Il campo elettrico
Ci immaginiamo la piccola “carica di prova”
e dividiamo il campo di forza F k
per la “carica di prova” q2
" q2 0"
q1 q2
r2
=> Otteniamo un campo che descrive solo l’effetto della carica q1
Lo chiamiamo campo elettrico,
Viene misurato in Newton al Coulomb
N
C
Direzione di E : verso la carica negativa
EF
q2
-
E
1
Per essere più precisi,
" q2 0"
vuol dire che q2 è molto piccolo
paragonato con q1
Le particelle elementari non solo hanno un momento angolare ben definito, ma
una carica elettrica ben definita, la loro carica è “quantizzata”
L’elettrone ha carica “– e”, con e 1,6 1019 C
Il quark u ha
Il quark d ha
qu 2 3 e
qd 13 e
Il protone (u,u,d) ha carica
Il neutrone (u,d,d) ha carica
2
3
e 2 3 e 13 e e
2 e 1 e 1 e 0
3
3
3
E anche la carica si conserva, esempio
e e
2
Legge di Gauss
Precedentemente abbiamo considerato la densità delle line di campo in funzione
della distanza da una carica per ottenere la legge di Coulomb.
L’argomento può essere generalizzato in forma matematica:
A
A
Elemento di superficie con vettore
normale sulla superficie e A area
Il flusso del campo E attraverso questo elemento di superficie è E A
Per una superficie “grande”, composta da tanti elementi, si applica
E A
3
Per superficie chiuse,
A punta verso l’esterno
In generale, la direzione di A dipende dalla
sfera
A
A
direzione della curva, che definisce la superficie
curva che definisce la superficie
4
Superficie gaussiana di forma cilindrica, l’asse del cilindo
sia parallelo al campo. Campo elettrico uniforme E.
Quanto vale il flusso del campo elettrico per questa
superficie chiusa?
E dA E dA E dA E dA
a
b
c
0
E
d
A
E
cos(
180
) dA E dA E A
a
0
E dA E cos(0 ) dA E A
c
0
E dA E cos(90 ) dA 0
b
E A 0 E A 0
5
Cubo gaussiano in campo elettrico non uniforme E 3.0 x i 4.0 j
(E in N/C, x in m)
Quanto vale il flusso elettrico attraverso la faccia di destra, quella di sinistra e
quella superiore?
Faccia di destra:
dA dA i
Flusso attraverso la faccia destra:
dA dA i
d E dA 3.0 x i 4.0 j dA i
3
.
0
x
dA
i
i
4
.
0
dA
j i 3.0 x dA 0 3.0 x dA
3.0 3.0 dA 9.0 dA
d 9.0 N
C
4.0m2 36 N m
2
C
6
Faccia sinistra
E 3.0 x i 4.0 j
dA dA i
s 4.0 3.0 N m2 C 12 N m2 C
Faccia superiore
a 3.0 x i 4.0 j dA j
m2
3
.
0
x
dA
i
j
4
.
0
dA
j
j
0
4
.
0
dA
4
.
0
dA
16
N
C
7
Legge di Gauss (una delle leggi di Maxwell) :
Il flusso di un campo elettrico attraverso una superficie chiusa (moltiplicato
con e0) è uguale alla carica, q, racchiusa all’interno della superficie.
e 0 E dA q
" "
Significa un integrale su una
superficie chiusa,
anche chiamata “superficie
gaussiana”
8
Cinque pezzi di plastica carichi e una moneta elettricamente neutra.
Una superficie gaussiana S.
Qual è il flusso del campo elettrico attraverso questa superficie, se
q1=q4=+3.1nC, q2=q5=-5.9nC, q3=-3.1nC
da e 0 e 0 E dA qint
qint
e0
q1 q2 q3
e0
3.110 9 C 5.9 10 9 C 3.110 9 C
m2
670
N
C
8.85 10 12 C 2 ( N m 2 )
9
Se scegliamo come superficie una sfera con raggio r, e al centro la carica q,
otteniamo:
e 0 E dA e 0 E dA e 0 E 4 r 2 q
E
1
4 e 0
q
r2
Legge di Coulomb
Per configurazioni geometriche diverse si sceglie una diversa superficie
guassiana, così che il problema diventa il più semplice possibile.
Esempio:
10
Simmetria cilindrica
r
(“carica uni-dimensionale”)
Una superficie gaussiana a forma di cilindro avvolge
una sezione di una lunghissima bacchetta cilindrica,
carica uniformemente (carica positiva)
Carica per lunghezza l
h
E
La carica racchiusa è:
A E
e 0 E dA e 0 E 2 r h
l h
l
1
E
2 r e 0 r
e 0 E 2 r h l h
11
Lamina carica (positivo)
(“carica bi-dimensionale”)
Con densità di carica superficiale (carica per unità di area) s
E
A
+
+
e 0 E dA q
1
0-dim: 2
r
E
diventa
1
1-dim:
r
e 0 E A E A s A
2-dim: costante
A
E
s
2 e0
12
Simmetria sferica
Sezione diametrale di un guscio sferico
sul quale è distribuita
uniformemente una carica q, con
due superfici gaussiane:
Per S2 (r>R):
e 0 E dA e 0 E 4 r 2 q
E
q
4 e 0 r 2
Visto da fuori (r>R), non importa se la carica è puntiforme,
o se distribuita uniformemente
Per S1 (r<R): la carica racchiusa, q, e’ 0
e 0 E dA 0
E 0
13
Potenziale (elettrico)
Sia dato un campo :
Per esempio
F (r )
Pi
Pf
E pot ( Pi , Pf ) F (r ) dr
Pf
Pi
Epot dipende solo da P0 e P, non dalla
strada che prende il punto
14
Nel precedente abbiamo detto: se una carica, q, sente una
forza F in un campo elettrico, il campo elettrico sarà:
EF
q
Pf
E pot F dr
In corrispondenza all’energia potenziale
Pi
Possiamo definire il potenziale fra due punti:
Pi
Pf
V E (r ) dr
Pi
Pf
L’unita’ di misura è Joule diviso
1J
Coulomb, che viene chiamato “Volt” 1V
1C
15
Invece di
E pot
Pf
Pi , Pf F dr
Pi
Possiamo scrivere semplicemente
E
, e così anche per
V
considerando
Pf
E pot F dr
Pi
Si può esprimere
EF
Pf
q
V E (r ) dr
Pi
E q V
Spesso , e anche in seguito viene semplicemente dato un punto di
riferimento, e si scrive per semplicità
V
invece di
V
16
Energie molto piccole spesso vengono misurate in eV (elettronvolt):
1 eV = energia corrispondente al lavoro richiesto per spostare una carica
elementare e (elettrone o protone) attraverso una differenza di potenziale
di 1 V.
1eV e 1V (1.60 1019 C ) (1 J ) 1.60 1019 J
C
Spostare una carica q per una differenza di
potenziale V, richiede (o libera) energia
q V
17
Punti nello spazio che hanno lo stesso potenziale formano una
superficie equipotenziale
=> Carica si può spostare senza lavoro
Percorso non importa,
importano solo Pi, Pf
18
Muovere una carica nel camp elettrico
senza scambiare energia vuol dire:
E dr
Superficie equipotenziali sono perpendicolari a
cosi che
E dr 0
E
e alle linee di forza
Linee di forza (viola), sezioni trasversali di superfici equipotenziali (gialle)
Campo uniforme
Campo carica puntiforme
Dipolo elettrico
19
+
dr
q0 E
-
20
Due punti (iniziale e finale, sulla stessa linie di campo),
campo elettrico uniforme
Si trovi la differenza di potenziale Vf-Vi, muovendo una
carica di prova dal punto iniziale al punto finale lungo
un percorso parallelo alla direzione di campo
V f Vi E ds
f
i
E ds E ds cos E ds
f
V f Vi E ds E ds
f
i
i
f
V f Vi E ds E d
i
21
Si trovi ora la differenza di potenziale Vf-Vi
spostando la carica di prova dal punto
iniziale al punto finale lungo il percorso
passante per il punto c
E ds
i c:
Vc Vi 0
c f :
f
f
f
0
0
V f Vs E ds E cos 45 ds E cos 45 ds
c
c
c
Ed
V f Vs
cos 450 E d
0
sin 45
l (c f ) d
sin 450
Come primo
22
Potenziale dovuto a una carica puntiforme
V f Vi E dr
E
R
q
4 e 0 r 2
q
1
q
0 V
dr
4 e 0 R r 2
4 e 0
V
1
q
1
r
4 e 0 R
R
1
4 e 0
q
R
23
Capacità elettrica
Un sistema che permette di portare una grande quantità di cariche vicino ad un altro
insieme di cariche si chiama “Condensatore elettrico”.
La “capacità elettrica” del condensatore indica, “quanta carica” si può
immagazzinare in certe condizione (da definire):
Un condensatore viene detto carico, se i suoi
piatti possiedono cariche uguali e di segno
opposto +q e –q. Però si fa riferimento alla carica
di un condensatore, dicendo che è q il valore
assoluto di queste cariche sui piatti. (q non è la
carica netta per il condensatore nel suo
complesso, che è nulla)
q
C
V
1 farad= 1F =
1 Coulomb/Volt = 1 C/V
24
25
Calcolare la capacità elettrica (condensatore piano):
V E ds E ds E d
a) Differenza di potenziale:
C
q
V
b) Campo elettrico:
Legge di Gauss:
E:
e 0 E dA q
campo elettrico tra i piatti
E dA q e 0 E A
q e0 E A e0 A
C
V
E d
d
La costante e 0 8.85 1012 C
2
N m
2
Si può anche scrivere come e 0 8.85 1012 F m 8.85 pF m
26
Condensatori in serie e in parallelo
Tre condensatori in parallelo:
Condensatori collegati in parallelo: la differenza
di potenziale, applicata al loro insieme, è la
stessa differenza di potenziale applicata a
ognuno di essi. La carica totale q
immagazzinata nei condensatori è la somma
delle cariche acquistate da ciascuno di essi.
condensatore equivalente:
Più condensatori in parallelo equivalgono a uno unico
condensatore che abbia carica pari alla carica totale dei
condensatori dati e la medesima loro differenza di potenziale.
significa: q1 C1 V
q2 C2 V
q3 C3 V
q q1 q2 q3 C1 C2 C3 V
q
Ceq C1 C2 C3
V
n
In generale: Ceq C j
j 1
27
Tre condensatori collegati in serie:
Condensatori sono in serie : la differenza di potenziale V
applicata alla combinazione di condensatori stabilisce su di essi
una carica q identica per tutti. La differenza di potenziale V
applicata al complesso è la somma della differenza presenti su
ogni condensatore.
Più condensatori in serie equivalgono a un unico condensatore che
abbia la medesima carica dei condensatori date e una differenza di
potenziale pari alla somma delle loro differenze di potenziale.
q
q
q
condensatore
V2
V1
V
3
C2
C1
equivalente:
C
3
1
1
1
V V1 V2 V3 q
C1 C2 C3
Ceq
q
1
1 1 1
V
C1
C2
C3
1
1
1
1
Ceq C1 C2 C3
n
1
1
Ceq j 1 C j
28
Due condensatori di 0.2 nF sono collegati in serie ed il loro complesso in parallelo con
un condensatore di 100 nF. Calcolare la capacità elettrica equivalente.
C1 = C2 = 0.2 nF e C3 = 100 nF.
C1
C2
C3
La capacità equivalente C12 dei due condensatori in serie
risulta
1/C12 = 1/C1 + 1/C2 = (C1 + C2)/(C1 *C2)
da cui
C12 = (C1 *C2)/(C1 + C2) = 100 nF .
La capacità equivalente complessiva CT è data dalla relazione
CT = C12+C3=200 nF
29
energia potenziale nel condensatore
usando
E q V
E chiamando la differenza di potenziale per brevità V
invece di V vediamo:
Con la differenza di potenziale fra i piatti V
q
C
portando una carica addizionale dq, richiede il lavoro dq V dq
q
C
Se portiamo cariche nel condensatore, cominciando da un condensatore
scarico (q=0), il lavoro da fare è:
q
1
q2
q dq
C0
2C
12 C V 2 12 q V
Data la conservazione di energia, questo è il lavoro immagazzinato come energia
potenziale nel condensatore
30
Un condensatore di 60 mF viene caricato a 12V.
a) Quanto vale la carica sul condensatore?
b) Quanta energia è accumulata nel condensatore?
a)
In base alla definizione di capacità la carica sul condensatore è:
Q CV (60mF )(12V ) 720mC
b)
L’ energia accumulata è:
1
1
W QV (720mC )(12V ) 4320 mJ
2
2
o invece:
1
1
W CV 2 (60mF )(12V ) 2 4320mJ
2
2
31
Se si riempie lo spazio tra i piatti di un
condensatore con un materiale isolante,
La capacità aumenta,
Il fattore di aumento viene chiamato er – costante
dielettrica relativa
(relativa al vuoto con er=1)
C e r Cvuoto
32
33
