Ottavio Serra
IRRAGGIAMENTO
Liceo Scientifico Scorza Cosenza
Maggio 2010
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L’irraggiamento termico è la radiazione
elettromagnetica di corpi incandescenti. In realtà
ogni corpo, che non sia allo zero assoluto, irradia
onde elettromagnetiche o, nel linguaggio
quantistico, fotoni.
Solo se la temperatura supera i 500 °C la
radiazione comincia a essere percepita dall’occhio
come luce, prima abbiamo radiazione infrarossa,
poi giallo, verde blu, violetto, ultravioletto.
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Si badi che la radiazione elettromagnetica non
è necessariamente di tipo termico, cioè dovuta
a disordine molecolare. Per esempio, un
metallo bombardato con elettroni veloci
emette, oltre a uno spettro di righe
caratteristico del metallo, uno spettro
continuo di tipo non termico, che è troncato
bruscamente verso le alte frequenze
o brevi
lunghezze d’onda.
3
4
Il grafico superiore rappresenta lo spettro di
raggi X, indipendente dalla temperatura,
l’inferiore l’irraggiamento termico misurato
da Lummer e Pringsheim verso la fine
dell’800 per due temperature diverse.
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Potere emissivo e potere assorbente
Il potere emissivo di un corpo è il rapporto
tra l’energia irradiata in tutte le direzioni
nell’unità di tempo dall’unità di superficie
nella banda di frequenza unitaria.
Esso dipende dal corpo e dallo stato della
superficie, dalla frequenza e dalla
temperatura e si misura in J/s.m^2.Hz.
W
e(corpo, , T )
t.S .
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Il potere assorbente è invece un numero puro,
rapporto tra l’energia assorbita e quella
incidente. Il rapporto tra il potere emissivo e il
potere assorbente non dipende dal corpo, è
una funzione universale della frequenza e
della temperatura. Se un corpo assorbe tutte le
frequenze, si chiama corpo nero. Siccome il
potere assorbente è <= 1, il rapporto tra
potere emissivo e potere assorbente è il
potere emissivo del corpo nero.
e(corpo, , T ) / a(corpo, , T ) E ( , T )
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Che il potere emissivo del corpo nero non dipenda dal corpo,
fu dimostrato da Kirckoff . Siano A e B due corpi neri (neri
come la bocca di un forno, spiegare) immersi in
un termostato a temperatura T di equilibrio. Se per qualche
frequenza il corpo A emettesse più di B, tramite un filtro
trasparente a quella frequenza l’energia fluirebbe da A verso B:
A si raffredderebbe e B si riscalderebbe, contro il 2° principio
della termodinamica. Il problema fu allora di determinare il
potere emissivo del corpo nero E(,T). Si vede che il potere
emissivo E è legato alla densità di energia in una cavità portata
all’equilibrio termico, u(,T), dalla relazione E=c.u, essendo c
la velocità della luce (basta considerare le dimensioni fisiche
delle grandezze). Più precisamente , ma ciò è più difficile da
dimostrare, E(,T)(c/4).u(,T).
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Il fatto che il rapporto tra il potere emissivo
di un corpo e il suo potere assorbente
dipende dal corpo implica che un corpo
tanto più emette quanto più assorbe. In
particolare, il corpo nero ha il massimo
potere emissivo, a parità di frequenza e di
temperatura. In generale, un corpo ha un
potere assorbente selettivo, cioè dipendente
dalla frequenza; ciò spiega il colore dei
corpi.Vediamo ora come si calcola u(,T) e
quindi E(,T)=(c/4). u(,T) .
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Dalla teoria cinetica si sa che per ogni grado di libertà
1
l’energia cinetica media è
cin
KT
2
In un solido (monoatomico) gli atomi sono
legati elasticamente da forze elettrostatiche,
essi vibrano armonicamente e hanno
un’energia potenziale media uguale a quella
cinetica media
1 2 1 2 2 2
pot kx m A s en ( t )
2
2
10
cin
1
2 2
2
m A cos ( t )
2
Siccome in media i quadrati di seno e
coseno sono uguali e la somma è 1,
ciascuno è 1/2, perciò
2
KT
.
cin
Segue che
U 8 2
2 2
u ( , T )
3 KT E ( , T ) 2 KT
c
c
Questa formula è dovuta a Rayleigh e Jeans
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Potere emissivo in funzione della
frequenza, secondo la legge classica
12
Il potere emissivo integrale, cioè su tutte
le frequenze, conduce a un valore infinito
e ciò è fisicamente assurdo. Vedi
diapositiva precedente.
Il problema fu risolto nel 1902 da Max
Plank con l’ipotesi dei quanti di energia.
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L’energia cinetica media risulta
h
e infine
e
h
KT
1
2 2
E ( , T ) 2
c
h
e
h
KT
1
Per basse frequenze si ottiene la formula
classica di Rayleigh e Jeans, perché
l’esponenziale a denominatore si approssima
ad 1+h/KT
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La costante h è il famoso quanto
elementare d’azione, ora detta costante
di Plank. K invece è la costante di
Boltzman, rapporto tra la costante R dei
gas perfetti e il numero di Avogadro.
h 6,6.10
34
Js
8,31
23
K
1,38.10
J
/
K
23
6, 02.10
15
L’irraggiamento integrale
Dalla legge di Plank, integrando su tutte le
frequenze, si ottiene l’irraggiamento totale
2 K T
E (T ) 2 3
c h
4
L’integrale vale
4
0
3
x dx
x
e 1
/15
4
perciò E (T ) T 4 , 5,57.108 watt / m2
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La legge era già stata trovata sperimentalmente da
Stefan e Bartoli. Boltzman l’aveva dimostrata con
considerazioni termodinamiche, ma la costante
l’aveva determinata empiricamente. Si noti la potenza
della teoria dei quanti.Un’altra legge, nota come legge
di Wien o dello spostamento, collega la frequenza di
massimo potere emissivo alla temperatura della
sorgente. Essa ora si può dedurre derivando la legge di
Plank rispetto alla frequenza: si trova
K
0
T
h
(3 ).e 3 0.
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Siccome dalla luce visibile ai raggi X è più
semplice misurare lunghezze d’onda , la legge
di Wien viene ricavata dalla legge di Plank
espressa in funzione della lunghezza d’onda,
come è illustrato nella fig 1, e derivando
rispetto alla lunghezza d’onda. Si trova
0 .T 0, 288cm.K
Questa legge consente di ricavare la
temperatura di una sorgente misurando la
lunghezza d’onda di massimo potere
emissivo.
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E’ fondamentale per trovare la temperatura
delle stelle. Da notare che prima di Plank
Wien aveva determinato empiricamente la
costante 0,288 osservando come si spostava la
lunghezza d’onda del massimo (misurata con
uno spettroscopio) al variare della
temperatura di un forno (misurata con un
termometro a resistenza elettrica). Ma è chiaro
che non si può infilare un termometro in una
stella, per non parlare della bellezza della
teoria quantistica.
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Potere emissivo in funzione della
lunghezza d’onda.
Siccome c/, differenziando si ha
2
d cd /
E sostituendo nella legge di Plank
2 hc3
1
cd
E ( , T )d 2 3 hc
E ( , T ) d
2
c K T
e
1
Si noti il segno “ - “: se aumenta,
diminuisce.
20
2 hc
In definitiva,E ( , T )
5
2
1
e
hc
K T
1
La legge è in perfetto accordo con i dati
sperimentali di Lummer e Pringsheim, come
riportati nei grafici di fig 1 a pagina 4.
Oramai le verifiche sperimentali sono
innumerevoli.
N.B. Sia che si consideri E(,T), sia E(,T),
l’area al di sotto del grafico (l’integrale da 0 a
infinito) dà sempre la legge di Stefan con lo
stesso valore della costante .
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Invece la legge di Wien, espressa in termini di
frequenza, dà il massimo potere emissivo in
corrispondenza di una riga spettrale diversa da
quella che si ottiene in termini di lunghezza d’onda.
Per esempio, per il Sole, temperatura della fotosfera
di circa 6000 °K, il massimo potere emissivo cade
nell’infrarosso se si calcola la frequenza, se invece si
calcola la lunghezza d’onda cade nel visibile,
precisamente a 4800 A°. E’ un caso che l’occhio
umano (forse di tutti gli animali terrestri) ha la
massima sensibilità per la luce giallo-verde?
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Nota tecnica sui thermos.
Un vaso Dewar (un thermos) deve isolare
termicamente il contenuto dall’ambiente
esterno. Perciò si richiede: doppia parete per
evitare il passaggio di calore per conduzione,
il vuoto nell’intercapedine per bloccare la
convezione; e per impedire l’irraggiamento?
La parete interna deve essere lucidata a
specchio: trappola per fotoni. E il tappo ci
vuole?
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Bibliografia
essenziale
1) S. Tolansky: “Introduzione alla fisica atomica”, Einaudi,
Torino 1950. Livello universitario di media difficoltà
2) R. Becker: “Teoria dell’elettricità”, Sansoni, Firenze 1950.
Livello universitario avanzato (2° volume, appendice G)
3) A. Manna: “Elementi di fisica atomica”, R.A.D.R., Padova
1972. Livello liceale.
4) J. Orear: “Fisica generale”, Zanichelli, Bologna 1973.
Livello liceale.
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