Grandezze magnetiche

Lezione 1:
Introduzione alle grandezze magnetiche
1
Campi Magnetici
Il campo magnetico è un campo vettoriale:
associa, cioè, ad ogni punto nello spazio un
vettore.
Un campo magnetico si puo’ misurare per
l’effetto che ha su cariche in moto oppure per il
momento torcente che genera su un dipolo
magnetico.
Un campo magnetico viene generato da cariche
in moto (correnti) o da dipoli magnetici.
2
Vettore B induzione magnetica
Vettore H campo magnetico
Nel vuoto:
B 0 = µ0 H
µ0 = 4π ⋅ 10−7
In un materiale:
[B]= N A-1m-1
[H] = A m-1
Nel sistema cgs vale µ0=1
quindi H=B in valore assoluto
N A −2 permeabilità magnetica nel vuoto (SI)
B = B 0 + µ0M = µ0 (H + M )
Il vettore magnetizzazione M esprime la risposta magnetica del
materiale ad un campo magntico esterno. Nel vuoto M=0 e B=µ0 H
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Vettore B induzione magnetica
Vettore H campo magnetico
Nel vuoto:
B 0 = µ0 H
µ0 = 4π ⋅ 10−7
[B]= N A-1m-1
[H] = A m-1
Nel sistema cgs vale µ0=1
quindi H=B in valore assoluto
N A −2 permeabilità magnetica nel vuoto (SI)
4
L'unità di misura dell'induzione magnetica B nel SI è il Tesla.
1T = 1
N
Vs
Wb
kg
kg
Ns
1
1
=1 2 =1 2 =1
=
=
Am
m
m
A s2
Cs
Cm
Come unità pratica si usano anche il milliTesla (mT) o il Gauss (=10-4 Tesla)
Nel sistema cgs, una vecchia unità di misura del campo H è l’Oersted:
1 A/m = 0.01257 oersted
Valori tipici di campi magnetici:
Campo magnetico terrestre: 0.3 Gauss all’equatore e 0.6 gauss ai poli
Campi magnetici di strumenti NMR: 0.5 – 20 Tesla
Campi magnetici di strumenti EPR: 0.3 – 6 Tesla
5
Il campo elettrico può essere espresso come gradiente del Potenziale Scalare:
E = ∇φ
Il gradiente è un vettore che ha come componenti le derivate parziali della funzione
su cui opera:
∂φ
∂φ
∂φ
∇φ =
∂x
iˆ +
∂y
ˆj +
∂z
kˆ
Il Potenziale Scalare φ è una funzione che associa un numero (uno scalare) ad
ogni punto dello spazio.
Es: potenziale generato da una carica Q
1 Q
φ=
4πε 0 r
6
E’ utile trovare un potenziale dal quale esprimere il Campo Magnetico. Si ottiene che
il relativo potenziale deve essere un campo vettoriale, che associa tre valori (un
vettore) ad ogni punto dello spazio. Si definisce il: Potenziale Vettore A
Il Potenziale Vettore A è definito come:
B = ∇ ∧ A = rot (A)
iˆ
∂
=
∂x
Ax
ˆj
∂
∂y
Ay
kˆ
∂
∂z
Az
 ∂Az ∂Ax 
ˆ
= i
−
+
∂z 
 ∂x
B è il Rotore di A
∂A
ˆj  ∂Ax − ∂Az  + kˆ y − ∂Ax 
∂x   ∂x
∂y 
 ∂z
Si ricava che, in generale, per un campo B uniforme vale la relazione:
1
A = B∧r
2
7
Esempi di campi vettoriali:
V = − yiˆ + xˆj
Si ricava che:
∇ ∧ V = 2k̂
In questo caso un potenziale vettore espresso come:
1
A = BV
2
Genera un campo magnetico costante pari a:
B = Bkˆ
E vale la relazione:
1
A = B∧r
2
8
Esempi di campi vettoriali:
V ' = xiˆ + yˆj
Si ricava che:
∇ ∧ V' = 0
In questo caso quindi un potenziale vettore
proporzionale a V’
NON genera un campo
magnetico
Tuttavia la Divergenza di V’ è non-nulla
9
Se consideriamo la funzione scalare Divergenza:
∇ ⋅ A = div(A)
∂Ax ∂Ay ∂Az
=
+
+
∂x
∂y
∂z
Si ottiene
∇⋅V = 0
∇ ⋅ V' ≠ 0
La funzione V “non diverge”
La funzione V’ “diverge”
10
Una proprietà dell’operatore Rotore è che il Rotore di un a funzione gradiente
è nullo.
∇ ∧ ∇f = 0
Quindi il Potenziale Vettore A è definito a meno di una funzione vettoriale
definita come gradiente di una funzione scalare f :
∇ ∧ A = ∇ ∧ A + λ ∇ ∧ ∇f
= ∇ ∧ (A + λ∇f )
Dove λ è una costante arbitraria
Conseguenza: si può sempre scegliere una opportuna ∇f (“gauge”) tale per
cui sia nulla la divergenza :
∇ ⋅ (A + λ∇f ) = 0
“Coulomb Gauge”
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Il potenziale vettore A serve per descrivere in un sistema classico o quantistico)
gli effetti di campi magnetici B.
In generale si ricava che, se nell’Hamiltoniano del sistema compare il
momento p, in presenza di campo magnetico B si deve utilizzare un
Hamiltoniano che sostituisce a p la quantità::
p
⇒
p + eA
Questa sotituzione viene utilizzata per calcolare le interazioni tra campi
magnetici (statici o dipendenti dal tempo) e sistemi atomici e molecolari.
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Proprietà magnetiche della materia:
La Suscettività Magnetica
Si definisce la suscettività magnetica χ:
M
χ=
H
χ è un numero puro, adimensionale
In molti materiali, χ non è costante al variare di H e la magnetizzazione non è
parallela al campo H. Si definisce quindi il TENSORE di suscettività magnetica la
matrice 3x3 con elementi:
dM i
χ ij =
dH j
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Si può esprimere il campo magnetico dentro un materiale come:
B = µ 0 (H + M )
= µ 0 H(1 + χ )
M = χH
= B 0 (1 + χ )
= µr B0
µr = 1 + χ
µ r permeabilità magnetica relativa, (numero puro, =1 nel vuoto)
Quindi
B = µ0 µr H = µH
µ = µ 0µ r
µ = permeabilità magnetica [µ ]= N A-2
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Dipolo magnetico:
Un dipolo magnetico, detto anche momento magnetico è l'insieme di due poli
magnetici, un sud e un nord. In pratica una spira percorsa da corrente è un
dipolo magnetico.
Sia I la corrente che percorre la spira ed A la superficie della spira, il momento
magnetico è pari a:
µ = I ⋅A
[µ ] = A⋅ m 2
Un dipolo magnetico µ interagisce con un campo magnetico B e l’energia di
interazione è:
U = −µ • B
[U ] = J = Kg m 2 s −2
[µ ] = A⋅ m 2
[B] =
kg
A s2
[µ ⋅ B ] = A m 2 ⋅ Kg A−1 s −2 = Kg m 2 s −2
15
r
B
θ
r
µ
U = − µ • B = − µB cosϑ
Energia minima: θ=0°
Energia massima: θ=180°
Un dipolo magnetico µ in un campo magnetico B risente di un momento torcente
Γ pari a:
r
Γ = µ ∧ B = µB sin ϑ
[Γ] = N m (≡ J )
Γ
r
µ
θ
r
B
La forza torcente tende ad allineare µ col campo magnetico B
(momento torcente nullo se θ=0)
16
Infine, un dipolo magnetico µ in un campo
magnetico B non omogeneo è soggetto ad una
forza proporzionale al gradiente del campo.
Se il gradiente è lungo la direzione z:
Fz = m z
dB
dz
Su questo fenomeno si basa
l’esperimento di Stern e Gerlach
(1922) che permise di scoprire
l’esistenza dello spin degli
elettroni.
Inoltre la misura forza che agisce su un momento magnetico in un campo
magnetico non omogeneo è alla base del metodo classico di misura della
suscettività magnetica di un materiale
17
Vettore Magnetizzazione
Il vettore magnetizzazione M deriva dalla somma di momenti
magnetici elementari nel materiale.
M = χ H ; B = µ0 (H + M )
χ = suscettività magnetica
H
B
M
Il vettore magnetizzazione è un momento magnetico per unità di volume,
quindi le unità di misura sono:
momento magnetico totale
A m2
-1
M=
=
=
A
m
V
m3
18
La suscettività magnetica è adimensionale e viene detta suscettività di
volume. Spesso si considera la risposta magnetica di un materiale per unità
di massa o per mole di sostanza. In questi casi si definiscono
Suscettività magnetica di massa
K=
χ
dove ρ è la densità (kg/m 3 )
ρ
[K]= m3 kg-1
Suscettività magnetica molare
χ molare = K ⋅
PM
PM
=
χ
103
103 ρ
dove PM è il peso molecolare
χ molare = χ Vm Vm è il volume molare
[χmolare]= m3 mole-1
19
Nella letteratura scientifica la suscettività magnetica è spesso data in unità cgs,
(indicate anche come e.m.u.) Per convertire da cgs a SI:
B = B 0 + µ0M = µ0 (H + M )
S.I.
B cgs = H0cgs + 4πM cgs = H0cgs (1 + 4πχ mcgs )
cgs
Quindi il valore adimensionale della suscettività di volume χ nel sistema cgs
deve essere moltiplicato per 4π per dare il valore adimensionale della
suscettività di volume χ nel sistema SI
χ SI = 4πχ cgs
Ad esempio, il valore di χ per l’acqua a 20 °C nel sistema cgs è −7.19×10−7 ed
è −9.04×10−6 usando il sistema SI
20
In base alla risposta del materiale al campo magnetico si possono
classificare i diversi materiali come:
Diamagnetici
Paramagnetici
Ferromagnetici (ferrimagnetici ecc.)
Il diamagnetismo è presente in tutti i materiali, ma è generalmente
trascurabile in materiali paramagnetici o ferromagnetici.
21
Diamagnetismo
Il diamagnetismo consiste in una opposizione al campo magnetico esterno
ed è caratteristico delle specie chimiche che possiedono orbitali
completamente pieni, come ad esempio i gas nobili, gli ioni che assumono
la configurazione elettronica di un gas nobile o tutte le molecole a "guscio
chiuso". La suscettività magnetica di questi materiali assume valore
negativo ed è di debole entità (dell'ordine di 10-6).
χ m ,diamagnetica < 0
χ m ,diamagnetica ≈ −10−6
La permeabilità magnetica relativa per sostanze diamagnetiche è quindi
minore di 1
µr ,diamagnetica = 1 + χ m ,diamagnetica < 1
22
Paramagnetismo
Il paramagnetismo è caratteristico delle specie che presentano elettroni
spaiati e si manifesta macroscopicamente con l'attrazione da parte del
materiale paramagnetico nei confronti di un campo magnetico esterno
applicato. La suscettività magnetica di questi materiali assume tipicamente
valori positivi maggiori di un fattore 10-1000 rispetto alla suscettività delle
sostanze diamagnetiche.
χ m , paramagnetica > 0
χ m , paramagnetica ≈ +10−4
La permeabilità magnetica relativa per sostanze diamagnetiche è quindi
maggiore di 1
µr , paramagnetica = 1 + χ m , paramagnetica > 1
23
In funzione della temperatura la suscettività paramagnetica mostra un
comportamento dato dalla legge di Curie:
χ m , paramagnetica
C
=
T
C è detta costante di Curie, e
dipende dal momento magnetico
effettivo dei dipoli magnetici
presenti nel materiale.
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Ferromagnetismo
Il ferromagnetismo, caratteristico dei metalli di transizione come ferro, cobalto
e nichel o altre leghe che mostrano una magnetizzazione spontanea,
indipendente dalla presenza di un campo esterno. Questo genere di materiali
possiede dipoli magnetici permanenti tutti con la medesima orientazione. La
suscettività può essere molto elevata (positiva, dell'ordine di 103).
M
H
χ m , ferromagnetica >> 0
χ m , ferromagnetica ≈ 102 − 104
I materiali ferromagnetici al di sopra di una temperatura caratteristica
(temperatura di Curie) perdono la magnetizzazione permanente e
diventano paramagnetici.
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Suscettività magnetica di alcuni materiali
Material
Temperature
Pressure
Units
(°C)
(atm)
vacuum
Any
water
χmol
(molar susc.)
χmass
(mass
susc.)
χv
(volume
susc.)
M
(molar
mass)
ρ
(density)
SI
(10-3 kg/mol)
or (g/mol)
(103 kg/m3)
or (g/cm3)
SI
SI
(m3·mol−1)
(m3·kg−1)
0
0
0
0
–
0
20
1
−1.631×10−10
−9.051×10−9
−9.035×10−6
18.015
0.9982
bismuth
20
1
−3.55×10−9
−1.70×10−8
−1.66×10−4
208.98
9.78
Diamond
r.t.
1
−6.9×10−11
−5.8×10−9
−2.0×10−5
12.01
3.513
He
20
1
−2.38×10−11
−5.93×10−9
−9.85×10−10
4.0026
0.000166
Xe
20
1
−5.71×10−10
−4.35×10-9
−2.37×10−8
131.29
0.00546
O2
20
0.209
4.3×10−8
1.34×10−6
3.73×10−7
31.99
0.000278
N2
20
0.781
−1.56×10−10
−5.56×10−9
−5.06×10−9
28.01
0.000910
1
2.2×10−10
7.9×10−9
2.2×10−5
26.98
2.70
−2.31×10−5
107.87
Al
Ag
961
1
26