S-T-U
1968-1997
Trent’anni di Fisica Teorica
in una Sigla
Prof. Pietro Fré
6/25/2017
Unificazione delle interazioni
fondamentali:
l’evoluzione della Teoria
negli ultimi 30 Anni
Le idee su cui si fonda la rappresentazione teorica
dell’Universo Fisico e la descrizione delle sue leggi fondamentali
sono cambiate profondamente dal 1965 ad oggi, ma seguendo
un percorso logico quasi obbligato
Prof. Pietro Fré
6/25/2017
La Preistoria: Anni 1960-1968
B
C
In questa decade
q
A
q2
p1
la matrice S era
sovrana.
p2
D
Stupiti dalla ricchezza dello spettro adronico i fisici pensavano
che le interazioni forti richiedessero Principi Totalmente Nuovi
per descriverne la dinamica. LA TEORIA dei CAMPI era
divenuta OBSOLETA e si studiava la matrice S per se!
Prof. Pietro Fré
6/25/2017
STU e Dualità negli anni ‘60
La sigla S-T-U era interpretata
da chiunque come indicante:
S
le variabili di Mandelstam
t
=
cioè i 3 invarianti di Lorentz
che si possono costruire con i
quattro quadri impulsi che
entrano in un diagramma di
Le risonanze nei canali s e t
scattering
sono le stesse
Si cercava di costruire le
ampiezze di scattering, usando
Analiticità, Relazioni di
Dispersione e poi DUALITA’
Vediamo....
Prof. Pietro Fré
6/25/2017
Storia delle SuperCorde:
L’EVO ANTICO. 1969-75
Nel 1968 Gabriele Veneziano introduce un’ampiezza di diffusione duale
Nel 1970-71 Fubini e Veneziano introducono il formalismo operatoriale per la
fattorizzazione delle ampiezze ad N-punti
Nel 1970-71 nasce l’interpretazione come Corda Relativistica (Nambu, Rebbi)
Nel 1969-70 Gliozzi scopre l’invarianza proiettiva e Virasoro la generalizza all’algebra
di Virasoro.
Nel 1971 si scopre la dimesnione critica per il disaccoppiamento dei ghost. Corda
bosonica
D=26
Nel 1971-1972 Neveu--Schwarz e Ramond introducono le corde fermioniche e per la
prima volta scrivono un’algebra
di supersimmetria. E’ l’estensione
dell’algebra di Virasoro. Le corde fermioniche hanno dimensione critica D=10
DURANTE L’EVO ANTICO delle Corde = Teoria degli adroni
si risveglia la Teoria dei Campi.
Prof. Pietro Fré
6/25/2017
Che cos’é una stringa
relativistica?
S =
g X
X g X
Prof. Pietro Fré
6/25/2017
Una particella puntiforme che si
muove nello spazio tempo spazza
una linea di mondo
Invece un laccio spazza una
superficie bidimensionale
L’azione della stringa é l’area
spazzata
Per scrivere tale azione dobbiamo
introdurre
1) la funzione di immersione: X(
2) la metrica sulla superficie
bidimensionale g(
3) la metrica dello spazio ambiente
g(X)
Storia delle SuperCorde:
L’EVO MEDIO 1976-84
Il Medio Evo delle Corde corrisponde alla Rinascita della Teoria dei Campi
Nel 1971 ‘t Hooft aveva rinormalizzato le Teorie di Yang--Mills, rendendole
quantisticamente consistenti e predittive.
Negli anni 1975-1980 a seguito di molti esperimenti (a cominciare dai risultati sugli alti
momenti trasversi) diventa evidente che il modello a Quarks e la QCD (Teoria di gauge
del gruppo SU(3) sono la giusta teoria degli adroni. DEMOCRAZIA NUCLEARE,
APPROCCIO di MATRICE S, bye
bye!!
Nel 1975 Becchi Rouet, Stora e Tyutin perfezionano la struttura formale delle Teorie di
Campo con invarianze di gauge. (Fondamentale idea per tutti gli sviluppi futuri)
Nel 1974 Wess e Zumino introducono le Teorie di Campo supersimmetriche in D=4.
Nel 1976 grazie a Ferrara, Freedman e van Nieuwenhuizen, nasce la
SUPERGRAVITA’: cioè l’estensione supersimmetrica della Relatività generale.
Nel 1977-1978, ‘t Hooft e Polyakov scoprono e studiano gli ISTANTONI ed i
MONOPOLI MAGNETICI non abeliani. E’ l’inizio della FISICA non PERTURBATIVA
Prof. Pietro Fré
6/25/2017
L’Evo Medio delle Corde è
El SIGLO de ORO della SUPERGRAVITA’
Negli anni 1976 - 1984 la teoria della
Supergravità viene sviluppata (a livello
classico) in tutte le direzioni.
Si costruiscono le lagrangiane per tutti i valori
di N = numero di generatori di supersimmetria
si scopre che
Ma anche in tutte le dimensioni D e si scopre
che Dmax=
Nmax=8
11.
Si costruiscono tutti gli accoppiamenti della
supergravità a tutti i possibili tipi di materia e
si scopre che i campi scalari stanno sempre in
modelli sigma non lineari con speciali gruppi
di isometria: HIDDEN SYMMETRIES
Prof. Pietro Fré
6/25/2017
La Supersimmetria unifica la
legge di Newton con la teoria
dell’atomo.
D =11
Modello Sigma?
Il campo del modello
sigma è una mappa:
: MD
MT
L’azione classica é:
S gij i j g d Dx
Un modello sigma è una teoria di campi scalari ix in uno spazio
tempo MD di dimensione D dove ix sono interpretati come coordinate
di un’altra varietà (detta bersaglio) MT di diversa dimensione
L’interazione dei campi scalari é determinata dalla metrica sulla varietà
bersaglio. Il gruppo di ISOMETRIA di MT è la Simmetria
Prof. Pietro Fré
6/25/2017
Storia delle SuperCorde:
L’ETA’ MODERNA 1984-94
Vi è sempre un precursore nei RINASCIMENTI. Nel 1977 -1978 Gliozzi,
Olive e Scherck mostrarono che la supercorda in D=10 può essere resa
supersimmetrica nello spazio tempo, ed ha come Teoria Efficace la
Supergravità D=10.
Nell’ultima metà degli anni 1970 Scherck e Schwarz, avevano proposto che le
corde, anzichè Teorie degli adroni fossero interpretate come teorie delle
interazioni fondamentali (anche gravitazionali).
1984 E’ il RINASCIMENTO delle Supercorde. Cancellazione delle
Anomalie (Green e Schwarz) si predice il gruppo di gauge: E8 x E8 oppure SO(32)
1985 Nasce la stringa eterotica. Puo’ essere chirale, vive in D=10 ha un gruppo
di gauge realistico
1985 Si introducono le compattifcazioni su varietà di Calabi--Yau.
ed uno spettro quasi realistico. SI PARLA di T.O.E.
Prof. Pietro Fré
6/25/2017
Si ha N=1 in D=4
Un’idea antica: Kaluza-Klein
Per interpretare fisicamente una teoria in dimensioni spazio
temporali >4 la si compattifica:
Compattificazione
Extra dimensioni
spaziali
Spazio
Rn
Tempo
Prof. Pietro Fré
Le n dimensioni
spaziali che eccedono
le tre fisiche,
corrispondono a quelle
di una varietà
compatta, anzichè di
6/25/2017
La T Dualità
Una conseguenza della
natura estesa delle
corde
e della presenza di
dimensioni
compattificate!
Vediamolo.....
Prof. Pietro Fré
6/25/2017
INTANTO: Trionfa
il Modello Standard
Mentre avvengono questi fatti
sul fronte della corda
La Teoria dei Campi trionfa
nella fenomenologia con
Verifica sperimentale del
Modello Standard
Nel 1983 si scoprono le
particelle W e Z e poi al LEP
si hanno verifiche sempre più
impressionanti
Prof. Pietro Fré
1983
1996
Il Gruppo di Gauge é :
SU(3)C x SU(2)W x U(1)Y
vi sono 3 famiglie fermioniche
di Quark e Leptoni
La simmetria è rotta
spontaneamente, ma il campo
di Higgs ancora non si trova
6/25/2017
1996: Il modello standard é
completo...
Nel 1996, l’ultimo
quark, il top,
necessario a
completare lo
spettro ( a 3
famiglie) del
modello standard è
stato rivelato
sperimentalmente.
Se ne é accorta
anche LA STAMPA
Prof. Pietro Fré
6/25/2017
Dall’articolo di Tullio Regge su TUTTOSCIENZE
1996
E' di questi giorni la conferma della scoperta
del quark Top. Vediamo di chiarire il significato
della scoperta. Il modello standard delle particelle
elementari ha oggi all'incirca la stessa funzione e
complessita' che ebbe a suo tempo il sistema
periodico degli elementi di Mendeleiev. Ambedue
sono basati su poco meno di un centinaio di
componenti elementari che variamente combinati
rendono conto di tuttigli aspetti della materia qual e'
o era nota al momento in cui il modello e' apparso.
Il modello standard descrive tuttavia processi fisici
che si svolgono su di una scala di energie che e'
circa un trilione di volte quella caratteristica
della chimica del secolo scorso e contiene il
sistema periodico come un piccolo frammento della
visione di insieme che da esso deriva...........
Prof. Pietro Fré
6/25/2017
...........Alla base del
modello stanno concetti
profondi di simmetria nel
mondo delle particelle
elementari, ma il modello e'
ancora ben lungi dal
mostrarci questa simmetria
nel suo fulgore e contiene
ancora troppe ipotesi che al
momento paiono arbitrarie. I
fisici hanno ancora molto da
fare prima di giungere a una
sintesi che sia
esteticamente
soddisfacente. TullioRegge
Politecnico di Torino
Quali sono le carte con cui si gioca alla FISICA
delle PARTICELLE nel MODELLO STANDARD
Particella
Simmetria
Tipo di particella
Spin
Supersimmetria
Opzione amata
dai fenomenologi
Prof. Pietro Fré
Campo quantistico
Gruppo e sua Algebra
Rappresentazione del
gruppo e dell’algebra
Rappresentazione del
gruppo delle rotazioni
Superalgebra
Vediamo
lo spettro
6/25/2017
GRUPPO delle ROTAZIONI
Rotazione
Un gruppo é un insieme i cui
elementi sono operazioni di
trasformazione che possono
essere eseguite in sequenza
Prof. Pietro Fré
6/25/2017
Il prodotto di due elementi del
gruppo é......
La sequenza delle
due trasformazioni:
R1
A
R2
A
R3=R2R1
In genere il prodotto non
é commutativo
Prof. Pietro Fré
6/25/2017
Il GIOCO delle permutazioni: I semi delle carte da
gioco sono
4: li possiamo disporre in 24 modi....
Ordiniamoli nell’ordine di rango
Un qualsiasi altro dei 24 modi
diversi di disporli si ottiene da
quello iniziale con
un’operazione di permutazione
Il prodotto di due permutazioni è
la sequenza delle due
operazioni
L’insieme delle permutazioni di 4 oggetti forma un
GRUPPO con 24 elementi
Prof. Pietro Fré
6/25/2017
Perché GRUPPO?
perché é vero che:
1) Esiste l’elemento identità , cioé tra i 24 elementi c’e’
la permutazione E che lascia le cose come stanno.
2) Per ognuna P delle 24 permutazioni esiste tra le 24
l’elemento inverso , cioé una compagna P -1 che se
applicata dopo P rimette le cose a posto, come stavano
prima di far agire P . Si ha cioe’ P -1 P = E
3) Il prodotto di due qualunque di 24 elementi é uno fra
gli stessi 24 elementi.
4) La differenza tra questo gruppo e quello delle rotazioni é che quest’ultimo
ha un numero infinito e continuo di elementi
Prof. Pietro Fré
6/25/2017
IL GIOCO delle Rappresentazioni:
Torniamo alle permutazioni dei 4 semi delle carte ed
inventiamo il seguente gioco. Disponiamo in un modo
qualunque i quattro semi in uno schema a quattro caselle
della seguente forma:
ad esempio
oppure:
oppure,..... altri 24 modi !
Così avremmo creato 24 oggetti, ma ora stabiliamo delle
regole identificano alcuni tra di essi.
Prof. Pietro Fré
6/25/2017
LE REGOLE di identificazione
del gioco:
1) Regola del gioco: La seguente somma é nulla
-
+
-
=
0
2) Regola: Qualunque scambio sulla verticale, cambia il segno
Prof. Pietro Fré
= -
6/25/2017
=
Provare per credere....
Con le regole stabilite restano soltanto tre schemi
indipendenti.
A=
,
B=
,
C=
Qualunque altro dei 24 schemi si riduce a uno di questi
tre od ad una somma algebrica di questi tre usando le
due regole precedenti.
Prof. Pietro Fré
6/25/2017
Ora possiamo vedere che succede
ad A,B,C se agiamo su di loro con una
qualunque permutazione. Ad esempio......
=
Prof. Pietro Fré
6/25/2017
= A-B+C
=
Se chiamiamo P12 la permutazione che.....
che scambia i primi due oggetti, cioe’, partendo
dall’ordinamento per rango, le picche con le cuori
abbiamo trovato che:
P12 A=A-B+C
P12 B=-B
P12 C=-C
Prof. Pietro Fré
ed analogamente si trova che
La stessa cosa si può fare per ogni altra
delle 24 permutazioni P . L’immagine sotto
P di A,B,C è una qualche somma
algebrica degli stessi tre oggetti
6/25/2017
Chi ha capito questo gioco....
Ha capito che cos’e’ una rappresentazione lineare di dimensione
d. (=3 nel nostro caso) di un gruppo con N elementi
Si costruisce un insieme D i cui elementi sono combinazioni
lineari di d colori base. (A,B,C, nel nostro caso). Cioé :
elemento di D = a A + b B + c C (dove a,b,c sono numeri)
L’immagine sotto ogni trasformazione P del Gruppo di ogni
elemento di x dell’ insieme D é un altro elemento dell’nsieme di
maniera però che
P(x+ y)= P(x)+ P(y)
Prof. Pietro Fré
6/25/2017
Ogni gruppo ha varie
rappresentazioni diverse
Il gruppo delle permutazioni di quattro elementi
ha due rappresentazioni di dimensione uno, due di
dimensione tre (ne abbiamo costruita una !) ed
una di dimensione due
I gruppi infiniti e continui come il gruppo delle
rotazioni hanno infinite rappresentazioni di
dimensione che man mano cresce.
Il momento angolare é il codice che identifica le
varie rappresentazioni del gruppo delle rotazioni
Prof. Pietro Fré
6/25/2017
Trasformazioni di gauge e fibrati
Una sezione
del fibrato si
Ad ogni
punto dello
spazio di
base (=la
striscia) è
assegnato
un altro
spazio
(=l’orologio)
dà dicendo
che ora é in
ogni punto
dello spazio.
Punti vicini
hanno ore
prossime
(continuità)
Prof. Pietro Fré
6/25/2017
Fibrati, Trasporto Parallelo,
Campi di Gauge....
La striscia di Mobius offre
un’esemplificazione del concetto di
fibrato
Il vettore normale trasportato
parallelamente a se stesso lungo la
striscia ritorna al punto di partenza
ruotato rispetto alla direzione che aveva
in partenza.
In una teoria di gauge il campo
fondamentale A è una connessione su
un fibrato, una regola cioè per scrivere
la derivata covariante.
Prof. Pietro Fré
6/25/2017
Lucidi.ps 1-3
GLI ISTANTONI: Il più
semplice esempio
Si consideri un modello di Meccanica
Quantistica in una dimensione con un
potenziale periodico. Ad esempio:
Vq 1 Cosq
q=2
Vogliamo calcolare l’Ampiezza di
Transizione dallo stato q=0 al
tempo t= -allo stato q=2al
tempo t=
S e q
A D q exp
q=0
Integrale di Cammino.Si somma su tutte le traiettorie con estremi fissi
Prof. Pietro Fré
6/25/2017
Ed ora una pausa Istantonica
Consideriamo ora le
VEDI Lucidi.ps 10-15
Prof. Pietro Fré
6/25/2017
principali strutture
concettuali della moderna
TEORIA UNIFICATA.
Cominceremo con un
rapido sguardo agli
istantoni.
Ve ne sono di Yang-Mills,
ma anche gravitazionali
Finalmente la supersimmetria...
Come abbiamo detto la supersimmetria scambia
bosoni e fermioni. Che significa?
Vuol dire che esiste un operatore Q (la carica di
supersimmetria) che applicato ad uno stato
contenente sia bosoni che fermioni distrugge un
bosone e crea un fermione.
Q
Prof. Pietro Fré
Fermione
Bosone
6/25/2017
Q
C’é anche la carica coniugata
Inoltre esiste un operatore Q+ (la carica di
supersimmetria coniugata) che applicato ad uno
stato contenente sia bosoni che fermioni fa
l’opposto, cioé distrugge un fermione e crea un
fermione.
Q+
Bosone
Prof. Pietro Fré
Fermione
6/25/2017
+
Q
Su di un generico stato si ha.....
Q Q stato 0 ; Q Q stato 0
mentre
Q Q stato Q Q stato = Estato stato
Dove Estato é l’energia dello stato e, per costruzione l’immagine
di uno stato sotto Q o
Q stato stato
Q+ é un altro stato/:
e la somma di due stati é uno stato
Q stato stato
Prof. Pietro Fré
6/25/2017
Nello stesso modo..........
Se abbiamo un sistema di bosoni e fermioni
Uno stato del sistema può essere descritto da
stato a1 n1b n1f a2 nb2 n 2f ak nbk n kf
dove ai sono numeri complessi e nbi n if
i
nb
i
nf
Prof. Pietro Fré
=
6/25/2017
=è
uno stato puro :
E dove ni ed ni sono
b
f
i numeri di occupazione, bosonico e
fermionico, rispettivamente. I loro
valori possibili sono:
i
nb =0,1,2,3, .......,
mentre
i
n f =0,1
Perché l’albergo dei fermioni ha solo
!!!!
camere singole
Prof. Pietro Fré
6/25/2017
Che fa dunque la supersimmetria?
Q
=
......
Distrugge un bosone e crea
un fermione, ma se la
stanza fermionica é già
occupata, dà zero
......
Q
Prof. Pietro Fré
......
=
6/25/2017
0
L’anticarica fa l’opposto:
+
Q
......
=
+
Q
......
=
=
Prof. Pietro Fré
0
Distrugge un fermione e
crea un bosone, ma se la
stanza fermionica é già
vuota, dà zero
......
6/25/2017
Supponiamo ora che ...........
ogni bosone porti un quanto di energia
B
B
ed ogni fermione porti un quanto di
energia
F
Allora, l’energia totale di uno stato
sarà
F
E=
B nB+
F n
F
Nel caso in cui i due quanti fermionico e bosonico siano
uguali avviene che............
Prof. Pietro Fré
6/25/2017
Il sistema é supersimmetrico
perché se uno stato
anche lo stato
Q
E, allora
stato
ha energia
stato
ha la stessa energia.
Togliere un bosone e rimpiazzarlo con un fermione non
cambia il valore dell’energia totale.
Questa verità può essere detta in un modo più
matematico, scrivendo una superalgebra!
Possiamo facilmente inventare un operatore che misura
l’energia, come segue
Prof. Pietro Fré
6/25/2017
L’hamiltoniana ha un modo cruento di
misurare l’energia:
L’operatore H, misura l’energia così.
Uno alla volta uccide tutti i bosoni, prende il loro quanto di energia e
poi, prima di uccidere il prossimo ricrea il bosone appena ucciso.
Indi fa la stessa cosa con i fermioni. L’unica differenza é che in
ogni camera fermionica trova o nessuno od un solo fermione.
H
Un altro
quanto di
energia
nel sacco!
Prof. Pietro Fré
...............
6/25/2017
A questo punto vediamo che
Tutto quello che abbiamo discusso fin ora può
riassumersi in relazioni algebriche tra gli operatori
2
Q (Q ) 0
2
QQ Q Q H
QH HQ 0
Q H HQ 0
Prof. Pietro Fré
E’ questa nella sua forma più
semplice la superalgebra di
supersimmetria. L’idea fondamentale
é che nei sistemi supersimmetrici
bosoni e fermioni hanno la stessa
energia (o massa). La distinzione di
ruolo dinamico tra materia e campi di
forza scompare. Riappare quando la
supersimmetria é spontaneamente
rotta
6/25/2017
La Relatività generale é parte
cruciale della teoria unificata
La Relatività
generale, dopo
80 di vita gode di
eccellente salute.
Essa descrive il
campo
gravitazionale a
scale non
microscopiche
ed emerge
sempre come
parte della
lagrangiana di
basse energie
della Teoria delle
corde o p-brane:
La
SUPERGRAVITA’
Prof. Pietro Fré
6/25/2017
Storia della SuperCorda:L’ETA’
POSTMODERNA 1994--???
Con il lavoro di Seiberg Witten del 1994
ed i successivi sviluppi sulla Dualità S T U
entriamo nella quarta era della SuperCorda.
Ma è ancora una corda o é una p-brana ?
O sono tante p-brane?
Una Nuova Democrazia:
La Democrazia delle brane
Prof. Pietro Fré
6/25/2017
Corde o p-Brane?
Nell’età postmoderna
delle supercorde
le corde sono sullo
stesso piano
con altri oggetti estesi
e questo per una
generalizzazione della
dualità elettricomagnetica di Dirac!
Prof. Pietro Fré
6/25/2017
TUTTOSCIENZE 19 Luglio 1995
La S-T-U dualità è sulla STAMPA
Che cosa e' avvenuto
negli ultimi mesi per
produrre una scarica di
adrenalina nelle vene della
comunita' scientifica dedita
a questo tipo di studi? E
che cosa sono le dualita' e
le simmetrie speculari?
Per capirlo conviene rifarci
a una storiella che quasi
tutti i fisici conoscono Un
signore rientra tardi la sera
Prof. Pietro Fré
e ne trova un altro che cerca affannosamente
sotto un lampione le chiavi di casa,
cadutegli di mano. Il primo signore si offre di
aiutare il secondo nella sua ricerca e, dopo
dieci minuti di vani tentativi, gli chiede se e'
ben sicuro di aver perso le chiavi
precisamente in quel luogo. La risposta e' no.
®Allora perche' le cerca proprio qui?
chiede il primo. ®Perche' qui c'e' luce!
risponde il secondo. Le chiavi perse sono da
identificarsi con la soluzione esatta di un
problema dinamico; la luce del lampione
e', invece, la teoria delle perturbazioni
che i fisici usano costantemente la' dove le
soluzioni esatte non sono disponibili, cioe'
nel novantacinque per cento dei casi.
6/25/2017
Pietro Fré SISSA, Trieste
Le idee guida
nell’ Anno di grazia 1997
Basse Energie
A basse energie le interazioni
fondamentali sono descritte da teorie di
gauge per campi puntiformi
I bosoni di gauge sono i mediatori
delle forze
I campi di materia sono in
rappresentazioni opportune del gruppo
di Gauge
Le teorie di gauge a bassa energia sono
chirali, ma le anomalie devono
cancellarsi
Le Teorie di Gauge non abeliane sono
non lineari. Perciò vi sono effetti non
perturbativi: monopoli, istantoni,
Alte Energie
confinamento dei quarks
Prof. Pietro Fré
6/25/2017
La teoria fondamentale è una teoria
di oggetti estesi
Lo spazio tempo ha dimensioni più
elevate. D > 4
Le extra dimensioni DE=D-4 sono
compattificate su varietà opportune
(Kaluza--Klein)
La teoria fondamentale è
supersimmetrica sia nello spazio
tempo che sul volume di mondo
Lo spettro non perturbativo unifica
tutte le teorie. Per DUALITA’, i
vari modelli sono facce diverse di
un unica superteoria quantistica
Le cinque teorie di corda in D=10 e la
M Theory in D=11 sono diverse facce della stessa
teoria
M theory
D=11
D=10
Type II B
Type II A
Heterotic SO(32)
Heterotic E8xE8
D=9
Prof. Pietro Fré
6/25/2017
Type I SO(32)
