Meccanica 9
1 aprile 2011
Corpo rigido
Traslazione e rotazione di un corpo rigido
Momento angolare, componente parallela e normale all’asse di rotazione
Momento d’inerzia
Energia cinetica di rotazione. Lavoro
Rotazione attorno ad un asse fisso con L parallelo a w
Teorema di Huygens-Steiner
Pendolo fisico
Misura di g, pendolo di Kater
Corpo rigido
• È un caso particolare dei sistemi di
punti materiali
• È di grande importanza per le
applicazioni pratiche
• Un corpo è detto rigido se le distanze
tra tutte le possibili coppie di punti del
corpo non cambiano
2
Corpo rigido
• Questa è un’astrazione che si applica
tanto meglio quanto più i corpi sono
indeformabili
• Un corpo perfettamente rigido non
esiste
• Dal punto di vista microscopico la
rigidità dei solidi è dovuta a forze di
natura elettrica tra gli atomi costituenti
3
Moto del corpo rigido
• Lo studio del moto di un corpo rigido
viene fatto normalmente
– in un SR inerziale, oppure
– nel SCM (sistema non inerziale ma con gli
assi sempre paralleli a quelli di un SR
inerziale), oppure
– in un sistema con gli assi solidali al corpo rigido (sistema
non inerziale, con assi che possono anche ruotare rispetto a
quelli di un SR inerziale)
4
Moto del corpo rigido
• È determinato da una o più forze esterne,
generalmente applicate in punti diversi del
corpo
• Le forze sono quindi caratterizzati da una
forza risultante F e da un momento risultante
t
• Ricordiamo che il lavoro delle forze interne in
un corpo rigido è nullo quindi la variazione
dell’energia cinetica è uguale al lavoro delle
forze esterne
5
Moto del corpo rigido
• Le leggi fondamentali sono le equazioni
cardinali della meccanica
F MaCM
dL
t
dt
• Si puo` anche usare la conservazione
dell’energia meccanica nel caso in cui le
in gioco siano conservative o si abbia
forze
attrito statico
E 0
6
Equilibrio statico del corpo rigido
• Un corpo rigido è in equilibrio statico se e
solo se valgono le due condizioni:
– è inizialmente in quiete: P 0 L 0
– P e L non variano nel tempo dP
0
dt
dL
0
dt
• Dalla prima eq. segue che la forza risultante
è nulla F 0 , dalla seconda
che il momento
di forza risultante è nullo t 0
• Inoltre F 0 implica che t è indipendente dal
polo scelto e quindi il polo puo` essere un
punto qualunque
7
Traslazione di un corpo rigido
• Tutti i punti descrivono traiettorie uguali, in
genere curvilinee, con la stessa velocita`, in
genere varia
• Ogni punto ha lo stesso moto del CM: la
conoscenza del moto del CM basta per
conoscere il moto di tutti i punti del corpo
• Gli assi del sistema solidale col corpo
rimangono sempre paralleli a quelli del SCM
8
Traslazione di un corpo rigido
• La dinamica e` quella di un punto materiale e
non c’e` movimento rispetto al CM
• Momento angolare ed energia cinetica nel
SCM sono nulle L* 0
K* 0
• QdM ed energia cinetica del corpo sono
P MvCM
1
2
K MvCM
2
• L’equazione del
moto
del
CM
e`
F MaCM
9
Traslazione di un corpo rigido
• Il momento angolare non e` indipendente
dalla QM
*
L LCM L LCM rCM MvCM rCM P
• e quindi il teorema del momento angolare
non aggiunge alcuna informazione, infatti
dL d
drCM
dP
t
rCM MvCM
MvCM rCM
rCM F
dt dt
dt
dt
• Cioe` t e` esprimibile in funzione di F
10
Rotazione di un corpo rigido
• Ogni punto descrive un moto circolare, la
traiettoria e` un arco di circonferenza, di
raggio diverso per ogni punto considerato,
ma con centro su una stessa retta, detta asse
di rotazione
• La rigidita` del corpo implica che tutti i punti
abbiano la stessa velocita` angolare in un
dato istante, parallela all’asse di rotazione
11
Rotazione di un corpo rigido
• Se l’asse e` fisso nel tempo w puo` cambiare
solo in modulo e verso
• Nel caso piu` generale w puo` cambiare
anche in direzione: asse di rotazione variabile
12
Moto di un corpo rigido
• Traslazione e rotazione sono i moti piu`
importanti, in quanto vale il teorema, di cui
non diamo la dimostrazione:
• Il moto rigido piu` generale e` una
rototraslazione: ogni spostamento infinitesimo
puo` sempre essere considerato come
somma di una traslazione e di una rotazione
infinitesime con velocita` v e w variabili nel
tempo
13
Moto di un corpo rigido
• Per descrivere una rototraslazione si
utilizzano le equazioni cardinali:
– il teorema del moto del CM
– il teorema del momento angolare
• In una rototraslazione le velocita` v e w sono,
in generale, indipendenti
• In situazioni in cui e` presente un vincolo le
due velocita` possono essere legate da una
relazione che elimina tale indipendenza
(rotolamento puro)
14
Momento angolare
• Calcoliamo il momento angolare di un
corpo esteso in rotazione attorno ad un
asse, supposto inizialmente fisso, con
velocita` angolare w, rispetto al polo O
scelto sull’asse
L rl ml vl ml rl w rl
l
l
w
ri
ri zi vi
O
• Esprimiamo rl(t) in termini del componente
1-D lungo l’asse (diciamolo z) e del
componente 2-D perpendicolare
rl t zl rl t
rl t xl t i yl t j
15
Momento angolare
• Abbiamo messo in evidenza la dipendenza
dal tempo delle grandezze
• Fintanto che l’asse di rotazione rimane lo
stesso
– la coordinata z e` indipendente da t
– La coordinata r(t) ruota, con modulo r
indipendente da t
16
Momento angolare
• L diviene
•
•
•
L ml rl zlw w r l zlw
l
Nella parentesi quadra il termine w w si annulla
L ml rl w rl ml zlw w rl
l
l
Il vettore rl w rl ha la direzione di w e modulo
2
2
r
w
r
r
wr l :
l
l
lw
w
Il vettore w rl ha direzione opposta a rl e
w w rl rlw
modulo wrl :
17
Momento angolare
• Cioe` L e` la somma di un termine longitudinale
e di un termine trasversale
2
L ml rl w ml zl rl w L// L
l
l
• L’esistenza di quest’ultimo significa che, in
generale, il momento angolare non e` parallelo
al vettore velocita` angolare
18
Momento angolare
• Il termine longitudinale e` proporzionale al
vettore velocita` angolare
L// ml xl2 t yl2 t w ml rl2 w I ww
l
l
• La costante di proporzionalita` e` detta
momento d’inerzia del corpo rispetto all’asse
di rotazione scelto
– E` indipendente dalla posizione del polo sull’asse
(r non dipende dalla posizione di O)
– E` indipendente dal tempo (r non dipende da t)
19
Momento angolare
• Il termine trasversale
L w ml zl xl t i yl t j w ml zl rl t
l
l
– Dipende dal tempo (tramite x e y oppure rl)
– Dipende dalla posizione del polo sull’asse (tramite z)
• Questo termine e` nullo in due casi notevoli in
cui l’asse di rotazione
– e` un asse di simmetria della distribuzione di massa
del corpo (allora per ogni punto x,y,z esiste un punto
-x,-y,z che compensa il primo)
– e` un asse principale d’inerzia (vedi oltre)
20
Momento angolare
• Il momento angolare, calcolato rispetto ad un
punto sull’asse dirotazione,
puo`
essere
scritto come L L// L Iww L
r
• I vettori i ruotano tutti con
la stessa velocita`
angolare, quindi anche L e L ruotano con
tale velocita`; quest’ultimo descrive una
superficie conica attorno all’asse di rotazione w
• Questo moto e` detto precessione del
L
L
momento angolare attorno all’asse di
o
L
rotazione
//
21
Momento d’inerzia
• Per definire il momento d’inerzia di un corpo,
bisogna conoscerne la distribuzione di
massa, cioe` la distanza degli elementi di
massa dall’asse attorno a cui ruota
I w ml xl2 w , t yl2 w , t ml rl2 w
l
l
• Per una distribuzione continua di massa
I w
dm
x
w
,
t
y
w
,
t
dm
r
w
2
corpo
2
2
corpo
22
Momento d’inerzia
• Ne segue che cambiando l’asse di rotazione,
cambia il momento d’inerzia, cioe` la costante
(indipendente dal tempo!) che lega il
momento angolare longitudinale alla velocita`
angolare
• I e` una grandezza scalare estensiva, cioe`
tale che per un sistema scomponibile in parti,
puo` essere calcolata come somma dei
contributi delle singole parti
23
Momento d’inerzia
• Questa nuova grandezza e` stata introdotta
per semplificare lo studio del moto dei corpi
rigidi
• Le sue dimensioni fisiche sono
I ML2
• e l’unita` di misura e`
uI kg m2
24
Assi principali d’inerzia
• Esiste un teorema, dovuto a Poinsot, che Anche una
afferma: dato un corpo rigido qualunque, patata!
C’e` una
comunque venga scelto un punto O, e` simmetria non
sempre possibile trovare tre direzioni
evidente
mutuamente ortogonali passanti per O, per
ognuna delle quali L e` parallelo a w
• Questi assi sono gli assi principali d’inerzia
• Se O coincide con il CM, gli assi si dicono
assi centrali d’inerzia
25
Calcolo del momento d’inerzia
• Per una sbarra sottile rispetto all’asse
normale mediano
• Per un cilindro rispetto al proprio asse
• Per una sfera rispetto ad un asse
baricentrico
26
Calcolo del momento d’inerzia
• I calcoli piu` semplici sono quelli per
assi di rotazione coincidenti con assi di
simmetria passanti per il CM
• Per assi paralleli a questi assi, esiste un
teorema che permette di calcolare
semplicemente i momenti d’inerzia
relativi
27
Teorema di Huygens-Steiner
• Detto I il momento d’inerzia di un corpo
di massa m, rispetto ad un asse a
passante per il CM, il momento d’inerzia
rispetto ad un asse a’ parallelo al primo
e distante d da questo e`
a’
a
I ' I md 2
CM
d
28
Teorema di Huygens-Steiner
• Detto P il generico punto
del corpo, tracciamo il
piano passante per P e
perpendicolare ai due assi
paralleli
• Sia r la distanza di P
dall’asse a e r’ la distanza
di P dall’asse a’
• Vale la relazione r ' r d
a’
a
r
r’
P
d
CM
29
Teorema di Huygens-Steiner
• Il momento d’inerzia rispetto ad a’ e`
I'
r'
corpo
2
dm
2
r d dm
corpo
I 2d mrCM md 2
r dm 2d
2
corpo
2
r
dm
d
corpo
dm
corpo
• Il secondo termine e` nullo, in quanto il
centro di massa appartiene all’asse a
I ' I md 2
• quindi
30
Energia cinetica di rotazione
• Partendo dalla definizione di K
1
1
1
1 2
2
2 2
2 2
K mi vi miw ri mi ri w Iw
2
i 2
i 2
2 i
ri
Ricordando che L// Iw
•
• Possiamo scrivere
w
vi
2
//
1 2 1
1L
K Iw L//w
2
2
2 I
• L’energia cinetica di rotazione dipende dal
momento d’inerzia rispetto all’asse di
rotazione, ovvero dal momento angolare
longitudinale
31
Lavoro
• In seguito all’azione di un momento esterno,
la velocita` angolare di un corpo viene portata
dal valore iniziale w1 a quello finale w2
• Per il teorema dell’energia cinetica, la
variazione di K e` uguale al lavoro delle forze
agenti sul sistema
• Per un corpo rigido, solo le forze esterne
danno un contributo
K W E
32
Lavoro e potenza
• In termini infinitesimi
d
1
dK d Iw 2 Iwdw I
dt Id t // d dW E
dt
2
• Integrando gli ultimi due membri otteniamo il
lavoro come integrale del momento nella
F
variabile angolare
E
E
t
0
//
d dW W
I
• Esprimiamo la potenza in funzione del
momento e della velocita` angolare
dW E
d
P
t //
t //w
dt
dt
33
Rotazione intorno ad un asse
fisso
• E` un caso particolare di grande importanza
pratica nello studio di macchine e motori
• Il vettore w ha la direzione fissa dell’asse,
mentre modulo e verso possono cambiare nel
tempo
• Se w non e` costante,
il vettore accelerazione
angolare dw e` diverso da zero e diretto
lungo l’asse dt
34
Rotazione con asse fisso e
L non // w
• Dal teorema del MA, le equazioni del moto sono
dL
dL// d Iw
dw
t
t //
I
I
dt
dt
dt
dt
• Il moto longitudinale (1-D) e` retto da t // , parallelo
all’asse e che puo` far cambiare w solo in verso e
modulo ma non in direzione
• Il moto trasversale (2-D) e` retto da t ,
perpendicolare all’asse e che tende a far ruotare
l’asse, cioe` a far cambiare la direzione di w
35
Rotazione con asse fisso e
L // w
• Il caso piu` semplice e` quello in cui il momento
angolare e` parallelo all’asse, ovvero la
componente trasversale e` nulla; in tal caso L Iw
• ove I e` il momento d’inerzia del corpo rispetto
all’asse
• L puo` variare in modulo
e verso, ma non in
direzione, quindi dL dt e` parallelo a w
• Il teorema del momento angolare impone allora che
il momento delle forze t che fa variare L sia
anch’esso parallelo a w
dL//
dL
t
t //
I
dt
dt
36
Rotazione con asse fisso e
L // w
• Risolvendo l’equazione rispetto
dw t //
all’accelerazione
dt
I
• Noto il momento, si puo` ricercare
l’integrale primo delt moto
t
t //
w t w 0 dt dt
0
I
0
• In particolare se il momento e` costante
w t w 0
t //
I
t
37
Un esempio semplice di
L non // w
• Consideriamo un sistema formato da una
sbarra di lunghezza 2z, a ciascuna
w r 1
estremita` della quale e` posta una
sbarretta di lunghezza re una massa m
m
z r
• Supponiamo che la sbarra e le due
sbarrette abbiano massa trascurabile
o
• Supponiamo che il sistema ruoti attorno
alla direzione (fissa) della sbarra con
2m
azimut f e velocita` w
f
• Calcoliamo il momento angolare del
sistema rispetto al punto mediano O della
sbarra
38
Un esempio semplice di
L non // w
• I contributi delle due masse sono uguali
L l1 l2 r1 m1v1 r2 m2 v2 2r mv 2l
w
r
v1
z r1
o
r2
• Poiche’ il moto delle masse e` circolare, la v2
componente longitudinale di L vale
w l1
2
L// 2l// 2rmv sin 2mrwr sin 2mr w
2
2
m
L// 2mr ww 2mr w I w w
• E quella trasversale
o
L 2l 2rmv cos 2mrwr cos 2mwzr
l2
L 2mwzr r t 2mwzr t
f
39
w
Un esempio semplice di
L non // w
o
l2
• La componente longitudinale e`
proporzionale a wsecondo il
momento d’inerzia, che e` costante
w
• La componente trasversale ruota
attorno all’asse (precessione) con
L
modulo proporzionale a w
L
L//
o
40
l1
Un esempio semplice di
L non // w
• Come si e` detto il moto trasversale (2-D) e`
retto dall’eq.
dL
t
dt
• con t perpendicolare all’asse e che tende a
farlo ruotare, cioe` a far cambiare w in
direzione
t
• Cerchiamo ora di capire l’origine di
41
Un esempio semplice di
L non // w
• Affinche’ le masse descrivano un moto
w r 1
circolare, e` necessario che sia presente
m
f
una forza centripeta per ciascuna di esse
• Tali forze devono essere generate dall’asse
z
r
• Se vogliamo che l’asse rimanga fisso,
o
occorre che i supporti che lo sostengono
resistano alle forze dovute all’asse stesso
2
• I supporti reagiscono con forze uguali e
contrarie a quelle dell’asse (ed uguali a
quelle centripete)
42
Un esempio semplice di
L non // w
• Il momento delle forze centripete e`
t r1 f1 r2 f 2
f
• I due contributi sono uguali, hanno
direzione e modulo fz
• quindi
t 2 fz 2mw 2 rz 2mrz w 2
t1
w r
z
1
r
o
2
t2
43
Un esempio semplice di
L non // w
• Ricordando l’espressione del momento
angolare trasversale
L 2mwzrr
dr
w
dt
• e la derivata del versore r:
• si verifica facilmente il teorema del momento
angolare
dL
dr
2
2mwzr
2mrz w t
dt
dt
44
Un esempio semplice di
L non // w
• Per riassumere: l’asse agisce sulle masse generando il
momento di forza trasversale e le due masse agiscono
sull’asse con forze che tendono a farlo ruotare
• Il momento generato dai cuscinetti che supportano
l’asse e` uguale e contrario a quello dell’asse (per la 3a
legge della dinamica) e quindi uguale al momento
trasversale
• Questi momenti devono essere resi piu` piccoli
possibile, per ridurre l’usura dei cuscinetti
• Si cerca quindi di rendere L parallelo a w, facendo
ruotare il corpo attorno ad un asse di simmetria
45
Pendolo fisico
• E` un qualunque corpo rigido oscillante
attorno ad un asse orizzontale (non
passante per il CM)
• Consideriamo la sezione del corpo
perpendicolare all’asse e contenente il
CM
• Sia O la traccia dell’asse di rotazione
e r la distanza di O dal CM, W il
peso del corpo e l’angolo formato
dal da r con la verticale
O
r
CM
W
46
Pendolo fisico
• L’asse e` vincolato a rimanere fisso,
esistera` quindi una forza vincolare V che
agisce sul corpo
• Come ogni forza vincolare, essa e`, a
priori, incognita e sara` determinata dopo
aver risolto l’equazione del moto
• Scegliamo un sistema di coordinate
cilindriche con origine O, asse polare
verticale e asse z = asse di rotazione
con verso uscente dal foglio
V
O
r
CM
W
47
Pendolo fisico
• Le componenti del peso sono
allora Wr W cos
W W sin
• E le componenti della forza
vincolare Vr ,V
• Entrambe le forze hanno
componente z nulla
V
V
Vr
O
r
CM
Wr
W
W
48
Pendolo fisico
• Scegliamo O come polo per il calcolo dei
momenti: questo e` conveniente perche’ la
forza vincolare incognita ha momento nullo
rispetto a O e il momento risultante t e`
t
uguale al momento della forza peso r W
• Applichiamo al corpo le equazioni
cardinali
CM
W V Ma
t
dL
dt
• Proiettando queste equazioni vettoriali lungo
gli assi coordinati otteniamo equazioni 1-D
49
Pendolo fisico
dLz
tz
dt
• Per i momenti
• Note le espressioni del momento di forza e del
momento angolare
t z rW rW sin
Lz Iw
(I e` il momento d’inerzia rispetto all’asse di
rotazione) l’equazione diviene:
d
dw
d 2
rW sin Iw I
I 2
dt
dt
dt
• che e` sufficiente per trovare la legge oraria (t)
50
Pendolo fisico
• Per le forze abbiamo le due equazioni
d
CM
2
Wr Vr Mar
Mw r Mr
dt
2
2
d
w
d
CM
W V Ma
M
r Mr 2
dt
dt
che ci servono per trovare le componenti della
reazione vincolare una volta nota w(t)
Vr Wr Mrw 2
dw
V W Mr 2
dt
2
51
Pendolo fisico
• Risolviamo ora l’equazione differenziale per (t)
d 2
rW
sin
2
dt
I
• Per piccole oscillazioni possiamo confondere il
seno con l’arco,2 ottenendo
d
rW
2
W
2
dt
I
• Che e` l’equazione del moto armonico con
pulsazione W e periodo
2
I
I
T
2
2
W
rW
Mgr
52
Pendolo fisico
• La soluzione e` t AsenWt f
• Con A e f due costanti determinabili imponendo
le condizioni iniziali
53
Misura di g
• Risolviamo l’equazione del periodo rispetto a g
4 2 I
g
MT 2 r
• Questa equazione e` la base per la misura di g
mediante un pendolo
• Due grandezze sono facilmente misurabili: M e
T, le altre due I e r (o I/r) sono invece difficili
• Una soluzione del problema si ottiene
cercando altri assi, paralleli al primo, per cui
l’oscillazione del pendolo abbia ugual periodo
54
Misura di g
• Detta r’ la distanza di un tale asse dal CM, e I’
il relativo momento d’inerzia, vogliamo che
I I'
'
r r
I
I'
T 2
T ' 2
Mgr
Mgr '
• Ovvero
• Poiche’ I dipende da r, ricorriamo al th. di HS,
introducendo il MdI I0 rispetto all’asse
parallelo passante per il CM
I 0 Mr 2 I 0 Mr '2
r
r'
55
Misura di g
• Semplificando otteniamo
I 0 r ' r Mr ' r r ' r
• Scartando la soluzione r’=r, poco
interessante, rimane la soluzione
I
r 0
Mr
O
'
r
O’
r’
CM
56
Misura di g
• Dato un punto O, cerchiamo il punto O’ che
sia allineato con O e il CM e opposto
O
a O rispetto al CM: e` il
r
CM
punto coniugato di O
• La distanza tra i due assi
e`
r’
2
I0
Mr I 0
I
rr r
Mr
Mr
Mr
'
• Ora ecco l’idea brillante: per trovare il
rapporto I/r basta trovare due punti coniugati
e misurarne la distanza d=OO’=r+r’
57
O’
Misura di g
• Cioe` non occorre conoscere ne’ la posizione
del CM ne’ il MdI
• Ne segue che
2
4
g 2 d
T
• Il pendolo reversibile di Kater realizza
praticamente questa idea
58
