Soluzioni della Prova di esonero di Fisica II per Chimica, 28 /
11 / 2011 - Compito B
Esercizio 1
In una sfera isolante di raggio R, carica con densità di carica per unità di volume r, ci sono due fori sferici di raggi R/4 e
(3/8)R, con centri rispettivamente in (R/2;0) e (-R/2;0). Calcolare, in direzione, modulo e verso, il campo elettrico E nel
punto A (2R;0) e nel punto B in (0;R/2).
Dati: r = 1.0 10-4 C/m3 ;
R = 0.5 m
ü Soluzione:
Nella figura sono indicati i vettori prodotti dal guscio sferico di raggio R e densità di carica r, e dalle
sfere cariche con densità di carica negativa -r poste in corrispondenza dei fori, nei punti A e B:
2
Esonero_Fis2Chimica_2011_11_28-Soluzioni_B.nb
e0 = VacuumPermittivity
8.85419 µ 10-12 Ampere Second
Meter Volt
Dati:
R := 0.5 Meter
r := 10-4 Coulomb ë Meter3
ü
Calcolo del campo E in A(2R;0):
Modulo del Campo E della Sfera 1 (Sfera di raggio R e densità di carica r, con centro in (0;0))
Il punto A è all'esterno della Sfera 1, per cui il campo che la Sfera 1 genera in A è lo stesso di quello prodotto da una carica
posta nel centro della Sfera 1, di valore pari alla carica totale della Sfera 1:
Q1Tot :=
4
3
p I R3 M r
quindi, per r ¥ R, il campo prodotto dalla Sfera 1 ha modulo:
E1ext@r_D =
Q1Tot 1
4 p e0 r2
470 587. Coulomb Meter Volt
Ampere r2 Second
Il modulo di E(r) per r=2R è:
E1A = E1ext@2 RD
470 587. Coulomb Volt
Ampere Meter Second
Il campo E1 è diretto radialmente verso l'esterno, come indicato in figura (vettore rosso).
Calcolo del Campo E della Sfera 2 (Sfera di raggio 3/8 R e carica -r, con centro in (-R/2;0))
La carica totale Q2 della sfera di raggio R 3/8 in (-R/2;0) è:
Q2 = -r
4
3
p HR 3 ê 8L3 êê N
-2.76117 µ 10-6 Coulomb
Il campo E2 prodotto dalla carica Q2 è diretto come in figura (vettore blu) ed ha un modulo che varia in funzione di r come:
E2@r_D =
-
Q2
1
4 p e0 r2
24 816.1 Coulomb Meter Volt
Ampere r2 Second
La distanza del centro della Sfera 2 in (-R/2;0) dal punto A (2R;0) è
Esonero_Fis2Chimica_2011_11_28-Soluzioni_B.nb
D2A = R ê 2 + 2 R
1.25 Meter
per cui il modulo di E2 in A è dato da:
E2A = E2@D2AD
-
15 882.3 Coulomb Volt
Ampere Meter Second
Calcolo del Campo E della Sfera 3 (Sfera di raggio R/4 e carica -r, con centro in (R/2;0))
La carica totale Q3 della sfera di raggio R/4 in (0;R/2) è:
Q3 = -r
4
3
p HR ê 4L3
-8.18123 µ 10-7 Coulomb
Il campo E3 prodotto dalla carica Q3 è diretto come in figura (vettore viola) ed ha un modulo che varia in funzione di r
come:
E3@r_D =
-
Q3
1
4 p e0 r2
7352.92 Coulomb Meter Volt
Ampere r2 Second
La distanza del centro della Sfera 3 in (R/2;0) dal punto A (2R;0) è
D3A = 2 R - R ê 2
0.75 Meter
per cui il modulo di E3 in A è dato da:
E3A = E3@D3AD
-
13 071.9 Coulomb Volt
Ampere Meter Second
Il vettore E3 è diretto lungo l'asse delle y, con verso discorde rispetto al versore di y, per cui il campo E3 della Sfera 3 in A
ha soltanto la componente E3y, data da:
E3y = E3(r= 2R-R/2).
Possiamo ora calcolare le componenti del campo elettrico EtotA:
EtotAx = E1A - |E2A| - |E3A|
EtotAy = 0
EtotAx = E1A + E2A + E3A
EtotAy = 0
441 633. Coulomb Volt
Ampere Meter Second
0
Il modulo del campo elettrico nel punto A è dato da:
3
4
Esonero_Fis2Chimica_2011_11_28-Soluzioni_B.nb
EtotAx2 + EtotAy2
EtotA =
Coulomb2 Volt2
441 633.
ü
Ampere2 Meter2 Second2
Calcolo del campo E in B(0;R/2):
Modulo del Campo E della Sfera 1 (Sfera di raggio R e densità di carica r, con centro in (0;0))
Per r £ R, il modulo del campo elettrico E(r) è dato dal teorema di Gauss applicato ad una superficie sferica di raggio r,
concentrica con il guscio sferico:
F(E(r)) = 4pr 2 E(r) = Q(r)/e0
La carica Q(r) è quella della sfera carica compresa tra 0 ed r:
4
3
Q(r) = r
p Ir3 M
per cui:
E1@r_D =
r
p Ir3 M
1 4
4 p e0 r2 3
3.7647 µ 106 Coulomb r Volt
Ampere Meter2 Second
Il modulo di E(r) per r=R/2 è:
E1B = E1B
1
2
RF
941 174. Coulomb Volt
Ampere Meter Second
Il vettore E1B è diretto lungo l'asse delle y con verso concorde, per cui le sue componenti sono: E1B = 0; E1By = E1B
Il campo E2 prodotto dalla carica Q2 è diretto come in figura (vettore blu) ed ha un modulo che varia in funzione di r come:
E2@r_D =
-
Q2
1
4 p e0 r2
24 816.1 Coulomb Meter Volt
Ampere r2 Second
La distanza del centro della Sfera 2 in (-R/2;0) dal punto B (0;R/2) è
D2B =
HR ê 2L2 + HR ê 2L2
0.353553
Meter2
La distanza del centro della Sfera 2 in (-R/2;0) dal punto B (0;R/2) è quindi R/ 2 , per cui il modulo di E2 in B è dato da:
E2B = E2@D2BD
-
198 529. Coulomb Volt
Ampere Meter Second
L'angolo che il vettore E2B forma con l'asse delle x è p/4, per cui il campo E2 della Sfera 2 in B ha due componenti, E2Bx
ed E2By, date da:
E2Bx = E2B sin (p/4) = E2B
2 /2 (<0)
E2By = E2B cos (p/4) = E2B
2 /2 (<0)
Esonero_Fis2Chimica_2011_11_28-Soluzioni_B.nb
5
L'angolo che il vettore E2B forma con l'asse delle x è p/4, per cui il campo E2 della Sfera 2 in B ha due componenti, E2Bx
ed E2By, date da:
E2Bx = E2B sin (p/4) = E2B
2 /2 (<0)
E2By = E2B cos (p/4) = E2B
2 /2 (<0)
E2Bx = E2B í
-
140 381. Coulomb Volt
Ampere Meter Second
E2By = E2B í
-
2
2
140 381. Coulomb Volt
Ampere Meter Second
Il campo E3B generato dalla Sfera 3 in (R/2;0), nel punto B, a distanza D3B =
I R2 M + I R2 M
2
2
dal centro della sfera, ha
modulo:
E3B =
-
Q3
1
4 p e0 I R M + I R M2
2
2
2
êê N
58 823.4 Coulomb Volt
Ampere Meter Second
L'angolo che il vettore E3B forma con l'asse delle x è p/4, per cui il campo E3B della Sfera 3 in B ha due componenti, E3Bx
ed E3By, date da:
E3Bx = E3B sin (p/4) = E3B
vettore E3B sull'asse delle x
2 /2 (>0) Notare il segno positivo della componente x di E3B, come si vede proiettando il
E3By = E3B cos (p/4) = E3B
2 /2 (<0)
Le componenti E3Bx e E3By sono quindi date da:
E3Bx = -E3B í
2
41 594.4 Coulomb Volt
Ampere Meter Second
E3By = E3B í
-
2
41 594.4 Coulomb Volt
Ampere Meter Second
Possiamo ora calcolare le componenti del campo elettrico EtotB:
EtotBx = - |E2Bx| + |E3Bx| (abbiamo messo in evidenza il segno negativo di E2Bx, ed il segno positivo di E3Bx)
EtotBy = E3By (<0)
EtotBx = E2B + E3Bx êê N
-
156 935. Coulomb Volt
Ampere Meter Second
EtotBy = E1B + E2By + E3By êê N
759 199. Coulomb Volt
Ampere Meter Second
6
Esonero_Fis2Chimica_2011_11_28-Soluzioni_B.nb
EtotB =
775 249.
EtotBx2 + EtotBy2
Coulomb2 Volt2
Ampere2 Meter2 Second2
Notare che le unità fisiche di EtotB date da Mathematica corrispondono correttamente a V/m. Infatti è: [Ampere]=[Coulomb/Second].
Esercizio 2
Tre condensatori C1, C2, C3 sono connessi in parallelo tra di loro e a un generatore di d.d.p Vo.
Calcolare il valore della capacità totale, della carica presente su ciascun condensatore e dell’energia totale del sistema di
condensatori.
Il sistema viene poi isolato dal generatore, e il condensatore C3 viene completamente riempito con una una lastra isolante di
costante dielettrica relativa k1, mentre l’intercapedine del condensatore C1 viene completamente riempita con due lastre
isolanti sovrapposte, ciascuna di spessore metà del totale dell’intercapedine e con valori della costante dielettrica relativa k1
e k2 (vedi figura).
Calcolare il nuovo valore della capacità totale e la variazione di energia del sistema.
Dati: C1 = 1.0 10-9 F; C2= 2.0 10-9 F; C3 = 3.0 10-9 F; k1 = 2.0; k2 = 3.0; Vo = 10 V
ü Soluzione:
<< PhysicalConstants`
Dati:
Vo := 10 Volt
C1 := 1.0 10-9 Farad
C2 := 2.0 10-9 Farad
C3 := 3.0 10-9 Farad
k1 := 2
k2 := 3
Il sistema proposto è equivalente a due capacità in parallelo, C1, con armature di superficie S distanti d, e C2, con armature
di superficie S distanti d/2, come mostrato in figura.
Esonero_Fis2Chimica_2011_11_28-Soluzioni_B.nb
7
ü Sistema in vuoto
CtotVuoto = C1 + C2 + C3
6. µ 10-9 Farad
EnTotVuoto = H1 ê 2L CtotVuoto Vo2
3. µ 10-7 Farad Volt2
ü Sistema con dielettrici inseriti
Inserendo i dielettrici, il sistema può essere considerato come composto da due capacità in serie, che compongono C1, in
parallelo con C2 e C3, come mostrato in figura:
Inserendo il dielettrico di costante dielettrica relativa k1 nel condensatore C3, si ha che la capacità di C3 aumenta di un
fattore k1:
C3diel = k1 C3
6. µ 10-9 Farad
Le due lastre dielettriche di spessore d1/2 e costanti dielettriche relative k1 e k2 inserite in C1 rendono il sistema equivalente
a due condensatori in serie, C1dielk1 e C1dielk2, per cui il nuovo valore della capacità C1 con i dielettrici inseriti è:
C1diel =
1
1
C1
I 2 1k1
+
1
M
2 k2
2.4 µ 10-9 Farad
Notare che per il calcolo di C1diel non è necessario conoscere il valore di d1, ma solo il rapporto tra d1 e lo spessore di
ciascuno dei due dielettrici (nel nostro caso d1/(d1/2)).
La nuova capacità totale è quindi:
CtotDiel = C1diel + C2 + C3diel
1.04 µ 10-8 Farad
EnTotDiel = H1 ê 2L CtotDiel Vo2 êê N
5.2 µ 10-7 Farad Volt2
DeltaEnergia = EnTotDiel - EnTotVuoto
2.2 µ 10-7 Farad Volt2
La differenza tra EnTotVuoto - EnTotDiel è positiva per la capacità CtotDiel. La batteria perde una quantità di energia pari a
2 DeltaEnergia. Una quantità pari a Delta Energia viene dissipata, una quantità Delta Energia viene fornita alla capacità per
matenere la tensione invariata ai suoi capi.
Le cariche Qo1 e Qo2 presenti sulle armature dei due condensatori in vuoto sono:
8
Esonero_Fis2Chimica_2011_11_28-Soluzioni_B.nb
Le cariche Qo1 e Qo2 presenti sulle armature dei due condensatori in vuoto sono:
Qo1 = C1 Vo
1. µ 10-8 Farad Volt
Qo2 = C2 Vo
2. µ 10-8 Farad Volt
La cariche Qp1 e Qp2 presenti sui due dielettrici sono:
Qp1 =
k1 - 1
k1
Qo1
5. µ 10-9 Farad Volt
Qp2 =
k2 - 1
k2
Qo2
1.33333 µ 10-8 Farad Volt
