Metodi Quantitativi per il Management

Emanuele Borgonovo
Market
Structural
Decision
Return
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Prima Edizione
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1
Capitolo I:
Modelli
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2
Modelli
• Un modello è uno strumento matematico-logico che
l’analista, il manager, lo scienziato, l’ingegnere
sviluppa per:
– Predire il comportamento della realtà
– Predire l’andamento di un mercato
– Prendere una decisione relativa ad un investimento
• Elementi comuni ai modelli:
–
–
–
–
–
Incertezza iniziale
Una serie di ipotesi
Una serie di input
Eventi
Risultato (output) del modello
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3
Costruzione del modello
• Richiede una conoscenza approfondita di:
– Problema
– Eventi rilevanti rispetto al problema
– Fattori che influenzano il comportamento delle
quantità di interesse
– Raccolta dei dati e delle informazioni
– Statement e calcolo delle incertezze
– Verifica della coerenza del modello mediante
verifica empirica, se possibile, e analisi di
sensitività
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4
Esempio: la legge di gravità
• Vogliamo descrivere la caduta verticale di un corpo
sulla superficie della terra. Adottiamo il modello:
F=mg per la caduta dei corpi
• Ipotesi (?):
– Corpo puntiforme (niente rotazioni)
– Niente attrito
– Niente correnti atmosferiche
• Funziona per la caduta di un corpo posto a grande
distanza dalla superficie terrestre?
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5
Capitolo II
Elementi introduttivi di Teoria della
Probabilità
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6
Probabilità
• E’ possibile definire la Probabilità?
• Sì, ma ci sono due scuole
• La prima dice che la probabiltà è una proprietà
oggettiva degli eventi (Scuola Frequentista)
• La seconda dice che la Probabilità è una
misura “soggettiva”della verosimiglianza degli
eventi (De Finetti)
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7
Kolmogorov Axioms
U
B
A
P(U)  1
P( A )  0
Se A e B mutuamente esclusivi ,
P( A  B)  P( A )  P(B)
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8
Aree e rettangoli?
U
A B
C
D
E
U  A B  C D E
• Supponete di saltare dentro U a caso. Chiamate P(A) la
probabilità di saltare in A. Quanto vale?
• Sarà l’area di A diviso l’area di U: P(A)=A/U
• In questo caso P(U)=P(A)+ P(B)+ P(C)+ P(D)+ P(E)
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9
Probabilità Condizionata
• Prendete due eventi A e B. La probabilità condizionale di
A dato B, è la probabilità di avere A dato che si è
verificato B. Si scrive: P(A|B)
U
B
AB A
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10
Probabilità Condizionale
• Supponete ora che B è avvenuto. Quindi siete saltati
dentro l’area B.
B
AB
A
•Ora non protrete che concordare che:
• P(A|B)=P(AB)/P(B)
•Quindi: P(AB)=P(A|B) *P(B)
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11
Eventi Indipendenti
• Due eventi, A e B, sono indipendenti se
l’accadere di A non influenza la Probabilità di
B e viceversa.
Se due eventi sono indipendenti:
P(AB)=P(A)*P(B)
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12
Probabilità e Informazione
• Problema: vi è data una scatola contenente due
gioielli. La scatola è costruita in modo tale che con
la stessa probabilità (1/2) i due gioielli sono tutti e
due d’oro (evento A) o uno è d’oro e uno d’argento
(evento B). Per sapere il contenuto della scatola vi è
permesso di estrarre uno dei due gioielli dalla
scatola. Supponete che sia d’oro.
– Secondo voi avete guadagnato informazioni
dall’estrazione?
– La probabilità che l’altro sia d’oro è ancora del 50%?
– Sareste disposti a pagare per estrarre?
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13
La probabilità di un evento cambia
con l’informazione
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14
Il Teorema di Bayes
• Ipotesi: A e B sono due eventi. L’evento A è
accaduto.
• Tesi: la probabilità di B dato che A è avvenuto
cambia come segue:
P(B) prima che A avvenisse
P(B A ) 
P(B)  P( A B)
Prob. di B ora che A è avvenuto
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Probabilità di A dato B
P( A )
Prob. che A avvenisse
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15
Applichiamolo al problema
• Eventi:
• A: tutti e due i gioielli sono d’oro
• o: l’anello estratto è d’oro
• Il teorema dice:
P( A o) 
P( A )  P(o A )
P(o)
• P(A)=probabilità che tutti e due siano d’oro prima
dell’estrazione=1/2
• P(o)=probabilità che un anello sia d’oro=3/4
• P(o|A)=probabilità che l’anello sia d’oro dato A=1 (tutti e due gli
anelli sono d’oro)
• Quindi:
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1/ 2  1
P( A o) 
 2/3
3/4
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16
Dimostrazione del Teorema
Punto di Partenza
P( AB)  P( AB)
Formula della probabilità condizionale
P( A B)  P(B)  P(B A )  P( A )
Tesi
P( A B) 
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P(B A )  P( A )
P(B)
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17
Estensione al caso di più eventi
D
B
1  P( A )  P(B)  P(C)
UE
C
A
 P(D)
• Teorema probabilità totale: dati N eventi mutuamente esclusivi
(A1, A2,…,AN) e esaustivi, la probabilità di un altro evento E in
U è data da:
P(E)  P(E A1 )  P( A1 )  P(E A 2 )  P( A 2 )  ...  P(E AN )  P( AN )
• Teorema di Bayes :
P( A 1 E) 
P(E A 1 )  P( A 1 )
N
 P(E A )  P( A )
i
i
i1
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18
Distribuzioni di Probabilità
• Fino ad ora abbiamo parlato di eventi “ discreti”. Ci
sono eventi il cui spazio è continuo. Ad esempio il
tempo di rottura di un componente o l’intervallo di
tempo tra i terremoti. In questo caso la variabile
aleatoria “tempo” spazia da 0 a +. Per descrivere
questi eventi si utilizzano distribuzioni continue di
probabilità. La variabile caratterizzata da una
distribuzione di probabilità prende il nome di variable
aleatoria.
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19
Densità di Probabilità
• Una funzione è una densità di probabilità se:
– E’ integrabile
–e
– se il suo integrale tra - e +  è pari a 1.

 f ( x )dx  1

• Significato: f(x0) è la probabilità che x sia in
un intervallo dx attorno ad x0.
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20
Distribuzione Cumulativa
• Quando una variabile x è casuale, la
probabilità che essa assuma un valore
inferiore od uguale ad un valore X è data da:
X
P( x  X) 
f
(
x
)
dx


dP
• Se f(x) è continua, allora: f ( x ) 
dx
X2
• Notiamo: P( X1  x  X2 )   f ( x )dx  P( x  X2 )  P( x  X1 )
X1
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21
La distribuzione esponenziale
• Fenomeni per cui gli eventi sono:
– Indipendenti
– Caratterizzati da ratei costanti
• sono caratterizzati dalla cumulativa esponenziale:
P(t  T)  1  e
 T
• e dalla densità esponenziale:
f ( t )  e
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 t
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22
La distribuzione esponenziale
• Supponiamo di avere a che fare con un problema di affidabilità e ci
interessa caratterizzare il tempo di rottura di componenti industriali
(Chiamiamolo t). t non è noto a priori (non sappiamo quando si romperà il
prossimo componente). Tutto quello che possiamo dire è che puù variare
con continuità tra 0 e (diciamo) inifinto. Quindi, è una variable casuale con
distribuzione continua.
• Assumiamo intervalli di rottura indipendenti. Ciò funziona se, quando il
componente si rompe, lo sostituiamo con uno nuovo o lo ripariamo
perfettamente. Se valgono queste ipotesi, gli intervalli di rottura sono
indipendenti e caratterizzati da tasso di rottura costante  per ogni
intervallo dt. Quale è la distribuzione di probabilità di t?
• Supponiamo di avere una popolazione di N(t) componenti al tempo t. Se 
è il tasso di rottura del singolo componente, allora N(t)dt è il numero di
rotture nel tempo dt.
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23
La distribuzione esponenziale
• Quindi:
• -N(t)dt=N(t+dt)-N(t)=dN(t)
• Il segno meno sta ad indicare che il numero di componenti
funzionanti è diminuito.
T
T
dN( t )
• Quindi: dN( t )
 dt  
  dt  lnN(T) / N(0)  T
N( t )
N( t )
0
0
• Risolvendo:
N(T )
 T
e
N(0)
• N(T) è il numero di componenti che è sopravvissuto fino al
tempo T e N(0) è il numero di componenti di partenza. Ponete
N(0)=1. Allora N(T)/N(0) vi dà la probabilità che un componente
sopravviva fino a T.
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24
Illustrazione grafica
1
0.9
0.8
0.7
P(t<T)
0.6
0.5
0.4
0.3
f(t)
0.2
0.1
0
0
5
10
15
T/t
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25
Valore atteso, varianza e percentili
Valore atteso ( Expected Value ) : E x  

 xf ( x)dx



Varianza (Variance ) : V x   E ( x  E x ) 2 

 
  ( x  E x ) f ( x)dx  E x  E x 
2
2
2

Deviazione S tan dard : V x 
Percentile p: è il valore Xp di x tale che la probabilità
che x sia minore di Xp pari a p/100
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26
La Distribuzione di Gauss
• Distribuzione simmetrica attorno al valor
medio
• Densità:
1
fG ( x ) 
e
 2
• Cumulativa:
1 x  2
 (
)
2 

1
PG ( x  X)  
e
   2
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   X  
1 x  2
 (
)
2 
dx
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27
Grafici
Distribuzione Normale Standard
3000
2500
fG ( x)
f(x)
2000
1500
1000
500
0
-4
-3
-2
-1
0
x
1
2
3
4
Cumulative Gaussian Distribution
10000
9000
8000
PG ( x  X)
7000
6000
5000
4000
3000
2000
1000
0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
x
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28
Distribuzione Lognormale
• Funzione densità
1
fL ( x ) 
e
x 2
1 ln x  2
(
)
2

0  x  
• Funzione distribuzione cumulativa
X
1
PL ( x  X)  
e
0 x 2
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1 ln x   2
(
)
2

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29
Grafici della distribuzione lognormale
.20
fL ( x)
f ( x)
0.1
0
0
0
20
0.07
1
PL ( x  X)
x
50
1
f2( x) 0.5
0
0
0
0.07
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40
20
40
x
50
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30
Problema II-1
• La frequenza di rottura del cambio di un’automobile è
pari a 1/5 anni (densità esponenziale).
• Quale è il tempo medio di rottura del cambio?
• Quale è la probabilità che in 9 anni il cambio sia
ancora integro?
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31
Problema II-2
• State esaminando un test per selezionare l’ingresso
degli studenti ad un corso particolarmente selettivo di
un ’Università. Il test, come tutti i test, non è perfetto.
Supponete che la classe prima del test (la vera
distribuzione della classe) veda il 10% di adatti e il
90% di non adatti. Poi fate il test. Se lo studente è
adatto ,il test lo ammette al 90%. Se lo studente non
è adatto lo ammette al 10%. Ora, supponete di
prendere uno studente che ha passato il test.
– Quale è la probabilità che lo studente sia
effettivamente adatto?
– Secondo voi il test funziona? Come lo usereste?
– (Suggerimento: utilizzate il teorema della probailità
totale per la probailità di passare il test.)
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32
Problema II-3
• Per il problema dei due anelli, calcolare:
– La probabilità di essere nello stato B dato che
l’anello estratto è d’oro
– La probabilità di essere nello stato B dato che
l’anello estratto è d’argento
– La probabilità di essere in A dato che l’anello
estratto sia d’oro in due estrazioni consecutive
– La probabilità di essere in B dato che che l’anello
estratto sia d’oro in due estrazioni consecutive
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33
Soluz. Prob. II-1
• La frequenza di rottura del cambio di
un’automobile è pari a 1/5 anni.
• Quale è il tempo medio di rottura del cambio?
 t  e
 t
dt  1/   5
• Quale è la probabilità che in 9 anni il cambio
sia ancora integro?
P( t  9)  1  P( t  9)  1  (1  e
 T
)
e (1/ 5 )9  16.5%
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34
Soluz. Prob. II-3
•
3
Per il problema dei due anelli, calcolare:
– La probabilità di essere nello stato B dato che l’anello estratto è
d’oro
• Soluzione: ci sono solo due casi, A o B. Dunque P(Bo)=1-P(Ao)=1/3
– La probabilità di essere nello stato B dato che l’anello estratto è
d’argento
• P(Ba)=1, dal testo del problema, dato che B è l’unico stato in cui
l’anello può essere d’argento. Si può anche dimostrare con Bayes:
• P(Ba)=P(aB)*P(B)/[P(aB)* P(B)+P(aA)*P(A)]. Siccome P(aA)=0,
ottneniamo subito 1.
– La probabilità di essere in A dato che l’anello estratto sia d’oro in
due estrazioni consecutive
• Il teorema di Bayes si scrive:
P( A 2o) 
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P(2o A )  P1( A )
P(2o A )  P1( A )  P(2o B)  P1(B)
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35
Sol. II-3
• Dove, nella formula il pedice 1 indica le probabilità aggiornate dopo una
estrazione, ovvero: P1(B)=P(Bo)=1/3 e P1(A)=P(Ao)=2/3.
• A questo punto occorre notare che P(2o A)=1, e P(2o B)=1/2. P(2oB) è
la probabilità che otteniamo oro al secondo tentativo, dato che siamo in B.
• Abbiamo quindi tutti I numeri da sostituire nella formula del teorema:
P( A 2o) 
P(2o A )  P1( A )
P(2o A )  P1( A )  P(2o B)  P1(B)

1* 2 / 3
 0.8
1 * 2 / 3  1/ 2 * 1 / 3
• In pratica, è lo stesso problema dell’esempio ma con le probabilità a priori
aggiornate in base alla evidenza della prima estrazione
– La probabilità di essere in B dato che che l’anello estratto sia d’oro in
due estrazioni consecutive
• Soluzione: 1-P(A 2o)=0.2
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36
Capitolo III:
Elementi
di
Analisi delle Decisioni
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37
An Investment Decision
• At time T, you have to decide whether, and
how, to invest $1000. You face three mutually
exclusive options:
– (1) A risky investment that gives you $500 PV in
one year if the market is up or a loss of $400 if the
market is down
– (2) A less risky investment that gives you $200 in
one year or a loss of $160
– (3) The safe investment: a bond that gives you
$20 in one year independently of the market
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38
Decision Theory According to Laplace
• “The theory leaves nothing arbitrary in
choosing options or in making decisions and
we can always select, with the help of the
theory , the most advantageous choice on our
own. It is a refreshing supplement to the
ignorance and feebleness of the human mind”.
• Pierre-Simon Laplace
• (March 28 1749 Beaumont-en-Auge - March 5 1827 Paris)
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39
Decision-Making Process Steps
Problem identification
Alternatives identification
Model implementation
Alternatives evaluation
Sensitivity Analysis
Yes
Further Analysis?
No
Best alternative implementation
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40
Decision-Making Problem Elements
• Values and Objectives
• Attributes
• Decision Alternatives
• Uncertain Events
• Consequences
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41
Gli Elementi del Problema
• Obiettivi:
– Massimizzare il guadagno
• Attributi:
– Money
• Alternative:
– Invesitmento Rischioso (Risky)
– Invesitmento Rischioso (Less Risky)
– Investimento Sicuro (Safe)
• Eventi Casuali:
– Il mercato
• Conseguenze:
– Guadagno o perdita
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42
Rappresentazione del Problema
• Diagrammi di Influenza
• Alberi delle Decisioni
Market up
Less Risky
Market
How should I
invest $1000?
Structural
Risky
Decision
Return
Safe
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prob_up
Market down
1-prob_up
Market up
prob_up
Market down
1-prob_up
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43
Influence Diagrams
• Influence diagrams (IDs) are…
“a graphical representation of decisions and
uncertain quantities that explicitly reveals
probabilistic dependence and the flow of
information”
• ID formal definition:
– ID = a network consisting of a directed graph
G=(N,A) and associated node sets and functions
(Schachter, 1986)
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44
ID Elements
NODES
ARCS
• Informational Arcs
= Decision
• Probabilistic Dependency
Arcs
= Random Event
• Structural Arcs
= Utility
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45
ID Elements
Informational Arc
Decision Node
Decision Node
Sequential
Decisions
Structural
Chance Node
Conditional Arc
Chance Node
Value Node
Probabilistic
Dependency
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46
Influence Diagram Levels
1. Physical Phenomena and
Dependencies
2. “Function level”: node output states
probabilistic relations (models)
3. “Number level”: tables of node
probabilities
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47
Case Study 2 - Leaking SG tube
• Influence Diagram for Case Study 2
Leakage
Rate
shutdown_cost
Leakage from primary
to secondary, maximum
rate of 20 l/hr
time_to_repair
Primary
Decisions
I - Normal Makeup
II - Shutdown
III - Reduce Power
IV - Isolate SG
Cooling
Chemical Volume
Control System
Value
Secondary
Cooling
days_to_shutdown
Deterministic
Information
core_damage_cost
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48
Il Diagramma di Influenza
Market
Structural
Decision
Return
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49
Alberi delle Decisioni
• Sono costituiti dal medesimo tipo di nodi dei
diagrammi di influenza, ma mettono in evidenza
tutte le possibili combinazioni degli eventi.
• Al posto degli archi ci sono “rami” o branches
che emanano dai nodi in numero pari al numero
di alternative o outcomes del nodo
• Rispetto ai diagrammi di influenza hanno il
vantaggio di evidenziare I possibili patterns, ma
lo svantaggio del ridursi della loro intelligibilità al
crescere della complessità del problema.
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50
The Decision Tree (DT)
Market up
Less Risky
Market down
How should I
invest $1000?
1-prob_up
Risky
Market up
Market down
Safe
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51
Soluzione degli alberi delle decisioni
• Equazione del payoff o della utilità di una alternativa:
E[Ui ]   Pi (C j )  UC j
j
• j=1…mi è l’indice di tutte le conseguenze associate alla scelta i
• Uj è l’utilità o il payoff della conseguenza j
• Pi(Cj) è la probabilità che la conseguenza Cj accada dato che si
è scelta l’alternativa i
• In generale, sarà: P(Cj) =P(E1E2… EN), dove E1E2… EN sono gli
eventi che devono accadere affinchè la conseguenza Cj si
realizzi. Utilizzando le probabilità condizionali:
• P(Cj) =P(E1E2… EN)=P(EN| E1E2… )*…*P(E2| E1)*P(E1)
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52
Esempio
Market up
Blue Chip Stock
P.up
Market down
C1
C2
1-P.up
Market up
How should I
invest $1000?
Risky investment
P.up
Market down
1-P.up
C3
C4
CD paying 5%
C5
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53
Soluzione del Problema
• Utilizzando la formula precedente:
2
E[URisky ]   P(C j )  C j  P.up  C1  (1  P.up)  C2
j1
2
E[ULessRisky ]   P(C j )  C j  P.up  C3  (1  P.up)  C4
j1
2
E[ULessRisky ]   P(C j )  C j  1 C5
j1
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54
The Best Investment for a Risk
Neutral Decision-Maker
Market up
Blue Chip Stock
How should I
invest $1000?
0.600
$56
Market down
$200
($160)
0.400
Market up
Risky investment
$500; P = 0.600
$60 0.600
Market down
($600); P = 0.400
0.400
CD paying 5%
return = $50
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55
Run or Withdraw?
You are the owner of a racing team. It is the last race of the season, and it has been a
very good season for you. Your old sponsor will remain with you for the next season
offering an amount of $50000, no matter what happens in the last race. However, the
race is important and transmitted on television. If you win or end the race in the first five
positions, you will gain a new sponsor who is offering you $100000, besides $10000 or
$5000 praise. However there are unfavorable running conditions and an engine failure
is likely, based on your previous data.
It would be very bad for the image of you racing team to have an engine failure in such a
public race. You estimate the damage to a total of -$30000.
What to do? Run or withdraw?
• A) Elements of the problem:
–
–
–
–
–
What are your objectives
What are the decision alternatives
What are the attributes of the decision
What are the uncertain events
What are the alternatives
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56
Example of a simple ID
Decision
Metodi Quantitativi per
il Management
Engine Failure
Final Classification
Profit
Emanuele Borgonovo
57
From IDs to Decision Trees
Engine Failure
Failure
Decision
Out of first five
$20,000
0.500
Run
$20,000; P = 0.500
1.000
Win
$57,250
$110,000; P = 0.250
0.500
No Failure
Decision
0.500
Run : $57,250
pfailure=0.5
In first five
$94,500
0.300
Out of first five
$50,000; P = 0.100
pfive=0.30
0.200
pout=0.2
pwin=0.5
$105,000; P = 0.150
Withdraw
Engine_Failure=0
Metodi Quantitativi per
il Management
Old sponsor
$50,000
$50,000
1.000
Emanuele Borgonovo
58
Decisioni Sequenziali
• Sono problemi decisionali in cui una o più decisioni
appaiono nel modello.
• State decidendo a proporsito di un macchinario da acquistare. Avete a
disposizione tre modelli, A B e C. Il costo dei tre macchinari è pari a 150,
175 e 200 rispettivamente. Se acquistate il modello A, potete poi
scegliere l’assicurazione A1, che ha un costo pari al 5% di A, e copre tutti
i possibili guasti di A. Oppure potete scegliere l’assicurazione A2, che ha
un costo pari al 3%, ma copre solo il trasporto. Se acquistate il modello
B, l’assicurazione B1 ha un costo pari al 3% di B e copre tutti i guasti di
B. L’assicurazione B2 costa il 2% e copre il trasporto. Per C, ritenuto il
più affidabile, le assicurazioni costano il 2% e 1.5% rispettivamente. In
base a queste informazioni e supponendo che la produttività dei
macchinari sia la stessa, cosa decidete?
• (A: Probabilità di rottura nel periodo di interesse =5%)
• (B: Probabilità di rottura nel periodo di interesse =3%)
• (C: Probabilità di rottura nel periodo di interesse =2%
Metodi Quantitativi per
il Management
Emanuele Borgonovo
59
Diagramma di Influenza
Decision
Metodi Quantitativi per
il Management
Assicurazione
Ruttura
Costo
Emanuele Borgonovo
60
Albero delle decisioni
Assicurazione
Decision
1
-150-5%*(150) = (£158); P = 1.000
A
1 : (£158)
2
Sì
0.050
-150-2%*150-150 = (£303)
(£161)
No
0.950
-150*(1+2%) = (£153)
1
-(175+3%*(175)) = (£180)
B
A : (£158)
pA=0.05
pB=0.03
pC=0.02
1 : (£180)
Sì
2
0.030
-175-2%*175-175 = (£354)
(£184)
No
0.970
-175-2%*175 = (£179)
1
-200-2%*200 = (£204)
C
1 : (£204)
2
Sì
0.020
-200-1.5%*200-200 = (£403)
(£207)
No
0.980
Metodi Quantitativi per
il Management
-200-200*1.5% = (£203)
Emanuele Borgonovo
61
Valore dell’Informazione
• Abbiamo visto come la raccolta di informazioni sia essenziale
nel prendere decisioni. Potremmo essere disposti a pagare
per avere informazioni? Quanto?
• All’informazione può essere attribuito un valore in quanto
contribuisce alla selezione delle alternative
• Il valore dell’informazione è il valore aggiunto che consegue
dalla stessa (expected value of perfect information =EVPI):
EVPI  E[Knowing ]  E[BeforeKnow ing]
• La definizione si legge: quanto vale la decisione dato che
sappiamo l’informazione meno il valore della decisione senza
l’informazione
• N.B.: ci riferiremo solo all’incertezza aleatoria
Metodi Quantitativi per
il Management
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62
Esempio: l’investimento
Decision
Value
Market
Market
Decision
Up
RISKY
0.500
£500; P = 0.500
£50
Down
0.500
(£400); P = 0.500
Up
LESS: £50
RISKY
RISKY
P _UP =0.5
0.500
£200
£20
Down
0.500
(£160)
SAFE
£20
Market=0
Metodi Quantitativi per
il Management
Emanuele Borgonovo
63
Valore dell’informazione sull’andamento mercato
Market
Value
Decision
Decision
Market
Up
0.500
RISKY
£500; P = 0.500
LESS RISKY
RISKY : £500
£200
SAFE
£20
£260
RISKY
P _UP =0.5
(£400)
Down
0.500
LESS RISKY
SAFE : £20
(£160)
SAFE
£20; P = 0.500
Metodi Quantitativi per
il Management
Emanuele Borgonovo
64
EVPI Result
EVPI  E[Knowing ]  E[r ] 
 260  50 
 210
Metodi Quantitativi per
il Management
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65
Problemi
Metodi Quantitativi per
il Management
Emanuele Borgonovo
66
Quanto offrire?
• Voi lavorate per una compagnia nel settore della produzione di energia.
La vostra compagnia si trova a fronteggiare la decisione su quanto offrire
nella gara per il recupero del relitto di una SS.Kuniang, nave da trasporto
per carbone. Se vinceste, la nave potrebbe essere riparata e destinata
allo stoccaggio e trasporto di carbone. La vittoria e anche il risultato della
decisione dipendono dal giudizio del tribunale della Guardia Costiera, che
sarà noto solo dopo l’apertura delle buste di gara. Infatti, se la guardia
costiera si pronuncerà per un basso valore della nave, significa che la
nave è considerata recuperabile. Altrimenti, la nave sarà giudicata
inservibile. Se non doveste vincere, la compagnia sarebbe costretta a
comperare una nuova imbarcazione.
• Elencate gli elementi della decisione
• Strutturate un diagramma di infuenza e l’albero delle decisioni
corrispondenti
Metodi Quantitativi per
il Management
Emanuele Borgonovo
67
Diagramma di influenza con tre eventi
• Dati i seguenti elementi:
– Decisione con alternative 1 e 2
– Eventi: A=(up, down); (B=high, low);(C=good, bad);
– Conseguenze Ci (una conseguenza per ciascuna delle
combinazioni di eventi che si realizzano)
• Inoltere sapete che se si realizza A=Down, allora si
realizza direttamente la condizione CAdown
• Disegnate il diagramma di influenza corrispondente al
problema
• Disegnate l’albero delle decisioni corrispondente
• Se ora l’evento C dipende da A, come cambia il
diagramma di influenza?
• Come cambia l’abero delle decisioni?
Metodi Quantitativi per
il Management
Emanuele Borgonovo
68
Vendite_costi
•
Dati i seguenti diagrammi di influenza e albero delle decisioni, date P_Alto e
P_Alte|Alto, P_Alte|Basso, esprimere il valore delle alternative come funzione delle
probabilità assegnate. Supponendo P_alto=0.5 e P_Alte|alto=P_Alte|basso=0.3,
stimare la migliore decisione.
Vendite
Costo
Vendite
Payoff
Decisione
Alto
Decisione
P_alto
Costo
Investo
Alte
P_Alte|Alto
Basse
1- P_Alte|Alto
Alte
Basso
alto=0.5
P_Alte=0.3
P_alto=0.5
•
•
1-P_alto
-10
20
P_ P_Alte|Alto
Basse
1- P_Alte|Alto
Non-Investo
0
0
5
Quale sarebbe la migliore decisione se, invence, ad un più alto costo di
investimento corrispondesse un migliore risultato nelle vendite? Usare:
P_Alte|Alto=0.6 e P_Alte|Basso=0.2
Metodi Quantitativi per
il Management
Emanuele Borgonovo
69
Guasto in produzione
•
•
•
Un sistema industriale composto da due linee ha subito un guasto ad una linea. La capacità
produttiva è quindi ridotta al 50%. Il management si trova di fronte alla seguente decisione e
vi chiede una collaborazione. Vi viene spiegato che si può procedere a: 1) una riparazione
intermedia, della durata di due giorni, con un costo di riparazione di €500000. Per ogni giorno
di produzione perso si ha una perdita di incassi pari a €25000 al giorno (il valore giornaliero
della produzione è di €50000). Dalle stime degli ingegneri, la probabilità di riparare
perfettamente la linea rotta in due giorni è pari a P_2g . Nel caso in cui la riparazione non sia
perfetta, la linea perderà il 15% della capacità produttiva; 2) un intervento più incisivo, della
durata di 10 giorni, con un costo di riparazione di €1000000. Con probabilità P_10g la linea
sarà come prima del guasto.
Secondo voi la vita residua dell’impianto è importante per la decisione?
Supponete che vi siano ancora tre anni di vita per l’impianto. Quale intervento conviene
effettuare?
– Individuate gli elementi della decisione
– Realizzate il diagramma di influenza e l’albero delle decisioni corrispondente
– Trovate il o i valori delle probabilità per cui conviene un intervento piuttosto che l’altro
– Cosa consigliereste al direttore dell’impianto?
Metodi Quantitativi per
il Management
Emanuele Borgonovo
70
Valore dell’informazione
• Determinate il valore dell’informazione
relativa a ciascuno degli eventi casuali nei
seguenti problemi decisionali:
• Vendite_Costi (lez. 2)
• Guasto in Produzione (lez.2)
• Ripetete la prova utilizzando, anzichè
l’attributo profitto, la vostra funzione utilità per
il denaro, determinata nel problema 2.
Metodi Quantitativi per
il Management
Emanuele Borgonovo
71
Soluzioni
Metodi Quantitativi per
il Management
Emanuele Borgonovo
72
Soluzione Diagr. 3 Eventi
• Diagramma di Influenza I
Skip Arc
A
C
Decision
Consequences
B
Metodi Quantitativi per
il Management
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73
Soluzione
• Corrispondente Albero delle Decisioni
C
B
A
good
(No Payoff)
high
bad
up
Decision
(No Payoff)
good
(No Payoff)
low
1
bad
(No Payoff)
down
(No Payoff)
B=0
C=0
good
high
(No Payoff)
bad
(No Payoff)
up
good
(No Payoff)
low
2
bad
(No Payoff)
down
(No Payoff)
B=0
C=0
Metodi Quantitativi per
il Management
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74
Soluzione
• Diagramma di Influenza II
A
C
Decision
Consequences
B
Metodi Quantitativi per
il Management
Emanuele Borgonovo
75
Soluzione
• Albero delle Decisioni II:
B
A
C
good
(No Payoff)
high
bad
up
(No Payoff)
good
Decision
(No Payoff)
low
1
bad
(No Payoff)
good
(No Payoff)
down
bad
B=0
(No Payoff)
good
(No Payoff)
high
bad
(No Payoff)
up
good
(No Payoff)
low
2
bad
(No Payoff)
good
(No Payoff)
down
B=0
Metodi Quantitativi per
il Management
bad
(No Payoff)
Emanuele Borgonovo
76
Vendite_costi
•
Dati i seguenti diagrammi di influenza e albero delle decisioni, date P_Alto e
P_Alte|Alto, P_Alte|Basso, esprimere il valore delle alternative come funzione delle
probabilità assegnate. Supponendo P_alto=0.5 e P_Alte|alto=P_Alte|basso=0.3,
stimare la migliore decisione.
Vendite
Costo
Vendite
Payoff
Decisione
Alto
Decisione
P_alto
Costo
Investo
Alte
P_Alte|Alto
Basse
1- P_Alte|Alto
Alte
Basso
alto=0.5
P_Alte=0.3
P_alto=0.5
•
•
1-P_alto
-10
20
P_ P_Alte|Alto
Basse
1- P_Alte|Alto
Non-Investo
0
0
5
Quale sarebbe la migliore decisione se, invence, ad un più alto costo di
investimento corrispondesse un migliore risultato nelle vendite? Usare:
P_Alte|Alto=0.6 e P_Alte|Basso=0.2
Metodi Quantitativi per
il Management
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77
Soluzione Vendite_Costi
Vendite
Costo
Decisione
Alte
Alto
0.500
0.300
(£7)
Basse
Investo
0.700
(£1)
alto=0.5
P _Alte=0.3
P _alto=0.5
(£10)
Alte
Basso
Non-Investo : £5
£0
0.500
0.300
£6
£20
Basse
0.700
£0
Non-Investo
£5; P = 1.000
Metodi Quantitativi per
il Management
Emanuele Borgonovo
78
Guasto in produzione
•
•
•
Un sistema industriale composto da due linee ha subito un guasto ad una linea. La capacità
produttiva è quindi ridotta al 50%. Il management si trova di fronte alla seguente decisione e
vi chiede una collaborazione. Vi viene spiegato che si può procedere a: 1) una riparazione
intermedia, della durata di due giorni, con un costo di riparazione di €500000. Per ogni giorno
di produzione perso si ha una perdita di incassi pari a €25000 al giorno (il valore giornaliero
della produzione è di €50000. Dalle stime degli ingegneri, la probabilità di riparare
perfettamente la linea rotta in due giorni è pari a P_2g . Nel caso in cui la riparazione non sia
perfetta, la linea perderà il 15% della capacità produttiva; 2) un intervento più incisivo, della
durata di 10 giorni, con un costo di riparazione di €1000000. Con probabilità P_10g la linea
sarà come prima del guasto.
Secondo voi la vita residua dell’impianto è importante per la decisione?
Supponete che vi siano ancora tre anni di vita per l’impianto. Quale intervento conviene
effettuare?
– Individuate gli elementi della decisioni
– Realizzate in diagramma di influenza corrispondente
– Trovate I valori delle probabilità per cui conviene un intervento piuttosto che l’altro
– Cosa consigliereste al direttore dell’impianto?
– Cosa succederebbe se la vita dell’impianto fosse di due anni o quattro anni?
Metodi Quantitativi per
il Management
Emanuele Borgonovo
79
Diagramma di Influenza
Riparazione_10g_Perfetta
Perdite
Decisione
Riparazione_2g_perfetta
Metodi Quantitativi per
il Management
Emanuele Borgonovo
80
Albero delle Decisioni
Riparazione_2g_perfetta
Decisione
Riparazione_2g_perfetta
-50000-500000
Intervento_2g
P_2g
Riparazione_2g_non_perfetta
Riparazione_10g_Perfetta=0
-50000-500000-25000*0.15*365*years
1-P_2g
Riparazione_10g_Perfetta
P_10g=0.9
P_2g=0.3
years=3
Riparazione_10g_Perfetta
-250000-1000000
Intervento_10g
Riparazione_2g_perfetta=0
P_10g
Riparazione_10g_non_Perfetta
-1000000-250000-years*.05*25000*365
Riparazione_2g_perfetta=0
1-P_10g
Metodi Quantitativi per
il Management
Emanuele Borgonovo
81
Valori delle probabilità
• Tre anni
Metodi Quantitativi per
il Management
Emanuele Borgonovo
82
2 anni e 4 anni
• 2 anni
• 4 anni
Metodi Quantitativi per
il Management
Emanuele Borgonovo
83
Capitolo IV
Elementi di Analisi di Sensibilità
Metodi Quantitativi per
il Management
Emanuele Borgonovo
84
Sensitivity Analysis and Parameter Importance
• Parameter importance:
– Relevance of parameter in a model with respect to a certain
criterion
• Sensitivity Analysis used to Determine
Parameter Importance
• Concept of importance not formalized, but
extensively used
– Risk-Informed Decision Making
– Resource allocation
• Need for a formal definition
Metodi Quantitativi per
il Management
Emanuele Borgonovo
85
Process
• Identify how sensitivity analysis techniques
work through analysis of several examples
• Formulate a definition
• Classify sensitivity analysis techniques
accordingly
Metodi Quantitativi per
il Management
Emanuele Borgonovo
86
Sensitivity Analysis Types
• Model Output:
U  f(x 1, x2,..., xn )
• Local Sensitivity Analysis:
– Determines model parameter (xi) relevance with all
the xi fixed at nominal value
• Global Sensitivity Analysis:
– Determines xi relevance of xi’s epistemic/uncertainty
distribution
Metodi Quantitativi per
il Management
Emanuele Borgonovo
87
The Differential Importance Measure
• Nominal Model output:
– No uncertainty in the model parameters
– and/or parameters fixed at nominal value
• Local Decomposition:
f
f
f
dU 
dx1 
dx 2  ... 
dx n
x1
x 2
x n
• Local importance measured by fraction of the
differential attributable to each parameter
DIM(x i ) 
Metodi Quantitativi per
il Management
dUxi
dU
xo
Emanuele Borgonovo
88
Global Sensitivity Indices
• Uncertainty in U and parameters is considered
• Sobol’’s decomposition theorem:
n
U  f( x)  f0   fi ( xi )  
i1
• Sobol’Indices
 f (x , x )  ...  f
ij
1i jn
i
j
12...n
x i1
Si1...is (x i ) 
Di1...is
D
 ...  f
i1...in

dx i1 ...dx n
x i1
f
2
( x )dx  f0
2
Ω
Metodi Quantitativi per
il Management
Emanuele Borgonovo
89
( x)
Formal Definition of Sensitivity Analysis (SA) Techniques
• SA technique are Operators on U:
x2
x1
xn
 or 
I(x)^ [U  f(x1, x2,..., xn )]
 or 
I(xn)
Metodi Quantitativi per
il Management
I(x1)
I(x2)
Emanuele Borgonovo
90
Importance Relations
• Importance relations:
– X the set of the model parameters;
–
Binary relation

xi  xj iff I(xi)I(xj)
xi~xj iff I(xi)I(xj)
xi  xj iff I(xi)I(xj)
xi  xj iff I(xi)I(xj)
• Importance relations induced by importance
measures are complete preorder
Metodi Quantitativi per
il Management
Emanuele Borgonovo
91
Additivity Property
• In many situation decision-maker interested
in joint importance:
I( x i , x j )  I( x i  x j )
• An Importance measure is additive if:
I( x i , x j )  I( x i )  I( x j )
• DIM is additive always
• Si are additive iff f(x) additive and xj’s are
uncorrelated
Metodi Quantitativi per
il Management
Emanuele Borgonovo
92
Techniques that fall under the definition of Local
SA techniques
IMPORTANCE
MEASURE
EQUATION TYPE ADDITIVE
DIM
dU xi
Local
Yes
Local
No
Local
No
Local
No
Local
No
Local
No
dU
L
Tornado Diagrams
One Way Sensitivity
Fussell-Vesely
U x i
 x0
x i U
U
U
U( x 0 )  x i
U( x 0 )
Risk Achievement Worth
U xi
x0
U0
Metodi Quantitativi per
il Management
Emanuele Borgonovo
93
Global Importance Measures
IMPORTANCE
MEASURE
Sobol’ Indices
EQUATION
TYPE ADDITIVE
Di1...is
Global
No
Global
No
Global
No
Global
No
Global
No
Global
No
D
Extended Fast

Si 
2 A p2w i  Bp2w i
p 1

2 A 2j  B 2j
j1
Morris
Pearson
Smirnov
Standardized
regression coefficients
Metodi Quantitativi per
il Management
d(x i ) 
i 
f ( x1,..., x i  ,..., x n )

cov(U, x i )
 i U
sup Y1( Xi )  Y2 ( Xi )
bk k

Emanuele Borgonovo
94
Sensitivity Analysis in Risk-Informed Decision-Making
and Regulation
• Risk Metric: R  f(x , x ,..., x )
1
2
n
• xi is undesired event probability
• Fussell-Vesely fractional Importance:
(R, x )

FV(x ) 
i
i
R
• Tells us on which events regulator has to
focus attention
Metodi Quantitativi per
il Management
Emanuele Borgonovo
95
Summary of the previous concepts
• Formal Definition of Sensitivity Analysis
Techniques
• Definition of Importance Relations
• Definition enables to:
– Formalize use of Sensitivity Analysis
– Understand role of Sensitivity Analysis in Riskinformed Decision-making and in the use of model
information
Metodi Quantitativi per
il Management
Emanuele Borgonovo
96
Sensitivity Analysis
• Various Types of SA
– One Way SA
– Two Way SA
– Tornado Diagrams
– (Differential Importance Measure)
• Uncertainty Analysis
– Monte Carlo
– (Global SA)
Metodi Quantitativi per
il Management
Emanuele Borgonovo
97
How do we use SA?
• a) To check model correctness and
robustness
• b) To Further interrogate the model
– Questions:
• What is the most influential parameter with respect to
changes?
• What is the most influential parameter on the uncertainty
(data collection)
Metodi Quantitativi per
il Management
Emanuele Borgonovo
98
Sensitivity Analysis (Run or withdraw)
• Underline the critical dependencies of the
outcome
Tornado Diagram at
Decision
Sensitivity Analysis on
pfailure
$62K
pwin: 0.3 to 0.7
$59K
pfive: 0.2 to 0.4
$56K
Expected Value
pfailure: 0.25 to 0.75
Run
Withdraw
Threshold Values:
pfailure = 0.597
EV = $50K
$53K
$50K
$47K
$44K
$41K
$49K
$55K
$61K
$67K
Expected Value
Metodi Quantitativi per
il Management
$73K
$38K
0.450
0.525
0.600
0.675
0.750
pfailure
Emanuele Borgonovo
99
Contenuti
• Analisi di Sensitività
– One way sensitivity
– Two way sensitivity
– Tornado Diagrams
• Analisi di Incertezza
– Incertezza Aleatoria
– Incertezza Epistemica
– Teorema di Bayes per distribuzioni
continue
– Metodo Monte Carlo
Metodi Quantitativi per
il Management
Emanuele Borgonovo
100
Analisi di Sensitività
• Per sensitività o sensibilità si intende il cambiamento
del risultato (output) in funzione del cambiamento di
uno dei parametri del modello (input)
• Tipi più semplici di analisi di sensitività:
– one way sensitivity
– two way sensitivity
– Tornado diagrams
Metodi Quantitativi per
il Management
Emanuele Borgonovo
101
Analisi di sensitività ad un modo
• Alterando una alla volta le variabili del modello, una
si analizza come cambia la decisione.
• Permette di analizzare il variare del valore di
ciascuna delle alternative al variare del parametro
su cui stiamo degli eventi
Sensitivity Analysis on
pfailure
$62K
Run
Expected Value
$59K
Withdraw
$56K
Threshold Values:
pfailure = 0.597
EV = $50K
$53K
$50K
$47K
$44K
$41K
$38K
0.450
0.525
0.600
0.675
0.750
pfailure
Metodi Quantitativi per
il Management
Emanuele Borgonovo
102
Analisi di sensitività Bi-variata
• In questo caso si variano due parametri.
• Anzichè una linea si ottiene il piano delle combinazioni, in cui ogni
regione coincide con la decisione preferenziale dati i valori dei due
parametri
Metodi Quantitativi per
il Management
Emanuele Borgonovo
103
Tornado Diagrams
• Si focalizza l’analisi sulla decisione principale
• Si sceglie un intervallo di variazione per
ciascuno dei parametri
• Si alterano una alla volta tutti i parametri
• Si registra il cambiamento dell’output
• Si mostra il cambiamento dell’output con una
barra orizzontale
• La variabile che “incide” di più è quella
corrispondente alla barra più larga
Metodi Quantitativi per
il Management
Emanuele Borgonovo
104
Esempio di Tornado Diagram
Tornado Diagram at
Decision
pfailure: 0.25 to 0.75
pwin: 0.3 to 0.7
pfive: 0.2 to 0.4
$49K
$55K
$61K
$67K
$73K
Expected Value
Metodi Quantitativi per
il Management
Emanuele Borgonovo
105
Pregi e Difetti
• Pregi
– Semplicità di calcolo
– Immediatezza nella
lettura dei risultati
Metodi Quantitativi per
il Management
• Difetti
– Range di variazione delle
variabili arbitrario, non
consente una
interpretazione
dell’importanza (non si
dovrebbero classificare)
– Una o al massimo due
parametri possono
essere cambiati
contemporaneamente
Emanuele Borgonovo
106
Capitolo V
Analisi di Incertezza
Metodi Quantitativi per
il Management
Emanuele Borgonovo
107
Analisi di Incertezza
Monte Carlo Simulation at
Decision
1.000
0.900
Probability
0.800
0.700
0.600
0.500
0.400
0.300
0.200
0.100
0.000
$10K
$40K
$70K
$100K
$130K
Value
Metodi Quantitativi per
il Management
Emanuele Borgonovo
108
Contenuti
• Distinzione tra Incertezza Aleatoria ed
Incertezza Epistemica
• Il teorema di Bayes nel continuo come
rappresentazione dell’incertezza epistemica
• Il metodo Monte Carlo per la propagazione
dell’incertezza
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109
Incertezze
• Incertezza Aleatoria:
– Da “Alea” dadi: “Alea jacta est”
si riferisce all’ accadimento di un determinato
evento casuale.
– Esempio: l’accadere di un terremoto
• Incertezza Epistemica:
– Dal Greco “Eit”, Conoscenza
riflette la nostra mancanza di conoscenza del
valore dei parametri del modello che si riferisce
all’evento
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il Management
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110
Esempio: modello aleatorio
• La probabilità di un terremoto è di solito modellizzato da una
distribuzione di Poisson:
n
(

t
)
P(n, t )  e t
n!
• che rappresenta la probabilità che il numero di terremoti che
avviene nel tempo t sia n.
• La distribuzione di Poisson si ottiene per eventi indipendenti
in cui l’accadere dell’evento non influenza l’accadere degli
eventi successivi e la probabilità dell’evento in ogni intervallo
di tempo è la stessa
• AL MODELLO scelto per descrivere come si comportano i
terremoti viene dato il nome di modello aleatorio [in inglese,
con un po’ meno di modestia “model of the world” (MOW).]
Metodi Quantitativi per
il Management
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111
Informazioni utili sulla Poisson
e  t (t )n
P(n, t ) 
n!
– è la probabilità che nel tempo t si verifichino n
eventi
• La somma per n=0... di P(n,t) è 1.

et (t )n
(t )n
t
e 
 et  et  1

n!
n 0
n0 n!

• La probabilità di avere k>N eventi è data da:
N
e t (t )n
et (t )n
 1 

n!
n!
nN1
n 0

• E[n]=t
Metodi Quantitativi per
il Management


ne t (t )n
(t )n
(t )n1
t
t
e 
 e  t 
 et  t  et

n!
n 0
n0 n  1!
n0 n  1!

Emanuele Borgonovo
112
Il corrispondente modello epistemico
• Ora, nonostante gli studi, è ben difficile che uno scienziato sappia con
esattezza il valore del parametro  della distribuzione. Più probabilitmente 
è descritto da una serie di valori. Per esempio  può stare tra 1/5 e 1/50
anni. Supponiamo che lo scienziato decida di esprimere il suo stato di
conoscenza su  tramite una distribuzione uniforme u( ):
Epistemic distribution for the frequency of earthquakes
8
u( )  0   1/ 50   1/ 5

u( )  1/ 5  1/ 50 1/ 50    1/ 5
7
6
f(lambda)
5
4
3
2
1
0
Metodi Quantitativi per
il Management
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1 0.12
lambda
0.14
0.16
0.18
0.2
Emanuele Borgonovo
113
A questo punto...
• Ci ritroviamo con due modelli:
• Il modello aleatorio: eventi avvengono secondo distribuzione di
Poisson
• Il modello espitemico: distribuzione uniforme dell’incertezza
• Allora, qual è la probabilità di avere un terremoto nei
prossimi due anni?
• Risposta: non c’è Una probabilità, ma c’è una p(n,t, ) per
ogni valore di .
• Quindi dobbiamo riscrivere:
 t
e ( t )
p(n, t,  )d 
u( )d
n!
Metodi Quantitativi per
il Management
n
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114
….
• Questa espressione ci dice che non tutte le
distribuzioni di Poisson pesano (in genere)
allo stesso modo. Quindi:


e  t (t )n
P(n, t )   p(n, t,  )d  
u( )d
n!


• Nel nostro caso: u()=c; quindi:
P (n, t ) 
Metodi Quantitativi per
il Management




 p(n, t,  )d  c 
e
 t
( t )
d
n!
n
Emanuele Borgonovo
115
In Generale
• Il MOW dipenderà da m parametri , ,…:
MOW (t ,,.... )
• La probabilità dell’evento (indichiamolo
ancora con t) sarà:

P( t )   MOW ( t , ,.... )f (, ,....) d d.....

Metodi Quantitativi per
il Management
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116
Un problema
• La probabilità di rottura di una serie di componenti
attorno al tempo dt è data dalla densità
esponenziale:
 t
df  e dt
• Dai dati a vostra disposizione emerge che:
  1/ 5 p  0.5

  1/ 8 p  0.3
  1/ 10 p  0.2

• Qual è il tempo medio di rottura?
Metodi Quantitativi per
il Management
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117
Soluzione
• E[t]=



0
0
0
(  t  1e1t dt )  0.5 (  t   2e2t dt )  0.5 (  t   3e3t dt )  0.1
 1/ 1  0.5  1/  2  0.3  1/ 3  0.1
 6.9
Metodi Quantitativi per
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118
Teorema di Bayes nel continuo
• Incertezza eistemica e teorema di Bayes
sono collegati in quanto sappiamo che
possiamo usare l’evidenza per aggiornare le
probabilità.
• Ad esempio, supponete di avere una moneta
e di voler sapere se la probabilità che esca
testa o croce sia del 50%.
• Come fate?
• Tirate la moneta….
Metodi Quantitativi per
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119
Formula
• La densità di probabilità di un parametro, dopo aver
raccolto l’evidenza (E) cambia come segue:
( ) 
L(E  )  0 ( )

 L(E  )   ( )
0

• L(E)=MOW likelihood o verosimiglianza
• 0=() è la densità di probabilità di  prima dell’evidenza
detta distribuzione a priori
• =() è la densità di probabilità di  prima dopo l’evidenza
detta distribuzione a posteriori
Metodi Quantitativi per
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120
Deriviamolo
• Prendiamo la formula del teorema di Bayes nel discreto:
P( A j E) 
P(E A j )  P( A j )
n
 P(E A )  P( A )
i
i
i1
• Passiamo al continuo: in questo caso vogliamo sapere la
probabilità che un parametro nella distribuzione assuma un
determinato valore dato che un certo evento si è verificato
• Quindi l’evento Aj è:  assume il valore *
• Da cui: P(Aj)0()d 0()=densità a priori
• Quindi: P(EAj) ha il significato di probabilità che l’evidenza
E si realizzi dato che  sia pari a * . Si scrive L(E,  ) ed è
chiamata funzione verosimiglianza: ma è anche il MOW!!!
Metodi Quantitativi per
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121
Deriviamolo
• Il denominatore esprime la somma delle probabilità
dell’evidenza dati tutti i possibili eventi. Nel caso
dell’ncertezza epistemica i possibili eventi sono i
valori del parametro . Quindi:

n
 P(E A )  P( A )   L(E ) ()d
i1
i
i
0

• Sostituendo i vari termini si trova la formula del
teorema di Bayes per stribuzioni continue che
abbiamo mostrato prima
Metodi Quantitativi per
il Management
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122
E’ una moneta onesta?
• Quale è il modello aleatorio?
 n k
P(k,n  k )     p  (1  p)nk
k 
• 2) Quale è il valore di p?
• E’ una binomiale:
• Supponiamo di non sapere nulla su p e allora scegliamo una
distribuzione a priori non informativa: la uniforme
0 (p)  1 0  p  1, 0
altr .
• Raccogliamo l’evidenza.
• Al primo lancio esce testa
• Al secondo croce
• Al terzo testa
Metodi Quantitativi per
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123
Ristulato
•
•
•
Primo lancio
– Evidenza t.
– MOW: L(tp)=p
– Priori: 0
Secondo lancio:
– Evidenza è c
– MOW: L(cp)=(1-p)
– Priori: 1
Terzo lancio:
– Evidenza t
– MOW: L(tp)=p
– Priori: 2
• Equivalentemente:
– Evidenza: t,c,t
– L(tctp)=p2(1-p)
– Priori: 0
Metodi Quantitativi per
il Management
1(p) 
L( t p)  0 (p)

p 1

 2p
1
 L(E p)   (p)dp  pdp
0

 2 (p) 
0
L( tc p)  1(p)

p  (1  p)

1
 L(tc p)   (p)dp  (p  p
1

2

)dp
0
 6(p  p )
2
3 (p) 
L( tc p)   2 (p)


 L(tc p)  2 (p)dp
p 2  (1  p)
1

2
p
  (1  p)dp

0
 12(p 2  p 3 )
3 (p) 
L( tct p)  0 (p)


 L(tc p)  2 (p)dp

p 2  (1  p)  1
1
2
p
  (1  p)  1dp
0
 12(p 2  p3 )
Emanuele Borgonovo
124

Grafico
2
1.8
3
1.6
2
1.4
1.2
1
1
0
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
Metodi Quantitativi per
il Management
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
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125
Distribuzioni Coniugate
• Likelihood
• Distr. A Priori
– Poisson
– Gamma
 t
e ( t )
P(n, t ) 
n!
n
• Distr. a Posteriori
 1 
(, ,) 
e
()
• dove:
'' ' 1 '
(, ' ,' ) 
e
(' )
Metodi Quantitativi per
il Management
'    r
'    t
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126
Distribuzioni Coniugate
• Distr. A Priori di :
• Likelihood
– Normale
1
fX ( x ) 
e
σ x 2π
– Normale
1 x μx 2
 (
)
2 σx
• Distr. a Posteriori:
Normale
1
fG ( x ) 
e
σ' x 2π
Metodi Quantitativi per
il Management
1
π0 (m) 
e
σμ 2π
• dove:
μ 
'
1 x μ'
 ( ' )2
2 σx
σ 'x 
1 mμx 2
 (
)
2 σμ
μ(σ x )2  nx(σμ0 )2
(σ x )2  n(σμ0 )2
(σ x / n)2 (σ μ )2
( σ μ ) 2  ( σ x )2 / n
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127
Distribuzioni Coniugate
• Likelihood
– Binomiale
n k
  p (1  p)nk
k 
• Distr. a Posteriori:
Beta
π1(p)  p( q' 1) (1  p)r ' 1
Metodi Quantitativi per
il Management
• Distr. A Priori di :
– Beta
π 0 (p)  p( q1) (1  p)r 1
• dove:
q'  q  k
r'  r  n  k
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128
Riassunto delle Distribuzioni Coniugate
N
Modello Aleatorio
Distribuzio Distribuzione a
ne a Priori Posteriori
Binomiale
Beta
Beta
Poisson
Gamma
Gamma
Normale
Normale
Normale
Normale
Gamma
Gamma
Negative binominal
Beta
Beta
Metodi Quantitativi per
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129
Incertezza nei Problemi decisionali
• Investimento:
2
E[URisky ]   P(C j )  C j  P.up  C1  (1  P.up)  C2
j1
2
E[ULessRisky ]   P(C j )  C j  1 C5
2 j1
E[ULessRisky ]   P(C j )  C j  P.up  C3  (1  P.up)  C4
j1
• Supponiamo che P.up sia distribuita secondo una uniforme tra
0.3 e 0.7
2
E[URisky P.up ]   P(C j )  C j  P.up  U1  (1  P.up)  U2
j1
• Come varia la decisione?
• Occorre propagare l’incertezza nel modello
Metodi Quantitativi per
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130
Propagazione analitica
• E’ lo stesso problema del MOW …


E URisky   E[URisky P.up ]  f (P.up )  dP.up 
 (P.up  U
1
 (1  P.up)  U2 )f (P.up )dP.up
• Ripetendo per le altre decisioni e confrontando i
valori attesi si ottiene la decisione ottimale

• Ricordiamo: E[g( x1, x 2 ,..., x n )]   g( x )  f ( x )dx

Metodi Quantitativi per
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131
Metodo Monte Carlo
• Campionamento di un valore di P.up
• Per ogni valore di P.up si valuta il modello.
• 2 informazioni:
– Frequenza della decisione migliore
– Distribuzione di ciascuna delle alternative
Metodi Quantitativi per
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132
Campionamento: il cuore del Monte Carlo
• 1) Generatore di numeri casuali “u” tra 0 e 1
0
1
u
• (I numeri sono generati con distribuzione uniforme)
• 3) Supponiamo che il parametro incerto  sia
caratterizzato dalla distribuzione cumulativa in figura:
Distribuzione cumulativa esponenziale
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
Metodi Quantitativi per
il Management
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
x
0.6
0.7
0.8
0.9
1
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133
Campionamento
1
Distribuzione cumulativa esponenziale
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
• Inversione:
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
x
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1
  F (u)
• I valori di  così ottenuti seguono la
densità/cumulativa da cui abbiamo invertito
Metodi Quantitativi per
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134
Esempio
• Valutare il volume del solido mediante metodo Monte
Carlo.
V0
V
nin
V  lim
 V0
n N
Metodi Quantitativi per
il Management
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135
Applicazione ID e DT
• Per ognuna delle variabili del modello si crea la
corrispondente distribuzione epistemica
• Storia 1:
• Si generano n numeri casuali tanti quanti sono le variabili incerte
• Si campiona il valore di ciascuna variabile invertendo la
distribuzione comulativa corrispondente
• Si valuta il modello
• Si registra per ciascuna storia il valore di ciascuna delle
alternativa
• Si registra l’alternativa preferita
• Si ripete il procedimento per N storie
Metodi Quantitativi per
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136
Risultato
• Frequenza della
decisione
• Incertezza della
decisione più frequente
Monte Carlo Simulation at
Decision
1.000
0.900
Probability
0.800
0.700
0.600
0.500
0.400
0.300
0.200
0.100
0.000
$10K
$40K
$70K
$100K
$130K
Value
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137
Problema V-1
• Il tempo medio di rottura di una serie di componenti in
funzionamento è descritto da una distribuzione
esponenziale con parametro . Supponete che  sia
caratterizzato da una distribuzione uniforme tra 1/100 e
1/10.
– Qual è il MOW? Quale il modello epistemico?
– Qual è il tempo medio di rottura?
• Supponete di avere registrato I seguenti tempi di rottura:
t=15, 22, 25.
– Aggiornate la distribuzione epistemica in base ai nuovi dati
– Qual è il nuovo tempo medio di rottura?
Metodi Quantitativi per
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138
Problema V-2: Investire
•
•
•
•
•
•
Siamo di nuovo alle prese con il problema dell’investimento (lezione 2 per il
diagramma di influenza). In realtà, fino ad oggi non avete raccolto dati per la P_up.
Dopo aver saputo del teorema di Bayes, cominciate a raccogliere dati. Dopo 15
giorni lavorativi avete: up,down,
down,down,down,up,down,up,down,up,down,up,up,up. Assumendo che le giornate
siano indipendenti:
a) Quale è il modello aleatorio e quale quello epistemico?
b) Senza i dati qual è la decisione migliore?
c) Qual è la distribuzione probabilità che il mercato sia up dopo i dati?
d) Cosa decidete ora?
Soluzione: a) Stabilire un modello aleatorio ed uno epistemico
–
–
•
Il modello aleatorio consta del modello degli eventi che caratterizzano la decisione. In questo caso
abbiamo un solo evento, l’andamento del mercato. Il modello aleatorio di questo evento è una
binomiale, dato che ci sono solo due eventi possibili, up e down, se assumiamo indipendenza tra le
giornate. La probabilità corrispondente è P_up.
Il modello epistemico: è l’insieme delle distribuzioni che descrive la nostra conoscenza dei
parametri del modello aleatorio. In questo caso è la dstribuzione di P_up. La distribuzione a priori:
partiamo da una uniforme tra 0 e 1 per P_up, dato che non abbiamo dati
b) Dobbiamo riprendere le espressioni del valore delle tre alternative in funzione di P_up
Metodi Quantitativi per
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139
Prob. 5-2
•
Per sapere qual è la decisione
migliore, dobbiamo ottenere il valore
E[URisky P_up] 
atteso delle tre alternative sulla
distribuzione a priori di P_up, quindi
sulla uniforme
2
2
P(C )  C
j1
j
j
 P_up  C1  (1  P_up)  C2
E[ULessRisky P _ up ]   P(C j )  C j  P_up  C3  (1  P_up)  C4
2
E[ULessRisky P _ up ]   P(C j )  C j  1 C5
j1
1
j1
1
E[URisky ]   E[URisky P_up ]f (P _ up )dP _ up   P_up  C1  (1  P_up)  C2   f (P _ up ) dP _ up 
0
•
0
 EP_up (C1  C2 )  0.5(C1  C2 )
Sostituendo i valori: E[URisky]=50,
E[USafe ]= 20, E[ULess Risky ]= 20
E[ULessRisky ]   E[ULessRisky P_up ]f (P _ up )dP _ up  EP_up (C3  C4 )  0.5(C1  C2 )
1
0
E[ULessRisky P _ up ]  C5
Metodi Quantitativi per
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140
Investire
•
c) Usiamo Bayes per aggiornare l’uniforme
–
–
–
•
Evidenza: up,down, down,down,down,up,down,up,down,up,down,up,up,up
L(E|P_up):
15!
L(E | P_up) 
(P _ up )7 (1  P _ up )8
7!8!
Priori: 0 uniforme tra 0 e 1
Teorema di Bayes:
L(E | P_up) 
15!
(P _ up )7 (1  P _ up )8  1
7!8!
1
15!
7
8
0 7!8! (P _ up ) (1  P _ up )  1 dP _ up

(P _ up )7 (1  P _ up )8
1
 (P _ up ) (1  P _ up )
7
8
 dP _ up
0
3.5
3
2.5
•
Distribuzione a posteriori
2
p0
1.5
p1
1
0.5
0.98
0.91
0.84
0.7
0.77
0.63
0.56
0.49
0.42
0.35
0.28
0.21
0.14
0
•
•
0.07
0
E[p_up]=0.47
d) Decisione dopo i dati: E[URisky]=23, E[USafe ]= 20, E[ULess Risky ]= 9.2
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141
Problemi
• Per gli esempi e gli esercizi della scorsa
lezione, sottoponete i modelli ad analisi
di sensitività:
– One way
– Two way
– Tornado diagrams
• Discutete i risultati
Metodi Quantitativi per
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142
Decisione Bayesiana
•
•
•
•
•
Siete i direttori di una libreria. Per migliorare le vendite state pensando di assumere
ulteriore personale. Assumendo più persone, pensate, dovrebbe migliorare il servizio.
Se il servizio migliora, vi aspettate un aumento del numero dei clienti e il conseguente
aumento del fatturato. Supponete che il numero di persone che entrano nel negozio
ogni giorno sia distribuito secondo una Poisson, con tasso non noto con certezza. Dai
dati a vostra disposizione sul numero di clienti ad oggi vi aspettate in media 50 persone
al giorno. I dati fittano una distribuzione gamma con valore atteso 55 e deviazione
standard 15. L’aumento di costi dovuto al servizio è 5000EUR al mese. Se il servizio è
efficace e ricevete più di 50 visite al giorno, ricavate 15000EUR, per un guadagno
operativo di 10000 medio sul numero di visite. Se non riuscite a superare le 50 persone
al giorno, allora perdete i 5000EUR. In base ad un sondaggio, stimate la probabilità che
il servizio aumenti di qualità pari p. Cosa decidete?
Dopo 6 giorni, avete a disposizione I seguenti dati sul numero di clienti:
75,45,30,80,72,41.
Riaggiornate le probabilità. Cosa decidereste adesso?
Quanto vi aspettate di guadagnare adesso?
Sottoponete I risultati ad analisi di sensitività sulle probabilità. Cosa vi suggerisce?
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143
Diagramma di influenza
Decisione
Servizio
Clienti
Guadagno
Clienti
Servizio
Decisione
Migliora
Pmigl
Investo
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1-Pmigl
Non Investo
Clienti=0
Servizio=0
P_500_up
Meno di 500
1-P_500_up
Non Migliora
P=0.1
Pmigl=0.5
P_500=0.5
P_500_down=0.5
P_500_up=0.7
Più di 500
10000
-5000
-5000
0
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144
Capitolo VI
Elementi di Teoria delle Decisioni
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145
Contenuti
• Preferenze nella Certezza
– Curve di indifferenza
– Funzione Valore [V(x)]: proprietà
– Indipendenza preferenziale
• Preferenze nell’incertezza
– Assiomi delle scelta razionale
– Funzione Utilità [U(x)] ad una dimensione
– Avversione al rischio
• Preferenze in presenza di obiettivi molteplici
– Funzioni Utilità a multiattributi
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146
Preferenze nella certezza
• Esempio: dovete sceglire il primo lavoro. Stabilite che gli
attributi sono: località (misurata in distanza dal vostro luogo di
origine), salario di base e prospettive di carriera. Chiamate gli
attributi x1, x2, x3. Avete a disposizione 5 scelte o opzioni a1,
a2,…,a5. Ad ogni scelta corrisponde con certezza un livello di
x1, x2, x3. Ovvero: le conseguenze di ogni scelta sono note
con certezza. Come decidete?
• Si tratta di un problema di scelta a più attributi, in
cui le conseguenze di una decisione sono note
con certezza.
• In questo caso dovete solamente stabilire quanto
rinunciare di un attributo a favore di un altro.
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147
Preferenze nella Certezza
Opzione
Valore
• La scelta è tra alternative le cui conseguenze
sono certe
Opzione
1
2
3
X1=0.0
X2=0.0
X3=0.0
X4=0.0
X5=0.0
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4
5
X1
X2
X3
X4
X5
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148
E’ possibile strutturare le preferenze?
• Per un determinato problema, potete creare
le curve di indifferenza o di isopreferenza:
x2
x1
• Punti che giacciono sulla stessa curva vi
lasciano indifferente
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149
La funzione Valore
• Supponete di poter associare un valore ad ogni
curva di indifferenza:
x2
x1
V( x)  v( x1, x2,..., xn )
• V(x) è la funzione che ci dice quanto sono disposto
a scambiare di xj a fronte di un aumento di xk
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150
V(x)
• V(x) è una funzione valore se soddisfa le
seguenti proprietà:
• a)
x'  x' '  v( x' )  v( x' ' )
• b)
x'  x' '  v( x' )  v( x' ' )
• Dovete sempre supporre una corrispondenza
tra opzioni (ai) e attributi x
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151
Esempio
• Per la scelta del lavoro, supponete di essere giunti
alla seguente funzione preferenza:
v( x)  3 / x  4x2  x3
2
1
2
• dove x1 è la distanza misurata in centinaia di
chilometri, x2 è la prospettiva di carriera misurata in
una scala da 0 a 10 e x3 è lo stipendio misurato in
k EUR
• Supponete di avere le seguenti 5 offerte:
– (1, 5, 20), (5, 4, 10), (8,3,60), (10, 5, 20), (10,2,40)
• Quale scegliete?
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152
Preferenze nell’Incertezza
Opzione
Utilità
Evento Casuale
Ora ho una miscela delle conseguenze di prima: per scegliere
non uso più la funzione Valore (V(x)) ma l’Utilità (U(x))
P11
1
P12
P13
P14
U1
U2
U3
U4
2
Scelta
3
P41
4
P42
P43
P44
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U1
U2
U3
U4
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153
Funzione Utilità
• Utilità è una funzione che dà la preferenza
sulle distribuzioni degli attributi.
• Date le distribuzioni 1 e 2 sulle conseguenze
x, la distribuzione 1 è tanto desiderabile
quanto la 2 se e solo se:
EU( x1)  EU( x2)
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154
Utilità vs. Valore
– Problema ad 1 attributo x. Supponiamo che se
l’alternativa 1 produce x1 e la 2 x2, allora 12 se x1>x2
– Prendiamo due alternative 1 e 2, con x1>x2, dati con
certezza.
– La funzione valore ci dirà: v(x1)>v(x2)
– Adesso prendete il seguente problema:
1
P1
2
1-P1
X1
XN
XI
– Per decidere avete bisogno di u(1) e u(2)
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155
Dominanza stocastica
Distributions over attribute x
1
2
0.9
1
0.8
probability distributions over x
0.7
La distribuzione 1 è dominata
dalla 2, se ottenere più x è preferibile.
Viceversa, se ottenere meno x
è preferibile, allora la distribuzione 2
è dominata dalla 1
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
1
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2
3
4
5
x
6
7
8
9
10
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156
Utilità in una Dimensione
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157
Equivalente Certo
• Data la lotteria:
1
P1
2
1-P1
X1
XN
X3
• il valore di x tale che siete indifferenti tra x* per
certo e giocare la lotteria.
1
X1
P1
2


1-P1
X2
X*
• In equazioni: u( x*)  E u( x)
• N.B.: se siete neutrali rispetto al rischio, allora
x*=E[x]
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158
Definizione di Avversione al Rischio
• Un decisore è avverso al rischio se preferisce
sempre il valore atteso di una lotteria alla lotteria
1
2 : £10
2
£10
0.500
0.500
£40
£(£20)
20
£10; P = 1.000
• Hp: funzione di utilità crescente. Th: Sitete avversi al
rischio se l’equivalente certo di una lotteria è sempre
inferiore al valore atteso della lotteria
• Siete avversi al rischio se e solo se la vostra
funzione utilità è concava
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159
Premio per il Rischio e Premio di Assicurazione
• Il premio per il rischio (“RP”) di una lotteria è la differenza tra il
valore atteso della lotteria e il vostro equivalente certo per la stessa:
RP  Ex  x *
• Intuitivamente, il premio per il rischio è la quantità di attributo a cui
siete disposti a rinunciare per evitare i rischi connessi alla lotteria.
• Supponete ora di trovarvi di fronte ad una lotteria che abbia solo
esiti negativi rispetto allo status quo. (una tale lotteria non è altro
che un insieme di incidenti). In pratica E[x]=0. A questo punto:
RP  x *
• Quindi siete disposti a pagare x* pur di coprirvi dalla lotteria. RP in
questo caso è il Premio di Assicurazione (PA)!
• Quindi:
PA :  x *
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160
Definizione Matematica
• La funzione avversione al rischio è definita da: r( x ) : 
u" ( x )
u' ( x )
d
ln( u' ( x ))
• che si può anche scrivere: r ( x )  
dx
• Supponiamo di avere una avversione al rischio costante,
otteniamo una funzione utilità esponenziale:
d
   ln( u' ( x ))  ln( u' ( x ))  x  u' ( x )  e x
dx
u( x )
x
1  x
  u' ( t )dt   e dt  u( x )  u( x 0 )  (e  e x 0 )

u( x 0 )
x0
 t
 u( x )  a  e x  b
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161
Risk Preferences
• Constant Risk Aversion
U  1 e
 r
• Compute constant  through Certainty
Equivalent (CE):
0.5  e
x1
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 0.5  e
 x1 / 2
e
CE
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162
Investment Results with Risk Aversion
Market
Decision
Market up
1-exp(-200/70) = 1
Blue Chip Stock 0.600
-3
Market Down
1-exp(-(-160)/70) = -9
0.400
Market up
TwoStock
prob_up=0.6
1-exp(-500/70) = 1
Risky Investment 0.600
-2,110
Market Down
1-exp(-(-600/70)) = -5,278
0.400
Bond=1
1-exp(-50/70) = 1; P = 1.000
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163
A quale valore accetterei l’investimento rischioso
Sensitivity Analysis on
prob_up
400.0
Blue Chip Stock
0.0
Risky Investment
Expected Value
-400.0
Bond
-800.0
Threshold Values:
-1,200.0
prob_up = 0.96
EV = 0.5
-1,600.0
prob_up = 1.00
EV = 0.9
-2,000.0
-2,400.0
-2,800.0
-3,200.0
0.40
0.52
0.64
0.76
0.88
1.00
prob_up
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164
Esempi di funzioni Utilità
• Lineare: u=ax
– Proprietà:
• Neutrale rispetto al rischio
• Esponenziale:
u( x)  a  ecx  b
– Proprietà:
• Segno - Avversione al rischio costante, + propensione al rischio
costante
• Logaritmica:
u( x )  a ln( x )  b
– Proprietà:
• Avversione al rischio decrescente con x
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165
Problemi
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166
Problema VI-1
• Per le seguenti tre funzioni utilità,
u( x )  a  x
u( x )  a  e x  b
u( x )  a  ln( x )  b
• calcolate:
– La funzione di rischio r(x)
– Il premio di rischio per lotterie 50/50
– Il premio di assicurazione
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167
Problema VI-2
• Considerate una lotteria 50/50. Determinate
la vostra costante di avversione al rischio,
assumendo una funzione esponenziale.
• Con la costante trovata nell’esercizio
precedente, risolvete i problemi e i diagrammi
di influenza assegnagi nella lezione 2. Come
cambiano le decisioni?
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168
Problema VI-3
•
•
•
State analizzando alternative per le vostre vacanze:
– Un tour per le città culturali d’Italia, durata 10 giorni, costo 500EUR, per un
totale di 1500km percorsi in macchina.
– Un viaggio ai Caraibi, durata 1 settimana, costo 2000EUR, viaggio in aereo.
– 15 giorni in una località Trentino, per un costo di 2000EUR, con 500km di
passeggiate a piedi.
In questo caso, per decidere vi serve una funzione utilità o valore?
Ragionate sull’ assegnazione di una funzione valore a tre attributi, e provate a
decidere. Provate la seguente funzione:
s( x )  1  e
•
•
1
  x1
a
( x 2 )2 x 3


b
c
dove x1 è il costo in migliaia di EUR, x2 è la distanza e x3 è un coefficiente di
merito riposo/divertimento da assegnare tra 1 e 10.
Cosa scegliete?
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169