lezione_04

Forze
Dinamica
• Sistema: corpo o corpi di cui vogliamo studiare il
moto (es. un solo corpo puntiforme )
• Tutto il resto dell’universo lo chiamiamo
ambiente
• Tra sistema e ambiente in generale sono
possibili interazioni
• le forze descrivono interazioni tra sistemi e tra
sistema ed ambiente
• Scopo della dinamica: studiare moto del sistema
sottoposto ad interazioni dell’ambiente
2
Cosa non è la forza
• Non sono esercitate solo dagli esseri
animati
• Negli esseri animati non sono dovute ai
muscoli
• Non esistono solo quando c’è movimento
• Non causano il movimento
• Non sono sinonimo di energia
3
Cosa non sono le forze
• Non sono sinonimo di potenza, lavoro,
pressione …
• Non agiscono solo nel contatto
• Non sono “contenute” negli oggetti
inanimati né li spingono a muoversi
• Non si conservano
• Non provocano variazioni di posizione,
cioè velocità
4
Idee comuni non corrette
• Un corpo sottoposto ad una forza costante
si muove con velocità costante. In
assenza di forze, ogni oggetto rimane a
riposo
• Un corpo inizialmente fermo viene messo
in moto da una “forza di spinta”, che si
consuma durante il moto. Il moto termina
quando la forza di spinta è dissipata
5
Idee comuni non corrette
• Un corpo, una volta in moto, possiede una
forza interna (“impetus”, “capitale di
forza”). In assenza di attrito è costante,
altrimenti diminuisce finché il corpo si
ferma
6
Idee comuni non corrette
• Il tempo impiegato da un corpo a percorrere
una certa distanza quando agisce una forza
su di esso è proporzionale all’inverso
dell’intensità della forza stessa
• Una forza non può muovere un corpo
fintanto che essa è minore del peso del
corpo
• L’inerzia (talvolta è chiamata anche “peso”
o “massa”) è la resistenza intrinseca di un
corpo al moto
7
Idee comuni non corrette
• Il corpo che causa il moto di un altro corpo
esercita forza maggiore, perché deve
superarne l’inerzia
• Il corpo di massa maggiore esercita forza
maggiore
8
La forza
• Forza
è
“schematizzazione
delle
interazioni fra sistemi o tra sistema ed
ambiente”
• Schematizzazione  modello matematico
• Nel SI la forza è una grandezza derivata la
cui unità è il newton (N)
9
Come agiscono le forze
• Deformazioni (es. spugne, palline…)
– corpi sono deformabili o non deformabili
(corpi rigidi)
• Forze a contatto e a distanza
– contatto: si manifestano solo quando si fa
qualcosa sul sistema (reazioni vincolari,
deformazioni, impulsi)
– distanza: il sistema risente della presenza
nella spazio di un altro sistema (sorgente)
10
Modelli di interazione
• Detti anche leggi di forza:
– Elastica
– Gravitazionale
– Elettrica
– Magnetica
–…
• Necessità di descrivere l’interazione nello
spazio  le forze sono descritte da vettori
11
Trattazione matematica delle
forze
• Si applicano tutte le regole dei vettori
(somma, sottrazione, prodotto scalare e
vettoriale)
• Fondamentale saper scomporre le forze
lungo assi scelti per descrivere la
situazione
Forza e quantità di moto
• Per descrivere le interazioni di un sistema
occorre conoscere come si muove
• Cinematicamente, il moto di un corpo non
dipende dalla sua massa
• Ma quando deve interagire con altri sistemi o
con
l’ambiente
la
sua
massa
deve
necessariamente entrare in gioco
• Introduciamo quindi la grandezza fisica quantità
di moto:


p  mv
13
Proprietà della quantità di moto
• Un corpo in movimento ha quantità di moto
• Un corpo fermo non ha quantità di moto
• Maggiore la velocità o la massa, maggiore la
quantità di moto
• La quantità di moto può essere trasferita da un
sistema ad un altro oppure distribuire su più
sistemi
14
Il 1o principio della dinamica
• Conservazione della quantità di moto: se il sistema è
isolato, ed è fatto da un solo corpo esso continuerà a
muoversi con quantità di moto costante
• Primo principio di Newton: “Ciascun corpo persevera nel
proprio stato di quiete o di moto rettilineo uniforme,
eccetto che sia costretto a mutare quello stato da forze
impresse”
• Sistemi di riferimento in cui vale questo principio sono
detti sistemi inerziali
15
Il 1o principio della dinamica
• Affinche’ avvenga un cambiamento di quantita` di moto
(ovvero di velocità) è necessario che l’ambiente
circostante interagisca con il sistema
• Piu` precisamente occorre tenere conto della risultante
di tutte le interazioni tra ambiente e corpo, ovvero la
forza netta
• Se sono presenti forze, ma la loro risultante è nulla, la
quantità di moto non varia nel tempo
• Quindi se osserviamo che la quantità di moto di un corpo
non varia, possiamo dire che il sistema è isolato o
equivalentemente le forze esterne sono nulle
p  0  F  0


p f  pi
16
Il 2o principio della dinamica
• Viceversa se la quantità di moto non è
costante, necessariamente è presente una
interazione tra sistema ed ambiente, cioè
forza
• Variazione di quantità di moto 
variazione di velocità  corpo ha
accelerazione
• il 2o principio specifica quantitativamente
la relazione tra variazione di quantità di
17
moto e interazione esterna
Il 2o principio della dinamica
• Secondo principio: “Il cambiamento della quantità
di moto di un corpo è proporzionale alla risultante
delle forze esterne ed avviene lungo la direzione
lungo la quale la forza agisce
dp
F
dt
 
dp  Fdt
dp d  mv 
dv

m
 ma  F
dt
dt
dt
18
Il 2o principio della dinamica
• Si ottiene il
2o
principio nella forma
1
a F
m
• Il che significa che l’accelerazione di un corpo è
proporzionale alle forze esterne tramite una
costante propria del corpo che è l’inverso della
massa del corpo
• Per sistema composto da
 più corpi:

 R


Fi 1
a   ai     Fi 
m i
m
i
i m
Ciascuna forza agisce indipendentemente dalle altre
19
Equilibrio statico
• Se la risultante R delle forze agenti su un corpo
è nulla e il corpo ha inizialmente velocità nulla,
esso rimane in quiete  equilibrio statico
• L’annullarsi di R equivale all’annullarsi di tutte le
sue componenti


R   Fi  0
i
20
Il 3o principio della dinamica
• Se spostiamo l’attenzione dal sistema all’insieme
sistema + ambiente otteniamo che la risultante
delle forze esterne è sempre nulla  quantità di
moto totale si conserva cioè
dptot
0
dt
21
Il 3o principio della dinamica
• Ma allora:
dptot dpsistema dpambiente
dpsistema
dpambiente


0

dt
dt
dt
dt
dt
dpsistema
 Fambiente sistema
dt
dpambiente
 Fsistema ambiente
dt
Fambientesistema   Fsistemaambiente
22
Legge di forza elastica
• Una molla non sollecitata ha una lunghezza
a riposo x0
• Sollecitata da una forza T si estende (o si
comprime)
• La forza coniugata a T secondo la 3a legge,
generata dalla molla, è la forza elastica Fe
• Per una molla ideale, l’allungamento (o
accorciamento) e l’intensita` della forza sono
proporzionali
Fe
T
Fe  k  x  x0   k x
• dove k e` la costante elastica della molla
23
Legge di Hooke

 

• In termini vettoriali: F  k x  x0   kx
• Il segno meno indica che la forza, pur avendo
ugual direzione, e` sempre diretta in verso
opposto allo spostamento
x
Fe
x
FT
FC
Fe
• Per ogni molla ciò è valido in un intervallo
limitato di intensita` di forza che non superi il
cosiddetto limite elastico della molla
24
Moto armonico
• Studiamo il moto di un corpo soggetto ad
2
una forza F:

d x 
ma  m
dt
2
F

• Se F e` la forza di Hooke F  k x  x0
• Se il moto è in una dimensione, possiamo
scrivere l’equazione
2
d x
m 2  k x  x0 
dt
25

Moto armonico
• Ponendo y=x-x0
d 2 y d 2x
 2
2
dt
dt
• L’equazione del moto diviene
d2y
m 2  ky
dt
k
 
m
2
• Dividendo i membri per m e ponendo
• Otteniamo
d2y
2



y
2
dt
• Forze di tipo elastico provocano un moto armonico
26
Moto armonico
xt   A sin t  f 
• A l’ampiezza
  la pulsazione
• f la fase iniziale
• Poiche’ la funzione seno è periodica, a due istanti di
tempo t1, t2, che soddisfano la relazione seguente
t2  f   t1  f   t2  t1   n2
• corrisponderà uno stesso valore della coordinata
x  0   A sin   v  0    A cos  
 x  0 
  arctan  

 v  0  
27
Misura di oscillazioni
T
A sin f
A
28
29
30
Forza gravitazionale
• Due corpi qualunque esercitano tra loro una forza del
tipo:
m1m2
F  G 2 rˆ
r
dove m1 e m2 sono le masse dei due corpi e r la loro
distanza e G e` la costante di gravitazione universale
• Si assume che le dimensioni dei corpi siano trascurabili
rispetto alla loro distanza, altrimenti questa non sarebbe
definita
• Questa forza è sempre attrattiva
31
Forza gravitazionale
• Nel caso della forza di gravita` agente su un corpo di massa m
F  G
Mm
 RT  h 
2

M
r   G 2
RT


m
r
 mg
2

h 
1 

 RT 

M 

G
r

2 
RT 
M

g

G
r  g 
2
2
RT

h 
1 

R

T 
 
• L’accelerazione di gravità g non dipende dal corpo, ma solo
dalla massa e raggio della Terra e dalla posizione del corpo32
sulla Terra (altitudine e latitudine)
Fili e funi
• Sono oggetti
che
trasmettono
la forza solo
in trazione
33
Fili e funi
• Spesso supporremo per semplicità che le
funi siano
– inestensibili (cioe` la lunghezza non cambi)
– di massa trascurabile
34
Macchina di Atwood semplice
Ascissa curvilinea
m1a1  T
v1  v2
a1  a2
m2 a2  T  m2 g
a
g
m1a  m2 a  m2 g  a 
m2
m1  m2
m2
T  m1
g
m1  m2
g
m1  m2
m2
35
Macchina di Atwood semplice
Carrucola priva di
massa
m1a1  m1 g  T m2 a2  T  m2 g
v1  v2
m1a  m2 a   m2  m1  g 
a1  a2
g
a
 m2  m1 
m1  m2
 m1  m2  a  2T   m1  m2  g
2T   m1  m2  a   m1  m2  g
m2  m1 


g
T   m1  m2 
  m1  m2   
2
m1  m2

g
 m1  m2 2   m2  m1 2   2 gm1 m2
 m  m 
2  m1  m2  
1
2
T
2gm1
m1  m2
m2
36
Pendolo semplice
L

m
n

aN  R  t  uN
2
Ascissa curvilinea
mg
t

aT  R  t  uT
man  mR    mg cos  
2
mat  mR  mg sin  
Attenzione al segno – nell’accelerazione
tangenziale dovuto al fatto che la forza è di
richiamo (come nella molla!)
37
Pendolo semplice
L   g ;   5  6  
g
  
L
 g

  0 sin 
t  f 
L


38
Periodo del pendolo semplice
L
T  2
g
indipendente dalla massa m del pendolo:
“isocronismo” del moto;
dalla misura di T determinazione di g
Vincoli
• Un vincolo è una qualunque limitazione
dell’ambiente al moto del corpo
• Questa limitazione avviene per contatto tra
corpo e vincolo
• Esempi:
– una fune
– una superficie d’appoggio o rotaia
– un asse fisso
– un punto fisso
40
Reazioni vincolari
• Il contatto tra corpo e vincolo produce un’interazione che
si può modellizzare con una forza
• Per il 3o principio, la forza con cui il corpo agisce sul
vincolo e` uguale e contraria a quella, detta reazione
vincolare, con cui il vincolo agisce sul corpo
• Generalmente
si
suppone,
almeno
in
prima
approssimazione, che il vincolo sia indeformabile, cioè
che riesca a generare la reazione senza deformarsi
apprezzabilmente
• Le forze vincolari non sono in generale note a priori, ma
si possono dedurre a posteriori esaminando il
comportamento del sistema
41
Reazioni vincolari
• Esempio: corpo vincolato in equilibrio statico
• Supponiamo che il corpo sia soggetto, oltre alla
forza di vincolo V, ad altre forze di risultante R
diversa da zero
• Se il corpo è in equilibrio statico, allora la
risultante di tutte le forze, compresa quella di

 
vincolo, dev’esser nulla:
Rtot  R  V  0
• Da questa relazione possiamo calcolare, a
posteriori, la forza di vincolo:


V  R
42
Reazione vincolare di una superficie
di appoggio o di una rotaia
• È comodo talvolta scomporre la forza V
esercitata dal vincolo nelle componenti
parallela e perpendicolare al vincolo
• La componente tangente t è
usualmente dovuta all’attrito
con la superficie (scabra)
• La componente N è
usualmente l’unica presente
V
N
t
43
Attrito su superficie o rotaia
• Che il corpo sia in quiete (caso statico) o in moto
(caso dinamico), il fenomeno dell’attrito ha origine
dalle forze di coesione che si stabiliscono nel
contatto tra i materiali di cui sono costituiti il corpo
e la superficie d’appoggio, premuti l’uno contro
l’altro (dalla forza peso del corpo o da altre forze
opportune)
F
P
44
Attrito statico su superficie
• Ad un corpo posto su un piano orizzontale
applichiamo una forza F parallela al piano
F
• Sperimentalmente si vede che il corpo non
si mette in movimento fintanto che
l’intensita` di F non diventa maggiore di un
valore di soglia minimo
45
Attrito statico su superficie
• Se un corpo è tale che a= 0, per il
terzo principio, la superficie agisce
sul corpo con una forza Fs uguale
e contraria a F in modo tale che
garantisca l’equilibrio statico del
corpo
• Tale forza è detta d’attrito statico
• Non e` nota a priori, ma si ricava
dalla condizione di equilibrio
statico F  Fs  0 da cui:
Fs  F
Fs
F
46
Attrito statico su superficie
• Il valore di soglia minimo di F corrisponde al massimo
valore della la forza di attrito che la superficie puo`
sviluppare Fsmax
• Si trova sperimentalmente che, almeno in prima
max
F
approssimazione, s   s N
e la forza non dipende dall’area di contatto col vincolo
• s e` il coefficiente di attrito
statico e N e` il modulo della
N
componente, della reazione
Fs
vincolare, normale (localmente)
F
alla superficie
• Il coefficiente s dipende dai
materiali e dalla lavorazione
delle superfici a contatto
47
Attrito statico su superficie
• Attenzione: l’equazione
Fsmax   s N
• è un’equazione tra moduli, che non si estende ai
vettori, e` sbagliato percio` scrivere
F
max
s
 s N
• perche’ Fs e N sono sempre perpendicolari fra loro
• Fs ha sempre la stessa direzione e verso opposto a F
• Inoltre l’equazione dice qualcosa solo sul valore
massimo della forza d’attrito, non sul valore che, di
volta in volta, equilibra la forza F
48
Attrito statico su superficie
• Riepilogando avremo due condizioni:
• condizione di equilibrio statico
F  Fsmax   s N
• condizione di moto
F  Fsmax   s N
49
Attrito dinamico su superficie
• Il valore massimo della forza di attrito statico ci da`
l’importante informazione su quando l’equilibrio statico
non è piu` possibile e il corpo comincia a muoversi
• Abbiamo allora a che fare con una forza d’attrito
dinamico
• Si trova sperimentalmente che, almeno in prima
approssimazione, Fd  d N
e la forza non dipende dalla velocita` del corpo o
dall’area di contatto col vincolo
• d e` il coefficiente di attrito dinamico e dipende dai
materiali e dalla lavorazione delle superfici a contatto
50
Attrito dinamico su superficie
• Attenzione: l’equazione Fd  d N
• è un’equazione tra moduli, che non si estende ai vettori
Fd  d N
• Perche’ Fd e N sono sempre perpendicolari fra loro
• Fd ha sempre la stessa direzione e verso opposto alla
velocita`
• A differenza del caso statico ora l’equazione dice proprio
il valore della forza d’attrito, che istante per istante
agisce sul corpo
• L’equazione del moto e`:
ma  F  Fd  F  d N
51
Coefficienti di attrito
• Il coefficiente di attrito statico è sempre
maggiore di quello dinamico:
 s  d
• Al momento del distacco la forza d’attrito
dinamico è minore della massima forza
d’attrito statico:
max
s
F
 Fd
52
Esercizio
• Trovare le equazioni del moto di un punto
materiale su un piano inclinato soggetto a forza
d’attrito dinamico.
max  Fx  Px  Fd
y
N
ma y  Fy   Py  N
ma y  0  N  Py Fd  d N  d Py
max  Px  Fd  Px  d Py
ax  g x   d g y
g x  g sin  
x
Fd

P
1 2
x  t   ax t  v0t  s0
2
g y  g cos  
ax  g  sin     d cos   
53
Miglioriamo le equazioni
• Salita
• Discesa
y
y
N
N
x
x
Fd
Fd 
P

P
axsal  g  sin    d cos   
axdis  g  sin    d cos   
axsal  axdisc
d 
2 g cos  
 axsal  axdisc 

2
g


  arcsin 
54
Piano inclinato con angolo variabile. Angolo
massimo per restare in quiete?
max  Fx  Px  f
ma y  Fy   Py  N
ma y  0  N  Py
f  Fsmax  s N  s Py
max  Px  f  f  Px  max  Fsmax   s Py
Px  max   s Py  Px   s Py  max  0  Px  s Py  0
sin    s cos    0  tan    s
55
Piano inclinato con angolo variabile: angolo minimo per
moto?
max  Fx  Px  f
ma y  Fy   Py  N
ma y  0  N  Py
f  Fsmax  s N  s Py
max  Px  f  f  Px  max  Fsmax   s Py
Px  max   s Py  Px   s Py  max  0  Px   s Py  0
sin    s cos    0  tan    s
Spingere o tirare?
mb ax  F cos     N 
 F cos      mb g  F sin   
mb ax  F cos     N 
 F cos      mb g  F sin   
mb ax  F  cos     sin      mb g mb ax  F  cos     sin      mb g
57
Tiro alla fune
La persona 2 resta ferma e trascina la persona 1. Approssimiamo il
fatto che i due signori hanno una certa estensione della pianta del
piede (e non sono punti materiali) con due coefficienti di attrito
diversi. Quale condizione devono soddisfare i coefficienti di attrito
affinchè una delle due persone vinca?
1
2
58
Tiro alla fune
F21
M
ma1    Ma2  Fa 2   Fa1
1
m
Fa2
+
F12
Fa1
2
ma1  F21  Fa1
Ma2   F12  Fa 2
1
1
a1    Ma2  Fa 2   Fa1  0
m
m
1
1
  Ma2  Fa 2   Fa1
m
m
F21  F12  ma1  Ma2   Fa1  Fa 2
a2  0  Fa 2  Fa1  2 M  1m
m
2  1
M
59
Tiro alla fune
Q
 0   Fest  0
t
2
1
Fest  0  Fa 2  Fa1  0  Fa 2  Fa1
m
2  1
M
60
Camion di massa M spinto a
v costante da macchina di
massa m
• Quale condizione devono soddisfare i
coefficienti di attrito delle ruote del camion
e dell’auto affinchè il sistema rimanga in
equilibrio?
• Quale potenza deve spendere la
macchina di massa m per far muovere il
camion a v costante?
61
Camion di massa M spinto a v
costante da macchina di massa m
Ma1  F21  F1ad  F21  Ma1  F1ad
ma2   F12  F2 ad   F12  ma2  F2 ad
F21  F12  0  Ma1  ma2  F1ad  F2 ad
F2 ad  2 d mg 
 Ma1  ma2  2 d mg  1d Mg

F1ad  1d Mg 
a1  a2  0; 2 d mg  1d Mg  0  2 d m  1d M
M
2 d  1d
62
m
Quale potenza deve spendere la
macchina di massa m?
Fmotore  Fs  s mg
Pauto  t 
Fmotore  t  
 Pauto  Pmin  vs mg
v t 
P
Pauto  v2 d mg  2 d 
auto
mgv
Pauto
M
M
2 d  1d

 1d
m
m
mgv
Pauto  1d Mgv
63
Giri della morte
V0
64
Giri della morte
v0 2
maN  m
 N  mg 
r
v0 2
N m
 mg  mg
r
2r
V0
65
Giri della morte
V
2r
v2
maN  m   N ' mg
r
v2
N '  m  mg ; N '  0
r
vmin 2

g
r
… ma non abbiamo la condizione su
v0! Ci serve qualcosa che tenga
conto del fatto che occorre
“portare” la macchina da giù a su
V0
66