Seminario N° 3 Quanto tempo rimane l`acqua in un lago ?

Il lago, genius loci del territorio bresciano: occasione di educazione ambientale e di introduzione al pensiero scientifico - Anno 2014-2015
Seminario N° 3
Quanto tempo rimane l'acqua in un lago ?
Classe IV del Liceo Calini
Liceo Leonardo da Vinci
Professori : Aldo Auditore
Marco Pietro Longhi
CONCLUSIONE DEL SEMINARIO N. 2
•
Il serbatoio prismatico del seminario 2 fornisce un’immagine semplificata di un lago reale
•
Lo svuotamento di questo serbatoio, può essere bene interpretato alla luce
dalla legge di conservazione della massa congiunta all’applicazione del teorema di Bernoulli
•
Grazie al modello abbiamo calcolato il tempo di completo svuotamento TS
•
Ma TS è veramente ciò che cercavamo ?
•
Un lago non si svuota: l’acqua si ricambia
•
Domanda del seminario 3: Quanto tempo ci mette l’acqua di un lago “inquinato” ad essere
ricambiata da altra acqua “pulita” ? (Tempo di ricambio, TR)
Ovvero, seppure formulata in modo diverso:
Quale è la probabilità che nel lago di Garda sia ancora presente l’acqua nella
quale potrebbe essersi bagnato Gabriele D’Annunzio ?
SEMINARIO N. 3
V L 49 ⋅ 10 9
TR =
=
q
58 . 4
= 839041096 s
= 26 .6 anni
Gabriele D’Annunzio
(1863, Pescara; 1938, Gardone Riviera)
SEMINARIO N. 3: Confronto tra svuotamento (1) e ricambio (2a, 2b)
Il ricambio è un processo
asintotico che dipende
dal grado di
mescolamento del lago…
SEMINARIO N. 3: un ingrediente fondamentale - la Concentrazione
•
Concentrazione
Esempio 1: concentrazione di particelle rosse n su particelle totali N nella scatola
Esempio 2: concentrazione di acqua inquinata in un lago
Massa complessiva
Volume complessivo
del lago
C = m/M = (m/ρ)/(M/ρ) = V/VL
massa inquinante
volume inquinante nel
lago
C = n/N
SEMINARIO N. 3: Misura della Concentrazione nella portata uscente dall’emissario
•
Se il lago è perfettamente miscelato, la concentrazione dell’acqua uscente è uguale alla
concentrazione dell’acqua nel lago
•
Possiamo misurare il Tempo di Ricambio dell’acqua del lago supponendo il lago interamente
occupato da inquinante al tempo 0 e misurando in quanto tempo la concentrazione di inquinante
nell’effluente va a zero quando il lago è alimentato da acqua pulita (vedi disegno sopra)
•
Per riprodurre questo fenomeno simuliamo l’ingresso di acqua dolce in un lago inizialmente
occupato da acqua salata. In questo caso, al posto di misurare la concentrazione di inquinante
uscente, misuriamo il grado di salinità dell’acqua effluente misurandone la conducibilita elettrica.
•
Ogni tipo di acqua ha una sua conducibilità che dipende dagli ioni presenti
SEMINARIO N. 3: la misura della Conducibilità Elettrica
Cos’è e come si misura la conducibilità elettrica di una soluzione acquosa?
Siamo interessati a conoscere la concentrazione salina nell’acqua in uscita dal serbatoio. Per farlo
possiamo pensare di misurare il quantitativo di ioni disciolti, che determina la capacità della soluzione di
condurre una corrente elettrica.
Il sensore di conducibilità misura la capacità della soluzione di condurre una corrente elettrica: agli
elettrodi viene applicata una differenza di potenziale che genera una corrente dalla quale si calcola la
conducibilità.
Ad ogni variazione della concentrazione di ioni nella soluzione corrisponderà una variazione della
conducibilità. La conducibilità varia con la temperatura e quindi, usualmente, gli strumenti riportano il
valore normalizzato a 25 °C
Amperometro
che misura la
corrente che
circola nel
circuito
batteria che
impone una
differenza di
potenziale
liquido di cui si vuole misurare la conducibilità
SEMINARIO N. 3: la Conducibilità Elettrica
Che valori assume la conducibilità in situazioni tipiche ? (NB: 1 µSiemens = 10-6 S)
Salinità
[g/l]
Lago d’Iseo
0.1 g/l
Limite per
irrigazione
2 g/l
Mediterraneo
38 g/l
mar Nero
18 g/l
mar Morto
300 g/l
media
del mare
34.7 g/l
Conducibilità
[µS/cm]
0 300 1000
Acqua dolce (laghi, fiumi, acquiferi)
40’0000
80’0000
Acqua salata (laghi salati, mare)
SEMINARIO N. 3: la Conducibilità Elettrica
Che valori assume?
124µS/cm
306 µS/cm
Conducibilità a 20°C:
570 µS/cm
690µS/cm
1264 µS/cm
1800 µS/cm
Brescia
80.5 mg/l
170 mg/l
400 mg/l
Residuo fisso a 180°C
840 mg/l
1290 mg/l
SEMINARIO N. 3: la probabilità
Supponiamo che il contenitore contenga N palline, blu e verdi. Quelle blu sono in numero di n.
La probabilità p di estrarre una pallina blu è data da n/N (ovvero la concentrazione !)
Es: N= 100; n =0;
N= 100; n =100;
N= 246; n =86;
p= 0
p= 1
p= 86/246=0.35
La probabilità può variare tra 0 (evento impossibile) e 1 (evento certo).
Nel terzo caso significa che, mediamente, il 35% delle volte prenderò una pallina blu
Se prendo una manciata di M palline, mediamente
conterrà M x p palline blu
SEMINARIO N. 3: Come varierà il numero n di palle rosse nel tempo ? il modello matematico
Supponiamo che il contenitore con le palline sia perfettamente miscelato. Sia N il numero complessivo di
palline. Cerchiamo di capire come varia nel tempo il numero di palle rosse, n, se escono q palline ogni
Probabilità di estrarre
secondo
Portata = numero di palline (bianche e rosse)
numero di palline rosse
nel contenitore
una pallina rossa
dal serbatoio
n( t + ∆ t ) = n( t ) − p ( t )n out
uscenti in un secondo
 n( t ) 
= n( t ) − 
q∆t
 N 
numero di palline
estratte in ∆t
q∆t
n( t + ∆ t ) = n( t )( 1 −
)
N
Si tratta di un modello “autoregressivo” poichè n(t+∆t)
è funzione di n(t)
SEMINARIO N. 3: Come varierà la concentrazione di inquinante nel tempo ? il modello matematico
Ipotesi: lago perfettamente miscelato;
q [m3/s]: portata in uscita, costante nel tempo;
V(t) [m3]: volume di inquinante nel lago al tempo t
VL [m3]: volume del lago
Cerchiamo di capire come varia nel tempo la concentrazione di inquinante nel lago, C, se
da esso escono q metri cubi di acqua ogni secondo. Partiamo da un bilancio del volume di inquinante:
V ( t + ∆ t ) = V ( t ) − C ( t )q ∆ t
Quantità di inquinante uscente in ∆t
V ( t + ∆ t ) V ( t ) C ( t )q ∆ t V ( t ) C ( t )∆ t
=
−
=
−
VL
VL
VL
VL
TR
(1)
C ( t + ∆ t ) = C ( t )( 1 −
∆t
)
TR
TR =
VL
q
Ancora un modello “autoregressivo” per la concentrazione.
Questo è il modello matematico di variazione
della concentrazione nel tempo, che applicheremo
partendo dal valore iniziale C(t=0) =1
SEMINARIO N. 3: Come varierà la concentrazione di inquinante nel tempo ? L’esperimento
T=0s
T = 19 s
T=0s
T = 1m 49s
T = 4m 40s
• Riempiamo il serbatoio di acqua “inquinata”, ottenuta con una soluzione a
maggiore conducibilità rispetto all’acqua del rubinetto. Per fare questo
utilizzeremo dell’acqua resa salata con l’aggiunta di sale da cucina. Per
rendere più evidente la natura “inquinata” di quest’acqua, coloriamola con un
colorante alimentare. A questo punto misuriamone la conducibilità, S0.
• Mantenendo costante il volume nel serbatoio, facciamo entrare acqua
pulita (di rubinetto), di cui avremo provveduto a misurare la conducibilità, Sin.
• Contemporaneamente, misuriamo in funzione del tempo la conducibilità S
della portata uscente dal serbatoio. Il tempo è fornito dal timer che avremo
avviato all’inizio della prova.
•Arrestiamo la prova quando l’acqua nel serbatoio è diventata trasparente.
•I dati misurati costituiscono la serie sperimentale C(t)
SEMINARIO N. 3: Come calcolare la concentrazione dalla conducibilità misurata, S ?
T=0s
T = 19 s
T=0s
T = 1m 49s
T = 4m 40s
•La conducibilità del liquido in uscita varierà tra il valore iniziale S0 e il valore
Sin, raggiunto asintoticamente, dell’acqua in ingresso.
•Per riportarci alla concentrazione, dobbiamo normalizzare il valore S di
conducibilità, in modo da ottenere una quantità che all’inizio sia pari ad 1 e
asintoticamente nel tempo tenda a 0
SEMINARIO N. 3 Inserimento dei dati nel foglio elettronico
Analizziamo i risultati dell’esperimento utilizzando il foglio di calcolo predisposto.
1) Inseriamo i dati iniziali della prova nelle caselle blu
2) Misuriamo il volume defluito dal serbatoio. Per fare questo basta misurare il volume accumulato
nella vasca di valle (Vout). Prendiamo anche nota della durata della prova (d). Utilizziamo questi dati
per completare le caselle gialle relative alla portata media e al tempo di riempimento del serbatoio
SEMINARIO N. 3: Inserimento dei dati nel foglio elettronico
3) Scarichiamo la serie temporale della conducibilità misurata dalla sonda e copiamo la serie (tempo,
conducibilità) nelle colonne A e B. Quindi adimensionalizziamo la conducibilità misurata come mostrato
nel grafico precedente (colonna C)
4) Implementiamo il modello (1) inserendo le formule indicate nelle caselle D11 e E11
SEMINARIO N. 3: Inserimento dei dati nel foglio elettronico
Confrontiamo ora le misure sperimentali con i risultati del modello matematico (1) rappresentando in un
grafico le curve (tempo, concentrazione) misurate (colonna A e C) e quelle calcolate (colonna A ed E) in
funzione del tempo
SEMINARIO N. 3: Inserimento dei dati nel foglio elettronico
Lo stesso confronto si può fare confrontando i dati misurati con i corrispondenti dati teorici. Se il modello
predice perfettamente il processo, i punti così rappresentati si devono allineare lungo la bisettrice del primo
quadrante.
SEMINARIO N. 3: Rispondiamo ora alla domanda iniziale
C ( t + ∆ t ) = C ( t )( 1 −
q∆t
∆t
) = C ( t )( 1 −
)
VL
TR
La concentrazione di inquinante C(t)
può vedersi come una probabilità
C ( t ) ≡ P( t )
Essa rappresenta la probabilità che una particella di acqua
Inizialmente presente nel serbatoio, sia ancora presente al suo
interno al tempo t
∆t
P ( t + ∆ t ) = P ( t )( 1 −
)
TR
L’equazione evolutiva si può vedere come una applicazione
della legge di calcolo della probabilità composta. La
probabilità che al tempo t+∆t sia ancora presente l’inquinante
originario, è data dal prodotto tra la probabilità di essere
presente al tempo t - termine (1) a fianco- per la probabilità di
non uscire dal serbatoio nell’intervallo ∆t - termine (2) a fianco -
(1)
(2)
Quindi per avere la probabilità che nel lago di Garda siano presenti particelle d’acqua che erano
presenti nel 1938 devo iterare il modello, partendo da C(0) = 1, per (2014-1938)=76 anni (attenzione
ad usare unità di tempo coerenti per ∆t e TR).
SEMINARIO N. 3: Rispondiamo alla domanda iniziale
∆t
P ( t + ∆ t ) = P ( t )( 1 −
)
TR
t= 0 nel 1938; unità di tempo: anno; t= 76 nel 2014;
P ( 0 ) = 1; ∆ t =1; TR =
P ( 1 ) = P ( 0 )( 1 −
∆t
)
TR
prima iterazione
P ( 2 ) = P ( 1 )( 1 −
∆t
∆t 2
) = P ( 0 )( 1 −
)
TR
TR
seconda iterazione
∆ t 76
)
TR
76-esima iterazione
VL
= 26 .6
q
...
P ( 76 ) = P ( 0 )( 1 −
In definitiva, P(76) = 0.054; la probabilità è circa del 5%.
Nel lago di Garda sono ancora presenti 0.054 x 49.109 = 2.67.109 m3 di acqua nella quale avrebbe
potuto essersi bagnato Gabriele D’annunzio
SEMINARIO N. 3: quale è la probabilità che sia ancora presente acqua dell’epoca di Catullo ?
Busto di Catullo a
Sirmione
Gaius Valerius Catullus (Verona, 84 a.C. – Roma, 54 a.C.)