Campo magnetico B (o di induzione magnetica)
La proprietà di alcuni materiali, come la magnetite Fe3O4, di attirare a sè la limatura di
ferro, era nota già dal VII secolo a.C. e fu denominata "magnetismo“. I nomi
"magnetite" e "magnetismo" derivano da quello della città di Magnesia, in Asia Minore,
dove veniva estratto il materiale (magnētēs lithos o pietra di Magnesia).
Nel XVI secolo W. Gilbert compì una serie di esperimenti con la magnetite al fine di
osservare in dettaglio le proprietà del magnetismo
e comprenderne l'origine. A questo scopo preparò
dei piccoli cilindri di magnetite, detti "magneti", ed
osservò che la proprietà di attirare la limatura
di ferro si concentrava solo alle estremità del
cilindro, che chiamò poli magnetici (Nord e Sud)
perché nelle bussole, gli aghetti magnetici avevano la
proprietà di orientarsi verso il polo Nord magnetico della Terra. I poli magnetici
si comportavano in modo analogo a cariche
elettriche di segno opposto.Ad es.le forze
dipendono dal quadrato della distanza. La
limatura di ferro rendeva evidenti anche
l’andamento delle linee di forza del campo
magnetico.
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Generale
1
Gilbert pensò che la Terra potesse essere pensata come un magnete il
cui polo Sud è posto nel Polo geografico. In realtà il Polo Nord
Magnetico oltre a non coincidere con quello Geografico è pure in
movimento.
Posizione del Polo Nord geografico
e magnetico. Il polo Nord magnetico
si sposta nel tempo
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Però esistono differenze sostanziali tra il caso elettrico e quello magnetico.
a) le cariche elettriche negative si possono separare da quelle positive mentre non è
possibile isolare su di un magnete una delle polarità: se si spezza una calamita in due
parti, non si ottiene la separazione dei due poli, ma si ottengono ancora due magneti.
b) Conosciamo le particelle elementari che sono responsabili dell'elettrizzazione dei
corpi: gli elettroni e i protoni. Invece, non riusciamo a identificare le particelle che
determinano le proprietà magnetiche delle calamite.
c) Non potendo ottenere dei "monopoli" magnetici non si conosce nel magnetismo
alcun fenomeno analogo alla corrente elettrica, nel senso che non esiste un equivalente
magnetico della carica elettrica.
d) Mentre nel campo elettrico le linee di forza che si dipartono da un corpo elettrizzato
possono perdersi all'infinito ( cosa che accade, ad esempio, nel caso di una carica
positiva isolata), nel campo magnetico le linee di forza si chiudono sempre sui poli del
magnete.
In analogia con quanto ricavato per il campo E
∫ B •ndA= 0 seconda equazione di Maxwell in
forma integrale, poiché tante linee di campo
entrano e tante ne escono da cui
∇ • B = 0 in forma differenziale, (non ci sono
sorgenti del campo magnetico).
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N
N
S
S
N
S
3
Generale
Campo magnetico B (o di induzione magnetica)
Non essendo state osservate cariche magnetiche, la definizione
operativa del campo magnetico B non può avvenire come nel caso di
E. Per procedere, osserviamo che un campo magnetico determina
un’azione su una carica elettrica in moto. Quindi se in una regione di
spazio c’è B l’azione sulle carica q in moto sarà
F=q v × B forza di Lorentz, in modulo B= F/(qv) se v⊥B (unità tesla
T=Ns/(Cm): tale forza può servire come definizione di B
Quindi la forza complessiva su una carica in cui sono presenti
contemporaneamente un campo E e B è F=q (v × B + E)
La forza è perpendicolare a v e a B e quindi il campo non fa lavoro
sulla particella.
Se una particella entra in un campo magnetico uniforme e non dissipa
energia la traiettoria è circolare (perché?)
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Gli effetti di questa forza si osservarono inizialmente su un filo percorso
da corrente immerso in un campo magnetico. Un tratto Δl del filo
contiene una carica Δq= n e A Δl. Poiché le cariche si muovono con
con una velocità di deriva vD, la corrente è i= n e |vD| A
F= Δq vD × B= n e A Δl vD × B= i Δl × B avendo definito il vettore Δl
⊗B
i
F
Di modulo Δl, direzione del tratto di filo e verso
concorde con quello della corrente (def.di i).
Cerchiamo di calcolare il campo B.
Δl
Il campo B è generato dal movimento delle cariche, cioè dalle correnti.
Dato un circuito, questo può essere pensato suddiviso in elementi di
corrente i dl (vettoriali) che come sopra hanno modulo i dl e verso
quello della corrente, il contributo dB al campo nel punto P è dato da
P dB=(μ0/4π) i dl × r /r3= (μ0/4π) i dl × ^r /r2,
r
legge di Biot-Savart, anche in questo caso
l’andamento è r - 2 come per la legge di Coulomb,
i dl
dove r è il vettore che unisce i dl al punto P, ma al
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posto della carica scalare q c’è l’elemento vettoriale di corrente che ha
un valore solo formale poiché non è separabile dal circuito a cui
appartiene; μ0 = 4π 10-7 T m/ A =1.26 10-6 T m/ A è una costante detta
permeabilità magnetica del vuoto.
Tramite la legge di Biot-Savart possiamo calcolare il campo generato
da un filo rettilineo percorso da corrente i che in modulo vale
B= μ0 i/(2π r) con r distanza dal filo. Le linee di forza del campo B
risultano circonferenze concentriche. Quindi, al contrario
del campo elettrostatico, le linee sono chiuse e non hanno
inizio o fine, questo esprime il fatto che non esistono
sorgenti (o pozzi) del campo ed è una proprietà generale
del campo magnetico. Le linee si chiudono attorno alle correnti (sono
concatenate) questo si esprime dicendo che i vortici del campo sono
generati dalle correnti. Se si esegue la circuitazione (integrale su una
linea chiusa) del campo ∫B•dl = μ0 ic, legge di Ampere, dove ic sono le
correnti concatenate con la linea (cioè racchiuse entro la linea).
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Per trovare la direzione del
campo B si utilizza la regola
della mano destra
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Come nel caso della legge di Gauss, anche la legge di Ampere
permette in casi di distribuzioni simmetriche di corrente di calcolare
il campo B senza ricorrere all’integrale vettoriale della legge di
Biot-Savart.
Es. filo di raggio R percorso da corrente sia pieno che cavo
Ricordiamo che la legge di Gauss ci ha condotto alla prima legge di
Maxwell. La legge di Ampere ∫B•dl = μ0 ic può essere utilmente
riscritta come ∫B•dl = μ0 ∫J•dA (quarta equazione di Maxwell in
forma integrale) dove il secondo è un integrale sulla superficie
appoggiata alla curva chiusa della circuitazione. Per il teorema del
rotore o di Stokes il primo integrale può essere esteso alla
stessa superficie sostituendo il campo con il rotore del campo
∫∇×B•dA = μ0 ∫J•dA ovvero ∫(∇×B - μ0 J )•dA = 0 ciò vale per ogni
superficie da cui ∇×B = μ0 J (IV eq.di Maxwell in forma differenziale)
che mostra in modo esplicito che i vortici di B sono dovuti alle correnti
(nel caso stazionario).
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Generale
Ricordiamo a questo punto la definizione di ampere, l’unità della corrente elettrica
del Sistema internazionale. Un ampere corrisponde a quella corrente costante che
scorrendo in due fili di lunghezza infinita e di dimensione trascurabile posti a
distanza di 1 m nel vuoto, produrrebbe una forza tra di essi pari a 2 x 10-7
newton per metro di lunghezza.
Consideriamo gli effetti meccanici su una spira, che è utilizzata in molti
dispositivi (es. motori elettrici). Per semplicità consideriamo una spira
rettangolare di lati a,b in cui circola una corrente i costante immersa in
un campo B uniforme. La
F
1
a
forza su ciascun lato è
•
b
F= i Δl × B . Le forze F2 e
F4
i
i
F2 F (=- F ) determinano un
4
2
F2
θ n momento torcente (F1 e F3
⊗
sono uguali ed opposte
B
F4
⊗B
F3
giacenti sulla stessa retta,
momento nullo). In modulo il momento sarà t=i b B a sin θ, se ci sono N
spire t=N i b B a sin θ. Se definiamo un vettore (dipolo magnetico) μ
di modulo Ni a b=Ni A (A=area della spira) e direzione legata alla
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direzione della corrente tramite la regola della mano destra (n è il versore
orientato come il pollice mentre le dita ruotano nella direzione di i
e μ= μ n) possiamo esprimere il momento torcente come
t= μ×B (relazione analoga a t= p×E per il dipolo elettrico)
Anche in questo caso è possibile definire un’energia potenziale magnetica
la cui espressione è simile a quella del dipolo elettrico
U= - μ•B (avendo definito la direzione θ=0 quando il dipolo è
allineato nella direzione del campo B)
Da osservare che le linee di forza del
a
b dipolo elettrico e del dipolo magnetico
i
sono geometricamente di forma uguale.
n
⊗
Infatti con la legge di Biot e Savart si può
calcolare il campo lungo l’asse di una
spira circolare di raggio R
ed il risultato per z>>R è B(z)= μ0 i R2/(2 z3) o in termini del dipolo μ
B= (μ0 /2 π) ( μ / z3) simile a quanto trovato per il dipolo elettrico
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Campo di un solenoide
Una spira genera un campo magnetico, ma per aumentarne il valore si
utilizzano più spire (solenoide). Utilizziamo la legge di Ampere per
calcolare il campo all’interno di un solenoide. Consideriamo una linea
chiusa come in figura. Essa racchiude N spire e nell’ipotesi che il solen.
sia sufficientemente lungo, il campo esterno è
trascurabile e il campo è praticamente
uniforme all’interno, diretto parallelamente
all’asse; l’integrazione sui lati verticali è
B
nulla →∫B•dl = B l=μ0 Nic con l=lato
i
orizzontale da cui
B= μ0 (N/l) ic = μ0 n ic
(n=N/l num.spire per unità di lunghezza)
il verso di B è dato dalla regola della mano destra.
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Linee di forza del
campo magnetico di un
solenoide in cui le spire
non sono a stretto contatto
Linee di forza del
campo magnetico di un
solenoide in cui le spire
sono a più stretto contatto.
Il campo disperso esternamente è inferiore rispetto
a prima. Si noti la somiglianza col campo di un
dipolo elettrico
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Induzione elettromagnetica
Faraday osservò che ogniqualvolta c’è una variazione del flusso del
campo magnetico concatenato con un circuito, nasce una f.e.m. nel
circuito (legge di induzione di Faraday).
Più tardi Lenz scoprì che la corrente indotta ha verso tale da opporsi alla
variazione di campo magnetico che l’ha indotta.
Consideriamo una spira immersa in un campo magnetico la f.e.m. indotta
ε= - dΦB /dt = - d/dt ∫B•dA (ΦB = ∫B•dA flusso di B (weber Wb=Tm2))
per N spire ε= -N dΦB /dt = - N d/dt ∫B•dA.
Il flusso può cambiare per variazione del campo B, variare l’area delle
spire, variare l’angolo fra la normale alla spira e B.
Il calcolo della f.e.m. ε = ∫E•dl corrisponde al calcolo del potenziale ma
su una linea chiusa non è zero → nel caso non stazionario E non è
conservativo. Applicando il teorema del rotore a ∫E•dl = - d/dt ∫B•dA
∇×E= - ∂B /∂t III eq.di Maxwell,
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Come nel caso dei condensatori, si definisce l’induttore come l’elemento
circuitale che presenta induttanza ovvero la costante di proporzionalità
fra flusso di B e corrente i
L=NΦ / i (unità henry H)
(mostrare che μ0 è in unità H/m)
Per un solenoide L= μ0 (N/l)2 A l = μ0 n2 A l (A=area delle spire)
In un solenoide, ad una variazione della i che vi scorre determina una
f.e.m. autoindotta
da NΦ =Li → N dΦ/dt =L di/dt →ε= - L di/dt
questa rappresenta la caduta di potenziale ai capi di un induttore.
R
Formiamo un circuito RL. Dalla eq.delle maglie si ha
V=iR+L di/dt (equazione differenziale in i, V f.e.m.
+
generatore).Es. Dal confronto con l’equazione del moto
L
di un corpo in caduta in fluido che presenta viscosità,
determinare la soluzione i=i(t) per il circuito.
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Famoso disegno di Escher
che potrebbe ben
rappresentare l’azione su un
elettrone di un circuito
chiuso immerso in un campo
magnetico variabile: il campo
elettrico indotto (generato dal
flusso variabile di B) è non
conservativo e continua ad
agire (spingere) l’elettrone
che quindi si trova sempre ‘in
discesa’ anche quando
completa un giro.
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Energia del campo magnetico
Nel caso del condensatore avevamo dimostrato che l’energia può essere
pensata come contenuta nel campo elettrico.
Nel caso dell’induttore il lavoro svolto per far fluire la corrente attraverso
di esso è diverso da zero solo nei transienti (ove di/dt≠0)
infatti la potenza istantanea è data da
P= -ε i= - ( - L di/dt i) = d/dt (½ L i2) e quindi l’integrale nel tempo
(lavoro fatto dall’esterno sull’induttore) è l’energia immagazzinata pari
a U=(½ L i2) . Infatti quando si interrompe la corrente, lo stesso lavoro
viene restituito dal solenoide. Per associare questo lavoro al campo
magnetico utilizziamo un solenoide (trascurando tutti i flussi dispersi)
dalla relazione L= μ0 n2 A l e da B= μ0 n i l’energia diviene
E=½ μ0 n2 A l i2 =½ B2 A l/ μ0 e dividendo per il volume del solenoide
vol=A l, si ottiene la densità di energia del campo magnetico
uB= ½ B2 / μ0. Questo risultato vale in generale. In presenza di un campo
elettromagnetico la densità di energia è u= uE + uB =½ ε0 E2 + ½ B2 / μ0.
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Consideriamo un circuito formato da un condensatore e da un induttore.
Dalla eq.delle maglie
-q/C - L di/dt =0 ovvero di/dt + q /(LC)=0
C
L
ma i=dq/dt quindi
d2q/dt2+ ω2 q = 0 (eq.del moto armonico) con ω2 =1 /(LC)
Un circuito LC rappresenta perciò un oscillatore elettrico. Se inizialmente
C è carico esso si scarica attraverso L. Quando C è scarico non c’è più
corrente ma L impedisce che la corrente cessi istantaneamente e quindi i
continua e C si ricarica invertendo il segno sulle sue armature. Il processo
si ripete con la corrente che scorre nel verso opposto. Dal punto di vista
energetico l’energia immagazzinata nel campo elettrico serve a
incrementare il campo magnetico che immagazzina a sua volta energia e
viceversa. Osservando l’equazione, B è legato all’energia cinetica del
fittizio oscillatore meccanico, il campo E all’energia potenziale elastica.
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Generale
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Nel caso reale c’è sempre dissipazione e si hanno oscillazioni smorzate
Il circuito presenterà perciò una resistenza e
C
l’eq.delle maglie diventa
L
-q/C -Ri -L di/dt =0 ovvero di/dt +(R/L)i+ q /(LC)=0
d2q/dt2+ (R/L) dq/dt+ ω2 q = 0
(oscillatore smorzato)
R
Le soluzioni sono le stesse del caso meccanico dove
il coefficiente β legato alla viscosità del fluido è sostituito da R.
In presenza di un generatore di corrente alternata il circuito RLC
presenta il fenomeno della risonanza quando la frequenza
del generatore è prossima a quella del circuito (f=ω/2π)
C
e valgono le stesse considerazione fatte per il caso
~
di un oscillatore meccanico.
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Generale
L
18
