5) IL CAMPIONE
CASUALE
SEMPLICE CON
RIPETIZIONE
CAMPIONE: sottoinsieme delle unità che
formano la popolazione oggetto di riferimento.
ESEMPIO
P=popolazione formata da N=4 unità (palline)
sulle quali sono presenti le manifestazioni di un
generico fenomeno qualitativo X
(contrassegno). A seguito di una rilevazione si
ottiene:
Variabile
statistica
160 170 180
2
1
1
Oppure (con la variabile statistica articolata in
frequenze relative):
160 170 180
2
1
1
4
4
4
Si vuole ora avere informazioni sullo stesso fenomeno
ma entrandone in possesso solo in via campionaria. Si
effettuano cioè in P n=2 scelte “bernoulliane”:
supponendo le palline assolutamente identiche (a meno
del contrassegno) se ne estrae una; letto il numero, la si
introduce ancora nell’urna (per riprodurre nuovamente la
variabile statistica ), quindi si procede ad una seconda
estrazione. Supponendo che la coppia di numeri estratti
sia (170,160), essa viene chiamata “campione
bernoulliano” articolato in n=2 prove. L’attributo “con
ripetizione” indica che la stessa pallina può essere
estratta in entrambe le prove.
Definizione classica di probabilità:
Numero casi favorevoli
Numero casi possibili
Condizione: i casi possibili devono tutti essere alla
pari
Nel nostro caso le relative probabilità di costituire l’esito
della scelta sono:
per 160 1/4
per 170 2/4
per 180 1/4
Le tre coppie (160,1/4), (170,2/4), (180,1/4), prendono il
nome di variabile casuale X.
N.B.
C X
Cioè la variabile statistica e la variabile casuale
coincidono essendo le quattro palline identiche e note per
quanto riguarda i rispettivi contrassegni. Ovviamente la
var. statistica tiene conto di ciò che si è osservato, mentre
la var. casuale descrive ciò che potrà accadere.
Ora: con la prima scelta può accadere:
Ciò che può accadere nella prima scelta è descritto dalla
v.c. X1:
X1
160 170 180
2
1
1
4
4
4
con la seconda scelta può accadere:
X2
170 180
160
2
1
1
4
4
4
Poiché ciascun risultato della seconda scelta può
associarsi a ciascun risultato della prima, le coppie
possibili (una delle quali costituirà l’esito campionario)
sono:
I prova (x1)
160
II prova (x2)
campione (x1, x2)
160
170
180
(160, 160)
(160, 170)
(160, 180)
170
160
170
180
180
160
170
180
:
(170, 160)
(170, 170)
(170, 180)
(180, 160)
(180, 170)
(180, 180)
Le nove coppie (x1, x2) sono le possibili determinazioni
della v.c. bidimensionale (X1, X2).
Si tratta ora di associare ai nove campioni le
corrispondenti probabilità di essere l’esito delle 2 prove.
Essendo le due prove in questione indipendenti, cioè tali
che l’esito di una prova prescinde totalmente dall’esito
dell’altra, la probabilità che la v.c. (X1, X2) valga la coppia
(x1, x2) è data da:
P(X1 = x1, X2 = x2) = P(X1 = x1)·P(X2 = x2)
Le probabilità associate alle nove coppie campionarie si
riassumono nella seguente tabella dove i valori interni
sono proprio queste probabilità, mentre i valori
dell’ultima riga e dell’ultima colonna sono le probabilità
chiamate marginali, che caratterizzano gli eventi della
prima prova e della seconda prova separatamente.
X1 prima prova
X 2 seconda prova
160
170
180
160 170 180
1
16
1
8
1
16
1
4
1
8
1
4
1
8
1
2
1
16
1
8
1
16
1
4
1
4
1
2
1
4
1
In precedenza si è supposto che le due scelte
nell’urna fornissero la coppia (170,160); dalla
tabella emerge ora che un tale evento ha
probabilità di verificarsi pari a 1/8.
In pratica la formazione del campione non
avviene ricorrendo alla scelta con ripetizione in
un’urna dove è riprodotta la popolazione in
esame, ma avviene secondo criteri proposti dalla
teoria delle rilevazioni campionarie.
In generale il campione viene realizzato con una
scelta in blocco di n unità, cioè n unità
contemporaneamente, così che sia esclusa la
possibilità di assumere più di una volta la stessa
informazione.
È possibile provare che, se la numerosità della
popolazione è sufficientemente elevata, i due
campioni con ripetizione o in blocco portano agli
stessi risultati. Per questo motivo si suppone
spesso che il campione sia del tipo con ripetizione
che consente il ricorso a formule più semplici.
