Meccanica 6
21 marzo 2011
Cambiamento di sistema di riferimento
Trasformazioni di coordinate tra sistemi inerziali (Galileo, Lorentz)
Trasformazione delle velocita` e delle accelerazioni
Trasformazioni con sistemi non inerziali
Sistema in caduta libera e sistema in rotazione uniforme
Sistemi di riferimento inerziali
• Si dicono inerziali i sistemi in cui vale il
primo principio di Newton
• Nella meccanica newtoniana i sistemi
inerziali rivestono un ruolo speciale
• In essi infatti le leggi fisiche assumono
la forma più semplice
• È spesso utile, nello studio dei sistemi
fisici, cambiare sistema di riferimento
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Sistemi di riferimento inerziali
• Il cambiamento più frequente è quello che
porta da un sistema inerziale ad un sistema
in moto rettilineo uniforme rispetto ad esso
• Vedremo tra breve che anche il nuovo
sistema è inerziale
• Solitamente gli assi del secondo sistema si
scelgono paralleli agli assi corrispondenti del
primo
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Sistemi di riferimento inerziali
• Le equazioni che permettono di passare dal
primo sistema (inerziale) S(O,x,y,z) al
secondo S’(O’,x’,y’,z’) sono le seguenti
'
r r R
z
r
O
x
z’
r’
Posizione del corpo in S’=
Posizione del corpo in S –
posizione dell’origine O’ (rispetto a S)
y
R
O’
x’
y’
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Sistemi di riferimento inerziali
• Con la condizione che R sia R R0 Vt
• Ove R0 è la posizione dell’origine O’, rispetto
ad O al tempo t=0
z
z’
O
x
y
R
O’
R0
V
x’
y’
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Sistemi di riferimento inerziali
• Per semplicità spesso si sceglie R0=0 e la
velocità V parallela ad uno degli assi di S,
'
p.e., l’asse x
x x Vt
'
r r Vt
'
y y
z ' z
y’
y
V
O
z
O’
x R
z’
x’
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Trasformazioni di Galileo
• Ad esse possiamo aggiungere
l’equazione di trasformazione del
tempo t’=t che stabilisce che il
tempo è sempre lo stesso (il tempo
è assoluto) e che non cambia col
sistema di riferimento
• Le equazioni di trasformazione
trovate sono dette trasformazioni di
Galileo
x ' x Vt
'
y y
'
z z
t ' t
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Trasformazioni inverse
• Tali trasformazioni sono
facilmente invertibili: basta
scambiare le coordinate di S con
quelle di S’ e cambiare il segno
alla velocità
• Si vede quindi che c’è simmetria
tra i due sistemi S e S’ e si
intuisce che il sistema S’ debba
essere anch’esso inerziale
x x ' Vt
'
y
y
'
z
z
t t '
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Trasformazioni di Lorentz
• In relativita` le trasformazioni di Galileo sono
sostituite da quelle di Lorentz
x ' x Vt
x x ' Vt
'
'
y
y
y
y
'
z z
z z '
t ' t V x
t t ' V x '
2
2
c
c
1
V
2
V
1
c
9
Inerzialità
• Mostriamo ora che il nuovo sistema di
riferimento è davvero inerziale
• A tal fine calcoliamo la velocità di un punto
materiale in entrambi i sistemi
' dx ' d x Vt dx
V vx V
v x ' '
dt
dt
dt
'
dy ' dy
vy
v y ' '
dt
dt
Legge di trasformazione
delle velocità
' dz ' dz
vz
v z ' '
dt
dt
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Inerzialità
• E l’accelerazione
' dv x' ' d v x V dvx
ax
a x ' '
dt
dt
dt
'
dv
dv y
y'
'
ay
a y ' '
dt
dt
' dv z' ' dv z
az
a z ' '
dt
dt
Legge di trasformazione
delle accelerazioni
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Inerzialità
• Quindi il punto materiale ha accelerazione
nulla (ovvero velocità costante) nel sistema S’
se e solo se accade lo stesso nel sistema S
• Ovvero S’ è inerziale se e solo se S è inerziale
• Ciò significa anche che dato un sistema
inerziale possiamo trovare una triplice infinità
di sistemi inerziali, tanti quante sono le
possibili scelte della velocità di traslazione V
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Trasformazioni più generali
• In linea di principio una qualunque x ' f x, y, z, t
trasformazione di coordinate del tipo '
y g x, y , z , t
• non può cambiare la fisica di un
z ' h x, y , z , t
fenomeno, ma solo la descrizione
che ne facciamo
• In pratica però esistono
trasformazioni (cioè sistemi) per cui
la descrizione del fenomeno è molto
più semplice che per altre
• Sono questi, come già detto, i
sistemi inerziali
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Sistema di riferimento solidale
con la terra
• A volte è però conveniente considerare trasformazioni,
un po’ più generali, in sistemi accelerati rispetto ad un
sistema inerziale
• L’accelerazione può essere dovuta a moto traslatorio
non rettilineo uniforme e a moto di rotazione
• È questo, in particolare, il caso importantissimo del
sistema di riferimento solidale con la terra, la quale
ruota (attorno al proprio asse) e trasla (moto curvilineo
di rivoluzione attorno al sole) rispetto ad un sistema
inerziale
• Tale sistema è usato per descrivere i fenomeni
atmosferici su larga scala
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Sistemi accelerati
• Invece di considerare il caso più
generale, ci limiteremo a considerare
– il caso di un sistema in moto rettilineo
uniformemente accelerato parallelamente
ad un asse coordinato (p.e. z)
– Il caso di un sistema in moto rotatorio
uniforme attorno ad un asse coordinato
(p.e. z)
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Sistema in moto rettilineo
uniformemente accelerato
• Le equazioni di trasformazione sono
O
x
r
y
z
R
O’
y’
z’
r’
x’
'
r r R
x' x
'
y y
1
z ' z Z t z Z 0 V0t At 2
2
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Sistema in moto rettilineo
uniformemente accelerato
• Un caso particolare di questa trasformazione
si ha per un sistema S’ in caduta libera, cioè
che accelera verso il basso (rispetto a S) con
accelerazione A=g (sempre rispetto a S) e
che inizialmente (per t=0) è fermo con
l’origine O’ coincidente con O
'
x x
• In altri termini S’ è il sistema
'
solidale con un grave in
y y
caduta libera
1 2
'
z z At
2 17
Sistema in moto rettilineo
uniformemente accelerato
• Le equazioni di trasformazione per la velocità
e l’accelerazione
v ' ' v x
x
'
v
y' v y
'
v z ' v z At
a ' ' a x
x
'
a
y' a y
'
a z ' a z A
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Sistema in moto rettilineo
uniformemente accelerato
• In S’ le coordinate x’, y’, z’ sono costanti,
quindi le componenti della velocità in S’ sono
identicamente nulle e lo stesso vale per
l’accelerazione
0 v ' ' v x
0 a ' ' a x
x
x
'
'
0
v
v
0
a
ay
y
y'
y'
'
'
0
v
v
At
0
a
az A
z
z'
z'
•
Ritroviamo così (in S) le leggi della caduta libera di Galileo (ricordiamo
che A=g)
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Dinamica in un sistema
accelerato
• Dalle eqq. precedenti vediamo subito che nel
sistema S’ il secondo principio di Newton non è
valido
• Infatti benché in S’ la forza di gravità terrestre
'
ma
0 Fg
continui ad agire, abbiamo
z'
• Si può però estendere il secondo principio ai
sistemi accelerati introducendo opportune forze
“d’inerzia” Fi accanto alle forze “reali” (Fg)
maz' ' maz mA Fg Fi Ftot
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Dinamica in un sistema
accelerato
• In S’ la forza d’inerzia bilancia esattamente la
forza di gravità, per cui in S’ (sistema che
trasla di moto uniformemente accelerato con
A=g rispetto a S) il grave, inizialmente fermo,
continua a rimanere fermo
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Sistema in moto rotatorio
uniforme
• Consideriamo un sistema S’ con asse z’
coincidente con l’asse z del sistema S,
in rotazione (rispetto a S) con velocità
angolare attorno a z
• Le equazioni di trasformazione
sono
z’ z
dr
'
dr dr d r
Spostamento del corpo in S’=
Spostamento del corpo in S –
Spost. dovuto alla rotazione di S’
(rispetto a S)
r(t)
O
x
dr’
r(t+dt)
y’
O’
y
x’
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z’
z
dr
r(t)
O
x
dr’
r’(t+dt)
r(t+dt)
r’(t)
O’
y
y’
x’
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Sistema in moto rotatorio
uniforme
• E per la velocità e l’accelerazione
'
' dr
dr d
v
r v r
dt
dt dt
'
' dv dv dr
a
a v
dt
dt
dt
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Sistema in moto rotatorio
uniforme
• Un caso particolare di questa trasformazione si ha per
un sistema S’ solidale con un corpo che ruota in S
(trattenuto p.e. da una fune) di moto circolare uniforme
attorno a z
• In tal caso il corpo ha velocità identicamente nulla in S’
e, di conseguenza, anche accelerazione nulla
• In tal caso le eqq. diventano
'
0 v v r
'
0 a a v
•
Abbiamo ritrovato (nel sistema S) le eqq. del moto circolare uniforme
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Dinamica in un sistema
accelerato
• Di nuovo, le eqq. precedenti nel sistema S’ sono
incompatibili col secondo principio di Newton
• Infatti benché in S’ la forza della fune Ff continui ad
'
m
a
0 Ff
agire sul corpo in rotazione, abbiamo
• Si può però estendere il secondo principio al
sistema accelerato S’ introducendo un’opportuna
forza “d’inerzia” Fi accanto allaforza “reale”
Ff
'
ma ma m v Ff Fi Ftot
• Fi è la famosa forza centrifuga, che ha diritto
all’esistenza solo nel sistema accelerato e non in S
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Dinamica in un sistema
accelerato
• In S’ la forza centrifuga bilancia esattamente la
forza centripeta della fune, per cui in S’ (sistema
che ruota di moto circolare uniforme rispetto a S) il
corpo, inizialmente fermo, continua a rimanere
fermo
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