Moto 1 - Maecla

Lo studio del movimento
Cinematica


Domanda
Quando un corpo è in movimento?
Risposta
Quando al trascorrere del tempo cambia la sua
posizione nello spazio
Cinematica


La cinematica è quella parte della Fisica che
studia il movimento
Descrivere il movimento di un corpo significa
saper dire qual è la posizione di quel corpo nello
spazio istante per istante
Cinematica
Esempio
Un orologio a pendolo compie una oscillazione completa
(andata e ritorno) in 2 secondi
Se facciamo partire il cronometro
quando il pendolo si trova a
sinistra, dopo 2 secondi dove si
troverà il pendolo?
E dopo 3 secondi e mezzo?
Cinematica =

studio del movimento
Altro esempio
Un treno viaggia ad una velocità costante di 60 km
all’ora. Facciamo partire il cronometro quando il treno
passa davanti al passaggio a livello.
Dopo 20 minuti a quanti km dal passaggio a livello si
troverà il treno?
Semplificazione



Nello studio della cinematica un qualsiasi
corpo viene considerato come un punto.
Un punto è un ente geometrico che non ha
dimensioni.
Noi studieremo la cinematica del punto
materiale cioè di un punto dotato di
massa o di peso.
Il punto materiale
Esempio
Consideriamo un’automobile. Nel nostro studio
considereremo l’automobile come se fosse un
punto in cui è concentrata tutta la massa
dell’automobile.
Il punto materiale
Altro esempio
Consideriamo una nave. Per noi la nave è come un
punto materiale in cui è concentrata tutta la massa.
Conclusione
Per noi studiare il moto di una nave o di
un’automobile o di un aereo o di una persona o di
una formica equivale a studiare il moto di un punto
in cui è concentrata tutta la massa del corpo.
Il punto materiale
Altro esempio
Anche per studiare il moto del
pianeta Terra rispetto al sole
consideriamo la Terra come se
fosse un punto
Domanda
Perché facciamo questo?
Risposta
Per semplificarci la vita. Per studiare il moto
senza tener conto delle dimensioni del corpo.
Sistema di riferimento


Quando studiamo il moto di un corpo
(d’ora in poi diremo moto di un punto
materiale) dobbiamo dire rispetto a che
cosa andiamo a studiare il moto.
Infatti un corpo può essere fermo
rispetto ad un osservatore ma in
movimento rispetto ad un altro
osservatore.
Sistema di riferimento
Esempio
Consideriamo tre ragazzi: Antonio, Giuseppe e Francesco.
Antonio e Giuseppe sono seduti nell’autobus uno di fianco
all’altro, mentre Francesco è fermo alla fermata in attesa
dell’autobus.
Domanda
Antonio è fermo oppure è in movimento?
E’ ovvio che Antonio è in movimento rispetto a Francesco.
E’ anche ovvio che Antonio è fermo rispetto a Giuseppe.
Conclusione
Non si può dire se un corpo è fermo oppure è in moto
senza specificare rispetto a chi o a che cosa.

Sistema di riferimento


Per descrivere il moto di un punto materiale bisogna
sempre assegnare un sistema di riferimento
cioè indicare l’insieme degli oggetti rispetto ai quali si
osserva il movimento.
Il sistema di riferimento viene rappresentato con un
sistema di assi cartesiani ortogonali sui quali è fissato
l’unità di misura delle lunghezze e al quale è collegato un
orologio per misurare gli intervalli di tempo.
Sistema di riferimento
La traiettoria del moto

Domanda
Che cosa è la traiettoria?
Risposta
E’ la linea descritta dal punto materiale
in movimento con il passare del tempo.
Esempi di traiettorie

Traiettoria rettilinea
Il corpo (punto materiale)
si muove lungo una retta
Anche se la biglia urta contro le sponde, la
traiettoria può considerarsi come un insieme
di più segmenti ma tutti rettilinei.
Altro esempio di traiettoria rettilinea è quello
della caduta di un corpo dall’alto verso il basso
Esempi di traiettorie

Traiettoria circolare
Il corpo (punto materiale) si
muove lungo una circonferenza
Esempi di traiettorie

Traiettoria curvilinea
Il corpo (punto materiale) si
muove lungo una curva
Esempi di traiettorie

Traiettoria parabolica
Il corpo (punto materiale) si
muove lungo una parabola
Ovviamente una traiettoria può essere
anche composta ad esempio da pezzi
rettilinei e pezzi curvilinei
Riconoscimento delle traiettorie
b) Curvilinea
a) Rettilinea
d) Parabolica
c) Circolare
Moto rettilineo


In questa prima fase ci occuperemo del
caso più semplice: il moto rettilineo
cioè un moto che ha per traiettoria una
retta.
In questo caso non ci serve come
sistema di riferimento un piano
cartesiano, cioè non ci servono
entrambi gli assi x e y
Moto rettilineo
Nel moto rettilineo il punto materiale si può muovere
solo lungo la retta, quindi basta il solo asse x per
descrivere la posizione
Moto rettilineo
Per comodità d’ora in poi indicheremo la posizione di un
corpo rispetto all’origine (zero) con la lettera s
minuscola anziché con la lettera x
Il valore di s indica la posizione del punto
materiale rispetto all’origine dell’asse (lo zero)
In questo caso s = 2 (possono
essere metri, km, cm)
Posizione e distanza percorsa
Consideriamo un punto materiale che all’istante t1 = 1 s
si trova a 2 metri dall’origine. Pertanto s=2
Passa il tempo e all’istante t2 = 4 s si trova a
8 m dall’origine. Pertanto s= 8
Domanda
Quanto vale la distanza percorsa?
E quanto vale il tempo trascorso?
Posizione e distanza percorsa
La distanza percorsa (spazio) dal punto materiale è la
differenza tra la sua posizione finale s2 e la sua posizione
iniziale s1
Questa differenza (distanza percorsa o spazio) la indicheremo
con questo simbolo: Ds (si legge delta esse)
Ds = s2 – s1
Nel nostro esempio Ds = s2 – s1 = 8 m – 2 m = 6 m
Intervallo di tempo
Mentre il punto materiale passa dalla posizione iniziale s1
a quella finale s2 il tempo scorre.
Quanto vale l’intervallo di tempo trascorso?
L’intervallo di tempo trascorso è dato dalla differenza tra il
tempo finale t2 e il tempo iniziale t1
Questa differenza (intervallo di tempo) la indicheremo con
questo simbolo: Dt (si legge delta ti)
Dt = t2 – t1
Nel nostro esempio Dt = t2 – t1 = 4 s – 1 s = 3 s
Velocità media di un punto
Si definisce velocità media del punto il rapporto tra la
distanza percorsa Ds ed il tempo Dt impiegato per
percorrere la distanza.
s
vm 
t
Nel nostro esempio vm 
s 6m

 2m / s
t 3s
Ciò significa che il nostro punto ha percorso
mediamente 2 metri ogni secondo
Unità di misura della velocità
Nel S.I. (Sistema Internazionale)
- la distanza si misura in metri (m)
- il tempo si misura in secondi (s)
Essendo la velocità il rapporto tra la distanza percorsa ed il
tempo necessario per percorrerla, la velocità nel S.I. si
misura in metri al secondo
m/s
Ci capita spesso però di sentire che un automobile va
ad una velocità di 90 km/h
Ricordiamo che il km è un multiplo del metro e l’ora è
un multiplo del secondo
Conversione km/h
1 km 1000 m 1000 m


h
h
3600 s
m/s
1m

3,6 s
In definitiva per trasformare una velocità espressa in
km/h in m/s basta dividere per 3,6
Esempio
Un automobile va ad una velocità di 100 km/h. Qual
è la sua velocità espressa in m/s ?
Basta fare
100
v
 27,7 m/s
3,6
Conversione m/s
km/h
1
1
km
km
1 3600 km 3,6 km
1m
1000
1000




h
s
1
1000 1
s
s
h
3600
In definitiva per trasformare una velocità espressa in
m/s in km/h basta moltiplicare per 3,6
Esempio
Un automobile va ad una velocità di 14 m/s. Qual è
la sua velocità espressa in km/h ?
Basta fare
v  14  3,6  50,4 km/h
Significato di velocità media
Problema
Un treno parte da Napoli ed arriva a Milano secondo
la seguente tabella:
Percorso
Ds
(km)
tempo
Napoli - Roma
214
1h 45 min
Roma – Firenze
316
1h 52 min
Firenze-Bologna
97
1h 5 min
Bologna-Milano
219
1h 48 min
Dt
(h)
Vm
Andiamo a calcolare la velocità media di ciascuna tappa
Significato di velocità media
Per fare questo dobbiamo trasformare il tempo espresso in ore
e minuti in ore
Napoli -Roma
45 3
3 7
1h 45 min  1h  h  1   h
60 4
4 4
Roma - Firenze
52 26 13 13 15  13
h
1h 52 min  1h  Ds h  1  
Dt
Percorso
tempo 15
60 30 15 15
(km)
(h)
Napoli - Roma
214
1h 45 min
7/4
Roma – Firenze
316
1h 52 min
28/15
Firenze-Bologna
97
1h 5 min
Bologna-Milano
219
1h 48 min
28

h
15V
m
Significato di velocità media
In definitiva abbiamo
Percorso
Ds
(km)
tempo
Dt
(h)
Napoli - Roma
214
1h 45 min
7/4
Roma – Firenze
316
1h 52 min
28/15
Firenze-Bologna
97
1h 5 min
13/12
Bologna-Milano
219
1h 48 min
27/15
Vm
s 214 km

 123,3 km/h
t
7/4 h
s 316 km
Velocità media Roma – Firenze: vm 

 169,3 km/h
t 28/15 h
Velocità media Napoli-Roma: vm 
Significato di velocità media
In definitiva abbiamo
Percorso
Ds
(km)
tempo
Dt
(h)
Vm
Napoli - Roma
214
1h 45 min
7/4
122,3
Roma – Firenze
316
1h 52 min
28/15
169,3
Firenze-Bologna
97
1h 5 min
13/12
89,5
Bologna-Milano
219
1h 48 min
27/15
121,7
Ci sono tratte più veloci e tratte più lente.
Se volessimo calcolare la velocità media sull’intero
percorso dovremmo fare:
s
(214  316  97  219) km
846 km
vm 


 130,2 km/h
t (7/4  28/15  13/12  27/15) h
6,5 h
Significato di velocità media
La velocità media dunque è quella velocità a
cui dovrebbe andare costantemente il treno
per percorrere gli 864 km in 6,5 ore.
Esercizi
Un’automobile percorre 140 km in 2 h.
Calcolare la velocità media.
Abbiamo lo spazio in km ed il tempo in ore.
Possiamo applicare la formula ottenendo la
velocità in km/h
s 140 km
km
vm 

 70
t
2 h
h
km
m
70
: 3,6  19,4
h
s
Esercizi
Come si chiama la grandezza fisica che
misura la durata di un fenomeno?
Risposta
Tempo
Con quale strumento si misura un
intervallo di tempo?
Risposta
Orologio o cronometro
Esercizi
Calcolare quanti minuti ci sono in un giorno
Risposta
60 min/h x 24 h = 1440 min
Un’automobile percorre 120 km in 2h 15 min.
Calcolare la sua velocità media
Risposta
15 1
1 9
2h 15 min  2h  h  2   h
60 4
4 4
s 120 km
4 km
km
m
vm 

 120 
 53,3
 53,3 : 3,6  14,8
t
9/4 h
9 h
h
s
Esercizi
Un automobile viaggia a 70 km/h per un’ora e mezzo e
successivamente a 90 km/h per mezz’ora.
Calcolare la velocità media e la distanza percorsa.
Risposta
La distanza percorsa a 70 km/h in 1,5 h è:
70 km/h x 1,5 h = 105 km
La distanza percorsa a 90 km/h in 0,5 h è:
90 km/h x 0,5 h = 45 km
La distanza totale percorsa è: 105 km + 45 km = 150 km
Il tempo totale impiegato è: 1,5 h + 0,5 h = 2 h
Pertanto, la velocità media è:
s 150 km
km
m
vm 

 75
 75 : 3,6  20,8
t
2h
h
s
Esercizi
s 240 km
km
vm 

 60
t
4h
h
Osservando il grafico velocità-tempo, calcolare le distanze
percorse in ogni tratto e la velocità media sull’intero
Nel tratto rosso l’auto va a
percorso.
30 km/h per un’ora,
quindi percorre trenta km.
Nel tratto verde va a 60
km/h per 2 h e quindi
percorre 120 km.
Nel tratto blu va a 90
km/h per 1 h, quindi
percorre 90 km.
In totale percorre
30+120+90 = 240 km
Il tempo totale è di 4h
Moto rettilineo uniforme



Moto = movimento
rettilineo = traiettoria rettilinea
uniforme = velocità costante
Nel moto rettilineo
uniforme vengono
percorsi spazi uguali
in tempi uguali.
Moto rettilineo uniforme
s
v
 costante
t
Ciò significa che le distanze percorse sono
direttamente proporzionali agli intervalli di tempo
impiegati a percorrerle
Esempio
Se un’automobile va a 50 km/h (costante) significa
che:
- in 1h percorre 50 km
- in 2h percorre 100 km
- in 3h percorre 150 km
- in mezz’ora percorre 25 km
Moto rettilineo uniforme.
Tipologie di problemi





1) conosciamo lo spazio percorso e il tempo
impiegato. Dobbiamo calcolare la velocità.
La formula da usare è sempre
Esempio
s s 2  s1
v

t t 2  t1
Alle ore 10 34’ 25’’ un’automobile si trova a 320 m più
avanti del semaforo. L’automobile procede a velocità
costante e alle ore 10 35’ 15’’ si trova a 800 m dal
semaforo.
Calcolare la velocità dell’automobile.
Moto rettilineo uniforme.
Tipologie di problemi
s s 2  s1
480 m
m
800 m  320 m


 9,6
vm 

50 s
s
t t 2  t1 10 35' 15' '  10 34' 25' '
Moto rettilineo uniforme.
Tipologie di problemi





2) conosciamo lo spazio percorso e la
velocità. Dobbiamo calcolare il tempo.
La formula da usare è
s
t 
Esempio
v
Sappiamo che la Terra dista dal Sole 150.000.000 km
e che la velocità della luce è di 300.000 km/s.
Calcolare il tempo impiegato dalla luce emessa dal
Sole per raggiungere la Terra.
Moto rettilineo uniforme.
Tipologie di problemi

La formula da usare è
s
t 
v
Lo spazio percorso è 150.000.000 km
La velocità è di 300.000 km/s
Pertanto:
s 150.000.000 km
 500 s
t 

km
v
300.000
s
Moto rettilineo uniforme.
Tipologie di problemi





3) conosciamo la velocità e il tempo
impiegato. Dobbiamo calcolare lo spazio
percorso.
La formula da usare è: s  v  t
Esempio
Un bambino in bicicletta pedala ad una velocità costante
di 3 m/s. Dopo 3 minuti quanti metri avrà percorso?
3 min = 180 s
s  v  t
m
 3 180 s  540 m
s
Moto rettilineo uniforme.
Formule
Si usa quando conosciamo
s
la distanza percorsa e il
v
tempo impiegato e vogliamo
t
calcolare la velocità
s
t 
v
Si usa quando conosciamo
la distanza percorsa e la
velocità e vogliamo
calcolare il tempo
s  v  t
Si usa quando conosciamo la
velocità e il tempo impiegato e
vogliamo calcolare la distanza
Esercizi







Un’automobile deve percorrere 850 m alla velocità di 35
km/h. Quanto tempo impiegherà?
Svolgimento
Abbiamo Ds e v
ma le unità di misura non sono
omogenee
Ci sono due possibilità per renderle omogenee:
1) trasformare 850 m in km (850 m = 0,850 km)
2) trasformare 35 km/h in m/s (35 km/h: 3,6 = 9,72 m/s
Poi si applica la formula
s 0,850 km
t 

 0,0243 h  87,5 s
v
35 km/h
Esercizi






Svolgimento
Abbiamo Ds e v
ma le unità di misura non sono
omogenee
Ci sono due possibilità per renderle omogenee:
1) trasformare 850 m in km (850 m = 0,850 km)
2) trasformare 35 km/h in m/s (35 km/h: 3,6 = 9,72 m/s
Poi si applica la formula
s 0,850 km
t 

 0,0243 h  87,5 s
v
35 km/h
850 m
s

t 
 87,5 s
9,72 m/s
v
Esercizi






Un aereo si muove con moto rettilineo uniforme ad una
velocità di 110 m/s per 18 min. Calcolare la distanza
percorsa.
Svolgimento
Abbiamo v e Dt ma le unità di misura non sono
omogenee
Per renderle omogenee ci conviene trasformare
i minuti in secondi (18 min = 18 x 60 = 1080 s)
Poi si applica la formula
m
s  v  t  110 1080 s  118.800 m  118,8 km
s
La legge oraria
Consideriamo una situazione di questo tipo:
Un’automobile passa davanti al semaforo verde
senza fermarsi, procedendo a velocità costante.
La legge oraria
Introduciamo nello schema:
- Un sistema di riferimento, la cui origine coincide con il semaforo
- Un cronometro, che parte da zero quando l’auto passa davanti al
semaforo
La legge oraria
Il nostro scopo è quello di ricavare una formula
matematica che ci permette di sapere in ogni istante dove
si trova l’automobile rispetto al semaforo, cioè rispetto
all’origine del sistema di riferimento (lo zero).
La legge oraria
Partiamo dalla formula della
velocità media
s s 2  s1
v

t t 2  t1
Al posto di t1 poniamo t0, indicando l’istante iniziale
(quando parte il cronometro, t0 = 0 s), di conseguenza al
posto di s1 porremo s0 (posizione all’istante iniziale)
La legge oraria
La formula diventa
s s 2  s 0
v

t t 2  t 0
Poi al posto di t2 poniamo t, indicando l’istante generico,
di conseguenza al posto di s2 porremo s (posizione al
generico istante t)
La legge oraria
Così la formula diventa
s s  s 0
v

t t  t 0
A questo punto ci ricordiamo che t0 = 0 s e quindi nella
formula possiamo eliminarlo. In definitiva avremo:
s  s0
v
t
La legge oraria
s  s 0 Moltiplicando per t a sinistra e a destra
v
t
dell’uguale otteniamo:
s  s0
v  t  s  s0
vt 
t
t
Scrivendola al contrario
s  s0  v  t
Portando
so a destra si ottiene s  s 0  v  t
La legge oraria
s  s0  v  t
La legge oraria ci permette di conoscere la posizione del
corpo rispetto all’origine del sistema di riferimento istante
per istante.
Basta conoscere la posizione iniziale (all’istante
e la velocità
t0 = 0 s)
La legge oraria
s  s0  v  t
Nel nostro esempio
- la posizione iniziale s0 = 0 m
- la velocità vale v = 2 m/s
s=2
Domanda
Qual è la posizione dell’auto al tempo t = 4 s ?
Risposta
t
m
s  s0  v  t  0 m  2  4 s  0 m  8 m  8 m
s
La legge oraria
s  s0  v  t
Vediamo cosa succede se facciamo partire il cronometro
quando l’auto è 4 m oltre il semaforo
- la posizione iniziale s0 = 4 m
- la velocità vale sempre v = 2 m/s
s=
Domanda
Qual è la posizione dell’auto al tempo t = 5 s ?
Risposta
4+2 t
m
s  s 0  v  t  4 m  2  5 s  4 m 10 m  14 m
s
La legge oraria
s  s0  v  t
Vediamo cosa succede se facciamo partire il cronometro
quando l’auto è 3 m prima del semaforo
- la posizione iniziale s0 = -3 m
- la velocità vale sempre v = 2 m/s
s=
Domanda
Qual è la posizione dell’auto al tempo t = 6 s ?
Risposta
-3+2 t
m
s  s 0  v  t  -3 m  2  6 s  -3 m 12 m  9 m
s
Esercizi







Un treno viaggia ad una velocità costante di 80 km/h.
Duecento metri prima del passaggio a livello l’orologio di
Antonio segna esattamente le 10,00.
Dove si troverà il treno rispetto al passaggio a livello
quando l’orologio di Antonio segnerà le 10,20?
Svolgimento
Il tempo che passa dall’istante iniziale (10,00) all’istante
finale (10,20) è ovviamente di 20 min
Trasformiamo i 20 min in ore:
1
20
20 min =
h  h
60
3
S0=-200 m = -0,200 km
km 1
80
 h -0,200 km  km
s  s 0  v  t -0,200 km  80
h 3
3
 26,466 km
Esercizi

Scrivere la legge oraria di un punto che si muove di moto
rettilineo uniforme con velocità di 10 m/s, sapendo che
nell’istante iniziale t0 = 0 esso si trovava nell’origine O del
sistema di riferimento.

Svolgimento

S0= 0 m



v = 10 m/s
t0 = 0 s
Pertanto:
s  s 0  v  t  0  10 t  10 t
Qundi:
s  10 t
Esercizi

Scrivere la legge oraria di un punto che si muove di moto
rettilineo uniforme con velocità di 20 m/s, sapendo che
nell’istante iniziale t0 = 0 esso si trovava 2 m dopo
l’origine O del sistema di riferimento.

Svolgimento

S0= 2 m



v = 20 m/s
t0 = 0 s
Pertanto:
s  s 0  v  t  2  20 t
Qundi:
s  2  20 t
Il diagramma orario


Il diagramma orario è la rappresentazione grafica
della legge oraria
Si costruisce riportando sull’asse delle ascisse il
tempo e sull’asse delle ordinate le corrispondenti
posizioni del punto.
Ad ogni istante posso
ricavarmi la posizione
del punto materiale
rispetto all’origine del
sistema di riferimento
Il diagramma orario

Consideriamo un’automobile che si muove con la
seguente legge oraria: s = 4 + 2 t
A questo punto non ci resta che unire tutti i punti sul
diagramma per ottenere una retta
Il diagramma orario
Dove si trova l’automobile dopo 3,5 s ?
s = 4 + 2t = 4 + 2 x 3,5 = 4 + 7 = 11 m