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MECCANICA
• STATICA
•
CINEMATICA 
•
DINAMICA 
CINEMATICA
STUDIO DEL MOTO DAL PUNTO DI VISTA
GEOMETRICO
DINAMICA
STUDIO DEL MOTO DAL PUNTO DI VISTA DELLE
CAUSE
PUNTO MATERIALE: punto matematico senza dimensione
dimensioni piccole rispetto al sistema che si sta
studiando
MOTO IN UNA DIMENSIONE
Velocità media
î
xi
x
x
X=0
Vm
t=0
Vm =
10/3/06
xf
t
ti
t
tf
x
t
=
 xf - xi  î
 tf - ti 
[L]
[T]
m
s
Piano x-t
x(t)  equazione oraria
x
x1
x2
x3
…
xn
t1
t2
t3
…
tn
posizione istante per istante
x(t)
n
xn
x
x1
1

t

t
t1
Vm =
tn
x
= tg 
t
Velocità istantanea
x
x3
x2
xf
xi
tangente in P
Q’’
x1
x2
lim
Vi =
Q’
t
0
x
t
Q
P
=
t3
dx
dt
t2

ti
t1
t3
t2
tf
t
modulo = tg 
direzione data dalla retta
del moto rettilineo
modulo vi = tg 
x
xR
xQ
xS
xP
Q
R
S
viP =
tgP
>0
ViQ =
tgQ
>0
viR =
tgR
=0
viS =
tgS
<0
P
Q
S
P
t
tS
Parte da xP, arriva in xRdove si ferma e torna indietro
ACCELERAZIONE: variazione di v nel tempo
Accelerazione media
v
t
am =
=
 vf - vi  î
 tf - ti 
[L]
[T]
m
[T]
s2
Accelerazione istantanea
ai =
lim
t
0
v
t
=
dv
dt
d
=
dt
dx
dt
=
d2x
dt2
Piano v-t
v(t) 
v
v1
v2
v3
…
vn
t1
t2
t3
…
tn
velocità istante per istante
v(t)
Q
vQ
v
vP
P

t

t
tP
am =
tQ
v
= tg 
t
x ( t )  5  3t  7 t
x(t)
d
vx  x ( t )
dt
d
d d
d2
ax  vx ( t ) 
x(t )  2 x(t)
dt
dt dt
dt
2
d
vx  x ( t )  3  14 t
dt
d
ax  v x ( t )  14
dt
14
10

x(t )  5  3t  7t
2
tg   14
vx  3  14t
06
02
ax  14
d
d
vx  x(t )   vx dt   x(t )  x(t )
dt
dt
d
d
ax  vx(t )   a x dt   vx (t )dt  vx (t )
dt
dt
a x   a x dt  vx (t )   vx dt  x(t )
a x (t )
vx   a x ( t )dt  v 0 x
x ( t )   v x ( t )dt    (a x ( t )dt   v 0 x dt
a x (t )  5
vx   a x (t )dt  5t  v0 x
1 2
x(t )   v x (t )dt   5tdt   v0 x dt  5t  v0 x t  x0
2
ALCUNI
ESEMPI
Moto uniformemente
http://www.walter-fendt.de/ph14i
accelerato
a (t )  k  a
/
java
0x
vx   a x (t )dt   a0 x dt  a0 x t  v0 x
1
x(t )   v x (t )dt   (a0 x t  v0 x )dt  a0 x t 2  v0 x t  x0
2
vx  v0 x  a0 xt
a x (t )  a0 x
a
a0 x
t
1
x(t )  x0  v0 x t  a0 x t 2
2
v
x
v0 x
x0
t
t
Velocità funzione dello spazio
v x  v0 x  a x t


1 2
 x  x0  v0 x t  2 a x t
x  x0 
 v x  v0 x
t  a
x


2




v

v
v

v
1
x
0x
x
0x
x  x  v

a
0
0x
x
2

ax
2
ax
1
vx  v0 x  v0 x  1 vx  1 v0 x 
ax
2
2


x  x0 
1
vx  v0 x  1 v0 x  1 vx 
ax
2 
2
v x  v0 x
1
vx  v0 x v0 x  vx  
x  x0 
2a x
2a x
2
2
Velocità funzione dello spazio
vx  v0 x  2ax x  x0 
2
2
vx  v0 x  2ax x  x0 
2
se
x0  0
v0  0

vx  2ax x


vx  2ax x
2
Moto uniformemente
accelerato
 a x  a0 x
v  v  a t
0x
x
 x

x  x  v t  1 a t 2
0
0x
x

2

2
v x  v0 x  2a x  x  x0 
Moto rettilineo uniforme
a x  a0 x
ax  0
v x  v0 x  a x t
v x  v0 x
1
x  x0  v0 x t  a x t 2
2
a
x  x0  v0 x t
a(t )  0
v
a x (t )  k
vx   a x (t )dt   kdt  kt  v0 x  v0 x
x(t )   v0 x dt  v0 xt  x0
v(t )  v0
x
x(t )  v0t  x0
v0
x0
0
t
t
t
MOTO IN DUE DIMENSIONI
http://www.pv.infn.it/~altieri
y
ry (t1 )
piano x-y
traiettoria

r (t1 )

r (t2 )
rx (t1 )
x
y
Velocità vettoriale
 

 


r r (t 2 )  r (t1 )
r  r (t2 )  r (t1 )
vm 

t
t 2  t1

v(t1 )

r (t1 )

vm 
r

r (t2 )

v(t 2 )
x


r
vi  lim
t  0  t

dr

dt
Accelerazione vettoriale
 

 



v
v
(
t
)

v
(
t
)
2
1
v  v (t2 )  v (t1 )
am 

t
t 2  t1

vi (t1 )
y

r (t1 )

v

r (t2 )

vi (t 2 )
x


v
ai  lim
t  0 t

dv

dt
accelerazione tangenziale e radiale
y
at
a
ar
traiettoria
ar
at

at

ar
a



a  ar  at
x
modulo velocità
acc. tangenziale
cambia
acc.
radiale
direzione velocità
Equazioni vettoriali
y
ry

r

j

i
rx
x



r  rx i  ry j



 dr drx  dry 
v

i
j  vx i  v y j
dt
dt
dt



 dv dvx  dv y 
a

i
j  ax i  a y j
dt
dt
dt
a x
 rx
v x
 
 


r   ry v   v y a  a y



a z
 rz
v z
v x  v0 x  a x t

  
v  v0  at  v y  v0 y  a y t

v z  v0 z  a z t
MOTO DEL PROIETTILE

a y   g


 v y  v 0 y  gt

 y  y 0  v 0 y t  1 gt 2

2

v x  v0 x

x  x 0  v0 x t
y
x
• accelerazione g costante
verso il basso
• no resistenza aria
moto con traiettoria
parabolica
Lancio con velocità orizzontale
Il pacco lanciato dall’aereo
Lancio con velocità verticale
Lancio con velocità verticale
Lancio con velocità verticale
g

a   gyˆ
java
y
θ 0
ymax
v0 y
vy
v0
vy  0
θ
traiettoria parabolica
v0 x
v0 x
vy
v0 x
θ0
v0 x
v0 x
vy
gittata
x
la scimmia e la banana
DINAMICA
forza
Forza:
cambia lo stato di quiete
o di moto di un oggetto
operativamente:
si misura col dinamometro
Figura
Dinamometro
E composizione
forze

calciare un pallone


di
contatto
spingere un carrello

tirare una molla





forze 


forza gravitazio nale
a distanza forza elettromag netica


debole

forza nucleare 


forte

prima : principio di inerzia



tre leggi della dinamica seconda : F  ma
terza :
principio di azione e reazione

Principio di inerzia
In assenza di forza due possibili stati:
di quiete
stato : 
di moto rettilineo uniforme
senza attrito
Un oggetto in quiete o in moto rettilineo uniforme rimarrà nel
suo stato stato di quiete o di moto rettilineo uniforme finché
non interverrà una forza dall’esterno.
Principio di inerzia
Un oggetto permane nel suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme finché non
interviene una forza che ne cambia lo stato
Sistemi inerziali
Sistema di riferimento inerziale:
un sistema in cui è valida la prima
legge di Newton
Qualunque sistema di riferimento
in moto rettilineo uniforme
rispetto ad un riferimento inerziale
è un sistema inerziale
Un sistema fisso o in moto rettilineo uniforme rispetto alle stelle “fisse” è un
sistema di riferimento inerziale
La Terra ruota intorno al proprio asse e
intorno al Sole, perciò un sistema fisso
rispetto alla Terra non è un sistema
inerziale
a c-riv.  4.4 10 3 m
s2
a c-rot.  3.37 10 2 m
tuttavia
Nella maggior parte delle situazioni sarà
possibile trascurare queste piccole
accelerazioni e considereremo inerziale un
sistema solidale con la Terra
s2
MOTO relativo
S’
S
S’
t  t1
t 0

r
'
r
'
r
O
O’

u

ut1
O’

u
'  
r  r  ut 1


dr ' dr 

u
dt dt
'  
v  vu



dv ' dv du


dt dt dt
' 
a a
Trasformazioni di Galilei
Passaggio dall’uno all’altro
per mezzo delle
trasformazioni di Galilei
'  
r  r  ut
'  
v  v u
 
a  a'
Invarianza galileiana
Un oggetto in moto rettilineo uniforme
in un sistema inerziale
risulta in moto rettilineo uniforme in uno
qualsiasi dei sistemi inerziali.

a,
a
Se è soggetto ad un’ accelerazione
esso avrà la
stessa accelerazione in tutti gli altri sistemi
23/03/06
Seconda legge della dinamica
F
Fn
F1 F2 F3 F4
    ...  k
a1 a2 a3 a4
an
Fn
F1
F1 F2 F3 F4 … Fn
a1 a2 a3 a4 … an


F  ma
m
F  ma  kg 2
s
1N  newton

a1
an
k  tg  m  massa dell' oggetto
m
La forza di 1 N imprime
1 2
un’accelerazione di
s
ad una massa di
1 Kg
mv  
a
m0
v2
1 2
c
c  velocità della luce
Forza gravitazionale e peso
una forza particolare:
il peso
forza con cui un oggetto
viene attirato verso il centro
della Terra


 
F  ma  se a  g
allora

 
F  mg  P

P
Peso di 1 Kgm
m
P  mg  1Kg m  9.8 2  9.8 N  1Kg peso
s
Cambia da punto a punto sulla Terra
m al livello

g  9.80 2 del mare P  686N


s
per m  70 Kg 
in cima ad
 g  9.76 m una
P  683N
2

s
montagna

Sulla Luna
P  113N
Terza legge della dinamica
principio di azione e reazione
S


FST   FTS
T
FST
FTS
Agiscono su corpi diversi
Sono uguali e opposte
2
1
F12
F21


F12   F21
Quantità di moto
http://www.walter-fendt.de/ph14i/
m

v


p  mv



dv
F  ma  m
dt


dp
se F  0 
0
dt
Quantità di moto
o
Momento (lineare)

 d
 dp
F  ( mv ) 
dt
dt
Conservazione della
quantità di moto
p x  cost1


p  cost  p y  cost2

p z  cost3
Quando in un sistema di particelle queste sono soggette solo a forze interne newtoniane
(e la risultante delle forze esterne è nulla) la quantità di moto totale del sistema rimane costante
Urti
Isolato:
la somma delle
forze esterne
è nulla
In un sistema isolato si conserva la
quantità di moto
PRIMA
DOPO


p1  mv1

 
p prima  p1  p 2

p2  0
p prima  p1  15Kg  20Km / h  300Kg  Km / h


pdopo  p prima
300  p prima  p dopo  (15  60)  v
v
300
 4Km / h
(15  60)
p prima  80  6Kg  m / s
PRIMA
80  6Kg  m / s
v dopo 
 4m / s
(80  40)Kg
DOPO


p1  mv1

 
p prima  p1  p2

p2  0


pdopo  p prima
java
Gravitazione universale
M

 Fg

r
m

Fg
F
g

Mm
Fg  G 2 rˆ
r
Costante di gravitazione universale
G  6.67 1011 N  m 2  Kg2
m
RT
MT
r
Sulla superficie
r  RT
MTm
FT  G 2
RT

Mm
Fg   G 2 r̂
r
Mm
F  G 2  ma  mg
r
M
gG 2
r
MLm
FL  G 2
RL
Sulla Luna
P  686N
P  113N