Algoritmi e Strutture Dati

Algoritmi e strutture dati
Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. Italiano
Algoritmi e Strutture Dati
Capitolo 4
Ordinamento: Heapsort
Algoritmi e strutture dati
Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. Italiano
Punto della situazione
• Problema dell’ordinamento:
– Lower bound – (n log n) Albero di decisione
– Upper bound – O(n log n) Mergesort (non in
loco e complessità Θ(n log n))
– Algoritmi quadratici
Insertion, Selection
(in loco)
• Proviamo a costruire un nuovo algoritmo ottimo,
che ordini in loco e che costi O(n log n))
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HeapSort
• Stesso approccio incrementale (invertito) del SelectionSort
– seleziona gli elementi dal più grande al più piccolo…
– … ma usa una struttura dati efficiente (heap binario), per cui
l’estrazione del massimo avviene in tempo O(log n), invece che
O(n)
• Struttura dati (efficiente)
– Organizzazione specifica (e memorizzazione) di una collezione di
dati che consente di supportare le operazioni previste su di essi
usando meno risorse di calcolo possibile
• Obiettivo: progettare una struttura dati H su cui eseguire
efficientemente le operazioni:
– dato un array A, genera H
– estrai il più grande oggetto da H
– ripristina l’organizzazione specifica dei dati in H (ovvero mantieni
invariate le proprietà strutturali di H)
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Alberi: qualche altra definizione
albero d-ario: albero in cui tutti i nodi interni hanno (al più) d figli
d=2  albero binario
Un albero d-ario è completo se tutti nodi interni hanno esattamente d
figli e le foglie sono tutte allo stesso livello
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Heap Binario
• Struttura dati heap (catasta) binario associata ad
un insieme S: albero binario radicato con le
seguenti proprietà:
1) Quasi completo, ovvero completo fino al penultimo
livello, con tutte le foglie sull’ultimo livello compattate
a sinistra
2) gli elementi di S sono memorizzati nei nodi dell’albero
(ogni nodo v memorizza uno e un solo elemento,
denotato con chiave(v))
3) chiave(padre(v)) ≥ chiave(v) per ogni nodo v (proprietà
di ordinamento parziale dell’heap)
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…un esempio
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10
14
In questa
direzione è
presente un
ordinamento
7
8
2
4
9
3
il massimo è
contenuto
nella radice!
1
In questa direzione non è
presente un ordinamento
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Proprietà salienti degli heap
1) Ogni nodo interno contiene un valore
maggiore o uguale del valore contenuto in
tutti i suoi discendenti (deriva banalmente
dalla proprietà di ordinamento parziale)
 L’elemento massimo è contenuto nella radice
2) L’albero binario associato ad un heap di n
elementi ha altezza (log n)
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Osservazione
• La struttura dati presentata è più propriamente
denominata max-heap, per via del fatto che il
massimo è contenuto nella radice
• In alcuni contesti, avrà più senso definire la
struttura duale min-heap, in cui la relazione di
ordine parziale diventa:
chiave(padre(v)) ≤ chiave(v) per ogni nodo v
e conseguentemente la radice conterrà il minimo.
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Altezza di un heap binario
• Abbiamo già dimostrato che un albero binario con k foglie in cui
ogni nodo interno ha esattamente due figli, ha altezza h(k)  log k.
• Adesso vogliamo dimostrare che un albero binario quasi completo
di n nodi in cui ogni nodo interno ha esattamente due figli (eccezion
fatta per al più un nodo), ha altezza h:= h(n) = (log n)
• Ma se l’albero è completo:
n = 1 +2 + 22 + … + 2h =
=2h · ((1/2)h + (1/2)h-1 + … +(1/2)+ 1)=
=2h · [1-(1/2)h+1]/(1-1/2) = 2h · (2-(1/2)h) = 2h+1–1
• Quindi, se l’albero è quasi completo:
2h -1 < n < 2h+1 –1  h = log n
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 h = (log n)
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Rappresentazione con array posizionale
sin(i) = 2i
des(i) = 2i+1
padre(i)=i/2
37
22
31
13
7
15
12
3
25
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è sufficiente un vettore di
dimensione n
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vettore posizionale
0
37 22 31 13 15 25 14
7
3 12
1
8
9
2
3
4
5
6
7
9
10 11
in generale
dimensione vettore
diverso da numero
elementi
nello pseudocodice numero oggetti indicato con
heapsize[A] (che può essere minore della dimensione dell’array)
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La procedura fixHeap
Se tutti i nodi di H tranne v soddisfano la proprietà di ordinamento
parziale dell’heap (N.B.: significa che v è l’unico nodo il cui valore è
MINORE di quello di almeno uno dei figli), possiamo ripristinarla
come segue:
fixHeap(nodo v, heap H)
if (v è una foglia) then return
else
sia u il figlio di v con chiave massima
if ( chiave(v) < chiave(u) ) then
scambia chiave(v) e chiave(u)
fixHeap(u,H)
Tempo di esecuzione: O(h)=O(log n)
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i=1
FixHeap - esempio
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2
3
4
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4
5
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7
8
9
10
2
8
1
6
9
3
16
2
3
14
10
4
5
8
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8
9
10
2
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1
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i=1
7
6
9
16
2
3
14
10
4
5
4
7
8
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8
1
6
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3
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3
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Pseudocodice di fixHeap per l’array posizionale
fixHeap (i,A)
1.
s=sin(i)
2.
d=des(i)
3.
if (s  heapsize[A] e A[s] >A[i])
4.
then massimo=s
5.
else massimo=i
6.
7.
8.
if (d  heapsize[A] e A[d] >A[massimo])
then massimo=d
if (massimoi)
9.
then scambia A[i] e A[massimo]
10.
fixHeap(massimo,A)
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Costruzione dell’heap
Algoritmo ricorsivo basato sul divide et impera
heapify(heap H)
if (H è vuoto) then return
else
heapify(sottoalbero sinistro di H)
heapify(sottoalbero destro di H)
fixHeap(radice di H,H)
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Complessità heapify
Sia h l’altezza di un heap con n elementi
Sia n' n l’intero tale che un heap con n' elementi ha
1. altezza h
2. è completo fino all’ultimo livello
Vale: T(n)  T(n') e
n' 2n
Tempo di esecuzione: T(n')= 2T(n'/2)+O(log n')
T(n') = (n')
(caso 1 del Teorema Master:
= (n logba )
Quindi: T(n)  T(n') = (n')=(2n)=(n)  T(n)=O(n)
se f(n)=O(nlogba-  ) per >0, allora T(n)
Ma ovviamente T(n) = Ω(n)  T(n)=Θ(n)
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Estrazione del massimo
• Copia nella radice la chiave contenuta nella foglia
più a destra dell’ultimo livello
– nota: è l’elemento in posizione n (n: dimensione heap)
• Rimuovi la foglia
• Ripristina la proprietà di ordinamento a heap
richiamando fixHeap sulla radice
Tempo di esecuzione: O(log n)
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L’algoritmo HeapSort
• Costruisce un heap tramite heapify
• Estrae ripetutamente il massimo per n-1 volte
– ad ogni estrazione memorizza il massimo nella posizione
dell’array che si è appena liberata
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heapSort (A)
1.
Heapify(A)
2.
Heapsize[A]=n
3.
for i=n down to 2 do
4.
scambia A[1] e A[i]
5.
Heapsize[A] = Heapsize[A] -1
6.
fixHeap(1,A)
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(n)
n-1
estrazioni
di costo
O(log n)
ordina in loco in tempo O(n log n)
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Esempio
Input: A=<4,1,3,2,16,9,10,14,8,7>
Heapify(A)  A0 =<16,14,10,8,7,9,3,2,4,1>
Scambia(A[1],A[n])
i=1
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5
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Heap-size = Heap-size -1
i=1
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5
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8
9
10
2
4
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FixHeap(A,1)
6
7
9
3
i=1
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2
3
8
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4
5
4
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8
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2
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6
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3
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Scambia(A[1],A[n-1])
2
8
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4
5
7
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1
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i=1
14
3
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3
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Heap-size = Heap-size -1
i=1
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3
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FixHeap(A,1)
i=1
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4
4
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2
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E così via, sino ad arrivare a
1
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Esercizio: E’ possibile definire un’istanza di input su cui
l’heapsort costa o(n log n)?
Risposta: NO: Si può dimostrare che nel caso migliore
l’heapsort richiede circa ½ n log n operazioni
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