Semantica per formule di un linguaggio proposizionale

Semantica per formule di un
linguaggio proposizionale
p.9 della dispensa
Per stabilire la verità di una formula
proposizionale, fissiamo innanzitutto il
fatto che accettiamo di avere solo due
possibili valori di verità: il vero e il falso
(si dice che la nostra logica proposizionale è
“bivalente”)
Poi definiamo l’attribuzione del valore di
verità ad una formula “per gradi”, a partire
dalle formule più semplici (le atomiche,
costituite dalla sola lettera proposizionale
P, Q, R…) fino a quelle sempre più
complesse (che contengono uno o più
connettivi).
Si parte, quindi, assegnando valori di verità
alle formule atomiche. Tale assegnamento è
“libero”: non ha nessun carattere di
necessità.
• Se si vuole usare una terminologia matematica,
questo atto di assegnamento può essere
rappresentato come una funzione (cioè
un’operazione) che va dall’insieme delle formule
atomiche all’insieme dei valori di verità, in
quanto è un’operazione che, ricevendo in
entrata formule atomiche, dà in uscita il verdetto,
cioè il valore di verità di ciascuna (che, appunto,
è preso dall’insieme dei due valori, vero/falso).
Per rappresentare tutto ciò con una scrittura
simbolica, chiamiamo:
V l’assegnamento,
L l’insieme delle formule atomiche,
2 l’insieme dei due valori “vero” e “falso”
(non storcete il naso: “2” è un simbolo come un
altro, che può essere utilizzato come nome di un
insieme – perché no?- specialmente se l’insieme
contiene due sole cose!)
• Il “vero” e il “falso” possono essere
rappresentati, ciascuno, con “V” e “F”,
oppure con “T” (true) e “F”, oppure con “1”
e “0”.
• Quindi, quanto appena detto a proposito
dell’assegnamento dei valori di verità alle
formule atomiche può essere scritto così:
V: L2
che esprime il fatto che la funzione V prende
in entrata formule atomiche e dà in uscita
un valore di verità
(I due punti dopo la “V” stanno a significare,
appunto, che si sta per esplicitare come
lavora quella funzione con quel nome)
La scritta
2:= {1,0}
è la definizione dell’insieme che ha come
nome 2. Si tratta, appunto, dell’insieme
che contiene i due membri “1” e “0” che
vengono utilizzati per rappresentare il
“vero” e il “falso”
(“:=“ è un simbolo che significa che si sta per
definire il simbolo scritto alla sua sinistra)
• Una volta assegnato il valore di verità alle
formule atomiche, il valore delle formule
composte resta fissato automaticamente
sulla base delle tavole di verità per i
connettivi, che sono state date alle pp. 7 e
8.
• Quelle tavole possono anche essere
espresse in maniera abbreviata come
segue:
Tavola di verità
della negazione
A
¬A
1
0
0
1
Può essere espressa come:
V(¬A) := 1-V(A)
che significa che:
[V(¬A )]
l’assegnamento di valore di verità a ¬A
[:= ]
è definito con l’operazione
1-V(A),
cioè togliendo a 1 il valore di verità di A
Infatti
Osservando la tabella, vediamo che:
Se V(A) è 1, (cioè, se nella colonna di
sinistra c’è il valore 1),
Allora
V(¬A) è 1-1, cioè 0 (cioè, nella colonna di
destra c’è valore 0).
Se V(A) è 0, (cioè, se nella colonna di
sinistra c’è il valore 0),
V(¬A) è 1-0, cioè 1 (cioè, nella colonna di
destra c’è valore 1).
Tavola di verità della disgiunzione
A
B
AB
1
1
1
1
0
1
0
1
1
0
0
0
può essere espressa come:
V(A  B) := max (V(A), V(B))
che significa che:
V(A  B)
l’assegnamento di valore di verità a AB
[:= ]
è definito con l’operazione che sceglie
max (V(A), V(B)),
cioè il maggiore tra i valori di verità attribuiti, volta per
volta, ad A e a B:
Infatti,
Osservando la tabella, vediamo che:
• alla prima riga, dove abbiamo come valore
di A (cioè come V(A)) 1 e come valore di B
(cioè come V(B)) ancora 1,
abbiamo come valore di A  B (cioè come
V(A  B)) 1, che è il massimo tra 1 e 1.
• alla seconda riga, dove abbiamo come
valore di A (cioè come V(A)) 1 e come
valore di B (cioè come V(B)) 0,
abbiamo come valore di A  B (cioè come
V(A  B)) 1, che è il massimo tra 1 e 0.
• alla terza riga, dove abbiamo come valore
di A (cioè come V(A)) 0 e come valore di B
(cioè come V(B)) 1,
abbiamo come valore di A  B (cioè come
V(A  B)) 1, che è il massimo tra 0 e 1.
• alla quarta riga, dove abbiamo come
valore di A (cioè come V(A)) 0 e come
valore di B (cioè come V(B)) ancora 0,
abbiamo come valore di A  B (cioè come
V(A  B)) 0, che è il massimo tra 0 e 0.
Tavola di verità della congiunzione
A
B
AB
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
può essere espressa come
V(A  B) := min (V(A), V(B))
che significa che:
V(A  B)
l’assegnamento di valore di verità a A  B
[:= ]
è definito con l’operazione che sceglie
min(V(A), V(B)),
cioè il minimo tra i valori di verità attribuiti, volta per
volta, ad A e a B:
Infatti
Osservando la tabella, vediamo che:
• alla prima riga, dove abbiamo come valore
di A (cioè come V(A)) 1 e come valore di B
(cioè come V(B)) ancora 1,
abbiamo come valore di A  B (cioè come
V(A  B)) 1, che è il minimo tra 1 e 1.
• alla seconda riga, dove abbiamo come
valore di A (cioè come V(A)) 1 e come
valore di B (cioè come V(B)) 0,
abbiamo come valore di A  B (cioè come
V(A  B)) 0, che è il minimo tra 1 e 0.
• alla terza riga, dove abbiamo come valore
di A (cioè come V(A)) 0 e come valore di B
(cioè come V(B)) 1,
abbiamo come valore di A  B (cioè come
V(A  B)) 0, che è il minimo tra 0 e 1.
• alla quarta riga, dove abbiamo come
valore di A (cioè come V(A)) 0 e come
valore di B (cioè come V(B)) ancora 0,
abbiamo come valore di A  B (cioè come
V(A  B)) 0, che è il minimo tra 0 e 0.
Tavola di verità dell’implicazione
A
B
AB
1
1
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1
può essere espressa come
V(A  B) := max (1-V(A), V(B))
che significa che:
V(A  B)
l’assegnamento di valore di verità a A  B
[:= ]
è definito con l’operazione che sceglie
max (1-V(A), V(B))
cioè il massimo tra :
(1-V(A)), ossia ciò che si ottiene sottraendo da 1 il
valore di verità di A e
V(B) il valore di verità di B.
Infatti
Osservando la tabella, vediamo che:
• alla prima riga, dove abbiamo come valore
di A (cioè come V(A)) 1 e come valore di B
(cioè come V(B)) ancora 1,
• abbiamo come valore di A  B (cioè
come V(A  B)) 1, che è il massimo tra:
1-V(A) [cioè 1-1] , che è 0
e V(B) che è 1.
• alla seconda riga, dove abbiamo come
valore di A (cioè come V(A)) 1 e come
valore di B (cioè come V(B)) 0,
• abbiamo come valore di A  B (cioè come
V(A  B)) 0, che è il massimo tra:
1-V(A) [cioè 1-1] , che è 0
e V(B) che è 0.
• alla terza riga, dove abbiamo come valore
di A (cioè come V(A)) 0 e come valore di B
(cioè come V(B)) 1,
• abbiamo come valore di A  B (cioè come
V(A  B)) 1, che è il massimo tra:
1-V(A) [cioè 1-0] , che è 1
e V(B) che è 1.
alla quarta riga, dove abbiamo come valore
di A (cioè come V(A)) 0 e come valore di B
(cioè come V(B)) ancora 0,
• abbiamo come valore di A  B (cioè come
V(A  B)) 1, che è il massimo tra:
1-V(A) [cioè 1-0] , che è 1
e V(B) che è 0.
Tavola di verità della biimplicazione
A
B
AB
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
Per cui si capisce subito che:
• V (A  B)=1 se e solo se V(A)=V(B).
• Infatti, il valore di verità di è 1 solo alla
prima e ultima riga, dove, rispettivamente,
A e B hanno entrambi valore 1 e valore 0.
Ultime definizioni
• A questo punto, si possono introdurre le
seguenti definizioni relative ad una formula
A:
• 1) è una TAUTOLOGIA (o VERITA’
LOGICA) se risulta VERA secondo OGNI
ASSEGNAMENTO di verità;
• 2) è una CONTRADDIZIONE (o è
REFUTABILE) se risulta FALSA secondo
OGNI ASSEGNAMENTO di verità;
• 3) è SODDISFACIBILE se e solo se è vera
per almeno un assegnamento.