ALGEBRA I: SOLUZIONI TERZA ESERCITAZIONE
11 aprile 2011
Esercizio 1. Siano m e n due numeri interi positivi tali che m + n è un numero primo. Mostrare
che m e n sono coprimi.
Soluzione.
Sia d = (m, n) il massimo comune divisore di m e n. Poiché d divide per definizione
entrambi m e n, segue che d divide anche la loro somma m + n. Poiché m + n è per ipotesi un
primo, esso è irriducibile: pertanto i suoi unici divisori positivi sono 1 e m + n. Dunque deve
essere d = 1 oppure d = n + m. D’altra parte, siccome m e n sono entrambi positivi, otteniamo
d 6 min m, n < m + n. Dunque deve essere necessariamente d = 1, vale a dire m e n sono coprimi.
Esercizio 2.
Siano a e b due numeri interi positivi coprimi. Mostrare che esistono due interi
positivi m, n tali che
am + bn ≡ 1 (mod ab).
Soluzione.
Poiché a e b sono coprimi, a è invertibile in Z/(b) e b è invertibile in Z/(a). Esistono
pertanto due interi positivi m, n tali che
m
a ≡ 1 (mod b)
bn ≡ 1 (mod a)
Consideriamo ora il sistema cinese
x≡1
x≡1
(mod b)
(mod a)
(1)
Siccome a e b sono coprimi, per il teorema cinese del resto esso ammette soluzione e la soluzione è
unica modulo ab. Si osservi che am + bn risolve il sistema (1): infatti per come sono stati scelti m e
n vale
m
a + bn ≡ am ≡ 1 (mod b)
am + bn ≡ bn ≡ 1 (mod a)
D’altra parte il sistema (1) ammette una soluzione ovvia, che è 1. Pertanto, per l’unicità della
soluzione, 1 e am + bn devono coincidere modulo ab, vale a dire
am + bn ≡ 1
Esercizio 3.
(mod ab).
Trovare tutte le soluzioni del sistema di congruenze
3x ≡ 3 (mod 15)
5x ≡ 3 (mod 7)
Soluzione. Pur non essendo cinese, il sistema è comunque equivalente ad un sistema cinese. Infatti,
se n è un numero intero, allora
3n ≡ 3 (mod 15) ⇐⇒ ∃t : 3n = 3 + 15t ⇐⇒ ∃t : n = 1 + 5t ⇐⇒ n ≡ 1 (mod 5)
Pertanto le equazioni
3x ≡ 3
(mod 15)
e
x≡1
(mod 5)
sono equivalenti, vale a dire esse ammettono le stesse soluzioni in Z. Riduciamo adesso la seconda
equazione in modo che l’incognita x compaia con coefficiente 1. Siccome 5 e 7 sono coprimi, 5 è
invertibile in Z/(7), ed essendo
5 · 3 = 15 ≡ 1 (mod 7)
il suo inverso è 3. Pertanto, moltiplicando entrambi i termini della seconda equazione del sistema
per 3 e semplificando modulo 7, otteniamo che le equazioni
5x ≡ 3
(mod 7)
e
1
x≡2
(mod 7)
sono equivalenti. Pertanto il sistema da risolvere è equivalente al sistema cinese
x ≡ 1 (mod 5)
x ≡ 2 (mod 7)
(2)
Inoltre, siccome 5 e 7 sono coprimi, per il teorema cinese del resto la soluzione esiste ed è unica
modulo 35.
Determiniamo ora le soluzioni del sistema (2). Se n è una soluzione, allora dalla prima equazione
si ricava che esiste s ∈ Z tale che
n = 1 + 5s.
Sostituendo tale espressione all’incognita nella seconda equazione si ottiene che
1 + 5s ≡ 2
(mod 7),
vale a dire
5s ≡ 1
(mod 7).
Moltiplicando infine entrambi i termini dell’equazione per 3 (che come osservato precedentemente
coincide con l’inverso di 5 in Z/(7)) otteniamo l’equazione equivalente
s≡3
(mod 7).
Pertanto 16 = 1 + 5 · 3 è una soluzione del sistema (2) e per il teorema cinese del resto l’insieme delle
soluzioni di (2) coincide con l’insieme delle soluzioni dell’equazione
x ≡ 16
Esercizio 4.
(mod 35).
Trovare tutte le soluzioni del sistema di congruenze
x ≡ 3 (mod 9)
x ≡ 5 (mod 8)
x ≡ 2 (mod 7)
Soluzione.
Poiché 7,8 e 9 sono a due a due coprimi, per il teorema cinese del resto il sistema
ammette soluzione e la soluzione è unica modulo 504 = 7 · 8 · 9. Sia n una soluzione del sistema,
allora dalla prima equazione ricaviamo che esiste un intero s tale che
n = 3 + 9s.
Sostituendo tale espressione all’incognita nella seconda equazione si ottiene che
3 + 9s ≡ 5
(mod 8),
vale a dire
s≡2
(mod 8).
Dunque 21 = 3 + 9 · 2 è una soluzione del sottosistema composto dalle prime due equazioni
x ≡ 3 (mod 9)
x ≡ 5 (mod 8)
e per il teorema cinese del resto l’insieme delle soluzioni di tale sistema coincide con l’insieme delle
soluzioni dell’equazione
x ≡ 21 (mod 72).
Sia m una soluzione di tale equazione, allora esiste un intero t tale che
m = 21 + 72t.
Sostituendo tale espressione all’incognita nella terza equazione si ottiene allora
21 + 72t ≡ 2
2
(mod 7),
vale a dire
2t ≡ 2
(mod 7).
Moltiplicando entrambi i termini per l’inverso di 2 in Z/(7) (che esiste siccome 2 e 7 sono coprimi),
si ottiene l’equazione equivalente
t ≡ 1 (mod 7),
Dunque 93 = 21 + 72 è una soluzione del sistema
x ≡ 21 (mod 72)
x ≡ 2 (mod 7)
che è equivalente al sistema di partenza. Pertanto, per il teorema cinese del resto, l’insieme delle
soluzioni del sistema coincide con l’insieme delle soluzioni dell’equazione
x ≡ 93
Esercizio 5.
esiste:
(mod 504).
Dire quali dei seguenti elementi ammettono inverso moltiplicativo, e calcolarlo se
[4] in Z/(49),
[5] in Z/(50),
[15] in Z/(22),
[2] in Z/(77143).
Soluzione.
Dati due interi m e n, sappiamo che m è invertibile in Z/(n) se e solo se m e n sono
coprimi. Pertanto tutti gli elementi della lista ammettono inverso, tranne [5] in Z/(50).
i). Sia m un numero intero tale che
4m ≡ 1
(mod 49) :
allora esiste un intero s tale che 4m = 1 + 49s, e in particolare 1 + 49s deve essere divisibile per 4.
Viceversa se s è una soluzione dell’equazione
1 + 49s ≡ 0
(mod 4)
e se
1 + 49s
,
4
allora la classe di m coincide con l’inverso di [4]. D’altra parte la precedente equazione congruenziale
è equivalente a
s ≡ 3 (mod 4),
m=
dunque la classe di
37 =
1 + 49 · 3
4
coincide con l’inverso di [4] in Z/(49).
iii). Con un po’ di occhio, si può osservare che
15 · 3 = 45 ≡ 1
(mod 22),
vale a dire che l’inverso di [15] in Z/(22) è [3]. Se invece si è in assenza di idee, si può procedere più
pedissequamente come segue.
Come nel punto i), se m è un numero intero tale che
15m ≡ 1
allora m è della forma
m=
(mod 22),
1 + 22s
,
15
dove s è una soluzione dell’equazione
1 + 22s ≡ 0
(mod 15),
e tutte le soluzioni m sono di questa forma. La precedente equazione congruenziale è equivalente a
7s ≡ 14
(mod 15),
3
(3)
dunque ci siamo ricondotti a cercare l’inverso di [7] in Z/(15).
Sia n un numero intero tale che
7n ≡ 1 (mod 15) :
allora
n=
1 + 15t
,
7
dove t è una soluzione dell’equazione
1 + 15t ≡ 0
(mod 7),
e tutte le soluzioni n sono di questa forma. Poiché la precedente equazione è equivalente a
t≡6
(mod 7),
otteniamo che l’inverso di [7] in Z/(22) coincide con la classe di
13 =
1 + 15 · 6
.
7
Pertanto l’equazione (3) è equivalente a
s ≡ 13 · 14 = 182 ≡ 2
(mod 15)
e l’inverso di [15] in Z/(22) coincide con la classe di
3=
1 + 22 · 2
.
15
iv). Poiché 77143 è dispari (altrimenti 2 non sarebbe stato neanche invertibile), segue che
38572 =
77144
2
soddisfa l’equazione
38572 · 2 = 77143 + 1 ≡ 1
(mod 77143) :
pertanto l’inverso cercato coincide con [38572].
Definizione. Dato un intero positivo n, un elemento non nullo x ∈ Z/(n) è detto un divisore dello
zero se esiste un secondo elemento non nullo y ∈ Z/(n) tale che xy = 0. Un divisore dello zero
x ∈ Z/(n) è detto nilpotente se esiste m ∈ N tale che xm = 0.
Esercizio 6.
Calcolare i divisori dello zero e gli elementi nilpotenti di Z/(10) e di Z/(12).
Soluzione. i). Siano m < 10 e n < 10 interi positivi tali che nm = 10a per qualche intero a. Poiché
10 = 2 · 5 è la fattorizzazione in numeri primi, segue che 2 e 5 dividono mn; d’altra parte poiché
n e m sono entrambi minori di 10, segue che, se 2 divide m, allora 5 divide n e viceversa. Dunque
i divisori dello zero di Z/(10) sono da ricercarsi tra 2, 4, 5, 6, 8: in effetti tutti questi determinano
divisori dello zero di Z/(10).
Sia ora m < 10 tale che mk = 10n per qualche intero k e n: ma allora, essendo primi, sia 2 che
5 divisono m, dunque m ≥ 10 e non esistono elementi nilpotenti in Z/(10).
ii). Siano m < 12 e n < 12 interi positivi tali che nm = 12a per qualche intero a. Poiché
12 = 22 · 3 è la fattorizzazione in numeri primi, segue che 2 e 3 dividono mn; d’altra parte poiché n
e m sono entrambi minori di 12, segue che sia m che n devono essere divisibili da almeno uno tra
2 e 3. Dunque i divisori dello zero di Z/(12) sono da ricercarsi tra 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10: in effetti tutti
questi determinano divisori dello zero in Z/(12).
Sia ora m < 12 tale che mk = 12n per qualche intero k e n: allora, essendo primi, sia 2 che 3
divisono m, dunque m è divisibile per 6. Pertanto deve essere m = 6: in effetti 6 è un nilpotente in
Z/(12) in quanto
62 = 36 ≡ 0 (mod 12).
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Esercizio 7.
invertibile.
Mostrare che un elemento x ∈ Z/(n) è un divisore dello zero se e solo se non è
Soluzione.
Mostriamo la seguente affermazione equivalente: un elemento x ∈ Z/(n) è invertibile
se e solo se non è un divisore dello zero.
(=⇒) Sia x ∈ Z/(n) un elemento invertibile e sia y ∈ Z/(n) un elemento non nullo tale che
xy = 0: vogliamo mostrare che deve necessariamente essere y = 0. Ma questo segue moltiplicando
entrambi i termini di xy = 0 per l’inverso x−1 di x, da cui si ottiene y = x−1 xy = 0.
(⇐=) Sia x ∈ Z/(n) un elemento che non è divisore dello zero, mostriamo che x è necessariamente
invertibile. Consideriamo l’applicazione
φ : Z/(n) −→
y
7−→
Z/(n)
xy
Mostriamo che φ è suriettiva: questo in particolare implicherebbe che [1] ∈ =φ, vale a dire che esiste
y ∈ Z/(n) tale che xy = [1], vale a dire che x è invertibile.
Poiché Z/(n) possiede solo un numero finito di elementi, l’applicazione φ è suriettiva se e solo
se è iniettiva. Mostriamo dunque che φ è iniettiva, vale a dire che se y1 , y2 ∈ Z/(n) sono tali che
xy1 = xy2 , allora deve essere y1 = y2 . Ma questo segue dal fatto che x non è un divisore dello zero:
infatti allora da xy1 = xy2 segue
x(y1 − y2 ) = xy1 − xy2 = 0,
dunque y1 − y2 = 0 per l’ipotesi su x.
Osservazione.
Notare che la precedente dimostrazione vale in modo identico in ogni anello commutativo unitario che possieda solo un numero finito di elementi.
Definizione. Un numero intero n si dice privo di quadrati se non esistono numeri interi m diversi
da 1 il cui quadrato divide n.
Esercizio 8.
Sia n un intero positivo. Mostrare che Z/(n) è privo di nilpotenti se e solo se n è
privo di quadrati.
Soluzione.
(=⇒) Mostriamo che se n non è privo di quadrati allora esistono elementi nilpotenti. Sia m < n
un numero intero diverso da 1 tale che m2 divide n e sia a < n tale che n = m2 a. Consideriamo
ma: siccome divide n, in particolare deve essere ma < n, dunque [ma] è diverso da zero in Z/(n).
Osserviamo che [ma] è nilpotente: infatti
(ma)2 = m2 a2 = na ≡ 0
(mod n).
Dunque Z/(n) possiede elementi nilpotenti.
(⇐=) Mostriamo che se n è privo di quadrati allora non esistono elementi nilpotenti. Sia a < n
un intero positivo tale che
ak ≡ 0 (mod n)
per qualche intero k > 1, vale a dire tale che ak = mn per qualche intero m. Siccome n è privo di
quadrati, possiamo scrivere
Y
n=
p.
p primo : p|n
Poiché ogni numero primo p che divide n divide anche a, dalla precedente scrittura segue che n
divide a. Pertanto [a] = 0 e Z/(n) non possiede elementi non nulli una cui potenza sia nulla.
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