ISTITUTO DI ISTRUZIONE
SUPERIORE
Liceo Scientifico Tecnologico
da Vinci – De Giorgio Lanciano
Anno Scolastico 2011
11/2012
L'UCCELLO
LLO DALLE ALI DI FERRO
Alunno: Alessandro
Firmani
Classe: V LST A
Tesina Esame di Stato
Sommario
INTRODUZIONE .......................................................................................................................... 2
STORIA ........................................................................................................................................ 3
L'aereo nelle due guerre.......................................................................................................... 3
ITALIANO...................................................................................................................................5
Gabriele d'Annunzio..............................................................................................................5
FILOSOFIA..................................................................................................................................7
Soren Kierkegaard................................................................................................................7
INGLESE....................................................................................................................................9
Virginia Woolf.....................................................................................................................9
SISTEMI....................................................................................................................................10
La nascita della telegrafia senza fili...................................................................................10
FISICA.......................................................................................................................................14
Le onde elettromagnetiche................................................................................................14
MATEMATICA..........................................................................................................................24
La derivata........................................................................................................................24
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Tesina Esame di Stato
INTRODUZIONE
Le materie studiate in questa scuola mi hanno dato una possibilità per capire cos'è la
scienza, "entrandoci molte volte a contatto" con le varie esperienze di laboratorio.
Alla fine di questo percorso di studi quinquennale ho ritenuto opportuno analizzare il
rapporto scienza-guerra e per rendere più calzante il percorso multidisciplinare, ho
deciso di centralizzare la tesina sull'aereo, la massima rappresentazione del
progresso tecnologico-scientifico che ha fatto cambiare volto alla guerra,
abbandonando la tradizionale baionetta.
Volare è la cosa che l'uomo ha da sempre desiderato, fin dai tempi di Icaro come ci
racconta la mitologia greca. Concretizzare la scienza in qualcosa che era in grado di
recare benefici, velocizzando il trasporto di cose e persone, era qualcosa di
fantastico. Il XX secolo si apre con questa sfida, che di benefici dal punto di vista
civile ne garantisce ben pochi.
La storia ci insegna come l'uomo non si sia mai accontentato di un traguardo
raggiunto, cercando sempre di oltrepassarlo. Ecco perché decollato il primo aereo, si
va subito oltre dotando i nuovi mezzi di sistemi ricetrasmittenti: è una svolta
indiscussa sotto il profilo militare. Qualsiasi azione militare, si semplifica
notevolmente vista la facilità di dialogo e il buon senso di Marconi nel recitare <<Le
mie invenzioni sono per salvare l'umanità, non per distruggerla>>, viene ignorato.
Comunicazioni di bombardamenti riusciti dai terrificanti "Caccia" potrebbero essere
un motivo per cui quest'uomo si sia sentito in colpa della sua invenzione. Il
condizionale è d'obbligo perchè delle 700 persone salvate nel naufragio del Titanic,
una buona parte del merito va a Marconi e al suo brevetto depositato all'Ufficio
Brevetti di Londra. Il nostro scienziato è stato costretto a lasciare l'Italia per proporre
in Inghilterra la sua invenzione, ricevendo finanziamenti adeguati per proseguire i
suoi studi; questo fa capire facilmente come Il problema del finanziamento sulla
ricerca in Italia, ha perseguitato anche personaggi senza i quali, telefonare o esaltare
la potenza aerea italiana, sui cieli di Vienna, sarebbe rimasto un sogno anche per
uno come Gabriele D'Annunzio.
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Tesina Esame di Stato
STORIA
I progressi ottenuti nella società di massa si sono riscontrati chiaramente nel corso
delle due guerre mondiali. Basta pensare all'introduzione della catena di montaggio
(sfruttata per prima dalle officine automobilistiche Ford) nei processi di produzione
industriale di veicoli e armi da guerra, ma non solo. La vera novità fu la costruzione
dell'aereo e il primo volo di questo nel 1903. Gli artefici del primo prototipo furono i
fratelli Wright che in realtà non fecero altro che sfruttare il motore a scoppio e mettere
in pratica ciò che Leonardo Da Vinci aveva teorizzato ben 400 anni prima!
Si fece un grande uso di questo nuovo mezzo affascinante, che naturalmente fu
soggetto a progresso e sviluppo nel corso degli anni. Infatti nella Prima Guerra
Mondiale, scoppiata nel 1914 cioè un decennio dopo l'invenzione dell'aereo, non
ancora si raggiunsero notevoli sviluppi, in termini di sicurezza soprattutto. Per questo
l'utilizzo che se ne fece fu prevalentemente ricognitivo e tattico: la vista dall'alto
garantiva un'ottima visione del territorio nemico e uno studio dei punti d'attacco. Tutti
desideravano una vasta egemonia dei cieli e fu proprio questo il motivo di numerosi
progetti e realizzazione di aerei da parte di vari stati, con altrettante numerose
precipitazioni disastrose per i conducenti di tali mezzi, vista la scarsa sicurezza
iniziale.
Nonostante tutto si notò subito la grande utilità dell'aereo. Un esempio eclatante è
dimostrato dalla sconfitta clamorosa delle truppe russe contro quelle tedesche nella
battaglia di Tannenberg: il comandante russo
ignorò le indicazioni e i consigli di ritiro
dell'armata, arrivategli dai piloti degli aerei,
tant'è che la Russia finì per perdere tutta la
sua armata in questa battaglia incassando
una clamorosa sconfitta.
L'uso ricognitivo dell'aereo non è inteso
soltanto nel senso del rifornimento alimentare
e artiglieristico ma anche nell'osservazione
tattica di attacco. Un aereo in cielo era sicuramente il mezzo migliore per correggere
un traiettoria parabolica di tiro con un cannone, variando l'angolo di tiro quindi la
gittata. Nonostante ciò non tutto l'utilizzo dell'aereo fu a scopo bellico e se ne fece
anche un uso "civile" come l'azione di volantinaggio su Vienna, guidata da Gabriele
D'Annunzio (figura).
Negli anni successivi alla Grande Guerra, si compirono passi da gigante
nell'aeronautica. Gli aerei diventavano più stabili, più affidabili, dotati di motori più
potenti che permettevano di raggiungere velocità anche superiori ai 500 km/h. I
progettisti in questo campo divennero sempre più preparati, a tal punto da riuscir a
equipaggiare gli aerei di mitragliatrici e vani per lo sganciamento di bombe, senza
compromettere la stabilità del velivolo.
Tutte le grandi e medie potenze
intensificarono la loro produzione di aerei da attacco, sempre più efficienti e
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Tesina Esame di Stato
pericolosi. La consapevolezza del pericolo e della devastazione di ciò che un
bombardamento aereo poteva provocare diventava sempre più un dato di fatto: una
nuova guerra aerea si andava delineando.
Il profilo della Seconda Guerra Mondiale fu tale da garantire una svolta sul fronte
aereo già alle prime battute. Le corazzate terrene tedesche furono accompagnate dai
violenti e intensi bombardamenti che distrussero la gran parte delle infrastrutture
militari polacche e colpirono violentemente anche le città. L'inferiorità tecnica dei
polacchi era notevole: nonostante il loro coraggio essi con i loro circa 500 aerei non
riuscirono a contrastare minimamente l'azione prorompente mostrata dalla Germania
nello schierare 2000 aerei. Un altro fenomeno di importanza rilevante sotto il profilo
aeronautico fu il famoso attacco giapponese a Pearl Harbor. Se nella Prima Guerra
Mondiale l'intervento degli Stati Uniti fu per porre fine alla guerra, annientando la
potenza tedesca, in questo secondo conflitto gli USA si sentono chiamati in causa
direttamente. Infatti in seguito all'invasione dell'Indocina francese da parte dei
giapponesi, gli Stati Uniti si fecero avanti consigliando la Gran Bretagna di bloccare
le esportazioni verso il Giappone. I nipponici senza farsi troppi problemi, attaccarono
la flotta navale americana ancorata a Pearl Harbor, nelle Hawaii. L'attacco fu un
bombardamento aereo molto violento che portò alla quasi completa distruzione della
flotta.
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Tesina Esame di Stato
ITALIANO
"D'Annunzio poeta aviatore". Cesare Capone trova le parole giuste per esaltare il
poeta abruzzese, un uomo né del tutto poeta, né del tutto aviatore, bensì uno che
sorvolando le città europee ha la possibilità di osservare uno spettacolo che traduce
in parole nelle sue opere. Il volo è un qualcosa di nuovo, una sfida che viene a
crearsi tra gli uomini del tempo. D'Annunzio di certo non si tira indietro e fa comparire
in "Forse che sì forse che no" questo tema, precisamente nella seconda parte del
primo libro per sottolineare la temerarietà del protagonista, non solo nel campo
automobilistico. Infatti questo romanzo è costituito da tre libri: nella prima parte del
primo libro si parla degli intrecci amorosi che partono dal rapporto tra Paolo Tarsis e
Isabella Inghirami, vista l'attrazione di Paolo verso Vana, sorella minore di Isabella e
la relazione amorosa segreta che Isabella aveva con suo fratello Aldo; nel secondo
libro vengono trattati e approfonditi le relazioni sentimentali tra i personaggi; nel terzo
libro si ha la rottura dei vari rapporti in seguito alla confessione del rapporto
incestuoso tra Aldo e Isabella che Vana, (prima che si suicidi), fa a Paolo. Proprio
con quest'ultimo Isabella ha una lite violenta che la porta ad impazzire.
Contrariamente Paolo evita qualsiasi danno fisico e psicologico intraprendendo un
volo dal Lazio alla Sardegna, spensierato, pericoloso ma altrettanto rilassante.
D'Annunzio deve la sua notorietà di livello europeo ai suoi romanzi e alle novità
rispetto al romanzo naturalista che possiamo riassumere in tre punti:
1. Il personaggio diventa l' "alter ego" dell'autore, o meglio una sua copia. Paolo
Tarsis (appassionato di aeronautica come D'Annunzio) e Andrea Sperelli
(protagonista del romanzo "Il Piacere") sono una
conferma di questa caratteristica. Quest'ultimo è un
uomo di salotti, molto raffinato tuttavia la sua vita
sentimentale è abbastanza travagliata: è diviso fra due
donne Elena e Maria. Egli aspetta la visita di Elena che,
essendo sposata non gli si concede più. Allora Andrea
cerca il divertimento con avventure erotiche, ma proprio
per questo viene ferito da un suo rivale e geloso. Nella
Andrea Sperelli
convalescenza, a casa di una sua cugina conosce
Maria Ferres della quale crede di essersi innamorato.
In realtà Andrea preferisce il senso estetico (infatti viene creato da
D'Annunzio come portavoce dell'estetismo) a quello morale, puntando tutta la
sua attenzione al culto della bellezza, visto che egli usa Maria per rivivere le
emozioni provate con Elena. La Ferres, già dubbiosa di questo amore,
abbandona l'uomo quando Andrea si fa scappare il nome di Elena in una
situazione di intimità tra i due.
2. La riduzione al minimo della trama. Il romanzo dannunziano non è più una
narrazione dei fatti ma si presenta come una successione di istanti ed
emozioni intense, prive di fenomeni di azione e reazione.
3. La musicalizzazione della scrittura basata sulla ripetizione di alcune parole
che svolgono un ruolo fondamentale nel romanzo, tant'è che Gabriele
D'Annunzio raccomanda il suo traduttore francese di non tralasciare, o trovare
sinonimi, per le parole ripetute poichè queste <<rendono più musicali certe
cadenze>>.
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Tesina Esame di Stato
L'atteggiamento di Andrea Sperelli, per quanto precedentemente detto, fa sì che il
romanzo "Il Piacere" appartenga all'estetismo. Questo movimento letterario, nonchè
culturale, nasce come reazione all'ideologia dei parnassiani, i quali si opponevano
sia alla soggettività nelle composizioni poetiche del Romanticismo, sia all'oggettività
eccessiva, presente nel Realismo e consideravano l'arte come rappresentazione di
un mondo ideale, escludendo perciò qualsiasi legame arte-vita. L'Estetismo nasce
partendo da una confutazione del Parnassianesimo, basata sulla rivalutazione del
legame dell'arte con la vita: non è la vita che deve ispirare l'arte ma viceversa, l'arte
deve ispirare la vita plasmandola e inventandola. Si viene così formando questo
nuovo movimento letterario che in realtà è uno dei filoni del decadentismo, che vede
come massimi esponenti D'Annunzio e Pascoli.
La parola decadentismo deriva dal termine francese “decadènt” usato per indicare la
vita irregolare e spericolata dei poeti maledetti francesi, quindi in senso dispregiativo.
Oggi però In Italia con questa parola si indica tutta la letteratura e la civiltà del ‘900 e
non le si da più un senso dispregiativo. Le caratteristiche di questo movimento sono
l’esaltazione della decadenza, del deteriorarsi della vita e della società del tempo (in
contrapposizione quindi con il positivismo, portavoce della fiducia del progresso)
infatti il motivo di fondo del decadentismo europeo è l’angoscia esistenziale, descritta
da Kierkegaard. La patria del decadentismo è la Francia, principalmente per l’elevata
presenza di artisti, poeti e scrittori in quel periodo.
La poesia nel Decadentismo diventa uno strumento di conoscenza del mistero che
avvolge la vita, vista l’incapacità mostrata dalla filosofia e dalla scienza. Cambia il
ruolo del poeta che svolge il ruolo del veggente. Egli non è più il maestro di vita, il
saggio, come veniva considerato nell’antica Grecia, né il “testimone divino” come
veniva considerato nel Medioevo, né il celebratore della bellezza e divulgatore della
scienza come veniva considerato rispettivamente
nel Romanticismo e
nell’Illuminismo. Nel Decadentismo, egli svolge un ruolo diverso dal solito: è
l’esploratore dell’assoluto e dell’inconscio. Proprio per questo motivo la poesia
diventa un monologo fatto di un linguaggio oscuro dal significato opinabile, quindi
soggetto a interpretazioni.
Nel decadentismo si rifiutano le forme metriche rigide costituite da rime e strutture
poetiche prestabilite ma si preferisce una forma aperta, fatta da versi liberi come si
può notare soprattutto nelle poesie di D'Annunzio (che si attiene al Decadentismo in
forma e contenuti) e non in quelle di Giovanni Pascoli (simbolista per eccellenza) che
risente dell'influenza di Leopardi e Carducci e nella sua metrica.
Tornando a Gabriele D'Annunzio, nella sua vita poetica troviamo il panismo: una
caratteristica che accomuna i simbolisti e i poeti decadenti in genere. Con questo
termine si intende il confondersi e il mescolarsi dell'Io con il Tutto, o Assoluto. L'Io
che si fa forma e si dissolve nella natura. D'Annunzio mette in risalto il suo panismo
nella poesia "La pioggia nel pineto" dove il poeta, ma soprattutto la sua amica
immaginaria Ermione (egli usa questo appellativo riferendosi in verità alla sua donna
amata Eleonora Duse), finiscono per immedesimarsi nella natura.
La poesia appena menzionata fa parte della più famosa raccolta di liriche
dannunziane: Alcyone. E' il terzo (ed ultimo, poichè l'idea dei 7 libri come le stelle
della costellazione delle Pleiadi fu subito abbandonata) libro della raccolta Laudi.
Un'insieme di liriche che identifica al massimo la caratteristica lussureggiante della
poesia di D'Annunzio, volta ad esaltare l'esperienza del poeta sia nel bene che nel
male.
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Tesina Esame di Stato
FILOSOFIA
La formazione religiosa di base si identifica nella laurea in teologia conseguita all’età
di 27 anni, in seguito ad un'educazione religiosa molto severa ricevuta dal padre.
Scrive un Diario (parte della sua opera “Aut-aut”) nel quale parla di un “terremoto”
avvenuto ad un certo punto della sua esistenza (argomento ancora avvolto dal
mistero) che lo costringe a cambiare il suo atteggiamento di fronte al mondo. Diceva
di essere maledetto (di avere una “scheggia nelle carni”) e di non poter prendere
alcuna decisione né tantomeno quella di un ipotetico matrimonio con Regina Olsen,
motivo probabile della rottura del rapporto. La sua filosofia è una critica all’idealismo
e all’hegelismo in particolare: difesa della singolarità e rivalutazione del concreto nei
confronti dell’astratto ne sono un esempio. Aspetto caratteristico della filosofia
kierkegaardiana è il tentativo di ricondurre la comprensione dell’esistenza umana alla
categoria della possibilità. La differenza con Kant (che aveva riconosciuto anch’egli
la possibilità alla base di ogni scelta umana) è che Kierkegaard ne considera il lato
negativo ovvero come le possibilità possano portare alla rovina totale dell’individuo.
Ogni scelta che l’uomo effettua nella sua vita è fronteggiata da alternative terribili che
finiscono per paralizzare l’individuo facendolo diventare un discepolo dell’angoscia.
Perciò la vita dell’uomo è costantemente al punto zero; l’indecisione dinnanzi alle
molteplici alternative che si presentano è permanente. E’ impossibile ridurre la vita
ad un compito preciso poiché questo comporterebbe delle scelte che l’uomo,
essendo perennemente nel suo punto zero, non è in grado di fare. Perciò secondo
Kierkegaard ogni uomo svolge un ruolo contemplativo delle possibilità presenti di
fronte ad una scelta e può venire a capo di tutto ciò soltanto grazie alla fede e al
cristianesimo in particolare, che fornisce un giusto insegnamento “soprannaturale”
per sottrarre l’uomo dall’angoscia che lo perturba dalla nascita.
Le possibilità di cui si è parlato finora non si possono riunire in un processo dialettico
stile hegeliano (dove in realtà l’opposizione tra le alternative è solo apparente perché
l’unica vera realtà è la ragione). Questo perché Kierkegaard rivaluta il singolo
considerandolo esistente, concreto e superiore al genere. Infatti è una caratteristica
della specie umana quella di essere superiore al genere, Hegel viene criticato perché
è come se avesse trasformato il genere umano in quello animale sostenendo il
contrario. Nell’idealismo così come nell’hegelismo si celano altri errori a partire dal
panteismo idealistico (assurdo per il filosofo danese che afferma invece l’infinita
differenza qualitativa tra finito e infinito) fino ad arrivare alla scomparsa del soggetto
pensante, oggetto di ampia critica per Kierkegaard poiché in Hegel manca il soggetto
concreto ed indelebile del pensiero. Se pur volessimo ammettere la separazione tra
pensiero ed esistenza concreta con i vari gradi di astrazione, questa non potrebbe
mai essere totale. Anche l’individuo nella storia ha il suo ruolo poiché fa la storia.
Ci sono 3 scelte (o stadi) fondamentali di vita ed esse si escludono a vicenda
secondo la logica dell’ “Aut-Aut”. Sono appunto delle scelte poiché una comporta
l’esclusione delle altre due nel senso che non è possibile seguirne più di una
contemporaneamente. Tuttavia è possibile il passaggio tra l’una e l’altra anche
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Tesina Esame di Stato
effettuando salti, cioè si può passare dalla vita estetica a quella religiosa anche
tralasciando quella etica!
1. STADIO ESTETICO - “Il Don Giovanni”
2. STADIO ETICO – “Il marito e la vita consacrata al lavoro e alla famiglia”
3. STADIO RELIGIOSO – “Abramo”
Sapere che l’esistenza, quindi la vita dell'uomo con le scelte quotidiane, è un insieme
infinito di possibilità genera nell’uomo una perpetua situazione di smarrimento,
incertezza e preoccupazione che è detta angoscia ed è ineliminabile. Mentre la
paura e il timore si riferiscono a qualcosa di definito possono cessare, l’angoscia non
si riferisce a niente di specifico poiché riguarda la miriade di possibilità che fanno
sempre parte della nostra esistenza. Il passato genera angoscia solo se quel lasso di
tempo con le relative scelte si presenta come futuro ovvero se c’è una ripetizione e
quindi “il passato è ancora presente”; umanità=angoscia poiché l’essere vivente
razionale (cioè l’uomo) che quindi effettua delle scelte, è indubbiamente tormentato
dall’angoscia mentre la povertà spirituale sottrae l’essere vivente dall’angoscia
(esempio degli animali). Ogni possibilità favorevole ne implica infinite sfavorevoli e
queste possibilità si possono riferire al mondo esterno all’uomo (generando quindi
angoscia), ma ve ne sono anche infinite che si riferiscono alla natura dell’uomo
stesso quindi alla sua interiorità e generano disperazione. Quest’ultima si manifesta
in due forme: voler essere totalmente autosufficienti da soli e non voler essere se
stessi (che paradossalmente vuol dire auto negare se stesso). La seconda forma si
annulla da sola mentre la prima viene abbattuta poiché ogni singolo uomo non può
mai essere autosufficiente dato che è finito e pertanto incompleto.
Se l'uomo cercasse un antidoto? Kierkegaard suggerisce la fede. L’uomo si
sottomette a Dio, ne riconosce la sua dipendenza e non si illude di voler essere
autosufficiente o di non voler essere se stesso. Dio sarà sempre per lui una
possibilità e tra l’altro la più forte. Nonostante ciò la fede è un aiuto che non aiuta nel
senso che non si sostituisce all’uomo nel momento della scelta, non è un cammino
prestabilito. Sì, perchè la trascendenza di Dio nonchè il suo essere infinito rende
impossibile questa sostituzione. Contrariamente la fede, cristiana in particolare,
svolge un ruolo maieutico di ricreazione dell' uomo, non-vero, per disporlo verso una
verità che proviene dal di fuori, quella di Dio la cui constatazione rimane comunque
esclusa dalla conoscenza umana tant'è che Kierkegaard lo denomina come
"differenza assoluta". L'uomo è la non-verità, il peccato poichè pensa l'idea di Dio
anche se ciò non è possibile per definizione.
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Tesina Esame di Stato
INGLESE
Virginia Woolf is a contemporary of Gabriele D'Annunzio. She lived
the The Two World War and these devastated her delicate mental
balance. She talked about the tragedy of the First World War in "To
the Lighthouse". This is the most successful of her novel and draws
on Woolf's memories events like her mother's early death that
caused her first nervous breakdown when she was thirteen. From
that moment she was haunted by periods of depression which led
her to attempt suicide more than once. She married the political
theorist Leonard Woolf who assisted her until the day when she drowned herself in
the River Ouse.
She was very much involved in the wave of experimentation which characterised
literature in the early decade of XXth century. Like James Joyce she developed the
conviction that the traditional method to telling a story in a chronological order gives
only a superficial and imperfect presentation of life. As a result she experimented
with a new kind of novel in which time was no longer chronological but was reduced
to the time of her characters' mind, where elements of the past, present and future
are all contemporary and overlap.
She also wrote about the inner world of her characters, their thoughts and their
feelings rather than their actions, because what was really important was not the
objective but the life of the mind. So her aim was to get the reader to enter into the
minds of her characters. In "Mrs Dalloway" (a novel built around the events of a
single day) the characters think, move and interact with one another within a limited
span of time, but we slide into their consciousness and learn much more about their
past than we do about that day. For example, the moment when Clarissa Dalloway
opens the front door to go out into the traffic of London streets she becomes aware of
having experienced a similar feeling on opening the door of the garden of the house
where she lived as a girl. Thus showing the contemporary presence of past and
present in the human mind.
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Tesina Esame di Stato
SISTEMI
La comunicazione tra un aereo e la torre di controllo non poteva avvenire tramite fili;
era bensì necessaria una trasmissione del segnale via etere. Il merito per aver reso
possibile tutto ciò va a Guglielmo Marconi il quale dopo aver meditato per bene i
concetti sull'elettromagnetismo di Maxwell e in seguito all'esperienza di Hertz, nota
che la presenza di un conduttore rivolto verso l'alto aumenta la distanza raggiunta
dalle radioonde (già individuate da Hertz). Egli è lo sviluppatore, nonchè inventore
della telegrafia senza fili; questo permette a Marconi di ottenere un premio Nobel per
la fisica nel 1909. Fu il primo a riuscire a trasmettere un segnale radiofonico
transoceanico (precisamente trasmesse la "S" dell'alfabeto Morse). Sistema ricetrasmittente:
•
Trasmettitore: usa l'apparato riportato nella figura seguente.
C'è un primario collegato alla batteria a, intorno al quale è avvolta una bobina c
(naturalmente isolata dal conduttore del primario), che costituisce il secondario; due
conduttori, dei quali uno fa da cavo antenna, un'altro da massa e tra di loro è
interposto uno spinterogeno che permette all'asta w di scaricare a terra la carica
acquistata,(grazie all'apertura e alla chiusura ad intermittenza dell'interruttore b),
producendo la radiazione elettromagnetica (ROCCHETTO DI RUHMKOFF). La
velocità con la quale Marconi abbassava l'interruttore (insieme ad un aumento dello
spazio nello spinterogeno) gli permetteva di variare la lunghezza dell'onda prodotta.
L'utilizzo di questo trasmettitore con un estremo del secondario collegato a massa, a
parità di frequenza irradiata, aumenta la potenza di trasmissione dell'onda
elettromagnetica. Quindi per raggiungere lo stesso punto è possibile anche
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Tesina Esame di Stato
abbassare la frequenza del segnale da trasmettere. Tutto questo perchè con il
collegamento a massa, il campo prodotto dal ramo superiore non viene "assorbito"
da quello inferiore, ma viene riflesso a terra e irradiato nuovamente nello spazio. La
genialità in quest'intuizione è qualcosa di straordinario, anche e soprattutto dal punto
di vista economico. Non dimenticando la trasmissione effettuata attraversando
l'oceano (distanza di circa 3000 km), che facendo due calcoli seconda le relazione
che scrisse lo stesso Marconi, richiede un'antenna a dipolo di circa 250 m a braccio!
Per cui egli si accorse di raggiungere lo stesso obiettivo mettendo a massa un
braccio, creando quindi il piano di terra che oltre a riflettere la radiazione prodotta dal
braccio superiore, consente di risparmiare qualche centinaio di metri di filo: un
vantaggio sia economico che costruttivo!!
Marconi ha elaborato una sua legge secondo la quale:
√
Dove H è l'altezza dell'antenna, d è la distanza di trasmissione e k è un coefficiente
che può variare da 0,12 a 0,19 , a seconda del piano di terra utilizzato per il
collegamento a massa. (Marconi sceglie il mare per la trasmissione a lunga distanza
perchè si comporta meglio come superficie riflettente, quindi ha un k più piccolo e di
conseguenza richiede un'altezza delle antenne inferiore.)
La lunghezza del braccio "W" dell'antenna pari a
può essere una limitazione, nel
senso che se si vuole un segnale a lunghezza d'onda maggiore non lo si può fare, o
meglio si ha una bassa qualità. Il problema fu risolto utilizzando condensatori e
solenoidi che rispettivamente diminuiscono e aumentano la lunghezza d'onda del
segnale.
Nel trasmettitore della figura precedente, l'antenna (di tipo whip) irradia a 360°,
(quindi anche indietro verso il trasmettitore) come si può vedere negli schemi
seguenti:
La soluzione a questo problema, che Marconi non si pose in quanto utilizzava il
rocchetto di Ruhmkoff nei suoi primi esperimenti, (uno strumento molto semplice che
non dava complicazioni ), fu posto negli anni successivi e nello sviluppo della
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Tesina Esame di Stato
telegrafia. Il pilota di un aereo, di certo non usavo il rocchetto per comunicare alla
torretta un avaria del suo motore! Piuttosto lo faceva tramite la sua voce che avendo
una frequenza relativamente bassa, veniva prima modulata e poi inviata al
trasmettitore che la irradia nello spazio tramite un antenna. In questo caso un'onda
elettromagnetica che investe il trasmettitore non è di certo irrilevante e si usano
adattatori di impedenza. I problemi vengono risolti con l'antenna "Yagi" che presenta
un direttore e vari riflettori che sottraggono una parte del lobo di trasmissione
posteriore, sommandolo in avanti, restringendo quindi il campo di trasmissione in
larghezza. Con questo tipo di antenna resta comunque una piccolissima parte
posteriore. I problemi vengono del tutto risolti con l'utilizzo della parabola, ma nel
campo radiofonico e comunque sia di onde a frequenza relativamente bassa, non è
possibile utilizzare la parabola poichè questa richiede la presenza dell'antenna nel
fuoco, di certo una cosa impossibile se questa è lunga anche qualche metro.
•
Ricevitore:
Marconi utilizza il coesore (in inglese "coherer") che non viene brevettato da lui ma
viene ripreso e modificato. Il coherer usato da Marconi è un dispositivo cilindrico, in
vetro e chiuso da due tappi di argento, al cui interno è presente limatura di argento e
nichel la quale all'arrivare dell'onda elettromagnetica si drizza orientandosi nella
direzione delle linee di campo e restando in questa posizione fino a quando non
viene dato un piccolo colpo al coesore, tramite il martelletto di decoerizzazione.
Tuttavia questo non è tutto l'apparato ricevente ma solo una parte di esso. Il coherer
ha la grande utilità di comportarsi da ricevitore abbastanza sensibile anche a lunga
distanza: è come una sorta interruttore che permette alla corrente di circolare nel
circuito, soltanto quando la limatura è drizzata e quindi "copre" lo spazio vuoto
all'interno del coesore. La corrente circola nel circuito e permette di azionare il relè n
che provoca nel dispositivo h una percussione pari a quella desiderata. Essendo
trasmessa la lettera S dell'alfabeto Morse, nel ricevitore Marconi ricevette tre piccoli
colpi che corrispondono proprio ai tre punti della lettera, trasmessa in partenza
azionando il rocchetto di Ruhmkoff per tre volte consecutive in un breve lasso di
tempo. Questo prototipo di radio non era ancora in grado di inviare la voce, ma
consentiva di comunicare sulla base di chiusure e aperture, nel circuito nel
trasmettitore, più o meno lunghe codificate appunto, in lettere dell'alfabeto Morse.
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Tesina Esame di Stato
L'utilità era notevole perchè se ci si fosse messi d'accordo in partenza su un
linguaggio convenzionale, era possibile comunicare qualsiasi cosa in codice Morse,
anche a grandi distanze, superando la sfericità della terra cioè sfruttando la
riflessione della ionosfera. C'era comunque un grande problema: non si riusciva più,
dopo qualche anno, ad inviare il segnale verso l'antenna ricevente. Questo perchè
c'erano anche altri trasmettitori, quindi le cose si accavallavano e il segnale perdeva
oltre che in chiarezza, anche in segretezza (problema militare). Allora Marconi ebbe
la geniale idea di brevettare l'accoppiamento sintonico, usando delle induttanze
poste lungo l'antenna che permettevano sia di usarne alcune di dimensioni ridotte,
sia di poter regolare la frequenza alla quale sintonizzarsi con la stazione trasmittente
(conoscendo ovviamente a quale frequenza portante trasmette) e quindi ricevere
solo quel segnale.
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Tesina Esame di Stato
FISICA
Hertz fu il primo a dimostrare l'effettiva esistenza di onde elettromagnetiche,
ipotizzate qualche anno prima da Maxwell. Egli costruisce il suo dipolo con due sfere
metalliche (fig. inizio pagina) poste ad una certa distanza e alimenta queste grazie
all'utilizzo del rocchetto di Ruhmkorff, rappresentato in figura. Si tratta di un
trasformatore in grado di produrre una scarica disruptiva nel secondario,
comunemente detta scarica elettrica (o
scintilla). Il rocchetto tramite rapidi
movimenti dell'interruttore (nel circuito
primario) è in grado di generare impulsi ad
alta tensione (nel secondario) partendo da
una
tensione
di
alimentazione
relativamente bassa. Quindi le sfere si
caricavano (soprattutto perché la capacità
del filo era aumentata per la presenza
delle due sfere conduttrici) a tal punto di
instaurare tra loro una d.d.p. tale da
superare la rigidità dielettrica dell'aria
(mezzo dielettrico in cui eseguì la prova Hertz) e produrre la scarica. Quest'ultima
doveva costituire il mezzo "materiale" per un movimento oscillatorio della carica
elettrica muovendosi da un potenziale maggiore ad un minore che avrebbe prodotto
l'onda elettromagnetica. Per affermare ciò ci doveva comunque essere una
rilevazione effettiva ed Hertz pensò di utilizzare una spira di rame circolare ma aperta
di pochi mm ed estremizzata da due sfere metalliche. Il rilevatore (chiamato anche
risonatore) funziona sul principio di induzione dell'onda elettromagnetica, che se
emessa dal trasmettitore genera nella spira una fem in grado di generare una piccola
scintilla. La schermatura del ricevitore permise a Hertz di osservare il comportamento
di quest'ultimo all'interno di un cartone (per avere una situazione di oscurità al fine di
visualizzare meglio la scintilla) e oltre a capire come l'unica "parete" interessata è
quella interposta tra trasmettitore e ricevitore Hertz vide anche che per la produzione
14
Tesina Esame di Stato
della scintilla nel ricevitore non è importante a quale distanza viene posizionata la
parete schermante, ma la cosa importante è se il materiale utilizzato nella
schermatura consente o meno il passaggio della luce ultravioletta emessa dal
trasmettitore. Nel ricevitore si vede la scintilla perchè la luce ultravioletta che passa è
un'onda elettromagnetica e come tale ha la sua componente magnetica che per la
legge di Faraday indurra una fem nell'apparato ricevitore, in cui si vedrà la scarica.
Hertz mise in evidenza le onde elettromagnetiche teorizzate da Maxwell. Ma cosa
sono queste onde elettromagnetiche? Già dal nome si intuisce come siano in gioco
campi elettrici e magnetici. Precisamente la loro oscillazione. Alla base della loro
generazione c'è un circuito LC oscillante come si può vedere dallo schema seguente
che è accoppiato all'antenna tramite un trasformatore.
Passiamo ad un'analisi dei due elementi principali, ovvero oscillatore LC e
trasformatore, quindi della loro importanza:
• CIRCUITO OSCILLANTE: è il "cuore" della creazione di un'onda elettromagnetica.
Esso è costituito da un solenoide e da un condensatore che una volta caricato e
collegato in serie (come nel nostro caso) all'induttanza, si scarica tramite essa e si
genera un'oscillazione tra le due energie in gioco:
2
1
1
2
2
15
Tesina Esame di Stato
questa oscillazione dovrebbe essere di durata infinita in un oscillatore ideale ma in
realtà i collegamenti tra il condensatore e il solenoide avvengono tramite fili che
presentano comunque una certa resistenza e che involontariamente portano alla
perdita di una parte dell'energia sotto forma di calore. Per questo nello schema di
sopra viene collegato un generatore che ha proprio la funzione di compensare le
perdite di energia sia termiche che dovute all'irradiazione elettromagnetica.
L'oscillazione avviene secondo il seguente schema.
Si può partire da un istante qualsiasi visto che la somma delle energie resta costante
nel tempo (in un caso ideale senza dissipazioni) ma per comodità partiamo
dall'istante (a). In questo momento abbiamo appena collegato il condensatore (che
fino all'istante precedente era collegato ad un generatore C/C per caricarsi) al
solenoide. In questo stadio essendo la carica massima secondo la relazione (1) sarà
massima anche l'energia immagazzinata dal condensatore e per il principio di
conservazione quella magnetica deve essere nulla. Infatti nell'istante successivo alla
chiusura dell'interruttore i=0 cioè EL=0. Nella fase successiva il condensatore si
scarica attraverso l'induttanza comportandosi da generatore quindi instaurando una
corrente i che il solenoide immagazzina sotto forma di EL. La corrente che va dal
condensatore al solenoide cresce gradualmente fino a raggiungere un massimo
valore. Al crescere della corrente si genererà una fem autoindotta che è diretta verso
l'alto nella fase crescente di i e verso il basso nella fase contraria. Per cui il
condensatore si caricherà di nuovo invertendo le polarità dei piatti (istante (e)) quindi
si comporterà di nuovo da generatore ma questa volta produrrà una i diretta nel
verso opposto da quella precedente, cioè una corrente alternata. Negli stadi (f), (g),
(h) avviene la stessa cosa che negli stadi (b), (c), (d) fatta eccezione del verso della
corrente.
In assenza di meccanismi dissipativi l'energia totale è costante nel tempo.
16
Tesina Esame di Stato
Si può notare infatti nel grafico delle
energie in gioco come questa somma
sia costante e dia sempre il valore
massimo. Infatti il grafico rappresenta
l'andamento delle due funzioni
sovrapposte e si vede chiaramente
come al tempo T/4 ad esempio dove
c'è il massimo della funzione EL(t)
corrisponde il minimo di EC(t) e non
poteva essere altrimenti visto che
l'energia totale deve rimanere
costante.
Matematicamente
il
concetto può essere espresso come:
1
2
2
0
3
Scrivendo i quadrati come prodotti e ricordando la definizione di
da cui la
derivata di i rispetto al tempo non è altro che la derivata della derivata (ovvero la
modificare la (3):
1
2
2
"
!
derivata seconda) di q rispetto a t si ha anche che
"
. Quindi possiamo
!
#
$
0
4
Nell'equazione (3) si è prima raccolto il termine
tutto deve essere uguale a 0 il fattore
&
&
tra le due energie e datosi che il
di certo non avrebbe mai potuto rendere
l'uguaglianza zero per cui viene scartata. Successivamente si è raccolto a fattor
comune anche i ma escludendo il caso in cui i=0 (che non implicherebbe alcuna
oscillazione) si può tralasciare questo fattore scrivendo:
#
$
0 '
0 (. *.
;,
-. /
-0.
/
1
2
5
Questa è l'equazione differenziale di un circuito LC nella sua variabile q e la sua
soluzione matematica è:
4 cos 8
9
6
Che derivata rispetto al tempo da la funzione i(t):
17
Tesina Esame di Stato
;8 4 sin 8
9
;> sin 8
9
?@A >
8 4
7
Se si sceglie come istante iniziale (a) (e si può fare per un altro qualsiasi stadio) vuol
dire che consideriamo t=0 in quello stadio e facendo riferimento alla (6) e alla (7) la
costante di fase 9 deve essere indubbiamente zero in modo da massimizzare la
funzione cosinusoidale q(t) a Q e annullare la funzione sinusoidale i(t) a 0 (proprio
per rispettare ciò che è rappresentato in figura). Si può trovare la pulsazione del
circuito LC sostituendo nella (5) q(t) al posto di q e la derivata di q(t) al posto di
;
8
4 cos 8
Che divisa per 4 cos 8
1
9
9 da:
8
√
4 cos 8
1
9
0
-. /
-0.
:
8
9
La (6) e la (7) permettono anche di giustificare il grafico precedente e perchè questo
sia completamente nel primo quadrante cartesiano. Infatti le funzioni delle due
energie sono descritte da funzioni trigonometriche al quadrato ottenute sostituendo la
(6) nella (1) e la (7) nella (2) ricordando che 8
J
11
&
&
2
8
E.
FGH. I 0
. 1
4
KL 8
9
√
&
J
. Quindi si arriva a dire che:
10
E.
. 1
HMN. I 0
Dalla (10) e la (11) si capisce anche come per un certo tempo t (con 9 scelto come
descritto precedentemente) è impossibile
avere le due funzioni al massimo o al minimo
contemporaneamente.
• TRASFORMATORE: il trasformatore fa da
collegamento tra l'oscillatore e l'antenna.
Nell'utilità "quotidiana" il trasformatore viene
utilizzato per innalzare o abbassare la d.d.p.
di una corrente alternata cioè si può
comportare sia da elevatore che da riduttore.
Come si può vedere dalla figura un trasformatore (ideale) è costituito da due bobine,
avvolte entrambi sullo stesso nucleo di ferro dal quale vengono isolate per evitare
che questo si comporti da conduttore. Infatti esso si basa sul principio di induzione di
Faraday e il ferro viene usato per facilitare l'induzione datosi che questo ha una
permeabilità magnetica maggiore dell'aria! Infatti la corrente alternata che scorre nel
solenoide genera un campo magnetico alternato e di conseguenza un flusso
18
Tesina Esame di Stato
altrettanto variabile oltre che in intensità anche in verso. Questo flusso (più
precisamente le linee del campo magnetico) si propaga tramite il nucleo di ferro
all'interno della seconda bobina e per la legge dell'induzione di Faraday induce una
fem su questa. Questa fem sarà anche essa alternata e varierà con una funzione
sinusoidale. Essendo dalla legge di Faraday:
RS
P Q
O
12
Nel caso di una bobina di N spire:
O
(
RS
P Q
13
Si può dire logicamente come la velocità di variazione del flusso magnetico è la
stessa sia nel primario che nel secondario. Quindi si ha che la velocità di variazione
nel primario è uguale a quella nel secondario. Dalla (13):
RS TU VWU X
RS YZ[X\ WU X
]^_M`a_MG
P Q
P Q
]HcFGN-a_MG
'
14
b^_M`a_MG bHcFGN-a_MG
Dalla (14) si capisce come progettare un trasformatore in base alle esigenza e
all'utilizzo che se ne voglia fare.
Tornando alla figura generale di generazione di onde elettromagnetiche si vede
come in realtà il blocco trasformatore-linea di trasmissione-antenna costituisca un
secondo circuito LC dove il condensatore viene "aperto" e va a costituire l'antenna
mentre il solenoide costituisce l'induttanza del circuito secondario del trasformatore.
La fem che viene indotta sul secondario, ovvero quella che arriva all'antenna, è
alternata con la stessa pulsazione di chi l'ha prodotta ovvero il circuito oscillante di
partenza e differisce da questo per l'ampiezza ξm, a meno che il numero di spire non
sia uguale nei due circuiti (vedi eq.(14) per giustificazione). Essendo, come già detto,
la corrente alternata anche nel secondario all'antenna arriverà la corrente prima da
un lato e poi dall'altro per cui l'antenna produrrà un dipolo elettrico variabile.
Ricordando che questa è un condensatore "aperto" tra i piatti si deve instaurare un
campo elettrico (variabile anch'esso) che in questo caso non sarà costante come
all'interno di un condensatore ma varierà in direzione per il fatto che l'antenna inverte
la sua polarità; in modulo (nel tempo e lungo il suo asse di propagazione) in modo
sinusoidale secondo la seguente relazione:
d,
d;8
15
V sin
Mentre per ciò che riguarda il campo magnetico sarà:
Q d,
QV sin
La legge dell'induzione di Maxwell:
RS RRRRSK
fQ
gh ih
d;8
P RS
16
17
ci ricorda che la variazione del campo elettrico produce un campo magnetico
variabile.
19
Tesina Esame di Stato
L'onda elettromagnetica che si genera è formata da un campo elettrico RS
RS in ogni istante, come si può vedere nella figura
perpendicolare ad uno magnetico Q
seguente.
Tutto parte dal campo elettrico prodotto dall'antenna che induce un campo
magnetico. Infatti consideriamo un tempo t piccolo dal primo campo elettrico
generato dall'antenna. Questo arriva in un punto
(come quello in figura 1, non lontano dal punto di
generazione), che può essere pensato come un
area infinitesimale j
d, ed essendo variabile
in base alla (15) genererà un flusso P RS
anch'esso variabile che per la (16) produrrà un
campo magnetico indotto su quell'area
Figura 1
infinitesimale. Possiamo applicare la legge dell'induzione di Maxwell alla figura
precedente e scomporre i due membri calcolando a parte le due relazioni da
RS va fatta lungo la
eguagliare successivamente. Infatti la circuitazione del vettore Q
superficie arancione, più precisamente lungo i suoi lati lunghi h (visto che in quelli dx
non agisce alcun campo) e con un verso di integrazione antiorario. Sotto queste
ipotesi è possibile scrivere che:
RS RRRRSK
fQ
Q j; Q
Q
j
;j
Q 18
Ricordando la definizione di flusso, si può scrivere che:
Pk RS l
j
d
19
Da cui:
P RS
m
j
d n
j
d
20
d
; Q 21
Eguagliando la (18) con la (20), senza tralasciare le due costanti gh , ih è possibile
scrivere che:
j
d
;j
Q ' gh ih
Da cui si ha che:
20
Tesina Esame di Stato
Q
22
d
Osservando le equazioni (15) e (16) si vede come queste siano funzioni in due
variabili per cui quando nella (22) compare la derivata di B rispetto a x e di E rispetto
a t vuol dire che si sta facendo la derivata parziale, considerando cioè costante l'altra
variabile. Per cui scrivendo nella forma matematica più corretta si avrà che:
o
gh ih
;gh ih 8
d;8
23
V cos
o
Mentre per quanto riguarda il campo magnetico si potrà scrivere che:
oQ
QV cos
d;8
24
od
Eguagliando le ultime due relazioni trovate in base alla (22) si arriva a scrivere che:
o
oQ
gh ih
;
o
od
' ;
QV cos
d;8
; gh ih 8
d;8
25
V cos
p
Da cui ricordando che q @ dove v rappresenta la velocità di propagazione dell'onda
gh ih
;
si può scrivere che:
V
QV
ih
1
µh @
26
Se si esegue un'analisi quantitativa del campo elettrico indotto occorre far riferimento
alla figura seguente:
Con lo stesso ragionamento partendo però dalla legge dell'induzione di Faraday :
RS
P Q
f RS RRRRSK ;
27
E facendo un'analisi del flusso magnetico che varia attraverso la superficie j
d si
arriva a scrivere (dopo una serie di passaggi del tutto simili a quelli precedenti,
compresa la considerazione sulle derivate parziali) che:
8 QV cos
d;8
d;8
28
V cos
Da cui si avrà che:
8
V
@ 29
QV
Sostituendo a questo punto la (29) nella (26) si può scrivere che:
21
Tesina Esame di Stato
@
1
' r
µh @
s
v2
t u2 µ2
Con la (30) abbiamo ricavato la velocità di propagazione dell'onda elettromagnetica.
Sostituendo a ih , µh i loro valori rispettivi troviamo che @ w 3 10x y⁄K che
rappresentando la velocità della luce ci porta a dire che nel vuoto tutte le onde
elettromagnetiche si propagano ad una velocità pari a quella della luce (che è
anch'essa un'onda elettromagnetica)!! Perciò si può dire che tutte le onde
elettromagnetiche, di qualsiasi lunghezza d'onda, visibili e non all'occhio umano si
propagano nel vuoto alla stessa velocità e poichè convenzionalmente la velocità
della luce è indicata con c, chiameremo la velocità di una qualsiasi onda
elettromagnetica c.
Un onda elettromagnetica trasporta dell'energia e la trasferisce sul corpo su cui
incide. La quantità trasportata è descritta dal vettore di Poynting:
1
1
1
RS dQ
RS
{S
Q sin 90°
Q 31
gh
gh
gh
Nella (31) il prodotto vettoriale è stato omesso visto la perpendicolarità dei campi. La
cosa interessante è che ricordando la definizione del prodotto vettoriale si conclude
che il vettore di Poynting è perpendicolare ai vettori dei due campi e come è logico
pensare ha direzione concorde al verso di propagazione dell'onda. In sostanza indica
la quantità di energia trasportata per unità di superficie nell'unità di tempo. I due
campi sono legati dalla relazione (29) per cui é possibile trasformare la (31)
scrivendo:
1
1
{
32
gh
| gh |
La sostituzione è stata anche fatta in virtù del fatto che i rilevatori di onde
elettromagnetiche rilevano la componente elettrica dell'onda piuttosto che quella
magnetica. Nella (32) si indica il flusso di energia istantaneo. Se volessimo quello
complessivo (chiamato anche intensità) dovremmo considerare il valore medio della
grandezza S, per il fatto che essa varia nel tempo. Per cui dalla (32) possiamo
scrivere che:
1 ~
1
{}
m~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
K•L
d;8
n 33
V
gh |
| gh
Il valore medio di V resta tal, mentre quello di K L
d;8
è per definizione
ih
&
matematica pari a . Per cui la (33) può essere modificata e si può scrivere che:
1 ~
1
1
1
V
{} >
34
V
gh |
| gh
2 | gh √2
&
€
Dove si è portato sotto esponente quadrato. Definendo anche •
V si può
√
scrivere che:
1
34
V
| gh
La (34) rappresenta proprio l'espressione dell'intensità della radiazione
elettromagnetica. Analizzando il caso ideale in cui c'è la sorgente isotropa (come in
>
22
Tesina Esame di Stato
figura) cioè una sorgente che fa propagare l'onda nello spazio sempre allo stesso
modo, si può considerare una sfera immaginaria di raggio r che viene attraversata
dal segnale e scrivere che:
‚Y
>
35
4 ƒ „
Si può notare come questo vari con l'inverso del quadrato della distanza dal punto di
emissione, in una situazione ideale, che in ogni caso prevede la diminuzione della >
all'allontanarsi dalla sorgente. Il termine ‚Y rappresenta la potenza emessa dalla
sorgente che in un caso conservativo, giustifica l'equazione (35) poichè la potenza
che emette la sorgente deve essere in ogni caso uguale all'intensità dell'onda
elettromagnetica che attraversa la superficie sferica e quindi al fattore > 4 ƒ „ .
23
Tesina Esame di Stato
MATEMATICA
Per arrivare a trovare il valore della carica in funzione del tempo, in un circuito LC, si
è partiti dalla considerazione che la derivata temporale dell'energia totale, (essendo
questa costante), è 0. Per cercare una spiegazione matematica, occorre analizzare il
grafico che sovrappone l'andamento delle due energie:
Come si vede chiaramente, ogni istante considerato abbiamo sempre lo stesso
valore di energia totale, che è quindi rappresentata sul grafico dalla retta tratteggiata
di equazione:
…
4
2
1
In questa equazione abbiamo tutte costanti (compreso la carica poichè questa è
quella massima della funzione cosinusoidale che ne rappresenta l'andamento nel
tempo) ed lecito pensare, secondo le regole di derivazione di una funzione, che la
sua derivata temporale sia zero. Esplicitando:
…
4
2
'
…′
m…
n
0
2
Per spiegare quest'uguaglianza occorre definire la derivata prima di una funzione dal
punto di vista analitico:
† ′ dh
† d ; † dh
‰Š‰‹
d ; dh
lim
3
dove, dopo aver stabilito che dh appartiene al campo di esistenza di † d ed è un
punto di accumulazione nel campo di esistenza, si può dire che se il limite esiste ed
è finito allora la funzione è derivabile in quel punto. Facendo riferimento al grafico
dell'energia totale si può utilizzare la (3) per calcolare la derivata prima della funzione
24
Tesina Esame di Stato
…
Œ"
. Scelto un punto
h
qualsiasi, per esempio
•
Ž
(che è proprio generico visto
che nessuna delle due funzioni si trova in un massimo, né in un minimo), la (3)
diventa:
•
†
5
′
lim
•
Š
Ž
†
;†
;
•
5
•
5
lim
•
Š
Ž
;
;
•
5
•
5
4
Dal concetto fisico che l'oscillazione non è smorzata, abbiamo già detto come
l'energia totale sia sempre costante, per un qualsiasi tempo. Quindi nella (4)
annullandosi il numeratore, la derivata prima diventa 0, come per qualsiasi altro
tempo scelto:
•
5
' …′
lim
•
Š
Ž
;
;
•
5
•
5
0
Trattando il significato della derivata prima dal punto di vista grafico, è possibile
ottenere una conferma che prescinde dal concetto fisico di conservazione
dell'energia, ma che è puramente riferita alla funzione …
Œ"
. Generalmente
parlando si può interpretare il seguente grafico:
"Se la funzione è derivabile in dh , la retta tangente al punto ‚h di coordinate
( dh ; † dh ha equazione: … ; † dh
† ′ dh d ; dh ".
Quindi l'enunciato ci da l'equazione della retta t, che non è altro che una retta
passante per un punto di coordinate e coefficiente angolare "m" noti. Il coefficiente
angolare è rappresentato da † ′ dh . Sappiamo anche che questo è la tangente
goniometrica dell'angolo che tale retta forma con l'asse x. Infatti scrivendo il rapporto
incrementale:
25
Tesina Esame di Stato
† d ; † dh
d ; dh
• ‘
5
e passando al limite per d Š dh (del rapporto incrementale), anche ‚ tenderà a ‚h e
la retta s andrà a coincidere con la retta t. Possiamo quindi scrivere che:
† d ; † dh
‰Š‰‹
d ; dh
lim
† ′ dh
• ’
6
La (6) mostra chiaramente che la derivata prima di una funzione in un suo punto dh
non è altro che la tangente goniometrica dell'angolo che la retta tangente in quel
punto forma con l'asse x. Dopo aver dimostrato ciò, è facilmente comprensibile
perchè una costante ha derivata prima pari a 0.
Possiamo tornare al nostro grafico di partenza sull'energia: la funzione che
rappresenta la somma di tali energie è costante, quindi parallela all'asse x perciò
forma un angolo nullo con quest'ultimo. Proprio per quest'ultimo motivo la tangente
sarà 0 e quindi anche la derivata prima avrà un valore nullo.
26
Tesina Esame di Stato
Bibliografia
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http://www.sylcom.it
http://www.ripmat.it
27
