Derivata di una funzione

LA DERIVATA
DI UNA FUNZIONE
LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE
1. IL PROBLEMA DELLA TANGENTE
Come si determina la retta tangente a
una curva in un punto P ?
Per una circonferenza, la tangente è la retta
che interseca la curva solo in P.
Ma, in generale, questa definizione non basta.
La tangente dipende dalle proprietà locali della curva in un intorno di P.
DEFINIZIONE
Retta tangente a una curva
La retta tangente t a una curva in un
punto P è la posizione limite, se esiste,
della secante PQ al tendere (sia da
destra sia da sinistra) di Q a P.
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LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE
2. IL RAPPORTO INCREMENTALE
DEFINIZIONE
Rapporto incrementale
Dati una funzione y = f (x), definita in
un intervallo [a; b] , e due numeri reali
c e c + h interni all’intervallo,
si chiama rapporto incrementale
di f (relativo a c) il numero:
.
Il rapporto incrementale di f relativo a c è il coefficiente angolare della retta
passante per A e B.
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2. IL RAPPORTO INCREMENTALE
ESEMPIO
Data la funzione
y = f(x) = 2x2 – 3x ,
e fissati il punto A di ascissa 1
e un incremento h,
determiniamo il rapporto incrementale.
f (1 + h) = 2(1 + h)2 – 3(1 + h) =
= 2(1 + 2h + h2) – 3 – 3h =
= 2 + 4h + 2 h2 – 3 – 3h =
= – 1 + h + 2 h2 ,
f (1) = – 1 ,
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.
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3. LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE
DEFINIZIONE
Derivata di una funzione
Data una funzione y = f (x), definita in
un intervallo [a; b],
si chiama derivata della funzione nel
punto c interno all’intervallo, e si
indica con f ' (c),
il limite, se esiste ed è finito, per h che
tende a 0, del rapporto incrementale di
f relativo a c:
.
La derivata di una funzione in un punto c rappresenta il coefficiente angolare
della retta tangente al grafico della funzione nel suo punto di ascissa c.
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LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE
3. LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE
Condizione di esistenza della
derivata
La derivata di f esiste in c se:
- la funzione è definita in un intorno di c;
- esiste il limite del rapporto
incrementale per h tendente a 0;
- il limite è un numero finito.
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Rapporto incrementale e derivata
Nel processo di limite il rapporto
incrementale diventa il coefficiente
angolare della retta tangente.
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4. CALCOLO DELLA DERIVATA
ESEMPIO
ESEMPIO
Calcoliamo il valore della derivata
della funzione:
y = x2 – x
in x = 3.
Calcoliamo la funzione derivata della
funzione:
y = 4x2 .
.
.
.
.
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5. LA DERIVATA SINISTRA E LA DERIVATA DESTRA
DEFINIZIONE
ESEMPIO
Derivata sinistra
La derivata sinistra di una funzione in
un punto c è
.
Calcoliamo le derivate destra e sinistra
della funzione:
y = |x|
nel punto x = 0.
,
DEFINIZIONE
.
Derivata destra
La derivata destra di una funzione in un
punto c è
.
I valori non coincidono:
la derivata completa non è definita in 0.
Una funzione è derivabile in c se la
derivata destra e la derivata sinistra
esistono in c e sono uguali.
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5. LA DERIVATA SINISTRA E LA DERIVATA DESTRA
DEFINIZIONE
ESEMPIO
Funzione derivabile in un intervallo
Una funzione y = f (x) è derivabile in un
intervallo chiuso [a; b]
se è derivabile in tutti i punti interni di
[a; b]
e se esistono e sono finite la derivata
destra in a e la derivata sinistra in b.
Riprendiamo la funzione
e verifichiamo la derivabilità in
y = |x|
[0; 2] .
Dal calcolo precedente, sappiamo che
esiste la derivata destra in 0;
nel resto dell’intervallo la funzione è
derivabile perché y = x è derivabile in R.
La funzione y = |x| è derivabile in [0; 2] .
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6. ESERCIZI: IL RAPPORTO INCREMENTALE
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6. ESERCIZI: IL RAPPORTO INCREMENTALE
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7. ESERCIZI: LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE
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7. ESERCIZI: LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE
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Retta tangente ad un grafico
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Punti stazionari
l’equazione della tangente è del
tipo y = k, ossia il suo
coefficiente angolare è 0.
Ciò significa che, in quel punto,
la derivata è uguale a 0.
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Punti di non derivabilità: flessi a tangente verticale
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Punti di non derivabilità: le cuspidi
I punti come C e D dei grafici della figura si chiamano
cuspidi: C verso il basso, D verso l’alto
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Punti di non derivabilità: i punti angolosi
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Continuità e derivabilità
Il teorema afferma che la derivabilità di una funzione implica
la continuità, e poiché il viceversa non è vero si può allora
concludere che la continuità è una condizione necessaria,
ma non è sufficiente per la derivabilità.
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Continuità e derivabilità
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LE DERIVATE FONDAMENTALI
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LE DERIVATE FONDAMENTALI
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LE DERIVATE FONDAMENTALI
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LE DERIVATE FONDAMENTALI
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TEOREMI SUL CALCOLO DELLE DERIVATE: La derivata
del prodotto di una costante per una funzione
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TEOREMI SUL CALCOLO DELLE DERIVATE: La derivata
della somma di funzioni
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TEOREMI SUL CALCOLO DELLE DERIVATE: La derivata
del prodotto di funzioni
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TEOREMI SUL CALCOLO DELLE DERIVATE: La derivata
del reciproco di una funzione
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TEOREMI SUL CALCOLO DELLE DERIVATE: La derivata
del quoziente di due funzioni
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TEOREMI SUL CALCOLO DELLE DERIVATE: La derivata
del quoziente di due funzioni
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TEOREMI SUL CALCOLO DELLE DERIVATE: La derivatadi
una funzione composta
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TEOREMI SUL CALCOLO DELLE DERIVATE: La derivata di
una funzione composta
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TEOREMI SUL CALCOLO DELLE DERIVATE: La derivata di
una funzione composta
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TEOREMI SUL CALCOLO DELLE DERIVATE: La derivata di
una funzione composta
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TEOREMI SUL CALCOLO DELLE DERIVATE: La derivata
delle funzioni inverse
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TEOREMI SUL CALCOLO DELLE DERIVATE: La derivata
delle funzioni inverse
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TEOREMI SUL CALCOLO DELLE DERIVATE: La derivata
delle funzioni inverse
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LE DERIVATE DI ORDINE SUPERIORE AL PRIMO
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LE DERIVATE DI ORDINE SUPERIORE AL PRIMO
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IL DIFFERENZIALE DI UNA FUNZIONE
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IL DIFFERENZIALE DI UNA FUNZIONE
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IL DIFFERENZIALE DI UNA FUNZIONE
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IL DIFFERENZIALE DI UNA FUNZIONE
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IL DIFFERENZIALE DI UNA FUNZIONE
I parametri sono costanti rispetto alla variabile t.
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IL DIFFERENZIALE DI UNA FUNZIONE: interpretazione
geometrica
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IL DIFFERENZIALE DI UNA FUNZIONE: interpretazione
geometrica
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IL DIFFERENZIALE DI UNA FUNZIONE: interpretazione
geometrica
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LE APPLICAZIONI DELLE DERIVATE ALLA FISICA
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LE APPLICAZIONI DELLE DERIVATE ALLA FISICA: la
velocità
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LE APPLICAZIONI DELLE DERIVATE ALLA FISICA
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LE APPLICAZIONI DELLE DERIVATE ALLA FISICA:
l’accelerazione
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LE APPLICAZIONI DELLE DERIVATE ALLA FISICA
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LE APPLICAZIONI DELLE DERIVATE ALLA FISICA: la
corrente
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LE APPLICAZIONI DELLE DERIVATE ALLA FISICA: la
corrente
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