Esercitazioni di Matematica Discreta 21-03-2005 Funzione di Moebius: 1 d - 1k 0 se d 1 se d è prodotto di k primi distinti se d ha dei fattori primi che si ripetono Formula di inversione di Moebius: Se f n g d allora d |n n g n d f d d |n f :N N Es1. Sia n d 2 facendo uso della formula di inversione di Moebius si determini la d |n funzione g(n) = n2 e la si calcoli esplicitamente nei casi n = 3 ed n = 4. Sol. Per la formula di inversione di Moebius si ha n 2 n d f d e quindi: d |n 9 = 1 f 3 3 f 1 f 3 3 16 = 1 f 4 2 f 2 4 f 1 f 4 2 f 2 . La funzione di Eulero n è uguale al numero di numeri minori e primi con n. 1 1 1 r ....1 Se n = p1r1 p2r2 .... pkk , allora n n1 1 p1 p2 pk Es2. Quanti sono gli interi minori di 9.000.000 che non sono divisibili né per 2, né per 3, né per 5. Sol. Dato che 9.000.000 = 26 × 32 × 56, 2, 3 e 5 sono i soli divisori primi di 9.000.000. Allora 1 1 1 basta calcolare: 9.000.000 9 106 1 1 1 24 105 . 2 3 5 Es3. Determinare il numero dei multipli x di 3 tali che 315 x 316 . Sol. Dato che 3 è l’unico divisore primo di 315 e di 316, basta calcolare 315 - 315 e 316 - 3 16 La soluzione è data da: (316 - 3 16 ) – (315 - 315 ). Teorema di Eulero Se MCD (a, m) = 1 allora a m 1mod m . Piccolo teorema di Fermat Se p non divide a, allora a p.1 1mod p . Es4. Quale è la cifra delle unità di 2117125. Sol. Dato che n ed n5 hanno la stessa cifra delle unità, allora 2117 e 21175 hanno la stessa cifra delle unità, ma hanno la stessa cifra delle unità anche di (21175 )5 = 211725 ed anche di (211725)5 = 2117125. Quindi la risposta è 7. Es5. Determinare il resto della divisione per 17 di 2817. Sol. Per il piccolo teorema di Fermat si ha 2817 28 mod 17 11mod 17 , quindi la risposta è 11. Es6. Determinare il resto della divisione per 9 di 2710×1919×1028. Sol. Sappiamo che ogni numero è congruo la somma delle sue cifre modulo 9, quindi 2710 10mod 9 , 1919 20mod 9 , 1028 1mod 9 . Quindi, 2710 1919 1028 10 20 200 mod 9 2 mod 9 . Es7. Determinare il resto della divisione per 23 di 347. Sol. 47 = 23×2 + 1, quindi 347 = 323×2+1 = (32)23 3 32 3 mod 23 27 mod 23 4 mod 23. Es8. Dire quali tra i seguenti polinomi sono irriducibili e primitivi in Z2[x]: x4 + 1, x4 + x2 + 1, x4 + x + 1. Sol. x4 + 1 ha 1 come radice, quindi si riduce. I polinomi x4 + x2 + 1, x4 + x + 1 non hanno radici e quindi sono irriducibili solo se non sono divisibili per l’unico polinomio di 2° grado irriducibile in Z2[x] che è x2 + x + 1. Si verifica che x4 + x2 + 1 = (x2 + x + 1)2 e che x4 + x + 1 è irriducibile. Inoltre è anche primitivo, infatti: x, x2, x3, x4 = x + 1, x5 = x2 + x, x6 = x3 + x2, x7 = x3 + x + 1, x8 = x2 + 1, x9 = x3 + x, x10 = x2 + x + 1, x11 = x3 + x2 + x, x12 = x3 + x2 + x + 1, x13 = x3 + x2 + 1, x14 = x3 + 1, x15 = 1. Es9. Dato x2 + mx + 2, dire per quali valori di m è riducibile in Z7[x]. Sol. Per essere riducibile, essendo di 2° grado, deve ammettere una radice. Pertanto il deve essere un quadrato. I quadrati di Z7[x] sono 1, 2, e 4. Quindi m2 – 8 = 1 ha soluzione m = 3, m2 – 8 = 2 non ha soluzione ed m2 – 8 = 4 non ha soluzione.