La LOGICa

La LOGICA
Un aspetto essenziale
del pensiero umano
con profonde influenze
sullo sviluppo delle civiltà
E’ possibile darne
una definizione precisa?
• la molteplicità degli aspetti rende
praticamente impossibile un accordo
generale sulla definizione
• anche dall’etimologia (la parola greca
λόγος) emerge una diversità di
interpretazione secondo che ci si riferisca
al significato:
discorso o
ragionamento
La sintesi di questi due aspetti si trova
nella concezione di
Aristotele
• “la logica tratta del discorso inteso
come espressione di un pensiero
razionale “ (Aristotele – Analitici primi – E. Agazzi – La logica simbolica)
La LOGICA: scienza del ragionamento
• Argomento :Si occupa del modo in cui
l’uomo ragiona (ragionamento)
• Metodo : scientifico
• Logica matematica : scienza del
ragionamento matematico ,quindi la
matematica è come argomento e come
metodo
LE TRE VIE PER ARRIVARE
ALLO STUDIO DELLA LOGICA
• DIALETTICA
• PARADOSSI
• DIMOSTRAZIONI
1. Dialettica
•
•
•
•
Iniziata dai sofisti( seconda metà V sec.
a.C): Protagora e Gorgia (protagonisti di
dialoghi platonici)
sofista nel linguaggio comune è sinonimo di
persona che fa discorsi capziosi
I sofisti in realtà si occupavano dell’arte del
discorso e quindi ne studiavano le regole
per questo motivo si possono intravvedere nel
loro pensiero le origini della logica
2. Paradossi
ragionamenti apparentemente corretti,
ma che portano a conclusioni
che contraddicono l’opinione corrente: παρά-δοξα
(che porta ad una contraddizione)
La logica studierà che cosa sta dietro questo tipo di
ragionamento, come analizzarlo , come riformularlo.
a.
I più famosi paradossi della antichità:
Mentitore ( cretese Epimenide –VI sec.a.C):
Tutti i cretesi sono bugiardi
PARADOSSI
.B) Achille e la tartaruga (Zenone 490-430
a.C):
Achille sembra che non possa
raggiungere mai la tartaruga.
2
3. Dimostrazioni
• La matematica nasce senza dimostrazioni (v. papiro di Rhind)
Poiché i risultati venivano riportati senza giustificazione non si poteva
avere la sicurezza della correttezza della intuizione
• Verso il 600 a.C. i greci,
inventarono “ un nuovo modo di fare matematica” : la dimostrazione.
- La logica si occupa di che cosa rende corretta una
dimostrazione
• furono stimolati nello studio delle dimostrazioni da due famosi
risultati :
Dimostrazioni
Il teorema di Pitagora intuito dalle civiltà
precedenti , come riportato da Euclide
prevede una dimostrazione molto
complessa
-
Dimostrazioni
• Irrazionalità della radice di 2
Scoperta dai pitagorici rompe il connubio tra
costruzione e misura: la realtà si mostra
più estesa di ciò che è razionale .
• Rappresenta il primo esempio di
dimostrazione per assurdo.
Periodi della Logica
• Antichità :
• Era moderna :
• Era contemporanea :
Platone
Aristotele
Crisippo
Leibniz
Boole
Frege
Post- Wittgensein
Godel
Turing
Età antica
Platone
(Accademia )
nei suoi Dialoghi appare il primo tentativo
di isolare
una delle più grandi leggi della logica:
il principio di non contraddizione
Aristotele
Aristotele
(Liceo )
Fu il più grande logico e fondatore della
logica moderna,
studiò l’uso delle leggi che regolano
i quantificatori cioè le particelle:
nessuno, qualcuno, tutti
I TRE PRINCIPI
DELLA LOGICA ARISTOTELICA
La logica, secondo Aristotele, si applica
ai concetti universali (astratti dalla mente umana
partendo dalle cose sensibili) e si fonda su 3 principi
1. Principio di identità: ogni oggetto del
pensiero logico è identico a se stesso
2. Principio di non contraddizione: è
impossibile che la stessa proprietà si addica e
non si addica allo stesso oggetto e nello
stesso senso
3. Principio del terzo escluso: data una
affermazione ed una negazione di uno stesso
giudizio, una di esse è vera e l’altra è falsa
(Aristotele, Οργανον, che rappresenta l’atto di nascita della logica formale )
Crisippo ( Stoà)
Ritenuto l’altro fondatore della scuola stoica
dopo Zenone
Logica proposizionale
Connettivi: non, e, o, se…, allora.
Crisippo (Stoà
Medioevo
• La logica medioevale si presenta come
sintesi della logica aristotelica e di
quella stoica
• risalgono agli Scolastici le leggi sulla
negazione della congiunzione e sulla
negazione della disgiunzione
Definizione medioevale tramandataci
da Pietro Ispano (1205-1277)
che evidenzia i diversi aspetti della logica
come
suprema arte, scienza, metodologia:
”la logica è l’arte delle arti e la scienza
delle scienze, che domina la via ai
principi di tutti i metodi “ (Summulae logicales)
Logica minor e maior
I filosofi scolastici distinguevano
• una LOGICA MINOR
in cui si considerano solo
le forme corrette di ragionamento
prescindendo dalla verità delle premesse
• una LOGICA MAIOR
in cui si studiano
i criteri che permettono di giudicare della verità
delle asserzioni che fanno parte
dell’argomentazione
Analoga distinzione opererà Kant (1724-1804)
fra
LOGICA FORMALE
che si occupa
della correttezza della deduzione
LOGICA TRASCENDENTALE
che si occupa
delle condizioni a priori
che rendono possibile la conoscenza
Età moderna
LEIBNIZ (1646-1716)
ebbe la visione filosofica
(cioè precorse i tempi della logica moderna)
di costruire una lingua formale
adatta ad esprimere
tutti i contenuti delle scienze:
la “ characteristica universalis”
Nell’Ottocento la logica matematica esce dal bozzolo con
BOOLE (1815-1864)
introdusse una algebra che prese il suo nome e si fonda
sull’idea di usare solo 0 e 1 come se fossero analoghi
rispettivamente al falso e al vero .
• Le leggi che regolano il vero e il falso sono le stesse
leggi che algebricamente regolano il comportamento di 0
e di 1.
Con Boole si chiude un’epoca
perché con l’algebra booleana si possono descrivere
sia i quantificatori aristotelici sia i connettivi di Crisippo
La logica moderna nasce con FREGE (1879) che
introdusse
LA LOGICA PREDICATIVA
cioè la logica dei predicati e delle relazioni
multiple con la costruzione di un linguaggio
formale in grado di analizzare e riprodurre
la struttura logica del linguaggio matematico
senza la logica predicativa
il sogno di Leibniz non si sarebbe mai realizzato.
Età contemporanea
2200 anni dopo
Post (1920) dimostrò
la completezza
della logica proposizionale
• quindi l’analisi che Crisippo aveva fatto
circa 2200 anni prima era conclusa
• Boole l’aveva solo riformulata in termini
algebrici
Le tavole di verità
Wittgenstein (1921)
in maniera indipendente
scopre lo stesso teorema
A lui si devono anche le tavole di verità:
rappresentazione della individuazione
della verità o falsità
di una proposizione composta
partendo da proposizioni semplici.
GÖDEL (1906-1978)
raggiunse due risultati fondamentali
– la completezza della logica predicativa (oltre
Frege non si poteva andare)
– Incompletezza della aritmetica : qualunque
sistema di assiomi aritmetici non si potrà mai
completare
Per la logica delle proposizioni e la logica dei
predicati siamo arrivati al completamento
Per quanto riguarda la matematica siamo arrivati
ad un muro che indica li nostri limiti
Turing (1936)
elaborò la cosiddetta Macchina di Turing cioè il computer.
Una macchina di Turing (o più brevemente MdT) è una macchina ideale in
grado di eseguire algoritmi e dotata di un nastro infinito su cui può leggere
e/o scrivere dei simboli.
L’idea del computer venne a questo geniale logico-matematico
studiando i teoremi di Godel per affrontare il problema della
decidibilità # della logica predicativa
(#per la logica predicativa non esistono tavole di verità come per la
logica proposizionale che permettano di decidere la verità di una
proposizione)
Di che cosa ci occuperemo noi?
della
LOGICA FORMALE
intesa come
studio delle inferenze deduttive
con
una mentalità e un simbolismo matematici
Compiti della logica
1. STUDIARE
il nesso di conseguenza logica tra proposizioni,
predisponendo delle tecniche
per determinare
quando la verità di una conclusione
consegue necessariamente
dalla verità delle premesse
2. DETERMINARE,
date certe premesse,
altre proposizioni
che sono loro conseguenza logica.
LA DEDUZIONE
un potente strumento di verifica
della correttezza dei ragionamenti
MA ANCHE
un potente mezzo di ricerca
come dimostrano
le innumerevoli applicazioni alle scienze
del ragionamento matematico
La logica si propone di realizzare il sogno
leibniziano del “calculemus”.
Un suo obiettivo come disciplina
è quindi
stabilire quali ragionamenti sono corretti e quali no
e individuare dei “calcoli logici”
che consentano di meccanizzare l’attività deduttiva
e di “dominare”
l’insieme delle conseguenze
di un insieme di premesse,
in modo da poter ragionare
sulle teorie assiomatiche nel loro complesso
Una sola logica?
Attualmente sono state sviluppate
molteplici “logiche”
che si propongono di studiare
aspetti sempre più ampi
dell’attività inferenziale
LA LOCICA CLASSICA
e i suoi limiti
IN CUI
• si prendono in considerazione solo alcuni tipi
di inferenze
• si assume il principio di bivalenza: una
proposizione può assumere soltanto uno ed uno
solo dei valori di verità - vero (V) o falso (F)
Contrariamente a quanto accade molto spesso alle proposizioni del linguaggio
naturale
CFR. molte delle “logiche” elaborate attualmente sono nate proprio per
superare tale limite della logica classica
Non si ragiona correttamente anche senza lo
studio sistematico della logica?
La capacità di analizzare le regole di inferenza
della logica classica
non matura spontaneamente negli esseri umani,
ma deve essere oggetto di un apprendimento
mirato
(magari solo con l’obiettivo limitato di preparare gli alunni a cimentarsi
in test di tipo logico ad esempio per le prove di selezione dalla
ammissione a facoltà universitarie a partecipazione a concorsi
pubblici)
La logica si colloca all’intersezione di tre aree
differenti:
la filosofia, la matematica, l’informatica
Le Caratteristiche dei Test
e in particolare di quelli logica
1.
-
Sono composti da
una sezione verbale, che verifica la comprensione linguistica
una parte matematica che verifica la capacità di risolvere
problemi che richiedano ragionamento logico-matematico
2.
Molto spesso vogliono verificare la capacità di utilizzare abilità
acquisite per risolvere problemi nuovi cioè valutano la capacità
di:
–
–
–
–
comprendere il significato preciso dei termini, di cogliere termini
simili e analogie etimologiche
capire quale categoria mentale (causa – effetto, contrapposizione
…) stabilisce il rapporto tra le coppie di parole
ritenere le informazioni appena lette, interpretarle
trarre delle conclusioni conseguenti e scartare conclusioni
errate, arbitrarie o non rigorosamente giustificate
Luca Mari (Ordinario scienza della misurazione alla LIUC)
QUALI CAPACITÀ PER I TEST DI LOGICA?
La soluzione dei test di capacità logica
richiede capacità di
I
– concentrazione
– analisi
– sintesi
– vagliare i dati forniti e di distinguere ciò che
è possibile, necessario o logicamente
inammissibile
UN ESEMPIO EMBLEMATICO
DI LOGICA PROPOSIZIONALE
• Il beffardo mago Atlante ha rinchiuso in un castello fatato Angelica,
l’intelligente principessa cinese.
• Angelica è confinata in una stanza con cinque porte
contrassegnate UNO, DUE, TRE, QUATTRO, CINQUE
• davanti a ciascuna porta sta un aiutante di Atlante, con il
contrassegno della porta ricamato sul cappello.
• La principessa sa che quattro mentono sempre e uno solo dice
la verità.
• Dietro la porta dei mentitori c’è un drago, dietro la porta di chi dice
la verità c’è la via di fuga.
• Angelica riceve queste informazioni:
- UNO dice che TRE, QUATTRO e CINQUE mentono
- TRE dice che UNO O DUE dicono il vero
- QUATTRO dice che TRE dice il vero
Da quale porta deve uscire Angelica: UNO, DUE, TRE, QUATTROO
CINQUE?
Come procedere?
La prima cosa da fare è individuare la STRUTTURA DEL QUESITO
Tralasciando tutti gli orpelli inutili il problema può diventare:
DATE CINQUE PROPOSIZIONI, QUATTRO FALSE E UNA VERA,
INDIVIDUARE QUELLA VERA
Le tre indicazioni precedenti si possono rappresentare simbolicamente
così
• 1 = ¬ 3Λ ¬4Λ ¬5 (tre, quatto e cinque mentono)
• 3 = 1 V 2 (uno o due dicono il vero)
• 4 = 3 (tre dice la verità )
La simbologia che avvicina la logica alla matematica presenta vari
vantaggi:
- Riduce le ambiguità delle espressioni
- Consente di “ calcolare la verità” di proposizioni composte a partire
dalla verità delle proposizioni componenti
Risoluzione q.1
• La verità della 4 implicherebbe la verità della 3 ,
impossibile perché due proposizioni sarebbero vere
• Quindi ¬4 e perciò ¬ 3 allora ¬ (1 V 2) = (per la prima
legge di De Morgan) ¬ 1 Λ¬ 2
• Poiché ¬ 1 allora ¬ (¬ 3 Λ ¬4 Λ¬5 ) = per la 2° legge di
De Morgan ¬(¬ 3) V ¬(¬ 4 )V ¬(¬5)= 3V4V5
• Per la tavola di verità la disgiunzione inclusiva lè vera se
almeno una delle proposizioni è vera
• 3 è falsa, 4 è falsa, allora 5 sarà vera.
Un quesito della prova d’ingresso
della facoltà di Medicina del 1999
• Marco: ”Giorgio suona il sassofono meglio di
tutti, è lui il campione del nostro gruppo”
• Giorgio: ”Alessandro suona il sassofono meglio
di tutti, è lui il campione del nostro gruppo”
• Alessandro: ”Io non suono il sassofono meglio di
tutti, non sono io il campione del gruppo”
• Matteo: ”Io non suono il sassofono meglio di
tutti, non sono io il campione del gruppo”
• SE solo UNA di queste affermazioni è VERA,
chi è il campione nel suonare il sassofono?
A) Marco B) Giorgio C) Alessandro D) Matteo
Come procedere?
In primo luogo proviamo a riscrivere le
“frasi” nel modo seguente, del tutto
equivalente a prima, ma molto più
maneggevole:
• “Giorgio è il campione”
• “Alessandro è il campione”
• “Alessandro non è il campione”
• “Matteo non è il campione”
Che cosa è stato fatto?
Per ciascuna affermazione
è stato eliminato il nome di chi la
pronuncia
INFATTI
sapere chi pronuncia una data affermazione
non è un elemento rilevante
per decidere se tale affermazione
sia VERA o FALSA.
RISOLUZIONE q.2
A questo punto, è essenziale notare la peculiarità logica dei 2 enunciati
centrali evidenziati in rosso:
Giorgio è il campione
Alessandro è il campione
Alessandro non è il campione
Matteo non è il campione
In che rapporto sono tra loro questi due enunciati?
A condizione di riconoscerne la caratteristica fondamentale, la
soluzione del quesito non è lontana.
I due enunciati, infatti, sono contraddittori.
• Il principio di non contraddizione prescrive che necessariamente
uno deve essere VERO e l’altro FALSO (tertium non datur, cioè non
è ammessa alcuna terza possibilità).
In altre parole, delle due l’una: o Alessandro è il campione, o non lo
è!
Risoluzione q.2
• A questo stadio del ragionamento, noi in realtà non siamo in grado
di dire con certezza quale dei due enunciati sia vero e quale falso,
ma sappiamo con assoluta certezza che uno dei due enunciati è
VERO. Sarà pertanto sufficiente risalire alla domanda all’inizio, che
ci informa che dei 4 enunciati UNO SOLO è VERO…
e ora noi sappiamo che è necessariamente uno dei due enunciati
centrali.
• Dunque, non sappiamo quale dei 2 enunciati centrali sia l’unico
VERO dei 4, in compenso però la conclusione logica che possiamo
trarne è che sono certamente FALSI il primo e l’ultimo
enunciato, perché un solo enunciato dei 4 è vero ed è uno dei 2
centrali aventi Alessandro come soggetto.
SOLUZIONE
1. Dalla falsità del primo enunciato
(“Giorgio è il campione”), segue
chiaramente che Giorgio non è il
campione.
2. Dalla falsità dell’ultimo enunciato, segue
che Matteo è il campione (infatti è falso
che non lo sia!).
UN ALTRO ESEMPIO
Nel diario del giovane Andrea è scritto:
“ Nonno Giorgio dice che quando era giovane ha
attraversato l‘Oceano Atlantico a nuoto e che riusciva
a battere in velocità le balene. Secondo me è una
bugia “
Si dica che cosa si può dedurre correttamente
dalla convinzione di Andrea.
•
•
•
•
Se nonno Giorgio riusciva a battere in velocità le balene, allora
non ha attraversato l’Oceano Atlantico a nuoto.
Nonno Giorgio ha attraversato l’Oceano Atlantico a nuoto, ma non
riusciva a battere in velocità le balene
Nonno Giorgio non ha attraversato l’Oceano Atlantico a nuoto, ma
riusciva comunque a battere in velocità le balene
Nonno Giorgio non ha attraversato l’Oceano Atlantico a nuoto e
non riusciva a battere in velocità le balene
RISOLUZIONE q.3
Ponendo
p = ha attraversato a nuoto l’Oceano
Atlantico
q = batte in velocità
il testo può essere rappresentato così
¬ ( p Λ q) = ¬ p V ¬ q per la legge di De
Morgan,
QUINDI
Risoluzione q.3
le quattro possibilità di risposta diventano
q→¬p
p Λ¬ q
¬ pΛq
¬ pΛ¬q
¬ p V ¬ q è sempre vera tranne quando
entrambe le proposizioni sono false, quindi la
proposizione che si può correttamente dedurre
deve essere una tautologia
SOLUZIONE: la risposta corretta è la a
Soluzione q.3
¬p V ¬q
q →¬ p p Λ¬ q
¬pΛ q ¬p Λ¬q
¬p
¬q
V
V
V
V
F
F
V
F
V
V
V
V
F
F
V
F
V
V
F
V
F
Quarto esempio
L’affermazione
“ quando bevo troppo mi si gonfia lo stomaco” implica
che
A ) Non mi si gonfia lo stomaco pur avendo bevuto troppo
B) A volte capita che non mi si gonfi lo stomaco pur avendo
bevuto troppo
C ) Se non mi si gonfia lo stomaco allora non ho bevuto
troppo
D) Se mi si gonfia lo stomaco allora vuol dire che ho bevuto
troppo
E) o bevo troppo o mi si gonfia lo stomaco.
RISOLUZIONE
Ponendo
p = bevo troppo e q = mi si gonfia lo stomaco
Il testo del problema è : p →
q
• La soluzione si può certamente “ ricercare intuitivamente
“ e forse questa, per chi ne è capace, risulta la strada più
efficace.
• Si può seguire la strada algoritmica, tradurre ogni
risposta usando i relativi connettivi e ricercare attraverso
le tavole di verità la tautologia
• Consigliabile è applicare la prima legge delle inverse:
se una proposizione è vera è vera anche la contro
nominale cioè
p→q
allora
¬ q →¬ p
La risposta corretta è la C
Quinto esempio
P = dorme
pesci
•
•
•
•
•
Da “ Chi dorme non piglia pesci
= p →¬q
dove
q = prende pesci quindi ¬ q = non prende
segue logicamente
Chi piglia pesci dorme .
q→p
Chi piglia pesci non dorme
q →¬p
Chi non piglia pesci non dorme
¬q→¬p
Chi non piglia pesci dorme
¬q → p
Nessuna delle altre alternative proposte
Sesto esempio
Paolo è così amico di Giuseppe e di Claudio
che quando lui va alle feste ci vanno anche i suoi due amici
Data la frase precedente,
quale delle seguenti affermazioni è certamente vera?
A) Paolo ieri è andato ad una festa, quindi sicuramente c’erano anche
Giuseppe e Claudio
B) Ieri Claudio è andato ad una festa, quindi c’è andato anche Paolo
C) Giuseppe e Claudio ieri erano ad una festa, quindi c’era anche
Paolo
D) Ieri c’era una festa alla quale Paolo non è andato, quindi anche
Giuseppe e Claudio non c’erano
E) Giuseppe ieri era ad una festa, quindi sicuramente c’è andato anche
Claudio
Schema modus ponens
Settimo esempio
Sara afferma che
tutti gli studenti di medicina hanno frequentato il liceo scientifico
Quale delle seguenti condizioni è NECESSARIO si verifichi
affinché l’affermazione di Sara risulti falsa?
A) Deve esistere almeno uno studente di medicina che ha frequentato il liceo classico
B) Nessuno studente di medicina deve aver frequentato il liceo scientifico
C) Deve esistere almeno uno studente che ha frequentato il liceo scientifico ma che non
è iscritto a medicina
D )Tutti gli studenti che non sono iscritti a medicina devono aver frequentato il liceo
scientifico
E) Deve esistere almeno uno studente di medicina che non ha frequentato il liceo
scientifico
La risposta corretta è la A
è necessario aver frequentato il liceo scientifico per essere studente di medicina
allora diventerà falsa quando è vera la negazione della proposizione necessaria
cioè quando almeno uno studente non ha frequentato il liceo scientifico
Ottavo esempio
Se farai come ti dico, andrà tutto bene.
Alla luce di tale affermazione, è certamente corretta anche una (ed
una sola) delle seguenti. Quale?
a) Se non farai come ti dico, non potrà che andar male
b) Purtroppo la cosa non è andata bene, è evidente che non hai fatto
come ti avevo suggerito
c) Se avessi seguito il mio consiglio, forse le cose non sarebbero
andate come speravi, ma nemmeno troppo male
d) La cosa è andata bene me ne compiaccio, perché questo significa
che hai fatto esattamente come ti avevo indicato.
Presta attenzione alle proprietà dell’implicazione.
Alcuni semplici ragionamenti ci permetteranno di individuare
la soluzione corretta, che è la b perché è la contro nominale
Nono esempio
Trova la risposta corretta
a)
b)
c)
d)
Tutti i corridori sono tenaci.
Nessuna persona tenace è superba
Significa che
Alcuni superbi sono tenaci
Nessun corridore è tenace
Nessun corridore è superbo
Alcuni superbi sono corridori
Solo la risposta c)
segue chiaramente dalle due premesse
Ultimo esempio
Tutti quelli che usano il computer sono intelligenti
Tutti gli informatici usano il computer
significa che
a.
b.
c.
d.
le persone intelligenti sono informatici
Le persone intelligenti usano il computer
Tutti gli informatici sono intelligenti
Alcuni informatici sono intelligenti .
Sillogismo universale affermativa