Colloquium
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S-T-U 1968-1997 Trent’anni di Fisica Teorica in una Sigla Prof. Pietro Fré 6/25/2017 Unificazione delle interazioni fondamentali: l’evoluzione della Teoria negli ultimi 30 Anni Le idee su cui si fonda la rappresentazione teorica dell’Universo Fisico e la descrizione delle sue leggi fondamentali sono cambiate profondamente dal 1965 ad oggi, ma seguendo un percorso logico quasi obbligato Prof. Pietro Fré 6/25/2017 La Preistoria: Anni 1960-1968 B C In questa decade q A q2 p1 la matrice S era sovrana. p2 D Stupiti dalla ricchezza dello spettro adronico i fisici pensavano che le interazioni forti richiedessero Principi Totalmente Nuovi per descriverne la dinamica. LA TEORIA dei CAMPI era divenuta OBSOLETA e si studiava la matrice S per se! Prof. Pietro Fré 6/25/2017 STU e Dualità negli anni ‘60 La sigla S-T-U era interpretata da chiunque come indicante: S le variabili di Mandelstam t = cioè i 3 invarianti di Lorentz che si possono costruire con i quattro quadri impulsi che entrano in un diagramma di Le risonanze nei canali s e t scattering sono le stesse Si cercava di costruire le ampiezze di scattering, usando Analiticità, Relazioni di Dispersione e poi DUALITA’ Vediamo.... Prof. Pietro Fré 6/25/2017 Storia delle SuperCorde: L’EVO ANTICO. 1969-75 Nel 1968 Gabriele Veneziano introduce un’ampiezza di diffusione duale Nel 1970-71 Fubini e Veneziano introducono il formalismo operatoriale per la fattorizzazione delle ampiezze ad N-punti Nel 1970-71 nasce l’interpretazione come Corda Relativistica (Nambu, Rebbi) Nel 1969-70 Gliozzi scopre l’invarianza proiettiva e Virasoro la generalizza all’algebra di Virasoro. Nel 1971 si scopre la dimesnione critica per il disaccoppiamento dei ghost. Corda bosonica D=26 Nel 1971-1972 Neveu--Schwarz e Ramond introducono le corde fermioniche e per la prima volta scrivono un’algebra di supersimmetria. E’ l’estensione dell’algebra di Virasoro. Le corde fermioniche hanno dimensione critica D=10 DURANTE L’EVO ANTICO delle Corde = Teoria degli adroni si risveglia la Teoria dei Campi. Prof. Pietro Fré 6/25/2017 Che cos’é una stringa relativistica? S = g X X g X Prof. Pietro Fré 6/25/2017 Una particella puntiforme che si muove nello spazio tempo spazza una linea di mondo Invece un laccio spazza una superficie bidimensionale L’azione della stringa é l’area spazzata Per scrivere tale azione dobbiamo introdurre 1) la funzione di immersione: X( 2) la metrica sulla superficie bidimensionale g( 3) la metrica dello spazio ambiente g(X) Storia delle SuperCorde: L’EVO MEDIO 1976-84 Il Medio Evo delle Corde corrisponde alla Rinascita della Teoria dei Campi Nel 1971 ‘t Hooft aveva rinormalizzato le Teorie di Yang--Mills, rendendole quantisticamente consistenti e predittive. Negli anni 1975-1980 a seguito di molti esperimenti (a cominciare dai risultati sugli alti momenti trasversi) diventa evidente che il modello a Quarks e la QCD (Teoria di gauge del gruppo SU(3) sono la giusta teoria degli adroni. DEMOCRAZIA NUCLEARE, APPROCCIO di MATRICE S, bye bye!! Nel 1975 Becchi Rouet, Stora e Tyutin perfezionano la struttura formale delle Teorie di Campo con invarianze di gauge. (Fondamentale idea per tutti gli sviluppi futuri) Nel 1974 Wess e Zumino introducono le Teorie di Campo supersimmetriche in D=4. Nel 1976 grazie a Ferrara, Freedman e van Nieuwenhuizen, nasce la SUPERGRAVITA’: cioè l’estensione supersimmetrica della Relatività generale. Nel 1977-1978, ‘t Hooft e Polyakov scoprono e studiano gli ISTANTONI ed i MONOPOLI MAGNETICI non abeliani. E’ l’inizio della FISICA non PERTURBATIVA Prof. Pietro Fré 6/25/2017 L’Evo Medio delle Corde è El SIGLO de ORO della SUPERGRAVITA’ Negli anni 1976 - 1984 la teoria della Supergravità viene sviluppata (a livello classico) in tutte le direzioni. Si costruiscono le lagrangiane per tutti i valori di N = numero di generatori di supersimmetria si scopre che Ma anche in tutte le dimensioni D e si scopre che Dmax= Nmax=8 11. Si costruiscono tutti gli accoppiamenti della supergravità a tutti i possibili tipi di materia e si scopre che i campi scalari stanno sempre in modelli sigma non lineari con speciali gruppi di isometria: HIDDEN SYMMETRIES Prof. Pietro Fré 6/25/2017 La Supersimmetria unifica la legge di Newton con la teoria dell’atomo. D =11 Modello Sigma? Il campo del modello sigma è una mappa: : MD MT L’azione classica é: S gij i j g d Dx Un modello sigma è una teoria di campi scalari ix in uno spazio tempo MD di dimensione D dove ix sono interpretati come coordinate di un’altra varietà (detta bersaglio) MT di diversa dimensione L’interazione dei campi scalari é determinata dalla metrica sulla varietà bersaglio. Il gruppo di ISOMETRIA di MT è la Simmetria Prof. Pietro Fré 6/25/2017 Storia delle SuperCorde: L’ETA’ MODERNA 1984-94 Vi è sempre un precursore nei RINASCIMENTI. Nel 1977 -1978 Gliozzi, Olive e Scherck mostrarono che la supercorda in D=10 può essere resa supersimmetrica nello spazio tempo, ed ha come Teoria Efficace la Supergravità D=10. Nell’ultima metà degli anni 1970 Scherck e Schwarz, avevano proposto che le corde, anzichè Teorie degli adroni fossero interpretate come teorie delle interazioni fondamentali (anche gravitazionali). 1984 E’ il RINASCIMENTO delle Supercorde. Cancellazione delle Anomalie (Green e Schwarz) si predice il gruppo di gauge: E8 x E8 oppure SO(32) 1985 Nasce la stringa eterotica. Puo’ essere chirale, vive in D=10 ha un gruppo di gauge realistico 1985 Si introducono le compattifcazioni su varietà di Calabi--Yau. ed uno spettro quasi realistico. SI PARLA di T.O.E. Prof. Pietro Fré 6/25/2017 Si ha N=1 in D=4 Un’idea antica: Kaluza-Klein Per interpretare fisicamente una teoria in dimensioni spazio temporali >4 la si compattifica: Compattificazione Extra dimensioni spaziali Spazio Rn Tempo Prof. Pietro Fré Le n dimensioni spaziali che eccedono le tre fisiche, corrispondono a quelle di una varietà compatta, anzichè di 6/25/2017 La T Dualità Una conseguenza della natura estesa delle corde e della presenza di dimensioni compattificate! Vediamolo..... Prof. Pietro Fré 6/25/2017 INTANTO: Trionfa il Modello Standard Mentre avvengono questi fatti sul fronte della corda La Teoria dei Campi trionfa nella fenomenologia con Verifica sperimentale del Modello Standard Nel 1983 si scoprono le particelle W e Z e poi al LEP si hanno verifiche sempre più impressionanti Prof. Pietro Fré 1983 1996 Il Gruppo di Gauge é : SU(3)C x SU(2)W x U(1)Y vi sono 3 famiglie fermioniche di Quark e Leptoni La simmetria è rotta spontaneamente, ma il campo di Higgs ancora non si trova 6/25/2017 1996: Il modello standard é completo... Nel 1996, l’ultimo quark, il top, necessario a completare lo spettro ( a 3 famiglie) del modello standard è stato rivelato sperimentalmente. Se ne é accorta anche LA STAMPA Prof. Pietro Fré 6/25/2017 Dall’articolo di Tullio Regge su TUTTOSCIENZE 1996 E' di questi giorni la conferma della scoperta del quark Top. Vediamo di chiarire il significato della scoperta. Il modello standard delle particelle elementari ha oggi all'incirca la stessa funzione e complessita' che ebbe a suo tempo il sistema periodico degli elementi di Mendeleiev. Ambedue sono basati su poco meno di un centinaio di componenti elementari che variamente combinati rendono conto di tuttigli aspetti della materia qual e' o era nota al momento in cui il modello e' apparso. Il modello standard descrive tuttavia processi fisici che si svolgono su di una scala di energie che e' circa un trilione di volte quella caratteristica della chimica del secolo scorso e contiene il sistema periodico come un piccolo frammento della visione di insieme che da esso deriva........... Prof. Pietro Fré 6/25/2017 ...........Alla base del modello stanno concetti profondi di simmetria nel mondo delle particelle elementari, ma il modello e' ancora ben lungi dal mostrarci questa simmetria nel suo fulgore e contiene ancora troppe ipotesi che al momento paiono arbitrarie. I fisici hanno ancora molto da fare prima di giungere a una sintesi che sia esteticamente soddisfacente. TullioRegge Politecnico di Torino Quali sono le carte con cui si gioca alla FISICA delle PARTICELLE nel MODELLO STANDARD Particella Simmetria Tipo di particella Spin Supersimmetria Opzione amata dai fenomenologi Prof. Pietro Fré Campo quantistico Gruppo e sua Algebra Rappresentazione del gruppo e dell’algebra Rappresentazione del gruppo delle rotazioni Superalgebra Vediamo lo spettro 6/25/2017 GRUPPO delle ROTAZIONI Rotazione Un gruppo é un insieme i cui elementi sono operazioni di trasformazione che possono essere eseguite in sequenza Prof. Pietro Fré 6/25/2017 Il prodotto di due elementi del gruppo é...... La sequenza delle due trasformazioni: R1 A R2 A R3=R2R1 In genere il prodotto non é commutativo Prof. Pietro Fré 6/25/2017 Il GIOCO delle permutazioni: I semi delle carte da gioco sono 4: li possiamo disporre in 24 modi.... Ordiniamoli nell’ordine di rango Un qualsiasi altro dei 24 modi diversi di disporli si ottiene da quello iniziale con un’operazione di permutazione Il prodotto di due permutazioni è la sequenza delle due operazioni L’insieme delle permutazioni di 4 oggetti forma un GRUPPO con 24 elementi Prof. Pietro Fré 6/25/2017 Perché GRUPPO? perché é vero che: 1) Esiste l’elemento identità , cioé tra i 24 elementi c’e’ la permutazione E che lascia le cose come stanno. 2) Per ognuna P delle 24 permutazioni esiste tra le 24 l’elemento inverso , cioé una compagna P -1 che se applicata dopo P rimette le cose a posto, come stavano prima di far agire P . Si ha cioe’ P -1 P = E 3) Il prodotto di due qualunque di 24 elementi é uno fra gli stessi 24 elementi. 4) La differenza tra questo gruppo e quello delle rotazioni é che quest’ultimo ha un numero infinito e continuo di elementi Prof. Pietro Fré 6/25/2017 IL GIOCO delle Rappresentazioni: Torniamo alle permutazioni dei 4 semi delle carte ed inventiamo il seguente gioco. Disponiamo in un modo qualunque i quattro semi in uno schema a quattro caselle della seguente forma: ad esempio oppure: oppure,..... altri 24 modi ! Così avremmo creato 24 oggetti, ma ora stabiliamo delle regole identificano alcuni tra di essi. Prof. Pietro Fré 6/25/2017 LE REGOLE di identificazione del gioco: 1) Regola del gioco: La seguente somma é nulla - + - = 0 2) Regola: Qualunque scambio sulla verticale, cambia il segno Prof. Pietro Fré = - 6/25/2017 = Provare per credere.... Con le regole stabilite restano soltanto tre schemi indipendenti. A= , B= , C= Qualunque altro dei 24 schemi si riduce a uno di questi tre od ad una somma algebrica di questi tre usando le due regole precedenti. Prof. Pietro Fré 6/25/2017 Ora possiamo vedere che succede ad A,B,C se agiamo su di loro con una qualunque permutazione. Ad esempio...... = Prof. Pietro Fré 6/25/2017 = A-B+C = Se chiamiamo P12 la permutazione che..... che scambia i primi due oggetti, cioe’, partendo dall’ordinamento per rango, le picche con le cuori abbiamo trovato che: P12 A=A-B+C P12 B=-B P12 C=-C Prof. Pietro Fré ed analogamente si trova che La stessa cosa si può fare per ogni altra delle 24 permutazioni P . L’immagine sotto P di A,B,C è una qualche somma algebrica degli stessi tre oggetti 6/25/2017 Chi ha capito questo gioco.... Ha capito che cos’e’ una rappresentazione lineare di dimensione d. (=3 nel nostro caso) di un gruppo con N elementi Si costruisce un insieme D i cui elementi sono combinazioni lineari di d colori base. (A,B,C, nel nostro caso). Cioé : elemento di D = a A + b B + c C (dove a,b,c sono numeri) L’immagine sotto ogni trasformazione P del Gruppo di ogni elemento di x dell’ insieme D é un altro elemento dell’nsieme di maniera però che P(x+ y)= P(x)+ P(y) Prof. Pietro Fré 6/25/2017 Ogni gruppo ha varie rappresentazioni diverse Il gruppo delle permutazioni di quattro elementi ha due rappresentazioni di dimensione uno, due di dimensione tre (ne abbiamo costruita una !) ed una di dimensione due I gruppi infiniti e continui come il gruppo delle rotazioni hanno infinite rappresentazioni di dimensione che man mano cresce. Il momento angolare é il codice che identifica le varie rappresentazioni del gruppo delle rotazioni Prof. Pietro Fré 6/25/2017 Trasformazioni di gauge e fibrati Una sezione del fibrato si Ad ogni punto dello spazio di base (=la striscia) è assegnato un altro spazio (=l’orologio) dà dicendo che ora é in ogni punto dello spazio. Punti vicini hanno ore prossime (continuità) Prof. Pietro Fré 6/25/2017 Fibrati, Trasporto Parallelo, Campi di Gauge.... La striscia di Mobius offre un’esemplificazione del concetto di fibrato Il vettore normale trasportato parallelamente a se stesso lungo la striscia ritorna al punto di partenza ruotato rispetto alla direzione che aveva in partenza. In una teoria di gauge il campo fondamentale A è una connessione su un fibrato, una regola cioè per scrivere la derivata covariante. Prof. Pietro Fré 6/25/2017 Lucidi.ps 1-3 GLI ISTANTONI: Il più semplice esempio Si consideri un modello di Meccanica Quantistica in una dimensione con un potenziale periodico. Ad esempio: Vq 1 Cosq q=2 Vogliamo calcolare l’Ampiezza di Transizione dallo stato q=0 al tempo t= -allo stato q=2al tempo t= S e q A D q exp q=0 Integrale di Cammino.Si somma su tutte le traiettorie con estremi fissi Prof. Pietro Fré 6/25/2017 Ed ora una pausa Istantonica Consideriamo ora le VEDI Lucidi.ps 10-15 Prof. Pietro Fré 6/25/2017 principali strutture concettuali della moderna TEORIA UNIFICATA. Cominceremo con un rapido sguardo agli istantoni. Ve ne sono di Yang-Mills, ma anche gravitazionali Finalmente la supersimmetria... Come abbiamo detto la supersimmetria scambia bosoni e fermioni. Che significa? Vuol dire che esiste un operatore Q (la carica di supersimmetria) che applicato ad uno stato contenente sia bosoni che fermioni distrugge un bosone e crea un fermione. Q Prof. Pietro Fré Fermione Bosone 6/25/2017 Q C’é anche la carica coniugata Inoltre esiste un operatore Q+ (la carica di supersimmetria coniugata) che applicato ad uno stato contenente sia bosoni che fermioni fa l’opposto, cioé distrugge un fermione e crea un fermione. Q+ Bosone Prof. Pietro Fré Fermione 6/25/2017 + Q Su di un generico stato si ha..... Q Q stato 0 ; Q Q stato 0 mentre Q Q stato Q Q stato = Estato stato Dove Estato é l’energia dello stato e, per costruzione l’immagine di uno stato sotto Q o Q stato stato Q+ é un altro stato/: e la somma di due stati é uno stato Q stato stato Prof. Pietro Fré 6/25/2017 Nello stesso modo.......... Se abbiamo un sistema di bosoni e fermioni Uno stato del sistema può essere descritto da stato a1 n1b n1f a2 nb2 n 2f ak nbk n kf dove ai sono numeri complessi e nbi n if i nb i nf Prof. Pietro Fré = 6/25/2017 =è uno stato puro : E dove ni ed ni sono b f i numeri di occupazione, bosonico e fermionico, rispettivamente. I loro valori possibili sono: i nb =0,1,2,3, ......., mentre i n f =0,1 Perché l’albergo dei fermioni ha solo !!!! camere singole Prof. Pietro Fré 6/25/2017 Che fa dunque la supersimmetria? Q = ...... Distrugge un bosone e crea un fermione, ma se la stanza fermionica é già occupata, dà zero ...... Q Prof. Pietro Fré ...... = 6/25/2017 0 L’anticarica fa l’opposto: + Q ...... = + Q ...... = = Prof. Pietro Fré 0 Distrugge un fermione e crea un bosone, ma se la stanza fermionica é già vuota, dà zero ...... 6/25/2017 Supponiamo ora che ........... ogni bosone porti un quanto di energia B B ed ogni fermione porti un quanto di energia F Allora, l’energia totale di uno stato sarà F E= B nB+ F n F Nel caso in cui i due quanti fermionico e bosonico siano uguali avviene che............ Prof. Pietro Fré 6/25/2017 Il sistema é supersimmetrico perché se uno stato anche lo stato Q E, allora stato ha energia stato ha la stessa energia. Togliere un bosone e rimpiazzarlo con un fermione non cambia il valore dell’energia totale. Questa verità può essere detta in un modo più matematico, scrivendo una superalgebra! Possiamo facilmente inventare un operatore che misura l’energia, come segue Prof. Pietro Fré 6/25/2017 L’hamiltoniana ha un modo cruento di misurare l’energia: L’operatore H, misura l’energia così. Uno alla volta uccide tutti i bosoni, prende il loro quanto di energia e poi, prima di uccidere il prossimo ricrea il bosone appena ucciso. Indi fa la stessa cosa con i fermioni. L’unica differenza é che in ogni camera fermionica trova o nessuno od un solo fermione. H Un altro quanto di energia nel sacco! Prof. Pietro Fré ............... 6/25/2017 A questo punto vediamo che Tutto quello che abbiamo discusso fin ora può riassumersi in relazioni algebriche tra gli operatori 2 Q (Q ) 0 2 QQ Q Q H QH HQ 0 Q H HQ 0 Prof. Pietro Fré E’ questa nella sua forma più semplice la superalgebra di supersimmetria. L’idea fondamentale é che nei sistemi supersimmetrici bosoni e fermioni hanno la stessa energia (o massa). La distinzione di ruolo dinamico tra materia e campi di forza scompare. Riappare quando la supersimmetria é spontaneamente rotta 6/25/2017 La Relatività generale é parte cruciale della teoria unificata La Relatività generale, dopo 80 di vita gode di eccellente salute. Essa descrive il campo gravitazionale a scale non microscopiche ed emerge sempre come parte della lagrangiana di basse energie della Teoria delle corde o p-brane: La SUPERGRAVITA’ Prof. Pietro Fré 6/25/2017 Storia della SuperCorda:L’ETA’ POSTMODERNA 1994--??? Con il lavoro di Seiberg Witten del 1994 ed i successivi sviluppi sulla Dualità S T U entriamo nella quarta era della SuperCorda. Ma è ancora una corda o é una p-brana ? O sono tante p-brane? Una Nuova Democrazia: La Democrazia delle brane Prof. Pietro Fré 6/25/2017 Corde o p-Brane? Nell’età postmoderna delle supercorde le corde sono sullo stesso piano con altri oggetti estesi e questo per una generalizzazione della dualità elettricomagnetica di Dirac! Prof. Pietro Fré 6/25/2017 TUTTOSCIENZE 19 Luglio 1995 La S-T-U dualità è sulla STAMPA Che cosa e' avvenuto negli ultimi mesi per produrre una scarica di adrenalina nelle vene della comunita' scientifica dedita a questo tipo di studi? E che cosa sono le dualita' e le simmetrie speculari? Per capirlo conviene rifarci a una storiella che quasi tutti i fisici conoscono Un signore rientra tardi la sera Prof. Pietro Fré e ne trova un altro che cerca affannosamente sotto un lampione le chiavi di casa, cadutegli di mano. Il primo signore si offre di aiutare il secondo nella sua ricerca e, dopo dieci minuti di vani tentativi, gli chiede se e' ben sicuro di aver perso le chiavi precisamente in quel luogo. La risposta e' no. ®Allora perche' le cerca proprio qui? chiede il primo. ®Perche' qui c'e' luce! risponde il secondo. Le chiavi perse sono da identificarsi con la soluzione esatta di un problema dinamico; la luce del lampione e', invece, la teoria delle perturbazioni che i fisici usano costantemente la' dove le soluzioni esatte non sono disponibili, cioe' nel novantacinque per cento dei casi. 6/25/2017 Pietro Fré SISSA, Trieste Le idee guida nell’ Anno di grazia 1997 Basse Energie A basse energie le interazioni fondamentali sono descritte da teorie di gauge per campi puntiformi I bosoni di gauge sono i mediatori delle forze I campi di materia sono in rappresentazioni opportune del gruppo di Gauge Le teorie di gauge a bassa energia sono chirali, ma le anomalie devono cancellarsi Le Teorie di Gauge non abeliane sono non lineari. Perciò vi sono effetti non perturbativi: monopoli, istantoni, Alte Energie confinamento dei quarks Prof. Pietro Fré 6/25/2017 La teoria fondamentale è una teoria di oggetti estesi Lo spazio tempo ha dimensioni più elevate. D > 4 Le extra dimensioni DE=D-4 sono compattificate su varietà opportune (Kaluza--Klein) La teoria fondamentale è supersimmetrica sia nello spazio tempo che sul volume di mondo Lo spettro non perturbativo unifica tutte le teorie. Per DUALITA’, i vari modelli sono facce diverse di un unica superteoria quantistica Le cinque teorie di corda in D=10 e la M Theory in D=11 sono diverse facce della stessa teoria M theory D=11 D=10 Type II B Type II A Heterotic SO(32) Heterotic E8xE8 D=9 Prof. Pietro Fré 6/25/2017 Type I SO(32)
