONO
Definizione 113. (ALBERO) Un’albero è un grafo connesso privo di circuiti.
Esempio 321. Esempio di un albero.
"•b
"
b
"
b
"
b
b•
•"
%S
A
• A
•% S•
A
A
• A• A•
• A• • T•
Osservazione 134. Il nome deriva dalla rappresentazione. Possiamo fissare un qualsiasi
vertice (detto anche radice). Poi si dispongono tutti gli altri vertici ad un livello più
basso (risp. più alto), prima quello a distanza 1, poi ad un livello più basso (risp. più
alto) quelli a distanza 2 e cosı̀ via.
Esempio 322. Esempio dei numeri di Fibonacci (Sezione 7.1).
Teorema 32. Sia G = (V, L) un grafo con | V |= n. Le seguenti affermazioni sono
equivalenti:
(1) G è un albero.
(2) ∀v, w ∈ V , esiste ed unico il cammino tra v e w.
(3) G è privo di circuiti ed ha n − 1 lati, ovvero | L |=| V | −1.
(4) G è un grafo connesso ed ha n − 1 lati.
Osservazione 135. Ogni albero è bipartito, dato che non ha circuiti (Teorema 30).
Si può vedere esplicitamente: fissato v ∈ V , allora esiste unico il cammino per ogni
altro vertice. Posso dividere i vertici in due gruppi, il primo dato dai vertici che hanno
distanza pari da v, il secondo costituito dai vertici che hanno distanza dispari da v.
Esempio 323. Esiste un albero avente 9 vertici, con solo 3 vertici di grado 3 e solo 3
vertici di grado 2 e nessuno di ordine maggiore?
Albero è connesso; |V | = 9, quindi |L| = 8
poi
X
16 = 2 | L |=
d(v) = 3 · 3 + 3 · 2 + d(v) + d(w) + d(z)
v∈V
ovvero 16= 15+ d(v)+d(w)+d(z). Ma albero connesso quindi maggiori di 1, impossibile.
Esempio 324. Esiste un albero avente 9 vertici, con solo 2 vertici di grado 3 e solo 3
vertici di grado 2 e nessuno di ordine maggiore?
Albero è connesso; |V | = 9, quindi |L| = 8. Inoltre,
16 = 2 | L |=
X
d(v) = 2 · 3 + 3 · 2 + d(v1 ) + d(v2 ) + d(v3 ) + d(v4 ).
v∈V
Quindi, 16 = 12 + d(v1 ) + d(v2 ) + d(v3 ) + d(v4 ). Un albero è connesso, ne segue che
d(vi ) è maggiore o uguale ad 1, ovvero 1.
Quindi è un albero con 9 vertici: con solo 2 vertici di grado 3, solo 3 vertici di grado
2 e gli altri 4 vertici di valenza 1. Non abbiamo contraddizioni, quindi tale albero esiste.
ad esempio
APPUNTI DELLE LEZIONI DI MATEMATICA DISCRETA
3
•
•3
\
\
\ 2
2 •
•
1
•
111
\
\
\ 1
2 •
•
•1
1
•
oppure, un altro albero, non isomorfo a quello precedente è
1
•
2
•
2
•
2
3
•
1
3
•
•
•
•1
1
•
Per Saperne di più. In Informatica, i grafi hanno numerose applicazioni. Ad esempio,
intervengono
Per rappresentare una computer network, communication network, per studiare percorsi di logistica, per studiare mappe. Nel software design, per capire come differenti
moduli interagiscono tra loro.
Il problema dei grafi planari, sono di fondamentale importanza nella progettazione
dei circuiti elettrici.
Check list. In questo capitolo abbiamo introdotto i grafi, abbiamo definito la valenza
di un vertice, i cammini, i circuiti, grafi conessi, completi, cammini Elureiani, circuiti
euleriani, cammini hamiltoniani, grafi bipartiti, planari e alberi.
112
DONATELLA IACONO
29. Reticoli
In questa sezione studiamo i reticoli e il loro legame con gli insiemi parzialmente
ordinati.
Definizione 114. (RETICOLO ALGEBRICO) Una struttura algebrica (R, ∧, ∨) costituita da un insieme non vuoto R 6= ∅ e da due operazioni ∧ : R × R → R, detta
intersezione, e ∨ : R × R → R, detta unione, si dice reticolo algebrico se valgono le
seguenti proprietà:
(1) le operazioni ∧ e ∨ sono commutative: ∀a, b ∈ R, a ∧ b = b ∧ a e a ∨ b = b ∨ a;
(2) le operazioni ∧ e ∨ sono associative:
∀a, b, c ∈ R, (a ∧ b) ∧ c = a ∧ (b ∧ c) e (a ∨ b) ∨ c = a ∨ (b ∨ c);
(3) ∀a, b ∈ R
a ∨ (a ∧ b) = a
a ∧ (a ∨ b) = a
Le equazioni nella Proprietà (3) sono dette leggi di assorbimento.
Visto che le operazioni ∧ e ∨ commutano, valgono anche le simmetriche
(a ∧ b) ∨ a = a
e
(a ∨ b) ∧ a = a.
Osservazione 136. ∨ e ∧ sono simmetriche, nel senso che godono delle stesse proprietà,
non come negli anelli.
Esempio 325. L’anello (R, +, ·) non è un reticolo 2+(3·2) = 8 6= 2, perchè non valgono
le leggi di assorbimento.
Esempio 326. Sia A un insieme finito e R = P(A), l’insieme delle parti di A. Definiamo ∨ = ∪ unione e ∧ = ∩ intersezione. Queste due operazioni sono commutative e
associative, già visto. Inoltre per ogni X e Y ∈ P(A) abbiamo che
X ∩ (X ∪ Y ) = X
e
X ∪ (X ∩ Y ) = X.
Sono uguaglianze di insiemi infatti sono vere le doppie inclusioni, per le proprietà viste
nella Proposizione 1, si ha che X ⊂ X ∪ Y e X ∩ Y ⊂ X.
Osservazione 137. Sia (R, ∧, ∨) un reticolo algebrico.
• ∀ a ∈ R si ha
• ∀ a, b ∈ R si ha
a∧a=a
a ∨ a = a (Legge di Idempotenza);
a ∧ b = a ⇐⇒
a ∨ b = b.
Esempio 327. In R = P(A), sappiamo X ∪ X = X ∩ X = X, ∀X ∈ P(A). Inoltre,
∀X, Y ∈ P(A), abbiamo che
X ∩ Y = X ⇐⇒ X ⊆ Y ⇐⇒ X ∪ Y = Y.
Un reticolo algebrico (R, ∧, ∨) è un insieme con due operazioni, vediamo ora alcune
proprietà analoghe a quelle viste per gli anelli.
Definizione 115. (DISTRIBUTIVO) Un reticolo algebrico (R, ∧, ∨) si dice distributivo
se ∀a, b, c ∈ R si ha che
a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)
e
a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c).
Queste equazioni vengono anche dette leggi distributive.
Esempio 328. Il reticolo (P(A), ∪, ∩) è distributivo. Infatti, ∀ X, Y, Z ∈ P(A), si ha
che X ∩(Y ∪Z) = (X ∩Y )∪(X ∩Z). Anche l’altra è vera: X ∪(Y ∩Z) = (X ∪Y )∩(X ∪Z).
APPUNTI DELLE LEZIONI DI MATEMATICA DISCRETA
113
Definizione 116. (ELEMENTO NEUTRO) Sia (R, ∧, ∨) un reticolo algebrico, se esiste
l’elemento neutro rispetto a ∨ esso si indica con 0̂. Se esiste l’elemento neutro rispetto
a ∧ esso si indica con 1̂. Quindi se esiste 0̂ si ha che ∀a ∈ R:
a ∨ 0̂ = 0̂ ∨ a = a.
Quindi se esiste 1̂ si ha che ∀a ∈ R:
a ∧ 1̂ = 1̂ ∧ a = a.
Esempio 329. In (P(A), ∪, ∩) abbiamo che l’elemento neutro per ∨ esiste ed è l’insieme
vuoto: 0̂ = ∅, infatti ∀X ∈ P(A) si ha X ∨ ∅ = X.
L’elemento neutro per ∧ esiste ed è l’insieme A: 1̂ = A, infatti ∀X ∈ P(A) si ha
X ∧ A = X.
Definizione 117. (COMPLEMENTO) Sia (R, ∧, ∨) un reticolo algebrico che ammette
0̂ e 1̂. Sia a ∈ R un elemento a0 ∈ R si dice complemento di A se
a ∨ a0 = 1̂
e
a ∧ a0 = 0̂.
Osservazione 138. Devono essere verificate entrambe.
Esempio 330. In (P(A), ∪, ∩) abbiamo gli elementi neutri 0̂ = ∅ 1̂ = A. Sia X ∈
P(A), esiste X 0 ∈ P(A) tale che X ∪ X 0 = A = 1̂
X ∩ X 0 = ∅ = 0̂? Si ∀X ∈ P(A)
si ha X 0 = {A (X) insieme complementare di X. Infatti, si ha
X ∪ {A (X) = A = 1̂
X ∩ {A (X) = ∅ = 0̂
Esempio 331. In ogni (R, ∧, ∨) un reticolo algebrico che ammette 0̂ e 1̂, 0̂ e 1̂ sono uno
il complementare dell’altro. Infatti
0̂ ∨ 1̂ = 1̂
e
0̂ ∧ 1̂ = 0̂
perché elementi neutri.
Osservazione 139. Non è detto che esista il complemento e, in generale, non sappiamo
niente sull’unicità.
Proposizione 22. Sia (R, ∧, ∨) un reticolo algebrico distributivo che ammette 0̂ e 1̂.
Se un elemento ammette complemento, esso è unico.
Osservazione 140. Se in (R, ∧, ∨) un elemento ammette due complementi allora il
reticolo non è distributivo.
Definizione 118. (BOOLE18) Un reticolo algebrico (R, ∧, ∨) si dice reticolo di Boole
se:
(1) è distributivo,
(2) esistono 0̂ e 1̂,
(3) ogni elemento ammette complemento.
Osservazione 141. Se (R, ∧, ∨) è di BOOLE, allora ogni elemento ammette un unico
complemento (esiste ed è unico).
Esempio 332. Per ogni insieme A 6= ∅, il reticolo (P(A), ∪, ∩) è di Boole, infatti
ammette 0̂ = ∅ e 1̂ = A, è distributivo ed il complemento è unico.
18George Boole, 1815-1864, Matematico e logico inglese, considerato uno dei fondatori della logica
matematica.
114
DONATELLA IACONO
29.1. Legame tra reticoli e insiemi parzialmente ordinati. Nella Sezione ??, abbiamo già dato la definizione di insieme parzialmente ordinato.
Definizione 119. (Definizione 41) Un insieme A 6= ∅ si dice parzialmente ordinato, e
scriviamo (A, R), se su A è definita una relazione di ordine parziale, ovvero riflessiva,
antisimmetrica e transitiva.
Definizione 120. (MASSIMO e MINIMO) In un insieme parzialmente ordinato (A, R)
(1) un elemento x ∈ A si dice minimo se xRa, per ogni a ∈ A;
(2) un elemento y ∈ A si dice massimo se aRy, per ogni a ∈ A.
Esempio 333. Consideriamo (N, ≤), dove per ogni x e y ∈ N si ha xRy ⇐⇒ x ≤ y ⇐⇒
∃c ∈ N, con y = x + c (Esempio 145). Allora, 0 è minimo infatti 0 ≤ x, per ogni x ∈ N,
ma non esiste massimo.
Esempio 334. In (Z, ≤) non esiste né massimo né minimo.
Esempio 335. Fissiamo un intero n ≥ 2 e consideriamo l’insieme Dn dei divisori di n.
Ad esempio, D4 = {1, 2, 4}, D18 = {1, 2, 3, 6, 9, 18} , D24 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}.
Consideriamo su Dn la relazione di divisibilità R =|: per ogni x, y ∈ Dn si ha xRy se e
solo se x | y, quindi se x divide y o equivalentemente y multiplo di x.
Si può verificare che l’insieme (Dn , |) è un insieme parzialmente ordinato. In tal caso,
si ha che 1 è minimo e n è il massimo.
Negli esempi abbiamo: in D4 il minimo è 1 e il massimo è 4; in D18 il minimo è 1 e
il massimo è 18; in D24 il minimo è 1 e il massimo è 24.
Esempio 336. In (P(A), ⊆), l’elemento minimo è ∅ e il massimo è A.
29.2. Diagrammi di Hasse. Ogni insieme parzialmente ordinato (A, R), con |A| finito
può essere rappresentato graficamente usando i diagrammi di Hasse19. Regole:
(1) un punto per ogni elemento di A;
(2) se aRb allora il punto corrispondente ad a è rappresentato sotto il punto b;
(3) se aRb con (a 6= b) e non esistono c, con a < c < b allora congiungiamo a e b.
Osservazione 142. Dalla rappresentazione grafica possiamo capire il massimo e il minimo.
Esempio 337. Consideriamo D4 = {1, 2, 4}.
•4
•2
•1
19Helmut Hasse, 1898-1979, matematico tedesco.
APPUNTI DELLE LEZIONI DI MATEMATICA DISCRETA
115
Esempio 338. Consideriamo D18 = {1, 2, 3, 6, 9, 18}.
18
•
@
6 @
•
• 9
@
2 @
•
•
3
@
@ •1
Esempio 339. Consideriamo D24 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}.
24
•
@
12 @
•
• 8
@
6 @
•
•
4
3 @@ •
•2
@
@•
1
Esempio 340. Sia A = {1, 2, 3}, e consideriamo P(A) che ha 8 elementi. Allora
{1,2,3}
•
@ {2,3}
{1,2} @
•
•
@ {2} @• •{1,3}
@
{1} @•
•
{3}
@
@•
{∅}
Esercizio 73. Per casa, disegnare D14 , D12 .
Definizione 121. (RETICOLO ORDINATO) Un insieme parzialmente ordinato (A, R)
si dice reticolo ordinato se ogni coppia di elementi ammette estremo inferiore ed estremo
superiore, ovvero ∀x, y ∈ A, esiste inf{x, y} e sup{x, y}.
Cosa sono inf{x, y} e sup{x, y}?
Definizione 122. (ESTREMO INFERIORE) Siano (A, R) un insieme parzialmente
odinato e x, y ∈ A. Allora l’estremo inferiore tra x e y si denota con inf{x, y} ed è un
elemento di A, inf{x, y} ∈ R, tale che:
(1) inf{x, y}Rx e inf{x, y}Ry;
(2) ∀t ∈ A con tRx e tRy, allora tR inf{x, y}.
(Quindi, l’estremo inferiore è il più grande tra i più piccoli.)
Definizione 123. (ESTREMO SUPERIORE) Siano (A, R) un insieme parzialmente
odinato e x, y ∈ A. Allora l’estremo superiore tra x e y si denota con sup{x, y} ed è un
elemento di A, sup{x, y} ∈ A, tale che:
116
DONATELLA IACONO
(1) xR sup{x, y} e yR sup{x, y};
(2) ∀t ∈ A e xRt e yRt, allora sup{x, y}Rt.
(Quindi, l’estremo superiore è il più piccolo tra i più grandi.)
Esempio 341. (N, ≤), sia x = 2, y = 5, allora inf{2, 5} = 2 e sup{2, 5} = 5.
Esempio 342. In generale, in (Dn , |) insieme dei divisori di un dato n, allora l’estremo
inferiore è inf{x, y} = M CD(x, y) e l’estremo superiore è sup{x, y} = mcm(x, y). Infatti, la definzione di estremo inferiore tra x e y coincide esattamente con la definizione
di M CD(x, y) che abbiamo gia dato (Definizione 51:
(1) M CD(x, y) | x e M CD(x, y) | y;
(2) ∀t ∈ Dn con t | x e t | y, allora t | M CD(x, y).
Analogamente la definzione di estremo superiroe tra x e y coincide esattamente con
la definizione di mcm(x, y) che abbiamo gia dato (Definizione 54):
(1) x | mcm(x, y) e y | mcm(x, y);
(2) ∀t ∈ A e x | t e y | t, allora mcm(x, y) | t.
Esempio 343. D18 = {1, 2, 3, 6, 9, 18}, inf{2, 9} =?, oppure sup{3, 9} =? Possiamo
capirlo dalla rappresentazione grafica.
18
•
@
6 @
•
• 9
@
2 @
•
•
3
@
@ •1
Allora, ad esempio inf{2, 9} = 1, sup{3, 9} = 9, sup{3, 6} = 6, inf{2, 6} = 2.
Osservazione 143. Sia (A, R) un insieme parzialmente ordinato. Se x è minimo, allora
xRa, per ogni a ∈ A. Quindi inf{a, x} = x e sup{a, x} = a, per ogni x ∈ A.
Se x è massimo, allora aRx, per ogni a ∈ A. Quindi inf{a, x} = a e sup{a, x} = x,
per ogni a ∈ A.
Che legame c’è tra reticoli algebrici e insiemi parzialmente ordinati?
Teorema 33. Sia (R, ∧, ∨) un reticolo algebrico. Definiamo ∀a, b ∈ R
aRb se e solo se a ∧ b = a
(⇐⇒ 20
a ∨ b = b).
Allora (R, R) è un insieme parzialmente ordinato tale che ∀a, b ∈ A
sup{a, b} = a ∨ b
e
inf{a, b} = a ∧ b.
Teorema 34. Sia (A, R) un reticolo ordinato, ovvero insieme parzialmente ordinato
tale che ∀a, b ∈ A esiste estremo superiore sup{a, b} ed estremo inferiore inf{a, b}.
Definiamo due operazione
∧ : A × A → A, tale che ∀a, b ∈ A, a ∧ b := inf{a, b}
e
∨ : A × A → A, tale che ∀a, b ∈ A, a ∨ b := sup{a, b}
Allora (A, ∧, ∨) è un reticolo algebrico, ovvero le due operazioni soddisfano le proprietà.
20Osservazione 137.
APPUNTI DELLE LEZIONI DI MATEMATICA DISCRETA
117
Esempio 344. Sia (Dn , |) l’insieme dei divisori di un dato n, allora esistono l’estremo
inferiore è inf{x, y} = M CD(x, y), l’estremo superiore è sup{x, y} = mcm(x, y). Quindi
abbiamo definito un reticolo algebrico, (Dn , ∧, ∨), dove
x ∧ y := inf {x, y} = M CD(x, y) e
x ∨ y := sup{x, y} = mcm(x, y).
Quindi, i reticoli ordinati, ovvero gli insiemi parzialmente ordinati che ammettono inf
e sup per ogni coppia di elementi sono reticoli algebrici. Per gli insiemi parzialmente
ordinati abbiamo visto che possiamo usare le rappresentazioni grafiche e quindi possiamo
usarle anche per i reticoli algebrici.
Inoltre, dalla rappresentazione grafica possiamo capire inf e sup e quindi le operazioni.
Esempio 345. Consideriamo D18 = {1, 2, 3, 6, 9, 18}. Allora 18 è massimo e 1 è minimo.
Fare rappresentazione grafica. Determinare 2 ∨ 6 =? 2 ∨ 18 =?
18
•
@
6 @•
•
9
2 @@ •
•3
@
@ •1
Allora 2 ∨ 6 = m.c.m(2, 6) = 6 2 ∨ 18 = m.c.m(2, 18) = 18.
Osservazione 144. Sia (A, R) un reticolo ordinato con x minimo e y massimo.
Se x è minimo, abbiamo visto che (Osservazione 143) sup{a, x} = a, per ogni a ∈ A.
Allora
sup{a, x} = a ∀x ∈ A
⇐⇒ a ∨ x = a ∀x ∈ A.
Ma questa è la definizione di elemento neutro di ∨, ovvero il minimo è 0̂ elemento neutro
di ∨.
Se y è massimo, abbiamo visto che (Osservazione 143) inf{a, y} = a, per ogni a ∈ A.
Allora
inf{a, y} = a ∀a ∈ A
⇐⇒ a ∧ y = a ∀a ∈ A
Ma questa è la definizione di elemento neutro di ∧, ovvero il massimo è 1̂ elemento
neutro di ∧.
Quindi quando facciamo la rappresentazione, l’elemento minimo e massimo ci dicono
chi sono gli elementi neutri. Inoltre, dalla rappresentazione grafica possiamo anche
capire i complementari.
Esempio 346. D18 = {1, 2, 3, 6, 9, 18} 18 è massimo e 1 è minimo. Fare rappresentazione grafica. Determinare elementi neutri ed eventuali complementi.
18
•
@
6 @
•
• 9
@
2 @
•
•
3
@
@ •1
118
DONATELLA IACONO
Esempio 347. Consideriamo il reticolo associato a (R, ≤) dove R = {a, b, c, d} e il
reticolo è dato dal seguente diagramma di Hasse:
•a
,
,
b •,
T
T
T
T
T
T
e
e
e
e• c
d
•
Allora, ∀x ∈ R si ha che a ∧ x = x allora a = massimo = 1̂.
∀x ∈ R si ha che d ∨ x = x allora d = minimo = 0̂.
b ∧ c = inf{b, c} = d e b ∨ c = sup{b, c} = a, quindi uno è il complementare dell’altro.
Inoltre a e d sono complementari uno dell’altro.
Esempio 348. Sia N5 il reticolo pentagolnale associato a (R, ≤) dove R = {0̂, a, b, c, 1̂}
descritto dal seguente diagramma di Hasse
• 1̂
, e
,
e
b •,
e
e• c
a•
l
l
l•0̂
Allora, 0̂ e 1̂ sono complementari uno dell’altro.
L’elemento a ha come complementare c, l’elemento b ha come complementare c,
l’elemento c ha due complementari a e b. Pertanto, il reticolo non è distributivo.
Esempio 349. Sia M3 il reticolo associato a (R, ≤) dove R = {0̂, a, b, c, 1̂} descritto dal
seguente diagramma di Hasse Stabilire se il reticolo è distributivo.
• 1̂
% e
e
%
e
%
a •%
• b e• c
S
S
S
S
S 0̂
•
Allora, 0̂ e 1̂ sono complementari uno dell’altro.
L’elemento a ha come complementare b e c, l’elemento b ha come complementare a e
c, l’elemento c ha come omplementare a e b. Pertanto, il reticolo non è distributivo.
Teorema 35. Un reticolo è distributivo se e solo se non contiente sottoreticoli isomorfi
ad M3 o N5 .
APPUNTI DELLE LEZIONI DI MATEMATICA DISCRETA
119
Dove per sottoreticolo si intende un sottoinsieme chiuso rispetto alle operazioni. Formalmente, sia (R, ∧, ∨) un reticolo algebrico. Un sottoinsieme T di R con T 6= ∅ è un
sottoreticolo, se T è chiuso rispetto alle operazioni ∧ e ∨, ovvero ∀x, y ∈ T si ha x∨y ∈ T
e x ∧ y ∈ T.
Osservazione 145. Il reticolo algebrico, (Dn , ∧, ∨), dove
x ∧ y := inf {x, y} = M CD(x, y) e
x ∨ y := sup{x, y} = mcm(x, y)
è sempre distributivo, ma non sempre è di Boole.
Esempio 350. Il reticolo dell’Esempio 347, è un reticolo di Boole.
Index
∩ intersezione, 6
∪ unione, 7
∃ esiste, 6
∀
Pper ogni, 6
sommatoria, 35
Identica, 18
Imamgine, 17
Iniettiva, 19
Inversa, 23
Numero funzioni biettive tra insiemi finiti,
41
Numero funzioni iniettive tra insiemi finiti,
41
Numero funzioni tra insiemi finiti, 44
Suriettiva, 20
Algoritmo di Euclide, 57
Anelli, 90
Campo, 92
Commutativo unitario, 90
Divisore dello zero, 90
Invertibile, 91
Unitario, 90
Grafo, 104
Albero, 110
Bipartito, 108
Cammino, 107
Cammino Euleriano, 107
Cammino Hamiltoniano, 108
Circuito, 107
Circuito Euleriano, 108
Completo, 106
Connesso, 107
Digrafo, 105
Grado, 105
Isomorfismo, 104
Loop, 105
Multigrafo, 105
Multirafo Orientato, 105
Orientato, 105
Percorso, 107
Planare, 109
Teorema delle strette di Mano, 106
Valenza, 105
Gruppi, 76
Abeliano, 76
Ciclici, 82
Finito, 79
Gruppo di permutazioni, 84
Gruppo Simmetrico, 84
Infinito, 79
Ordine, 79
Ordine di un elemento, 80
Sottogruppo, 78
Sottogruppo Ciclico, 79
Gruppo di permutazioni, 84
Ciclo, 86
Composizione, 85
Inverso, 85
Ordine di una permutazione, 87
Permutazione pari, 88
Trasposizioni, 86
Campo dei numeri complessi, 93
Coniugato, 94
forma algebrica, 94
Inverso, 95
Modulo, 95
Parte Immaginaria, 94
Parte reale, 94
unità immaginaria, 94
Cardinalità di un Insieme, 25
Principio di Inclusione-Esclusione, 37
Regola del Prodotto, 39
Regola della Somma, 37
Classe di equivalenza, 50
Coefficiente Binomiale, 41
Proprietà, 42
Combinatoria, 40
Combinazioni con ripetizioni, 45
Combinazioni semplici, 41
Disposizioni con ripetizioni, 44
Disposizioni semplici, 40
Congruenze, 65
Classe di congruenza, 65
Classe resto, 65
Congruenza lineare, 68
Esistenza soluzioni congruenza lineare, 68
Proprietà delle congruenze, 66
Sistema di congruenze, 70
Soluzioni congruenza lineare, 68
Teorema Cinese dei Resti, 71
Diagrammi di Hasse, 114
Equazioni Diofantee, 62
Esistenza Soluzione, 62
Soluzioni, 63
Formula di Newton, 42
Funzione di Eulero, 67
Proprietà, 67
Funzioni, 16
Biettiva, 21
Composizione, 21
Controimmagine, 17
Costante, 18
Funzione caratteristica, 44
Grafico, 19
hash, 24
Identità di Bézout, 57
Insieme, 4
Cardinalità insieme della parti, dim.1, 27
Cardinalità insieme della parti, dim.2, 42
Cardinalità insieme della parti, dim.3, 44
Cardinalità, 25
Complementare, 7
Diagrammi di Venn, 5
Differenza, 8
Disgiunti, 7
120
APPUNTI DELLE LEZIONI DI MATEMATICA DISCRETA
Equipotenti, 25
Finito, 25
Inclusione, 5
Inclusione propria, 6
Infinito, 26
Insieme delle Parti, 8
Insieme quoziente, 52
Intersezione, 6
Leggi di De Morgan, 8
Numerabile, 26
Partizione di un insieme, 52
Parzialmente ordinato, 49
Potenza del continuo, 26
Prodotto Cartesiano, 9
Totalmente ordinato, 49
Unione, 7
Vuoto, 4
Insieme Parzialmente Ordinato, 49
Diagrammi di Hasse, 114
Estremo Inferiore, 115
Estremo Superiore, 115
Massimo, 114
Minimo, 114
Reticolo Ordinato, 115
Matrici, 97
Complemento Algebrico, 101
Determinante, 101
Diagonale Principale, 97
Identità, 99
Inversa, 102
Invertibile, 100
Moltiplicabili, 99
Prodotto, 99
Quadrate, 97
Somma, 97
Trasposta, 98
Monoide, 74
Numeri di Fibonacci, 33
Numeri interi, 54
Algoritmo di Euclide, 57
combinazione lineare, 55
Crivello di Eratostene, 61
divisione con resto, 55
divisore, 54
divisori di 1, 54
Fattorizzazione di Eratostene, 61
Identità di Bézout, 57
massimo comun divisore, 56
minimo comune multiplo, 56
multiplo, 54
numeri associati, 54
numeri coprimi, 56
numero dei divisori, 60
numero primo, 59
Numero primo, 59
Partizione di un insieme, 52
Permutazione, 41
Principio di Induzione, 27
Generalizzato, 29
Proposizioni, 10
Congiunzione, 11
Connettivi logici, 10
Disgiunzione, 11
Doppia Implicazione, 13
Equivalenza, 13
Implicazione, 12
negazione, 10
Relazioni su un insieme, 46
Classe di equivalenza, 50
Elementi confrontabili, 49
Elementi equivalenti, 49
Insieme quoziente, 52
Proprietà antisimmetrica, 47
Proprietà riflessiva, 47
Proprietà simmetrica, 49
Proprietà transitiva, 47
Relazione associata ad una funzione, 47
Relazione d’equivalenza, 49
Relazione d’ordine, 47
Relazione identica, 46
Relazione totale, 46
Relazione vuota, 46
Reticoli, 112
Reticolo Algebrico, 112
Reticolo Ordinato, 115
Reticolo Algebrico, 112
Complemento, 113
Distributivo, 112
Elemento Neutro, 113
Reticolo di Boole, 113
Simbolo di Sommatoria, 35
Strutture Algebriche, 73
Anelli, 90
Associativa, 73
Campo, 92
Commutativa, 75
Elemento Neutro, 74
Gruppo, 76
Gruppo Abeliano, 76
Invertibili, 75
Monoide, 74
Monoide commutativo, 75
Monoide delle Parole, 74
Operazione, 73
Sottogruppo, 78
Successione, 31
definita per ricorrenza, 32
formula chiusa, 32
Numeri di Fibonacci, 33
Torre di Hanoi, 34
Teorema
Piccolo Teorema di Fermat, 66
Teorema Cinese dei Resti, 71
Teorema dei numeri primi, 60
Teorema di Eulero Fermat, 67
Teorema di Fermat, 66
Teorema di Lagrange, 79
Teorema fondamentale dell’aritmetica, 59
Torre di Hanoi, 34
Triangolo di Tartaglia, 43
121