5 - INFN - Sezione di Padova

Istituzioni di Fisica Subnucleare
A. Bettini 2006
Capitolo 5
Elettrodinamica quantistica
6/24/2017
C.4 A. Bettini
1
I componenti del modello standard. I quark
Ci sono 6 quark, ciascuno con un “sapore” (per d e u è Iz)
Tre coppie con cariche –1/3 e 2/3
segno del sapore del quark = segno carica elettrica
IF e EM conservano tutti i sapori, non trasformano un quark in un altro, le ID li violano
I quark hanno JP=1/2+
Ipercarica definita come
Y B  S C  BT
Q  Iz  Y / 2
Non esistono liberi; i valori delle masse hanno significato solo entro uno schema teorico assunto
B
Q
I
Iz
S
C
B
T
m
d
1/3 –1/3
1/2
–1/2
0
0
0
0
4 - 8 MeV
u
1/3
1/2
+1/2
0
0
0
0
1.5 - 4 MeV
s
1/3 –1/3
0
0
–1
0
0
0
80 - 130 MeV
c
1/3
2/3
0
0
0
+1
0
0
1.15 - 1.35 GeV
b
1/3 –1/3
0
0
0
0
–1
0
4.1 - 4.4 GeV
t
1/3
0
0
0
0
0
+1
173±3 GeV
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2/3
2/3
C.4 A. Bettini
2
Invarianza di gauge dell’EM
La costante di accoppiamento dell’interazione EM è la costante di struttura fine
1 qe2
1


4 0 hc 137
 è adimensionale, quindi indipendente da unità di misura e piccola
 e  4  10 26 a
La carica elettrica si conserva. Miglior limite
Conservazione carica elettrica  invarianza sotto il gruppo di gauge U(1)
Macroscopicamente: equazioni di Maxwell
r 
 j 
0
•implicano conservazione della carica
t
•sono gauge-invarianti A  Ar '  Ar  ;    '    
t
(r,t) = funzione di gauge
Fock 1929; la lagrangiana quantistica è gauge invariante se si cambia contemporaneamente
anche la funzione d’onda dell’elettrone (della particella) di un fattore di fase dipendente dal
r
punto-istante
i  r ,t 
  '  e

Si scrive l’hamiltoniana del campo EM libero più quella dell’elettrone libero, si impone
l’invarianza di gauge; si ottiene l’interazione elettromagnetica
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3
Invarianza di gauge
Tutte le interazioni hanno lagrangiana invariante sotto un gruppo di gauge
Ciò implica in ogni caso una carica conservata in modo assoluto
La struttura del gruppo determina la struttura della carica corrispondente
•QED: gruppo U(1); una carica=elettrica, positiva o negativa; mediatore: fotone, massa nulla,
senza carica elettrica (non interagiscono tra loro)
•QCD: gruppo SU(3); Gruppo SU(3), tre carche di colore (R,G,B), ciascuna dei due segni;
mediatori: 8 gluoni; masse nulle, hanno carica di colore (due ciascuno), interagiscono tra loro
•EW: gruppo SU(2)U(1); Gruppo SU(2)U(1), contiene anche EM. L’interazione debole
dipende dalla chiralità del fermione, che può essere left o right: i due stati hanno carica
debole diversa. I mediatori W+, W– e Z˚ hanno masse grandi (80 e 90 GeV rispettivamente);
hanno carica debole, interagiscono tra loro
Il MS è stato sottoposto a test di precisione alle macchine acceleratrici e ai collisori, senza
mai fallire. Ma, nei laboratori sotterranei dedicati allo studio di fenomeni naturali rari si sono
osservati fatti in contrasto che implicano che
•I neutrini di sapore definito, ne, nm e n non sono stati stazionari, ma si trasformano uno
nell’altro al passare del tempo. Sono sovrapposizioni degli stati stazionari n1, n2 e n3.
•I sapori leptonici sono violati (potrebbe esserlo anche il numero leptonico)
•I neutrini hanno massa piccolissima, ma non nulla
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4
I fermioni del modello standard
fermi oni
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antifermi oni
R
d
R
s
R
G
d
G
s
G
B
d
B
s
B
R
u
R
c
R
G
u
G
c
G
B
u
B
c
B
R
d
R
s
R
b
b
G
d
G
s
G
b
b
B
d
B
s
B
b
R
u
R
c
R
t
t
G
u
G
c
G
t
t
B
u
B
c
B
t
b
t
ne
nm
n
ne
nm
n
e–
m–
–
e
m

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L’atomo di idrogeno
Notazione spettroscopica: n 2s+1Lj
•n = numero quantico principale
•s = spin totale degli elettroni Per H sempre 2s+1=2
•lo omettiamo scrivendo nLj (nSj, nPj, nDj, …)
•j momento angolare totale degli elettroni (non include quello del nucleo, il che darebbe la
struttura iperfina)
In prima approssimazione c’è molta degenerazione tra i livelli dell’H
La velocità dell’elettrone è << c (b 10–2)
Equazione di Schroedinger  se V  –1/r l’energia dei livelli dipende solo da n
Rhc
13.6


eV
n2
n2
Ma se si osserva lo spettro ad alta risoluzione (Fabry-Perot, lamina di Lummer, ecc.) le righe
appaiono formate da multipletti  struttura fina
Ci interessa il livello n=2
En  
1 3

E2  E1  Rhc  1   Rhc  10.2 eV

4 4
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6
Esperimento di Lamb e Retherford
La struttura fina è un effetto relativistico  equazione di Dirac  al 1˚ in 2 [ (1/137)2]
En, j
Rhc   2  1
3 
  2 1


n 
n  j  1 / 2 4n  
Tutti i livelli, tranne S, si sdoppiano a causa dell’interazione spin-orbita (momento magnetico
orbitale con momento magnetico dell’elettrone)
Ma per V  –1/r l’energia dei livelli dipende solo da n e da j non da l
E(2S1/2) ≠ E(2P1/2)?
Impossibile con spettroscopio
Forzare transizioni 2S1/2 2P3/2 creando un campo a
radiofrequenza (decine di GHz)
Ipotesi ∆E =E(2S1/2) – E(2P1/2)>0 (Lamb shift)
il livello 2S1/2 è metastabile (>>10–8 s) . Infatti
• 2S1/2 1S1/2 proibita da ∆l=±1
•velocità di 2S1/2 2P1/2 (∆E)3 piccolissima
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L’effetto Zeeman
Supponiamo E(2S1/2)–E(2P1/2)  1 GHz
Applicando campo magnetico, i livelli si sdoppiano
E B   E 0   gmm B B
Per 0.05 < B < 0.25 T circa il livello 2S1/2,m=–1/2 è
vicino ad un livello 2P1/2 e si mescola con questo.
Non più metastabile decade ( 10–8 s)
2S1/2(m=+1/2) si allontana dai 2P e rimane
metastabile
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Lamb e Retherford. L’apparato (1/2)
1.Forno  Dissociazione termica  H atomico (65%); velocità <v>8000 m/s
2.Eccitazione 1S1/2  2S1/2 (1/108) con fascio di elettroni [impossibile tramite luce (Dl=±1)]
3.Campo B (aggiustabile) divide in due tutti i livelli: m=+1/2 e m=–1/2
•2S1/2 (m=+1/2) è metastabile  100µs  percorso d 10–48 103 = 0.8 m
•tutti gli altri sono instabili  10 ns  percorso d 10–88 103  0.1 mm
4.Cavità a radiofrequenza (n) per forzare transizioni 2S1/2(m=+1/2)  2P3/2
•2P3/2(m=–3/2) non raggiungibile, ∆m=–2
•tre transizioni possibili: a 2P3/2(m=–1/2), 2P3/2(m=+1/2), 2P3/2(m=+3/2)
•se la frequenza n del campo em è in risonanza con una di queste transizioni, per il valore
fissato di B, i sono pompati e 2S1/2(m=+1/2) non arrivano al rivelatore al rivelatore
•2S1/2 (m=+1/2) arrivano al rivelatore se n e B non sono in risonanza
•Gli atomi 2P sono metastabili e non arrivano, comunque, al rivelatore
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Lamb e Retherford. L’apparato (2/2)
5. Il rivelatore deve essere sensibile agli atomi eccitati non a quelli nel livello fondamentale.
Lastrina di tungsteno
•lavoro di estrazione dal W, WW 6 eV; per gli atomi eccitati E(n=2)–E(n=1) 10.2 eV
•quindi un atomo di H eccitato può cedere energia a un elettrone nel W che ne esce
6. Gli elettroni sono raccolti da un sensibile pico-amperometro (I  10–14 A)
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Lamb e Retherford. Risultati
Si fissa a un valore opportuno la frequenza n del campo a micro-onde e si varia lentamente
B, cercando i valori di risonanza (B*) [per i quali ∆E=µgB*∆m =µgB*=hn]
 transizione a 2P  instabile, decade subito
a B* si osserva un minimo dell’intensità di corrente
Si ripete per diversi valori di n
punti rossi
Le rette n vs. B* porgono
∆EB=hn vs. B* per ciascuna delle transizioni studiate
Estrapolando a B*=0, si ottengono i salti di energia ∆E per
le tre transizioni in assenza di campo
Rette tratteggiate = teoria di Dirac
Risultato: il livello S1/2 è spostato rispetto alla teoria di  1
GHz
Più precisamente nel 1952 DE 2S1/2  2P1/2   1057.8  0.1 MHz
Contemporaneamente, nel ‘47, P. Kusch scoprì che il
fattore g dell’elettrone ≠ 2
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g2
 1.19 10 3
2
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Le conseguenze
Enormi conseguenze  teoria completa dell’ Elettrodinamica Quantistica (QED)
L’equazione di Dirac rimane valida, ma l’interpretazione deve essere cambiata. Il campo non può
più essere considerato come dato a priori, ma deve essere quantizzato (seconda quantizzazione)
Questo “grafico di Feynman” rappresenta la linea di vita di un elettrone (il
tempo scorre verso destra) che sente il campo del nucleo, scambiando con
esso un fotone
Il fotone si può “materializzare”
in e–e+, che subito si ricombinano
ri-formando un fotone
Il processo è la “polarizzazione
del vuoto” perché avviene anche
nel vuoto
Ma l’elettrone può emettere un
fotone, che presto riassorbe
Sia se l’elettrone è libero sia se è
legato nell’atomo
I due processi spostano diversamente l’energia nei due casi, contribuendo al Lamb shift
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La rinormalizzazione
L’elettrone interagisce non solo con il campo esterno, ma col campo da lui stesso creato. Come
nell’elettromagnetismo classico, questa auto-interazione comporta valori infiniti della massaenergia dell’elettrone
Un mese dopo il risultato di Lamb e Retherford nel 1947, Bethe diede un contributo cruciale,
riconoscendo che la teoria poteva non occuparsi del valore infinito del termine di autointerazione, perché non osservabile. Si “rinormalizza” la massa, sottraendo il termine infinito.
Per un elettrone nel vuoto il contributo dell’auto-interazione è nullo. Se l’elettrone è legato, il
campo esterno modifica l’effetto col risultato di uno spostamento finito dei livelli energetici, in
accordo con le misure
Il processo successivo dello sviluppo teorico, che comportò la rinormalizzazione non solo della
massa, ma anche della carica, si sarebbe concluso con la creazione dell’Elettrodinamica
Quantistica (QED) da parte di Tomonaga, Feynman e Schwinger nel 1948-49
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La quantizzazione del campo
Il moto dell’elettrone nel campo elettrico di un nucleo non è relativistico (b10–2)
In prima approssimazione si può considerare il campo esterno come dato a priori, non influenzato
dalla presenza e dal moto dell’elettrone. ||2 è la probabilità di trovare l’elettrone in un certo
punto
Ma Lamb e Retherford hanno mostrato che ci sono effetti molto piccoli che implicano processi
come la polarizzazione del vuoto. In QED
il numero di particelle è un osservabile quantistico, con una sua distribuzione di probabilità
si deve interpretare diversamente la funzione d’onda, il bispinore  (seconda quantizzazione):
essa diviene un operatore, col seguente significato fondamentale
Spinore  crea una particella o distrugge un’antiparticella
Spinore  distrugge una particella o crea un’antiparticella

  
 
Le due componenti di ciascuno dei due spinori creano o distruggono stati con le due
diverse terze componenti dello spin
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L’interazione come scambio di quanti
Un elettrone che viaggia nel vuoto non è in
realtà solo, ma continuamente emette e
riassorbe fotoni
In generale una qualsiasi particella a che interagisca col
campo di mediatore V continuamente emette e riassorbe V
Se nelle vicinanze passa la particella b che interagisce col
medesimo campo, essa può assorbire un mediatore
a e b interagiscono scambiando il quanto mediatore V
In generale il mediatore ha massa, m, quindi il processo di emissione aa+V viola la
conservazione dell’energia di ∆E=m!
Ma questo può accadere, purché la violazione duri abbastanza poco, ∆t tale che DtDE  h
ch
V quindi può propagarsi solo su distanze dell’ordine di
R  cDt 
m
R è il raggio d’azione (range) della forza, inversamente proporzionale alla massa del mediatore.
In unità naturali R=1/m
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Diffusione da potenziale
Il caso più semplice è la diffusione non relativistica di una particella (a) da parte di un
potenziale (r) centrale, dovuto ad un oggetto (centro di forze) di massa molto maggiore. Sia
g la “carica” di a  g (r) è l’energia potenziale
Nella diffusione il centro di forze trasferisce alla particella il (tri)momento
q = ∆p = pf – pi, ma non energia (urto elastico di pallina contro muro)
NB. la particella trasferisce al centro di forze –q
Se m è la massa del mediatore, il potenziale è quello di Yukawa, di range
R=1/m
g
g
 r
 r   0 exp     0 exp rm 
 R  4 r
4 r
L’elemento di matrice di transizione è
r r
r r
r r
 f g r   i  g  exp ip2  r  r exp ip1  r dV  g  exp iq  r  r dV
 l’ampiezza di diffusione f(q) è proporzionale alla trasformata di Fourier di g (r)
r r
r
iqr
f q   g 
 r e dV  g   r eiqr cos d sin  d r 2 dr 
spazio
spazio



0
0
0
 g2   r r 2 dr  eiqr cos d cos  g4   r 
iqr

 eiqr  2
r
 mr  e
f q   g0 g  e 
r dr

0
 2iq 
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
sin qr 2
sin qr
r dr  gg0  e rm
dr
0
qr
q
gg
r
f q   r 2 0 2
q m
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Propagatore bosonico
Supponiamo ora che la diffusione sia ancora elastica, ma che la massa
M del bersaglio non sia infinita. C’è trasferimento di quantità di moto
∆p = p2 – p1 come prima, ma anche di energia ∆E=E2 – E1
La norma invariante del 4-momento trasferito ∆E, ∆p è indicata con t
r2
r
r 2
2
t  DE 2  Dp  E2  E1   p2  p1 
•t < 0 il momento trasferito è di tipo spazio
Si dimostra che l’ampiezza di probabilità di diffusione è
f t  
g0 g
m2  t
È il prodotto delle cariche g e g0 (fattori di vertice) e dell’ampiezza di probabilità che ha il
mediatore di massa m e 4-momento (∆p,∆E) di propagarsi, che si chiama propagatore
propagatore 
1
m2  t
Le probabilità dei processi fisici (sezioni d’urto e velocità di decadimento) sono date da |f(t)|2
moltiplicata per il fattore di spazio delle fasi, come vedremo
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Diagrammi di Feynman (1/3)
La QED fu la prima teoria relativistica di campo storicamente sviluppata. Feynman sviluppò
una serie di regole, visivamente rappresentabili con grafici per calcolare le ampiezze di
probabilità dei processi (diffusione, decadimento), dette anche “elementi di matrice”
L’ampiezza di probabilità di un processo è la somma (integrale) delle probabilità di tutte le
diverse ampiezze che portano dallo stato iniziale allo stato finale
Le regole si estendono anche alla QCD e alla teoria elettrodebole EW
I grafici si disegnano sul foglio di carta, le linee sono linee-universo delle particelle
CONVENZIONE
tempo
Può rappresentare una qualsiasi particella di spin 1/2
La freccia indica il verso, rispetto a quello del tempo, in cui fluiscono le sue
cariche
Per concretezza sia un elettrone: con l’elettrone avanzano nel tempo la carica
elettrica, il sapore leptonico di elettrone, il momento magnetico
La freccia al contrario quindi rappresenta cariche, tutte opposte che avanzano
nel tempo: è un positrone (vedi poi)
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Gli elementi dei grafici
Particella (ferma) che avanza tempo o antiparticella che regredisce nel tempo
Antiparticella (ferma) che avanza tempo o particella che regredisce nel tempo
Particella che si sposta verso l’alto o antiparticella che va in basso
Fotone
Gluone
WoZ
Vertice
Bisogna sommare su tutte le possibilità; sono lo stesso grafico
z  Am f  m f
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f  m f = corrente elettromagnetica
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Esempio e–+µ– e–+µ–
e libero uscente
e libero entrante
le particelle sulle linee interne
sono “virtuali”
propagatore
la relazione tra energia e
µlibero uscente
momento non è quella delle
µlibero entrante
particelle reali, hanno se nel
fattore di vertice, la carica
canale t, “massa”= √t
immaginaria
L’ampiezza è proporzionale ad  cioè al quadrato della carica
  A e e  A m m 
m
m
m
m
Il grafico rappresenta la somma su tutte le possibili situazioni
• integrale su tutti i valori del 4-momento del  compatibili con gli stati
iniziale e finale
•i casi in cui il  va indietro nel tempo, cioè sia quando l’elettrone
emette il  virtuale e il mu lo assorbe, sia quando il mu emette e
l’elettrone assorbe. Il grafico di sopra comprende anche questo a destra
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Grafici di ordine più alto
Livello albero: l’ordine più basso nello sviluppo nella “serie
perturbativa”, che converge perché i termini successivi sono
proporzionali a potenze crescenti di  che è <<1
“loop” fermionico
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Attenzione. Il calcolo di un loop è un integrale su
tutti i valori possibili delle energie e dei momenti
delle particelle del loop. Questi integrali sono
infiniti. La cura: rinormalizzazione
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Analiticità
Il grafico è una funzione analitica che può rappresentare l’ampiezza di diversi processi fisici,
girando le gambe esterne (continuando analiticamente da un caso all’altro)
Canale t = diffusione elastica eµ
Canale s = annichilazione e+e– in µ+µ–
Se gli stati iniziale e finale nel canale s e nel canale t sono i medesimi bisogna sommare le due
ampiezze e poi prendere il quadrato del modulo
+
Massa della particella virtuale nel canale t è √t cioè immaginaria
Massa della particella virtuale nel canale s è √s, reale ma in genere ≠ particella reale. Se =
massa di una particella libera, in risonanza, ad esempio alla , allora la particella è reale.
Differenza tra reale e virtuale è solo quantitativa
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Propagatore fermionico
Il propagatore può anche essere un elettrone (virtuale). Esempio: effetto Compton
Un solo grafico
Canale s
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Canale t
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Propagatore fermionico. Canale t
Fissati quantità di moto e energie di elettrone e fotone iniziali, elettroni e fotone finali, si deve
integrare su tutte le possibilità, conservando energia e momento a entrambi i vertici
Il propagatore può avere qualsiasi direzione
La funzione analitica ampiezza non si annulla fuori dal cono di luce. Conseguenza
dell’indeterminazione quantistica nella misura della velocità
Se AB di tipo spazio, l’elettrone viaggia più veloce della luce
In altro riferimento B prima di A. Elettrone indietro nel tempo. Questo osservatore interpreta: A:
il fotone si materializza in coppia e–e+, in B positrone trova elettrone e si annichilano in fotone
finale. La particella virtuale di uno è antiparticella virtuale dell’altro
Interpetazione non Lorentz invariante, grafico di Feynman Lorentz-invariante
Meccanica quantistica + Invarianza di Lorentz = antiparticelle
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e+e–µ+µ–
Gli anelli di accumulazione e+e– permettono di realizzare in laboratorio uno stato quantistico
puro, di numeri quantici definiti: tutte le cariche e sapori nulli, JPC=1– –
Il fotone virtuale di massa √s si trasforma in un adrone in risonanza √s =m come per ,  o (poi)
Z, ma molte informazioni anche fuori rispnanze, nel “continuo”
e+e–µ+µ– semplice perché
•solo canale s, a differenza di e+e–e+e–
•µ+µ– semplici da rivelare, a differenza di –
•teoricamente puro, a differenza di adroni
d
1 1 pf

d f 8 2 E 2 pi
 M
iniziali
finali
2
fi

1
8 2

2
11
M
 fi
s 4 spin

Trascurate masse rispetto alle energie e considerato pf=pi
Calcolo dell’elemento di matrice (Lorentz invariante) mostra che esso non dipende dall’energia
2
2 4  2
1
2
2
2
M fi 
t

u

4

1
cos




4 spin
s2
2
d  2

1 cos2 
d
4s

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




4 2

3s
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Due situazioni fondamentali


propagatore 

s
dato che |Mif|2 = costante 
(/s)2 s2  (propagatore)2 s2
  M if
2
1 2
SF   
s
s
2
Costante d’accoppiamento adimensionale
[] = [L2] = [E–2]
Se E>>m, sola energia in gioco √s
  1/s
2
2
gW2
g
W
propagatore  2
sM

 W2  GF
MW  s
MW
1
s
gW adimensionale [GF]=[E–2]=[L2]
[] = [L2] = [E–2]
propagatore costante  s
2
  M if SF  GF2 s 2  GF2 s
gW2
gW2
sM W2
propagatore  2
 
MW  s
s
  M if
2
gW4
gW4
SF  2 s 
s
s
Le sezioni d’urto dei processi elementari ad alte energie sono proporzionali a 1/s
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Dipendenza dall’angolo. Con elicità
Il fotone (virtuale) può avere nella direzione del moto Jz=+1 o Jz=–1
approssimazione di masse nulle
J
1
dm,m
'    d1,1 
1
1 cos 
2
+
1
d1,1

1
1 cos 
2
+
1
d1,1

d  2

1 cos 2 
d 4s

d
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
1
1 cos 
2
+
1
1,1
P    1 cos2 
 e e  µ µ 
1
 1 cos 
2
C.4 A. Bettini
4 2 86.8 nb


3s
s(GeV2 )
27
La sezione d’urto adronica
s GeV

 
s 
3
s
 e f
 sM 
2
R
2

4
Gli stati finali qq non sono in generale distinguibili sperimentalmente. Si misura la somma
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Rinormalizzazione
QED risolve il problema delle divergenze con il processo di rinormalizzazione della massa e
della carica. Si definiscono una carica “nuda” che non è osservabile ed una carica efficace (quella
che si misura); ciò consente di introdurre nella Lagrangiana dei controtermini (infiniti) che
vengono sottratti cancellando le divergenze, pur mantenendo la stessa forma della Lagrangiana
originale
√eff 
√
Analogia:una carica immersa in un dielettrico ne
polarizza le molecole, che la schermano. Alla misura
quindi appare minore di quanto sia.
Se si misura la diffusione di una particella sonda
questa “vede” la carica bersaglio tanto minore quanto
più distante passa da essa
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Evoluzione della costante di accoppiamento
Nel vuoto sono le coppie e+e– delle fluttuazioni quantistiche
a polarizzarsi.
La carica efficace è tanto più grande quanto più ci si
avvicina ad essa, cioè quanto maggiore è la variazione il
momento trasferito nello scattering
La teoria della rinormalizzazione fornisce l’evoluzione delle
costanti di accoppiamento al variare del 4-momento
trasferito o dell’energia nel CM, a parte un fattore di scala µ
che va fissato “dall’esterno”
Q2=s o =t a seconda del caso
Se la polarizzazione del vuoto fosse dovuta alla creazione di coppie di un solo fermione, ad
esempio l’elettrone, l’evoluzione della costante “efficace” sarebbe
 µ2
2
 Q 
 µ2
2
1
log Q / µ2
3
 
 
 


NB. Dipende dal valore assoluto di Q2
In realtà ci sono anche coppie µ+µ–, –,  uu, dd, ecc., che contribuiscono
proporzionalmente al quadrato delle loro cariche elettriche
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Alfa non è costante
 Q 2 
L’espressione è quindi
 µ2 
 µ2 
2
1 z f
log Q / µ2
3


dove zf è il numero di carica fermionica = numero di fermioni, pesato con il quadrato della carica,
che può contribuire al valore considerato di |Q|2. In buona sostanza con m<|Q|
Ad esempio per |Q|> 10 GeV contribuiscono tre leptoni carichi, due quark di tipo up, u e c, di
carica 2/3 e tre quark di tipo down, d, s e b di carica 1/3. Quindi
z f  3leptoni  3colori 
 Q 
2
 µ2 
 µ 
2
1 6.67
log Q / µ2
3
2


4
1
 2 u,c  3   3d, s,b   6.67
9
9
 1 Q 2   1 µ2 

6.67
2
log Q / µ2
3

Cioè: se il numero di fermioni eccitati non varia l’inverso della costante
d’accoppiamento varia linearmente con il logaritmo del momento trasferito
Misura di precisione con effetto
Hall quantizzato a Q=0
 1 0   137.03599911 0.00000046
3 ppb
Bisogna controllare l’evoluzione sia per intervalli di tipo tempo sia di tipo spazio
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Evoluzione di  per Q2>0
Strumento: collisori e+e– ad alta energia, soprattutto LEP 90 GeV<√s<209 GeV
Misura sezione d’urto in funzione di √s
e  e –  f   f –
Calcola teoricamente (s) da questa serie di grafici
Confronta misura e teoria
 1 M Z2  128.936  0.046
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Evoluzione di  per Q2<0
Strumento: LEP ad energia fissa, più grande possibile, non in risonanza, √s =198GeV
Misura sezione d’urto “Bhabha” in funzione di √t
e  e–  e  e–
Lontano dalle risonanze perché il contributo dominante si vuole sia quello del canale t
Q2 cresce con l’angolo di diffusione
s
Q2  t  (1 cos )
2
LEP 1800 GeV2<Q 2<21600 1800 GeV2

+
+
Calcolo teorico della sezione d’urto differenziale assumendo  costante
d
e con evoluzione (t) come prevista
dt
2
0  

 t 
d d



dt
dt   0 
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+
…
d (0 )
dt
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Qualche complicazione
Per la precisione. Bisogna calcolare anche i grafici
e loro termini di ordine superiore, e “sottrarne” i contributi
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Evoluzione di  nella regione tipo spazio
 Q 
2
 µ2 
 µ2 
2
1 z f
log Q / µ2
3


√s=198 GeV
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