Definizioni
e
Magnetometria
1
Definizioni fondamentali
I poli magnetici sono sempre (?) abbinati (nord e sud)
N
+m1
S
-m1
N
+m2
S
-m2
Polo magnetico: m (SI units:Weber, Wb=m2kg/s2A)
2
3
Definizione: momento magnetico M (SI units: Am2 )
4
+mH
N
l
θ
H
S
-mH
Definizione: momento di dipolo magnetico J = ml (SI units: Wb m)
Definizione: (Intensità di Magnetizzazione o Polarizzazione Magnetica)
M=NJ (SI units: Wb/m2 or Tesla T)
N=momenti per unità di volume
N
M
S
5
Definizione: Campo Magnetico H (SI units: A m-1)
d= 1 m
H= 1 amp/m
6
i= 1 amp
Definizione: Induzione Magnetica B (SI units: T)
H
(externally applied)
M
B
B = M + µ0 H
M = magnetization (T)
H = magnetic field strength (A/m)
B = magnetic flux density (also called field) (T)
7
Induzione Magnetica B
Quando un campo H è stato generato in un mezzo da una
corrente la risposta del mezzo è la sua induzione magnetica B
chiamata anche densità di flusso.
L’induzione magnetica di 1 Tesla genera una forza di 1 Newton
per metro su un conduttore che porta una corrente di 1 Ampere
perpendicolare alla direzione dell’induzione
1 T= 1 V s m-2
H descrive il modo in cu il campo è generato da cariche in
movimento mentre B descrive il modo in cui il campo viene
rilevato da cariche in movimento.
8
Fundamental Definitions
Magnetization in materials is proportional to applied field H
B = M + µ0 H
M = χH
Definition: magnetic susceptibility χ (SI units: H/m or Wb/(A m))
B = (χ + µ 0 )H = µH
Definition: magnetic permeability µ (SI units: H/m or Wb/(A m))
9
Cgs o SI??
µ0=4π x 10-7 H/m
µ0=1
9.27400915(23)×10−21 Erg Oe−1
9.27400915(23)×10−24 JT−1
B = M + µ0 H
Se M è trascurabile B (G) = H (Oe) !!
10
Unit Conversion:
Gaussian unit
(cgs-emu)
Conversion
(cgs→SI)
SI unit
B
Gauss (G)
x 10-4 =
T or Wb/m2
H
Oersted (Oe)
x 103/4π =
A/m
M
emu/cm3
x 103 =
x 4π/10 =
A/m
mT
Note: In free space (M=0), 1 G = 1 Oe
Conversion Table
11
Magnetic Term
Symbol
SI unit
CGS unit
conversion factor
magnetic
induction
B
Tesla (T)
Gauss (G)
1 T = 104 G
magnetic field
H
A/m
Oersted (Oe)
1 A/m =4p/103 Oe
magnetization
M
A/m
emu/cm3
1 A/m = 10-3 emu/cm3
mass
magnetization
s
Am2/kg
emu/g
1 Am2/kg = 1 emu/g
magnetic
moment
m
Am2
emu
1 Am2 = 103emu
volume
susceptibility
k
dimensionless
dimensionless
4π (SI) = 1 (cgs)
mass
susceptibility
c
m3/kg
emu/Oe·g
1 m3/kg = 103/4π emu
/Oe·g
permeability of
free space
µ0
H/m
dimensionless
4πx10-7 H/m = 1 (cgs)
A= Ampere
cm= centimeter
emu= electromagnetic unit
g= gram
kg= kilogram
m= meter
H= Henry
12
13
14
Magnetizzazione e
Suscettività
in una descrizione macroscopica
M= χ H
dove χ è la suscettività ed è un tensore mentre M è un vettore
In una descrizione microscopica
∂E
M =−
∂H
∂2E
χ =−
∂H
15
Suscettività Diamagnetica
Quando due elettroni sono appaiati non esiste più momento di
spin. Classicamente si possono considerare come una carica che
si muove in una spira: essa genera un campo che si oppone al
campo esterno.
χ = −N
e2
z
2
∑
6mc i =1
2
ri
e= carica elettrone; m= massa elettrone; c= velocità della luce;
r= raggio dell’orbita; z= numero elettroni
•E’ indipendente dalla temperatura
•La si “calcola” assumendo valori fissi per i vari atomi o gruppi
16
funzionali (correzioni di Pascal)
Origini Microscopiche del
Magnetismo
•
•
•
•
Moto di spin degli elettroni: µz= µB ge mS
Moto orbitale degli elettroni: µz= µB mL
Largamente smorzato nelle “molecole”
Moto di spin dei nuclei
17
La Suscettività Paramagnetica
M =−
∂2 E
χ =−
∂H
∂E
∂H
Per un sistema caratterizzato da uno spettro di livelli energetici En
∑ (−∂E / ∂H ) exp(− E / k T )
M =N
∑ exp(− E / k T )
n
B
n
n
B
n
Introducendo la funzione di ripartizione
Z = ∑ exp(− En / k BT )
n
M = Nk BT (∂ ln Z / ∂H )
18
la Suscettività Paramagnetica
Consideriamo un sistema di N particelle noninteragenti caratterizzate da un unico
multipletto (S o J) perché gli stati eccitati si
trovano ad E>>kBT e assumiamo che l’unico
H
effetto del campo magnetico applicato sia
quello di orientare i dipoli magnetici.
m=2
m=1
m=-1
m=-2
Tenendo presente che le componenti del
momento angolare lungo la direzione del
campo sono quantizzate
S
⟨µz ⟩ = N
∑ − mgµ
B
h[S(S+1)]1/2
m=0
exp(−mgµ B H / kT )
m= − S
S
∑ exp(−mgµ H / kT )
B
m=− S
µz è il momento magnetico di una molecola. La somma è 19
su tutte le componenti m.
la Suscettività Paramagnetica/2
mgµB è come ordine di grandezza ≈ µB cioè ≈ 10-20 erg/Oe
A T=300 K kBT≈ 5x10-14 erg
Per campi applicati dell’ordine di 104 Oe vale
|mgµBH/kT|<< 1
È quindi valida l’approssimazione exp(-mgµBH/kT)≈ 1- mgµBH/kT
S
⟨ µ z ⟩ = Ngµ B
∑
− m(1 − mgµ B H / kT )
m =− S
S
∑ (1 − mgµ H / kT )
= Ngµ B
B
m= − S
−
S
∑
m + gµ B H / kT
m =− S
S
S
∑m
2
m =− S
S
∑1 − gµ H / kT ∑ m
B
m=− S
m =− S
Le tre sommatorie si valutano facilmente
S
∑m = 0
m =− S
⟨ µ z ⟩ = Ng 2 µ B2 H
S
∑
1 = 2S + 1
m =− S
S ( S + 1)
3kT
S
∑
m2 =
m =− S
χ = Ng 2 µ B2
S ( S + 1)(2 S + 1)
3
S ( S + 1)
3kT
20
la legge di Curie
χ = Ng 2 µ B2
C = Ng 2 µ B2
S ( S + 1) C
=
3kT
T
S ( S + 1)
≅ 0.125 g 2 ( S ( S + 1)) (K mol-1 erg gauss-1)
3k
µ eff = g S ( S + 1)
Un’altra notazione utilizza
χ=
Quindi
Nµ eff2 µ B2 1
3kT
S
1/2
1
3/2
2
5/2
3
7/2
3k
χT ≅ 2.828 χT
Nµ B2
µeff
C
0.375
1
1.875
3
4.375
6
7.875
1.73
2.82
3.87
4.90
5.92
6.93
7.94
21
2
3
χ (emu/mol) o (cm /mol)
µ eff =
; ovvero
χ vs. T
1
Contributo diamagnetico del
campione e del porta-campione
0
0
100
200
300
T (K)
1
2
χT (emuK/mol) o (cm K/mol)
3
1/χ (mol/emu) o (mol/cm )
y = +0.229x -2.57E-6, max dev:1.60E-4, r =1.00
60
3
1/χ vs. T
40
20
0
0
100
200
T (K)
300
5
4
3
χT vs. T
2
1
0
0
100
200
T (K)
22 300
Metodi di Misura
• Metodi a induzione
• VMS (Vibrating Sample Magnetometer)
• SQUIDs (Super Conducting Quantum
Interference Device)
• MICRO-SQUIDS
• Suscettometri in corrente alternata
• Metodi di forza
• Bilance magnetiche (Faraday, Gouy)
• Cantilever
23
Fundamental Definitions
What happens to a magnet in a magnetic field?
+mH
N
+mH
-mH
l
θ
S
S
N
H
H
-mH
Magnetic torque:
τ = mlH sin θ
Translational force ONLY if there is non-uniform H (gradient):
Fx = ml
∂H
∂x
24
Metodi di Forza
Misurano qualche effetto di forza dovuto alla presenza di un campo
magnetico
Il campione è sospeso ad un lungo filo in
un campo magnetico, con gradiente di
campo costante. La forza sul campione è
proporzionale alla sua suscettività
Fx =
d
d
M
d
H
H = χH
H
MH =
dx
H dx
dx
25
Una bilancia più moderna
26
Metodi a Induzione
H
M
B
V
La forza elettromotrice indotta in un circuito è uguale alla
velocità di cambiamento del flusso legato al circuito
dB
V = − NA
dt
Dove A è la sezione della spira ed N è il numero delle spire
27
Magnetometro a Campione Vibrante
(VSM)
Misura la differenza di
induzione magnetica in una
regione di spazio con o senza
campione. Dà un misura diretta
della magnetizzazione M
28
SQUIDS
Anello superconduttore con uno strato isolante
detto legame debole (giunzione di Josephson)
29
Effetto Josphson
Due superconduttori separati da uno strato
d’isolante possono lasciar passare corrente per
effetto tunnel
30
Φ=
nh
= nΦ 0
2e
φ 0 = 2.07 ⋅ 10 −7 Weber
31
SQUID DC
32
SQUIDS
33
SQUIDS
Caratteristica di un DC SQUID: la corrente
critica è funzione periodica del flusso totale
La tensione di uscita dello SQUID è
una funzione periodica del flusso
La corrente critica associata allo SQUID, ovvero la corrente massima
che può essere iniettata a tensione nulla, risulta quindi:
Jmax =2J0 cos
φB
π
φ0
ed è modulata dal flusso del campo concatenato con l’anello .
Anche la tensione è una funzione periodica del flusso concatenato
34
Uno SQUID si comporta
come un convertitore
corrente (flusso magnetico)
tensione con grande
guadagno (>107 V/A)
35
Lo SQUID non è in diretto contatto con il
campione ma per induzione attraverso un
gradiometro
2°
1°
36
37
Gradiometro del 2° ordine
38
39
40
1° esperienza in laboratorio
1.
Taratura dello strumento
Con un magnetometro SQUID misuriamo il momento magnetico di un
campione noto ad una temperatura e ad un campo magnetico. Questo
campione contiene Gd3+, ione dei lantanidi con configurazione f7
(semiriempita) e quindi L=0. Il magnetismo è dato dal solo contributo di spin
S=7/2 e g~2.
Gd2(SO4)3⋅8H2O (Massa molare=746.7 g/mol)
Massa del campione:____________
Temperatura:____________ Campo Magnetico:___________
Momento Magnetico:_______________________
2.
Determinazione della configurazione di spin (alto, basso, o intermedio)
di un composto contenente ioni Fe3+
Formula chimica: ______________________Massa Mol.:________
Massa del campione : _____________
Temperatura:__________ Campo Magnetico:______________
Momento Magnetico:_____________________
41
