Registro delle lezioni del corso di Analisi Matematica 2
a.a. 2010/2011
Lunedì 28 febbraio
Presentazione del corso. Serie numeriche: definizione di serie convergente, divergente,
indeterminata; serie geometrica e serie telescopica. Condizione necessaria per la convergenza di una
serie (con dimostrazione).
Martedì 1 marzo
Serie a termini positivi: criteri del confronto e del confronto asintotico; serie armonica. Criteri del
rapporto e della radice.
Mercoledì 2 marzo
Operazioni algebriche tra serie: somma di due serie e moltiplicazione di una serie per un numero
non nullo. Esercizi.
Venerdì 4 marzo
Criterio integrale (con dimostrazione); serie armonica generalizzata. Definizione di serie
assolutamente convergente. Criterio di convergenza assoluta.
Lunedì 7 marzo
Serie a termini di segno alterno. Criterio di Leibniz (con dimostrazione), serie armonica
generalizzata a segni alterni. Esempi.
Mercoledì 9 marzo
Esercizi di riepilogo sulle serie numeriche.
Venerdì 11 marzo
Serie di potenze. Primi esempi e definizione. Insieme di convergenza e raggio di convergenza.
Criteri del rapporto e della radice per la determinazione del raggio di convergenza.
Lunedì 14 marzo
Esercitazione sulle serie di potenze
Martedì 15 marzo
Operazioni algebriche sulle serie di potenze. Somma e prodotto alla Cauchy di due serie di potenze.
Derivazione e integrazione di serie di potenze. Sviluppi di log(1+x), arctan(x).
Mercoledì 16 marzo
Polinomi di Taylor. Formula di Taylor con resto in forma di Peano e in forma di Lagrange. Funzioni
analitiche.
Venerdì 18 marzo
Sviluppi di MacLaurin delle funzioni elementari.
Lunedì 21 marzo
Esercizi sugli sviluppi notevoli. Punto interno/esterno/di frontiera in RN.
Martedì 22 marzo
Insieme aperto, chiuso di RN ed esempi. Funzioni reali di n variabili reali. Grafico, insiemi di
livello.
Mercoledì 23 marzo
Limiti e continuità per funzioni reali di più variabili reali.
Venerdì 25 marzo
Esercitazione su domini, grafici e limiti di funzioni di più variabili.
Lunedì 28 marzo
Derivate parziali prime e gradiente. Derivata direzionale. Differenziabilità.
Martedì 29 marzo
Piano tangente, formula di linearizzazione. Condizione sufficiente per la differenziabilità.
Conseguenze della differenziabilità. Formula del gradiente per le derivate direzionali (con
dimostrazione).
Mercoledì 30 marzo
Esercizi sul calcolo differenziale in più variabili.
Venerdì 1 aprile
Esercitazione sul calcolo differenziale in più variabili.
Lunedì 4 aprile
Teorema della funzione composta (con dimostrazione). Teorema di Lagrange e applicazioni (con
dimostrazioni). Funzioni Lipschitziane.
Martedì 5 aprile
Derivate seconde e matrice hessiana. Teorema di Schwarz. Derivate di ordine successivo.
Mercoledì 6 aprile
Formula di Taylor in più variabili. Convessità per funzioni di più variabili. Richiami sulle forme
quadratiche. Definizione di punto di massimo (minimo) relativo o assoluto.
Venerdì 8 aprile
Esercitazione su funzioni di più variabili.
Lunedì 11 aprile
Teorema di Weierstrass. Teorema di Fermat (con dimostrazione). Classificazione dei punti critici
tramite la matrice hessiana (con dimostrazione).
Martedì 12 aprile
Punti di sella. Punti critici con matrice hessiana semidefinita. Funzioni vettoriali, matrice Jacobiana.
Teorema di derivazione della funzione composta.
Venerdì 15 aprile
Esercitazione sulla ricerca di massimi e minimi liberi.
Lunedì 18 aprile
Curve in Rm. Curve regolari. Curve congruenti.
Martedì 19 aprile
Lunghezza di un arco regolare e ascissa curvilinea. Integrale curvilineo di prima specie.
Mercoledì 20 aprile
Esercitazione sulle curve.
Mercoledì 27 aprile
Estremi vincolati: metodo parametrico e metodo dei moltiplicatori di Lagrange in R2
Venerdì 29 aprile
Esercitazione sugli estremi vincolati.
Lunedì 2 maggio
Esercizi su massimi e minimi vincolati.
Martedì 3 maggio
Integrale doppio secondo Riemann in un rettangolo e formule di riduzione.
Mercoledì 4 maggio
Insiemi misurabili e integrale doppio. Proprietà dell'integrale. Formule di riduzione in insiemi
semplici.
Venerdì 6 maggio
Teorema sul cambio di variabili negli integrali doppi. Coordinate polari. Esempi vari
Lunedì 9 maggio
Integrali tripli: cenni alla costruzione, formule di riduzione, cambi di variabili. Coordinate
cilindriche e sferiche.
Martedì 10 maggio
Esercitazione su integrali doppi e tripli.
Mercoledì 11 maggio
Calcolo di integrali tripli. Baricentro e primo teorema di Guldino. Integrali doppi impropri.
Venerdì 13 maggio
Superfici regolari in R3. Piano tangente. Area. Integrale di superficie. Secondo teorema di Guldino.
Lunedì 16 maggio
Esercitazione su superfici.
Martedì 17 maggio
Campi vettoriali e lavoro. Campi conservativi, campi irrotazionali.
Mercoledì 18 maggio
Insiemi semplicemente connessi. Calcolo di potenziali.
Venerdì 20 maggio
I teoremi di Green e della divergenza in R2.
Lunedì 23 maggio
Teorema della divergenza in R3.
Martedì 24 maggio
Calcolo di flussi di campi vettoriali in R2 e in R3.
Mercoledì 25 maggio
Teorema di Stokes e applicazioni.
Venerdì 27 maggio
Esercitazione sui teoremi di Green, Gauss e Stokes.
Lunedì 30 maggio
Esercizi di riepilogo.
Martedì 31 maggio
Esercizi di riepilogo.
