Corso di Sicurezza – A.A. 2006/07
Elgamal
Angeli Fabio
29/05/2007
Caratteristiche
• Descritto da Taher Elgamal nel 1984.
• Sistema di cifratura a chiave pubblica.
• Asimettrico (utilizza chiavi diverse per
codifica e decodifica).
• Sicurezza basata sul problema di DiffieHellman il quale a sua volta basa la
propria sicurezza sulla complessità
computazionale del calcolo del logaritmo
discreto.
Aritmetica Finita (1)
Si definisce aritmetica finita un'aritmetica che
opera su un insieme limitato di numeri. È detta
anche aritmetica modulare o circolare, in quanto
una volta raggiunto l'ultimo numero si ricomincia
dal primo.
In generale un'aritmetica finita modulo m si basa
sull'insieme {0,1,2...m-1}; questi numeri possono
anche vedersi come i possibili resti di una
divisione per m.
Esempio: in modulo 24 , 11*3 = 9 perchè 11*3 = 33
e 33 mod 24 = 9.
Aritmetica Finita (2)
• Z l'insieme dei numeri interi.
• Zp l'insieme dei numeri interi tra 0 e p-1
compresi, ovvero l'insieme {0, …, p-1}.
• Z*p il sottoinsieme di Zp comprendente solo i
numeri primi rispetto a p. Se p è un numero primo
allora Z*p={0, …, p-1}.
• g si dice elemento generatore di un campo se
partendo da g si possono ottenere tutti i suoi
elementi.Esempio: Z7 generabile a partire da 3
oppure da 5.
31=3 32=2 33=6 34=4 35=5 36=1
Logaritmo Discreto (1)
In aritmetica finita, la potenza di un numero
si definisce come:
ab = x mod n
e come per l'aritmetica ordinaria possiamo
stabilire un'operazione inversa rispetto
all'esponente, cioè il logaritmo discreto:
b = loga x mod n
Logaritmo Discreto (2)
Se il calcolo della potenza è semplice, il calcolo del
logaritmo è computazionalmente molto complesso, può
avere più soluzioni o anche nessuna. Ad esempio in
un'aritmetica di ordine 7 si avrebbe:
20 = 1
21 = 2
22 = 4
23 = 1
24 = 2
25 = 4
26 = 1
perciò se prendiamo il log2 4 è 2 ma anche 5, non esistono
però log2 3, log2 5, log2 6.
Anche se non è stato ancora dimostrato, si pensa che la
difficoltà computazionale del logaritmo discreto è dello
stesso ordine di quella della fattorizzazione.
Diffie-Hellman (1)
Descritto da Whitfield Diffie e Martin
Hellman nel 1976.
Il protocollo di Diffie-Hellman permette a due
interlocutori che non hanno mai avuto
nessun precedente contatto di accordarsi su
una chiave segreta utilizzando un canale
pubblico.
Diffie-Hellman (2)
1. Bob e Alice si accordano pubblicamente su un
numero primo p e su un numero g che sia
elemento generatore di Z*p.
2. Alice sceglie un numero a tale che 0 < a < p-1,
calcola A = ga mod p e lo manda a Bob.
3. Bob sceglie un numero b tale che 0 < b < p-1,
calcola B = gb mod p e lo manda ad Alice.
4. La chiave segreta è K = gab mod p: Alice può
calcolarla come K = Ba mod p, mentre Bob può
calcolarla come K = Ab mod p.
Diffie-Hellman (3)
Diffie-Hellman (4)
La sicurezza del protocollo si basa sul fatto che un
estraneo non possa calcolare K partendo da ciò che
viaggia in chiaro sulla rete: g, p, A, B. Essendo:
A = ga mod p e B = gb mod p
Ricavare a o b equivale a saper risolvere il problema del
logaritmo discreto infatti:
a = logg A mod p e b = logg B mod p
Così com'è, ovvero senza alcuna forma di autenticazione
come ad esempio dei certificati, è però soggetto ad un
attacco di tipo man-in-the-middle.
Elgamal (1)
Ricevente
Sceglie:
• Un grosso numero primo p.
• g generatore di Z*p .
• b numero casuale.
Chiave pubblica del ricevente: (B, p, g) dove
B = gb mod p.
Chiave privata del ricevente: (b).
Elgamal (2)
Mittente
Sceglie k numero casuale tale che 0 < k < p.
Costruisce la chiave K = Bk mod p.
Crittogramma C = (C1,C2) dove:
C1 = gk mod p.
C2 = K * m mod p (m è il messaggio da
cifrare).
Elgamal (3)
Ricevente
Ricava K da C1:
K = Bk mod p = gkb mod p = C1b mod p.
Recupera m da C2:
m = K-1 * C2 mod p.
Per fare tutto in un’unica espressione:
m = C1-b*C2(ricordandosi che C1-b = C1p-1-b)
Elgamal (4)
• p è raccomandato essere almeno di 768 bit, e
per sicurezza a lungo termine l’uso di 1024 bit.
• Il generatore g del gruppo moltiplicativo Z*p
appartiene al campo di Galois GF(p), cioè il campo
degli interi modulo p, con p numero primo, ma può
appartenere ad altri gruppi definiti su altri campi,
come i polinomi GF(2m), come il campo dei punti
appartenenti a curve ellittiche oppure alle funzioni
Lucas (polinomi speciali nel campo intero).
Elgamal (4)
Esempio con numeri piccoli:
Generazione delle chiavi: il ricevente sceglie il numero
primo p = 2357, il generatore di Z*2357 g = 2, la chiave
privata b = 1751 e calcola:
B = gb mod p = 21751 mod 2357 = 1185.
Criptazione: per criptare il messaggio m = 2035, il mittente
sceglie il numero casuale k = 1520 e calcola:
C1 = gk mod p = 21520 mod 2357 = 1430.
C2 = m * K mod p = 2035 * 11851520 mod 2357 = 697.
Decriptazione: Il ricevente calcola:
C1-b = C1p−1−b = 1430605 mod 2357 = 872.
m = C1-b * C2 = 872 * 697 mod 2357 = 2035.
Elgamal (5)
Pro:
• Utilizzando un numero k casuale ogni volta anche
crittografando lo stesso messaggio più volte si ottengono
crittogrammi diversi.
Contro:
• Lento (rispetto ad RSA) 2 esponenziali per criptare ed
uno per decriptare.
• Crittogramma di lunghezza doppia.
• Elgamal è malleabile: ad esempio dato un crittogramma
(C1,C2) corrispondente al messaggio m, è possibile
costruire facilmente un crittogramma (C1, 2 * C2)
corrispondente al messaggio 2 * m. (Soluzione utilizzare
Cramer-Shoup)
Cramer-Shoup
• Descritto da Ronald Cramer e Victor Shoup nel
1998.
• Algoritmo a chiave pubblica asimettrico.
• E’ un estensione di Elgamal.
• Al contrario di Elgamal non è malleabile grazie
all’utilizzo di una funzione hash resistente alle
collisioni e ad altri calcoli aggiunti che portano la
lungezza del crittogramma ad essere il doppio
più lunga rispetto ad Elgamal.
Elgamal (6)
• Se m è troppo grande deve essere spezzato.
• Utilizzo principale: scambio chiave per un
algoritmo a chiave simmetrica (tecnica ibrida).
• Esempi di utilizzo: GNU Privacy Guard e nelle più
recenti versioni di PGP.
• Elgamal ha anche descritto un algoritmo per la
firma digitale, ma è inutilizzato perché gli si
preferisce una sua variante sviluppata dalla
National Security Agency il DSA (Digital Signature
Algorithm).
Riferimenti
• T. ElGamal, “A Public-Key Cryptosystem and a Signature
Scheme Based on Discrete Logarithms”
• W. Diffie e M. Hellman, “New directions in cryptography”
• R. Cramer e V. Shoup, “A practical public key
cryptosystem provably secure against adaptive chosen
ciphertext attack”
• A. Menezes, P. van Oorschot e S. Vanstone,
“Handbook of Applied Cryptography”,
http://www.cacr.math.uwaterloo.ca/hac/
• Discrete logarithm calculator,
http://www.alpertron.com.ar/dilog.htm
• http://www.wikipedia.org
