Frazioni come numeri razionali assoluti e operazioni aritmetiche nell’insieme Q a
di Luciano Porta
Frazioni come numeri razionali assoluti:
Le frazioni possono essere considerate come quoziente di una coppia ordinata di numeri interi (il secondo
diverso da zero). Poiché la lezione è pensata per studenti della prima classe della scuola secondaria di
primo grado, il concetto sarà introdotto inizialmente in modo concreto geometricamente, poi in modo
astratto aritmeticamente.
Frazioni equivalenti:
Sono frazioni che pur avendo numeratore e denominatore diversi hanno lo stesso valore:
Classe di equivalenza [1/2]={1/2,2/4,3/6,4/8...}
Classe di equivalenza [2/3]={2/3,4/6,6/9,8/12...}
Ogni classe di equivalenza esprime un rapporto, mentre il quoziente si riferisce alla singola frazione.
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Intuitivamente comprendiamo che se, data una frazione, raddoppiamo il numero delle parti uguali in cui
abbiamo diviso l’intero (cioè il denominatore), ma raddoppiamo anche il numero di parti considerate (cioè
il numeratore), otteniamo la stessa quantità; ugualmente se triplichiamo il numero delle parti uguali in cui
abbiamo diviso l’intero, ma triplichiamo anche il numero di parti considerate ...
In modo rigoroso le frazioni equivalenti si ottengono a partire da quella ridotta ai minimi termini, che
rappresenta la classe di equivalenza, applicando la proprietà invariantiva: moltiplicando denominatore e
numeratore per lo stesso numero, diverso da zero. Viceversa dividendo per lo stesso numero ,diverso da 0,
numeratore e denominatore di una frazione non ridotta.
Le frazioni equivalenti sono alla base della riduzione delle frazioni ai minimi termini e delle operazioni di
addizione e sottrazione di frazioni.
Operazioni aritmetiche nell’insieme Qa :
Le proprietà delle operazioni sono definite per i numeri naturali e l’uso di esse in altri insiemi numerici non
è per nulla automatico , ma presuppone un atto di libera scelta della comunità dei matematici basata
unicamente sull’eleganza formale e sulla convenienza.
Si applica un principio introdotto dal matematico tedesco Hermann Hankel (1839 – 1873) , il Principio di
permanenza delle proprietà formali: “le operazioni aritmetiche per le classi numeriche via via più ampie
devono possedere le proprietà che la nostra mente è già abituata a sentir soddisfatte nelle classi più
ristrette considerate precedentemente”.
Decidiamo di applicare alle operazioni nell’insieme Qa le stesse proprietà definite per i numeri naturali.
Addizione e sottrazione
Possono presentarsi due casi:
a) frazioni con lo stesso denominatore,
b) frazioni con denominatore diverso.
Per affrontare il caso a) possiamo iniziare da due esempi concreti di situazioni problematiche: abbiamo
percorso prima i 3/7 di una strada e poi i 2/7 e dobbiamo determinare quale frazione della strada abbiamo
ultimato (3/7+2/7=5/7); possediamo ancora i 9/11 di una somma di denaro, spendiamo successivamente
3/11 della somma e dobbiamo determinare quale frazione possediamo alla fine (9/11-3/11=6/11).
Quando dobbiamo sommare o sottrarre due frazioni con lo stesso denominatore, esso rimane invariato e
sommiamo o sottraiamo solo i numeratori.
Per affrontare il caso b) dobbiamo aver ben presente il concetto di frazioni equivalenti.
1/2+2/3=3/6+4/6=7/6 4/5+9/10=8/10+9/10=17/10 3/4-1/6=9/12-2/12=7/12
3-5/6=18/6-5/6=13/6
Abbiamo considerato due frazioni equivalenti a quelle date, con ugual denominatore, preferibilmente il
minore possibile. Siamo così nuovamente nel caso a) e sommiamo o sottraiamo i numeratori delle frazioni
equivalenti a quelle date.
Ritengo importante, prima di insegnare la regola, riguardante il caso b: calcolare il minimo comun
denominatore, dividere il denominatore nuovo per quello vecchio e moltiplicare il quoziente così ottenuto
per il numeratore vecchio, sottolineare il fatto che le frazioni che derivano da quelle precedenti sono state
ottenute con la proprietà invariantiva. Ritengo didatticamente utile che le frazioni equivalenti a quelle date
siano scritte separatamente e quindi in modo esplicito.
Moltiplicazione
Prima di moltiplicare tra loro frazioni ordinarie, per rendere il procedimento più rigoroso, penso sia
opportuno affrontare il prodotto di due unità frazionarie.
1/3*1/5=.... Daremo di questo prodotto sia una giustificazione geometrica, sia una più rigorosa aritmetica.
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Giustifichiamo ora aritmeticamente, in modo più rigoroso, il prodotto ottenuto prima geometricamente:
Ora possiamo giustificare il prodotto tra due frazioni ordinarie:
Divisione
Ricordando che la divisione è l’operazione inversa della moltiplicazione e che l’inverso o reciproco di una
frazione è quella frazione in cui numeratore e denominatore sono scambiati rispetto all’originale, possiamo
giustificare la regola per dividere due frazioni tra loro.
5/7 : 4/3 = 5/7 * 3/4 = 15/28
8/11 : 5/9 = 8/11 * 9/5 = 72/55
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5/4 : 3 = 5/4 * 1/3 = 5/12
Elevamento a potenza
Definiamo la potenza per esponenti maggiori di 1.
La potenza è il prodotto di tanti fattori uguali alla base quante sono le unità dell’esponente.
Ora estendiamo il significato di potenza se l’esponente è minore di 2.
Volutamente, per i motivi che esporrò in un prossimo articolo, non utilizzo le proprietà per estendere il
significato di potenza.
Osserviamo che, se l’esponente è maggiore di 1, moltiplicando la potenza per la base, otteniamo la potenza
con l’esponente maggiore di un’unità:
(2/3)2*(2/3)=(2/3)3 cioè: (4/9)*(2/3) = 8/27
(2/3)3*(2/3)=(2/3)4 cioè: (8/27)*(2/3) = 16/81 ...
Se dividiamo una potenza per la base otteniamo una potenza con esponente minore di un’unità:
(2/3)2:(2/3)=(2/3)1 cioè: (4/9):(2/3) = 2/3
(2/3) 1:(2/3)=(2/3)0 cioè: (2/3):(2/3) = 1
(2/3)0:(2/3)=(2/3)-1 cioè: 1:(2/3) = 3/2
(2/3)-1:(2/3)=(2/3)-2 cioè: (3/2):(2/3) = 9/4 ...
Per il principio di Hankel le potenze nell’insieme Qa conservano le proprietà che possiedono nell’insieme N:
- prodotto di potenze che hanno la stessa base
(2/5)2*(2/5)3=(2/5)5
- quoziente di potenze che hanno la stessa base
(2/5)8:(2/5)6=(2/5)2
- potenza di una potenza
((2/5)2)3=(2/5)6
- prodotto di potenze che hanno lo stesso esponente (2/3)4*(4/5)4=(8/15)4
- quoziente di potenze che hanno lo stesso esponente (7/9)3:(4/5)3=(35/36)3
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