Elementi di statistica - INFN-LNF

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Elementi
di
Statistica
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Elementi di statistica
Marco Dreucci
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1
... diamo un senso
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Marco Dreucci
… cosa e’ la Fisica delle Particelle Elementari ?
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Spiega il complesso
mediante il semplice
nel mondo dell’infinitamente piccolo …
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Marco Dreucci
all’attacco !!! …
… applicando la ben nota manovra a tenaglia :
il metodo scientifico
sperimentali …
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… teorici
Marco Dreucci
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piu’ son piccoli …
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Elementi di statistica
Marco Dreucci
… cosa si misura nella
HEP ?
Altro
•
•
•
•
•
•
•
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Parametri fondamentali
•
•
•
•
•
Branching ratio (BR)
vita media (t)
massa (m)
costanti di accoppiamento
……
po   , e+e-
(ma di supporto)
quantita’ di moto q di una particella ;
energia E rilasciata in un calorimetro da una particella ;
angoli e direzioni delle particelle che si producono ;
intervalli temporali, Dt ;
efficienza di un rivelatore ;
contaminazione in un campione ;
……
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Marco Dreucci
Canali
 K+KKSKL
p +p -p o

BR, branching ratio
BR
(~ 49 %)
(~ 34 %)
(~ 15 %)
(~ 1.3%)
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…e il determinismo dove e’ finito ?
- Nel mondo dell’infinitamente piccolo le condizioni
iniziali non possono essere determinate in modo
completo (principio di indeterminazione). Ne segue che
nel mondo delle particelle elementari le leggi sono
sempre leggi di probabilita’.
N=2000 lanci
N=200 lanci
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una cosiddetta
misura ‘semplice’ …
Misura spessore cavo elettrico
frequenza
N=100000
Istogramma
s (mm)
• Errori casuali
• Errori sistematici
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una cosiddetta
misura ‘difficile’ …
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Misura massa KL
frequenza
N=21132
M (MeV)
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il risultato di una
operazione di misura … e’
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una variabile aleatoria !
• Le incertezze (sperimentali e/o teoriche) possono
essere diminuite ;
• La situazione puo’ cambiare nel tempo…
sperim
sperim
teor
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teor
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Marco Dreucci
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Variabile aleatorie
e
funzioni di distribuzione
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Indicatori fondamentali
Valor medio m 

N
i 1
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xi
x=m
N
Deviazione standard  
2
(
m
x
)
i 1
i
N
ex = /m
N -1
Si formano sempre istogrammi
regolari, anche troppo ! Ogni
istogramma segue qualche
funzione di distribuzione
~
m
x
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Tipi di variabili aleatorie (I)
VA : gaussiana
FDD: gaussiana o normale o
‘campana’
Misura di una grandezza ‘ben
definita’, in presenza di
errori casuali.
tempo di caduta di un oggetto;
spessore cavo elettrico ;
massa di una particella ;
durata di un macchinario ;
misura di un intervallo di tempo
VA : binomiale
FDD: binomiale
Si immagini una prova
che abbia 2 possibili
risultati: successo o
insuccesso.
Su N prove effettuate,
il numero k di volte in
cui si manifesta il
successo e’ una variabile
aleatoria, e ovviamente
0 k N.
risultato lancio di una moneta ;
risultato lancio di un dado ;
rivelazione di una data particella ;
canale di decadimento per una particella ;
misura dello spin di un elettrone
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VA : poissoniana
FDD: poissoniana
Caso particolare di
variabile binomiale :
1- il successo e’ un evento
raro, p  0 ( p<0.1 )
2- numero infinito di prove,
N   ( N>50 )
# incidenti stradali in un anno ;
# nascite al mese all’ospedale ;
# decadimenti in 5 min di una
sostanza radioattiva ;
# di eventi in un “bin” di un
istogramma
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Tipi di variabili aleatorie (II)
VA : gaussiana
FDD: gaussiana o
normale o ‘campana’
p=?
VA : binomiale
FDD: binomiale
VA : poissoniana
FDD: poissoniana
p = probabilita’ successo
p = probabilita’ successo
m  pN
m

 

m
• Misura massa
particella
Se m=139 ; =2 :
P(m)  0.683
P(m2)  0.955
P(m3)  0.997
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
m  pN
Np(1 - p)
Np (1- p )
pN

1
N
 
m
• Nascite in un ospedale
Se m=25/mese su N=15207:
=5/mese ; p=0.0016/mese
• Rivelatore - p=0.62 ;
N=50 -> m=31; =3 (10%)
N=103 -> m=620; =15 (2.4%)
N=106 -> m=620000; =485 (0.08%) • Sostanza radioattiva
se p=1.510-8/min e N=109:
• Canale di decadimento
m=6.7/min ; =2.6/min
  KS KL :
se N=200 e p=0.34 :
m=68 ; =7
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• Entries/bin
Es.: misura massa KL
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(next)
una cosiddetta
misura ‘difficile’ …
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Misura massa KL
frequenza
N=21132
M (MeV)
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Misura massa particella …
f
fdd gaussiana
f
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f
M
M
M
(MeV)
(MeV)
(MeV)
fR
f
m
m-
M
(MeV)
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m-2
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m=497.7
=1.5
m+
m+2
M (MeV)
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Risultati della schedina …
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fdd binomiale
frequenza
relativa
k
risultati
indovinati
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Sostanza radioattiva …
frequenza
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fdd poissoniana
Tipo A
N=60000
m=2.6 dec/min
=1.6
Tipo B
N=200000
m=9.7 dec/min
=3.1
k (dec/min)
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Misura intervallo temporale …
b
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a
Riv 0
f (entries/1ns)
~ 37 m
Riv1
Riv2
~4 m
t (ns)
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Teoria sottostante …
VA : gaussiana
FDD: gaussiana o
normale
f ( x ; m,  ) 
1
2p 
-
e
VA : poissoniana
FDD: poissoniana
( m- x )2
mk e-m
P ( k ; m) 
k!
2 2
VA : binomiale
FDD: binomiale
n
P(k ; n, p)    p k (1 - p) n-k
k 
0  k  n 
0  p  1
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Curva di
accostamento
(Fit)
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relazione matematica=legge fisica=grafico :
i valori sperimentali si adattano ad esso ?
Fare un fit :
trovare la funzione
che meglio si adatta ai dati
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A scuola si fa a
mano …
Allungamento di una molla (I)
y  kx
k  0.20  0.03 cm/g
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Ma esistono vari
programmini …
Allungamento di una molla (II)
y  kx
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Marco Dreucci
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Spessore di un cavo elettrico (I)
y
A
e
2p 
( x -m)2
2 2
gaussiana
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Errori casuali da
due sorgenti …
Spessore di un cavo elettrico (II)
gaussiana
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bigaussiana
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Marco Dreucci
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Disturbo di tipo
non casuale, e dunque
non gaussiano, ne’
bigaussiano …
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Spessore di un cavo elettrico (III)
gaussiana
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bigaussiana
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Marco Dreucci
Un fit non e’ fatto
sempre per verificare
l’adattamento, ma per
trovare qualche
parametro …
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Misura vita media
y  Ae
-
t
t
Legge stranota,
ma voglio trovare
la vita media t
esponenziale
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t(s)
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Quale e’ il criterio per dire che
un fit e’ OK ?
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• Se il fenomeno in studio e’ ben noto, la funzione y = f (x; a,b ) e’
gia’ decisa. Lo scopo del fit e’ allora di determinare i valori dei
parametri (a e b in questo caso) che corrispondono al miglior
adattamento della curva ai dati sperimentali .
• I valori che corrispondono al miglior adattamento sono quelli che
rendono minima la quantita’ seguente :
valore
teorico
valore
sperimentale
 yi - f ( xi ; a , b ) 



2
i

i 1 


N -2
N -2
N
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2
Elementi di statistica
~ 1  O.K. !
> 1  K.O. !
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La propagazione
degli
errori
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Misure indirette,
ovvero grandezze
calcolate …
Le misure indirette (I)
V  V2 - V1
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Mm
F G 2
r
• visione pessimistica …
DV  DV2 + DV1
DF
DG DM Dm
Dr

+
+
+2
F
G
M
m
r
… visione realistica
DV  DV12 + DV22
 DF 
 DG   DM   Dm   Dr 




 +
 +
 + 2 
 F 
 G   M   m   r 
DV  DV1  DV2
 DF   DG   DM   Dm   Dr 




 2 
 F   G   M   m   r 
2
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Elementi di statistica
2
2
Marco Dreucci
2
Le misure indirette (II)
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1) i = Q/t
corrente elettrica
Di
DQ
Dt


i
Q
t
2) K = ½ mv²
energia cinetica
DK
Dm
Dv

2
K
m
v
3) m = m1+m2+m3
massa totale
Dm  Dm1  Dm2  Dm3
4) A = p·r²
area di un cerchio
DA
Dp
Dr

2
A
p
r
5) p = p1 + p2
pressione totale
Dp  Dp1  Dp2
6) P = ·A·T4
potenza irradiata
DP
D
DA
DT


4
P

A
T
7) I = kA(T2-T1)/d
calore trasmesso
DI
Dk
DA
Dd
DT2  DT1




I
k
A
d
T2 - T1
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Marco Dreucci
Esempio 1
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(raggi cosmici)
Riv 0
t12  t2 - t1  13.7 ns
Dt12  Dt1  Dt2  4.0 ns
(123.5  2.1) ns
(137.2  3.4) ns
v
s
t12

3.8 m
 2.77 108 m / s
-9
13.7 10 s
 Ds Dt 
Dv  v  12   0.83 108 m / s
t12 
 s
Riv1
~ 2%
t (ns)
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v=?
~ 30%
Riv2
perche’ piu’ largo?
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Marco Dreucci
s
Esempio 2
Efficienza
CUT = 0.94
K+  p+ p- p+
p+ p0 p0
p0 p+
p0 m+ nm
p0 e+ ne
m+ nm
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(branching ratio)
sig
bkg
K+
trigger
Ntrig
Efficienza
SEL = 0.52
cut
Vertice
E (MeV)
se non ne
tenessi conto ?

N OBS - N BKG 


BR K +  p 0p + 
N SIG

N trig
 SEL CUT
N trig
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

p+
Nobs
N OBS - N BKG 
N trig   SEL   CUT
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Rivelatore
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5
Combinazione
di
misure
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Scrivere i risultati
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• Ogni misura, normalmente, riporta separatamente due
errori: statistico e sistematico :
BR ( K+p+p0 ) = 0.21  0.01stat  0.02sist
• La precisione della misura in questo esempio sara’ :
eBR = DBR/BR = (0.01  0.02)/0.21 ~ 0.11
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Combinare insieme le misure
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 Perché combinare insieme più misure ?
 Da più misure indipendenti del tipo (xi ± i) di una stessa
grandezza, come si ricava il valore più attendibile ?

x
1
i
pi  x i
x 
ptot
 i2
1
ptot
x1  (0.49  0.03)  p1  1111
x2  (0.47  0.01)  p 2  10000
1111 0.49 + 10000  0.47
x
 0.472
11111
 ( x) 
1
 0.009
11111
x  (0.472  0.009)
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