Fisica 2 16° lezione

Onde elettromagnetiche
27 ottobre 2014
Predizione dell’esistenza di onde elettromagnetiche
Velocita` di propagazione
L’opera di H. Hertz
Generazione delle onde e.m.. Antenne
Soluzioni progressive e regressive
Onde sinusoidali
Lunghezza d’onda e periodo dell’onda
Polarizzazione
Trasporto di energia di un’onda
Vettore di Poynting
Intensità di energia di un’onda sinusoidale
Equazioni di Maxwell nel vuoto
• L’assenza di cariche e correnti magnetiche rende
le equazioni asimmetriche tra i campi E e B
• Si ottiene perfetta simmetria nelle zone di spazio
ove non ci sono cariche ne’ correnti elettriche

( E )  0

( B)  0

 
d ( B)
C E  dl   dt



d ( E )
C B  dl  0 0 dt
2
Soluzioni delle eq. di Maxwell nel
vuoto
• In forma differenziale:

 
B
 E  
t

 
E
  B  0 0
t
 
 E  0
 
 B  0
• Consideriamo la prima equazione e facciamo la
rotazione dei due membri:

  
 B
    E   
t


3
Lemma
• Calcoliamo la rotazione della rotazione del campo E per
componenti cartesiane
  E y E x    E x E z 


  


x 
y  x
y  z  z
x 
 2 E y  2 Ex  2 Ex  2 Ez


 2 
2
yx y
z
zx
 
  
  E

• Sommiamo e sottraiamo un termine
2
  

 E y  2 Ex  2 Ex  2 Ez   2 Ex  2 Ex
 
    E x  
 2  2 
 2 
2
z
zx  x
x
 yx y
2
2
2
2
2

E y  2 Ez 

  Ex  Ex  Ex   Ex

  2 
 2    2 

2
y
z   x
yx zx 
 x
4
 

Lemma
• La prima parentesi e` il laplaciano della componente Ex
 2 Ex  2 Ex  2 Ex
 2  2  Ex
2
x
y
z
• mentre la seconda e` la componente x del gradiente
della divergenza di E
2
2

E y  2 Ez   Ex E y Ez    
 Ex


 


 
E
2
x
yx zx x  x
y
z  x
• Le componenti y e z si ricavano per permutazione ciclica
degli indici; sommandole alla componente x troviamo
infine


  
   
  
    E   Ek eˆk  
  E eˆk  E     E
k
k x
k






5
Soluzioni delle eq. di Maxwell nel
vuoto
• La divergenza di E è nulla, poiché siamo in una regione

priva di cariche, quindi   
    E  E



 B
• Per il secondo membro dell’eq.   
    E   
t


• scambiamo l’ordine tra gradiente e derivata rispetto a t e
quindi usiamo la legge di Faraday:



2
 B
  

E 
 E



    B    0 0
 0 0 2

t
t
t 
t 
t


6
Equazione delle onde

2 
 E
• Abbiamo infine:  E  0 0 2  0
t
2
• Se fossimo partiti dalla seconda equazione

2
avremmo ottenuto  2 
 B
 B   0 0 2  0
t
• Ciò significa che per ogni componente di E e di
B, vale un’equazione del tipo
2 

2
 f r , t   0 0 2 f r , t   0
t
7
Dimensioni di
0 0
T2
dim 0 0   2
L
• Cioè le dimensioni dell’inverso di una velocità al
quadrato
1
• Possiamo scrivere
v
0 0
• L’equazione diventa
2 

1 2
 f r , t   2 2 f r , t   0
v t
• che e` la famosa equazione delle onde
8
Equazione delle onde
• Questa equazione descrive la propagazione
della grandezza f con velocita` v
• Le equazioni di Maxwell predicono l’esistenza
di onde elettromagnetiche
• Queste onde si propagano con velocita` v  1 0 0
• Le grandezze che oscillano sono le componenti
dei campi E e B
9
Valore della velocita`
• Calcoliamo la velocita` delle onde
elettromagnetiche
v
1
0 0

1
m
 2.999 10
s
8
4 107  8.85 1012
• Il valore coincide quasi esattamente con la
velocita` della luce
• Maxwell penso` che questa coincidenza non
potesse essere fortuita
• Fece l’ipotesi che la luce fosse un fenomeno
elettromagnetico
vc
10
Hertz e la
scoperta delle
onde e.m.
• Hertz uso` un generatore di scariche comandato
da un rocchetto di Ruhmkorff e una coppia di fili
lunghi un metro come trasmettitore
• Sfere capacitive erano presenti alle estremita`
per regolare la risonanza del circuito
• Il ricevitore era una semplice antenna dipolare
11
L’opera di Hertz
• Con i suoi esperimenti Hertz studio`
– Riflessione
– Rifrazione
– Polarizzazione
– Interferenza
• delle onde elettromagnetiche e ne misuro`
la velocita` di propagazione
12
Generazione delle onde
• Le onde e.m. sono generate quando cariche
elettriche subiscono un’accelerazione
• Ad esempio quando le cariche oscillano, esse
emettono onde e.m. la cui frequenza è uguale
alla frequenza di oscillazione
• L’antenna è uno strumento per generare (e
rivelare) onde e.m.
13
Antenna trasmittente dipolare
• Questa antenna è costituita da due sbarrette
conduttrici alimentate da un generatore di fem
alternata E E0 cost
• Per t=0 gli estremi delle sbarrette sono carichi e tra
di esse c’è un campo elettrico E parallelo ad esse
• Attorno alle sbarrette c’è anche un campo magnetico
B generato dalla corrente che percorre le sbarre

• Questi campi si propagano allontanandosi
dall’antenna alla velocità della luce
• Per t=T/4 le sbarrette sono scariche ed E è nullo
• Per t=T/2 le sbarrette sono cariche, ma con segno
opposto
14
Antenna trasmittente dipolare

• I campi elettrico e magnetico, a grande
distanza dall’antenna, oscillano in accordo di
fase in direzioni perpendicolari fra loro e alla
direzione di propagazione dell’onda
• L’onda è quindi trasversale
• L’intensità delle onde emesse è nulla lungo
l’asse dell’antenna ed è massima nelle
direzioni perpendicolari all’asse
I  sin 
2
15
Antenna ricevente dipolare
• Se al posto del generatore CA mettiamo un
rivelatore (ad es. un oscilloscopio) l’antenna
diventa un rivelatore di onde e.m.
• Per massimizzare il segnale, l’antenna
dev’essere disposta parallelamente al
campo elettrico dell’onda incidente
OS
16
Antenna ricevente a spira
• Questa antenna è costituita da
una o più spire ed è sensibile al
campo magnetico
• Per massimizzare il segnale, il
piano dell’antenna dev’essere
disposto perpendicolarmente al
campo magnetico
os
17
Soluzioni dell’equazione delle onde
• Per semplicità ci limiteremo a studiare l’equazione per f
dipendente da una sola variabile spaziale x e dal tempo t:
2
1 2
f x, t   2 2 f x, t   0
2
x
v t
• Soluzioni di questo tipo sono dette onde piane
• Si può dimostrare che una qualunque funzione di
argomento x-vt o di argomento x+vt è soluzione di questa
equazione
g ( x  vt)
h( x  vt)
• Inoltre l’equazione è lineare, quindi date due soluzioni
qualunque, anche una combinazione lineare arbitraria di
esse è soluzione
18
Significato della soluzione g
• Consideriamo il valore di g nel punto x=x1
al tempo t=t1
• Consideriamo poi il valore di g nel punto
x=x1 al tempo t=t2
g
t=t1
g(x1,t1)
x1
x
19
Significato della soluzione g
• Scriviamo l’argomento in x=x1 al tempo t=t2
x1  vt2  x1  v(t2  t1 )  vt1  x1  x  vt1
• È lo stesso valore che in x=x1-x al tempo t=t1
• Questo vale per tutti i punti sull’asse x
g
t=t2
g(x1,t2)
x1-x
x1
x
20
Significato della soluzione g
• Significa che la funzione al tempo t2 si trova traslando
la funzione all’istante precedente t1 della quantità x
• La funzione g rappresenta quindi un’onda
progressiva, cioè che si sposta verso x positivi, con
velocità v
g
t=t2
g(x1,t2)
x1-x
x1
x
21
Significato della soluzione h
• Similmente possiamo affermare che la funzione h
rappresenta un’onda regressiva, cioè che si sposta
verso x negativi, con velocità -v
22
Onde piane e.m. - componenti
longitudinali
• Studiamo la componente x del rot E
 
B
Ez E y
 E x 

 x
y
z
t


• Essa e` nulla, in quanto per un’onda piana c’e`
dipendenza dalla sola coordinata spaziale x

• Otteniamo l’equazione
B  x, t   0
t
x
• Similmente, studiando la componente x del rot B
otteniamo

E x  x, t   0
t
• Quindi le componenti x dei campi sono costanti nel
tempo
23
Onde piane e.m. - componenti
longitudinali
• Applichiamo ora le prime due equazioni di Maxwell
  Bx By Bz
 B 


0
x
y
z
  Ex E y Ez
 E 


0
x
y
z
• Poiche’ le componenti dipendono solo dalla coordinata
spaziale x, otteniamo


x
E x  x, t   0
x
Bx  x, t   0
• Quindi le componenti x dei campi oltre ad essere
costanti nel tempo, sono uniformi rispetto a x
• Si possono scegliere queste costanti uguali a zero
E x  x, t   0
Bx x, t   0
• Cio` significa che le componenti dei campi nella
direzione di propagazione del moto sono nulle, ovvero
l’onda e` trasversale
24
Soluzioni sinusoidali
• Sono soluzioni particolarmente semplici, in cui g
assume la forma seno o coseno
g ( x  vt)  Asin k x  vt
g ( x  vt )  A cosk x  vt 
• L’importanza delle soluzioni sinusoidali è dovuto alla
teoria di Fourier, secondo cui
– qualunque funzione periodica si può esprimere come serie di
funzioni sinusoidali di periodo uguale o multiplo intero e
– qualunque funzione si puo` esprimere come integrale di
funzioni sinusoidali
• Ci si può quindi sempre ridurre al solo studio di
funzioni sinusoidali; il prezzo da pagare è che, in
generale, lo sviluppo contiene infiniti termini
25
Soluzioni sinusoidali
1
dim(
k
)

L
• Cerchiamo il significato di k: dimensioni
• Fissato un valore per t, scegliamo due punti x1 e x2 tali
per cui la funzione assume lo stesso valore per
periodicita`
x1
x2
26
Lunghezza d’onda
• Le fasi possono differire per un multiplo di 2
k ( x1  vt)  k ( x2  vt)  2n
• Questo definisce la relazione tra x1 e x2
k ( x2  x1 )  2n
• La minima distanza tra x1 e x2 che soddisfa la richiesta
si ha per n=1 e rappresenta la lunghezza d’onda
x2  x1 min

•
•
• (
x1
x2
2
 
k
La costante k prende il
2
nome di numero d’onda k 

(o anche vettore d’onda)
27
Periodo dell’onda
• Fissato un valore di x scegliamo due tempi t1 e t2 tali che
la funzione assuma lo stesso valore per periodicita`
• Le fasi possono differire per un multiplo di 2
k ( x  vt1 )  k ( x  vt2 )  2n
• Questo definisce la relazione tra t1 e t2
kv(t2  t1 )  2n
• Il minimo intervallo di tempo che soddisfa questa
richiesta si ha per n=1 e rappresenta il periodo dell’onda
(t 2  t1 ) min
T
t1
t2
2
T 
kv
28
Soluzioni sinusoidali
• Abbiamo l’importante relazione tra i parametri dell’onda
2
kv 

T
• Possiamo scrivere l’onda sinusoidale in uno qualunque
dei modi seguenti
A sin k  x  vt 
A sin kx  t 
  x t 
A sin 2   
   T 
29
Soluzioni sinusoidali
• Tali soluzioni rappresentano onde dette
monocromatiche
• Il motivo e` che nello spettro della luce visibile
ad ogni frequenza corrisponde un colore
• e che le onde sinusoidali contengono una sola
frequenza (o pulsazione)
 x

A sin 2   ft   A sinkx  t 

 
30
Onde e.m. sinusoidali - componenti
trasversali
• Partendo dall’equazione per Ey e scelta una soluzione sinusoidale
E y ( x, t )  E y 0 sin kx  t 
• Troviamo la soluzione per Bz integrando rispetto al tempo
l’equazione


• Ottenendo
t
Bz  x, t   
x
E y  x, t   kEy 0 coskx  t 
Bz x, t   k  E y 0 coskx  t dt 
k

E y 0 sin kx  t 
• Cioè E e B hanno la stessa forma sinusoidale e sono in fase
Bz  x , t  
1
1
E y 0 sin kx  t   E y x, t 
c
c
• Esiste una relazione analoga tra Ez e By
1
B y  x, t    E z  x, t 
c
31
Onde e.m. sinusoidali - componenti
trasversali
• Da queste relazioni segue che i moduli dei
campi sono proporzionali


2
2
2
2
2
2
B  By  Bz  E y c  Ez c  E c
• E che i campi sono ortogonali
 
1
 1
E  B  E y By  Ez Bz  E y    Ez  Ez E y  0
c
 c
32
Polarizzazione
• Le onde e.m. piane sono puramente trasversali
• I gradi di libertà trasversali sono due
• Consideriamo il campo E, i due gradi di libertà
corrispondono alle componenti Ey, Ez
• Potremmo fare le stesse considerazioni con il
campo B
• Questo non aumenta i gradi di libertà, poiché
ad ogni componente di E è associata una
componente di B
33
Polarizzazione lineare
• Supponiamo
che il campo E sia

E ( x, t )  E y 0 sin kx  t  ˆj  Ez 0 sin kx  t kˆ
• Quindi
 il campo B risulta essere
B( x, t )   By 0 sinkx  t  ˆj  Bz 0 sinkx  t kˆ
• Nel piano trasversale il vettore E
oscilla di moto armonico lungo un
segmento di direzione fissa rispetto
agli assi
• La proiezione di E lungo y varia da
-Ey0 a Ey0 e lungo z da -Ez0 a Ez0
• Un’onda siffatta le cui componenti
oscillano in fase, è detta polarizzata
linearmente
Ey,By
Onda entrante
E
Ez,Bz
B
34
Polarizzazione circolare
• Supponiamo
che il campo E sia

E( x, t )  E0 sin kx  t  ˆj  E0 coskx  t kˆ
• Quindi
 il campo B risulta essere
B( x, t )  B0 coskx  t  ˆj  B0 sin kx  t kˆ
• Nel piano trasversale il vettore E
descrive un cerchio di raggio E0
• Un’onda siffatta le cui
componenti oscillano sfasate di
/2, è detta polarizzata
circolarmente
Ey,By
E
Ez,Bz
x fisso
t crescente
onda entrante
B
35
Polarizzazione ellittica
• Il caso piu` generale e` quello della polarizzazione
ellittica

E ( x, t )  E y 0 sinkx  t    ˆj  E z 0 sinkx  t   kˆ

B( x, t )   By 0 sinkx  t    ˆj  Bz 0 sinkx  t   kˆ
• con due ampiezze e due fasi differenti
Ey,By
E
B
Ez,Bz
36
Trasporto di energia
• L’energia e.m. di un’onda
piana monocromatica che
attraversa l’area A nel tempo
t è uguale all’energia
contenuta nel volume di base
A e altezza ct
• Questa si trova moltiplicando
la densità di energia per il
volume del cilindro
• C’è un contributo elettrico ed
uno magnetico
A
ct
37
Trasporto di energia
• Parte elettrica
1
U E  u E V   0 E 2  Act
2
• Parte magnetica
U M  u M V 
1
20
B 2  Act
A
ct
• Tali relazioni, dimostrate per campi statici, valgono anche
per i campi rapidamente variabili di un’onda
• L’intensità (istantanea) dell’energia incidente è definita
come l’energia incidente diviso l’area e il tempo
U
1
1 2
2
S  lim
 uE c  uM c   0 E c 
Bc
t 0
At
2
2 0
38
Vettore di Poynting
c 
• Tenendo conto che
1
2
 0 0
B
E
c
• L’intensità si può riscrivere in qualunque delle forme
1 2 1
S  0E c  B c 
E  EB
0
0 c
0
2
1
2
• Introduciamo il vettore di Poynting che ha S per
modulo e direzione e verso dell’onda
 1  
S
EB
0
• S è perpendicolare ai campi E e B e rappresenta il
flusso istantaneo di energia e.m.
39
Vettore di Poynting
• Verifichiamo quanto detto calcolando le componenti
cartesiane del vettore S per un’onda piana
monocromatica
• Si vede facilmente che la sola componente non nulla
e` quella longitudinale (x)
Sx 
1
0
E B
y
z
 E z By  
1  1
1 2
2
2
 1  1

E y  Ez  
E
 E y E y  Ez    Ez  
0  c
0c
 c   0c
• Tale componente e` positiva, ovvero S ha il verso x
positivo, cioe` il verso di propagazione dell’onda
40
Intensità media
• Molto spesso interessa l’intensità media, cioè la
media nel tempo di S
T
1 1
I  S   EBdt
T 0 0
• Calcolo di I per un’onda sinusoidale
T
2
E
1 1 2
1
1
1 2
2
0
I 
E dt 
E 

Eeff
T 0 0c
0c
0c 2 0c
  0 cE
2
eff

c
0
2
Beff
41