Quantità di moto
quantità di moto di una particella di massa m
che si muove con velocità v:
q = mv
è un vettore la cui direzione e il cui
verso sono quelli del vettore velocità
Se m e’ costante possiamo riscrivere la
seconda legge della dinamica mediante la
quantità di moto:
dv
dq
F = ma = m
=
dt
dt
nel caso in cui non ci sia una forza agente
q rimane costante
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Leggi della dinamica
prima legge della dinamica:
in assenza di forze, o in presenza di forze a
risultante nulla, la quantità di moto di
un corpo non muta
seconda legge della dinamica:
la
risultante delle forze eguaglia
istante per istante la derivata della
quantità di moto
in presenza di forze non equilibrate
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Quantità di moto
l'eguaglianza
F = ma
è valida solo nella meccanica classica
F = dq/dt vale sempre , purche’ q sia
definito come
m0 v
q =
v2
1− 2
c
Dove c e’ la velocita’ della luce e v la velocita’ di m0.
m0 e’ la massa del corpo misurata a v =0
q tende a m0 V ( e dq/dt a ma) per v<< c
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29/4/2010
Terza legge della dinamica
dati due corpi A e B osserviamo che, se A
esercita una forza su B, anche B esercita una
forza su A
il modulo delle due forze risulta uguale
la direzione è la stessa
il verso è opposto
possiamo dire che se A agisce su B, B reagisce su
A
dobbiamo allora parlare di mutua interazione
tra i corpi
questo lo osserviamo quotidianamente:
quando spingiamo un oggetto tendiamo ad
allontanarcene
quando lo tiriamo tendiamo ad avvicinarcene
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Terza legge della dinamica
terza legge della dinamica:
se un corpo A esercita una forza FA su un corpo
B, questo a sua volta esercita su A una forza
FB avente la stessa intensità, la medesima
direzione e verso opposto
la somma dei due vettori è nulla:
FA + FB = 0
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Il moto avviene nello spazio e nel tempo.
La posizione “cambia” e il tempo “passa”
La posizione richiede la definizione di un sistema di riferimento ( X,Y,Z,t)
Si misurano U=(X,Y,Z) e t rispetto a (Xo.Yo.Zo) e to
La posizione e’ definita da tre numeri , da un VETTORE (U)
Il tempo da uno scalare t, un numero solo.
C’e’ moto quando U cambia di dU (in lunghezza e/o direzione)
nel tempo dt
dU/dt ≠ 0 (in senso vettoriale dU/dt = (dX/dt,dY/dt,dZ/dt)
Se si ipotizza che lo stato “naturale” di un corpo libero sia la quiete,
deve esistere un sistema di riferimento “assoluto” che permetta di dire
che un corpo materiale fermo (in quiete) rispetto ad esso e’ “libero”
dU
U
O (0000)
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Se la risposta e’ SI’ :
Se un corpo e’ fermo rispetto al riferimento “assoluto” su di esso non
agiscono “forze”
Si muove se su di esso agisce una “forza”. C’e’ “forza” se dU/dt ≠ 0
V= dU/dt e’ la velocita’ .
Se F = cost V = dU/dt = cost
U2 –U1 = V (t2 –t1)
lo spazio percorso nel tempo Δt e’ proporzionale a Δt
Il “peso” e’ una forza costante:
G.Galilei 1638 “discorso e dimostrazioni
matematiche intorno etc…”
“In un regolo di legno, lungo circa 12 braccia,
incavatoun caneletto, tiratolo dritissimo, ..,
incollatovi dentro una carta pecora zannata e
lustrata al possibile, …..scendere una palla dì
bronzo durissimo, ben rotondata ……si
lasciava (come dico) scendere per il detto
canale la palla, notando, nel modo che
appresso dirò, il tempo con esatissima bilancia
pesando. per esperienze ben cento volte
replicate sempre s'incontrava gli spazii passati
esser tra di loro come i quadrati dei tempi, e
questo in tutte le inclinazioni del regolo, ……
lo spazio percorso nel tempo Δt e’ proporzionale a Δt2 !!!!
29/4/2010
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Y
Y
j
i
R
mg sin θ i
-mg cos θ j θ
mg
θ
X
Scelta assi: Y perpendic. al piano e x parallelo al piano.
Per il principio di sovrapposizione e’ possibile scomporre le forze agenti come
sovrapposizione di forze lungo X e Lungo Y.
Sia R la forza sviluppata dal piano per sostenere m lungo Y. Poiche’ non c’e’
moto lungo Y deve essere – mg cos θ j + R = 0
L”unica componente efficace e’ quella di g lungo x
Fx= mgsin θ
Dunque il moto e’ un moto uniformemente acc. Lungo X
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Galilei (1638) conclude che una forza non provoca velocita’ ma variazioni
di velocita’ (accelerazioni) e che una forza costante produce una
accelerazione costante.
F = k dV/dt = k A
se
F = cost
dV = Ao dt
V = Ao t+Vo
U = ½ Aot2 + Vo t + Uo
Se a t =0 V=0 e U =0
A=dV/dt = Ao = cost
dU = Vdt =Ao t dt +Vo dt
U(t) = ½ Ao t2
Non esiste alcun sistema di riferimento “assoluto” ( in prigione!)
Se non esiste un riferimento “assoluto”, non esiste una posizione/
orientamento preferenziale nello spazio, Ogni suo punto o orientazione
e’ indistinguibile da ogni altro <e’ inconoscibile> :
lo spazio e’ isotropo e omogeneo.
Se lo stato “naturale” di un corpo “libero” e’ quello di possedere una
Velocita’ costante (anche nulla) cio’ che e’ possibile misurare e’ solo V
V = DS/Dt. Una variazione di posizione divisa per una variazione di
Tempo. E’ possibile misurare solo “variazioni” di tempo o “segmenti”
di spazio
l’ origine del tempo (t=0) come quello delle coordinate (X=0) e’
arbitraria <e’ inconoscibile>
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Si da’ il nome di “galileiano” o “inerziale” ai sistemi di riferimento nei quali
un corpo libero si muove con velocita’ costante. Una volta identificato
un sistema “galileiano” ( O’ ) ce ne sono infiniti altri: tutti quelli in moto
relativo rettilineo e uniforme rispetto ad O’.
Due osservatori studiano il moto dello stesso punto P da due riferimenti
Galileiani ( O e O’). Le origini sono scelte arbitrariamente, essi si muovono
l’uno rispetto all’altro con velocità’ W = costante in valore e verso.
Sia P “libero”, non soggetto a forze. La sua velocità e’ diversa in O e O’
Ma essa e’ costante in entrambi.
P (X,t)
X’
O’
V
O
X
W
X’(t) = X(t)+ O’O(t) = X(t) + Wt
V’= dX’/dt = dX /dt+ d(OO’)/dt =
Y’= Y
= V +W = cost
Z’= Z
t’ = t
N.B. la trasformazione del tempo e’ indipendente da quella di X
In presenza di una forza P accelera
a = dV/dt
a’ = dV’/dt = dV/dt + dW/dt = a + dW/dt = a perche’ W= cost
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Newton (1666) osserva che l’accelerazione in presenza di una data forza
dipende dalla quantita’ di materia M posseduta dal corpo e che la
variabile importante non e’ V ma P = MV quantita’ di moto
In assenza di forze la quantita’ di moto di un corpo libero e’ costante
(nel senso che non cambia nel tempo) in tutti i riferimenti “galileiani”.
La legge fondamentale di Galilei diventa la legge d’inerzia di Newton:
La legge P = cost e’ invariante per trasformazioni di coordinate tra
riferimenti “galileiani”
P = cost
P’ = cost’
Questa proprieta’ (l’esistenza di una costante del moto) e’ la conseguenza
di una “simmetria” della natura , che si traduce nell’arbitrarietà’ nella
scelta dell’origine del sistema di riferimento dello spazio e del tempo.
Una conseguenza e’ che anche l’equazione del moto in presenza di
una forza e’ invariante per trasformazioni “galileiane”
dP/dt = dP’/dt
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Qualunque sia il riferim. scelto, una rotazione
di 60 gradi (o multipla) di un cristallo di neve e’
inavvertita, “non osservabile”.
La descrizione matematica F(phi,r) del cristallo
deve essere invariante per variazioni di phi di
passo 60°.
La rotazione di 60 e’ una operazione di simmetria
che lascia F(phi.r) invariante.
1) Ad ogni grandezza fisica conservata e’ associata una simmetria legata
ad una variabile il cui valore assoluto e’ inconoscibile
2) La legge del moto e’ invariante per cambiamenti dell’origine
di quella variabile
Emma Noether (Emmy) fissa nel 1905 la relazione
tra Invarianza, Simmetrie e Costanti del Moto.
E’ un teorema celebre.
Ad ogni costante del moto e’ associata una
simmetria locale continua (differenziabile) che
lascia la Lagrangiana (e quindi le equazioni del
moto) invarianti
(“un monumento del pensiero umano” A.Einstein)
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29/4/2010
1
2
3
In un riferimento “galileiano”, P di un sistema isolato rimane costante
Viceversa se in un dato riferimento la P di un sistema isolato rimane
costante il riferimento e’ un riferimento “gallileiano”.
Una Forza produce variazioni di
P
In un riferimento “galileiano” la variazione istantanea di P e’ una misura
dell’intensità’ della Forza :
F = dP/dt = d (MV)/dt = MA se M rimane costante
P e’ una quantita’ additiva (in senso vettoriale). In presenza di due corpi
si puo’ considerare come “sistema” l’insieme dei due. Se l’insieme e’
isolato P = P1 + p2 = costante. Se tra i due agisce una forza :
dP/dt = dP1/dt + dP2/dt = F21 + F12 = 0 (legge di azione e reazione)
Assumendo che per le osservazioni astronomiche la terra possa esser
considerata un riferimento “galileiano”, e che le tre leggi abbiano valore
universale, Newton conclude che il moto dei pianeti intorno al sole e’
dovuto ad una forza
F = G MsMp/r2
Se e’ cosi’ non ha alternative : la forza che fa cadere la mela m
F= G’ MtMm/rt2 con G’ = G !!!!!
e’
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Le leggi di Newton dicono quale e’ l’effetto di una forza, ma
F = G MsMp/r2
e’ la prima descrizione matematica di una forza.
L’espressione dice molte cose per es.
- L’ intensita’ di F dipende dalla massa
- Essa agisce a distanza ( e non per contatto)
- Essa e’ conservativa ( vedi piu’ avanti) etc……
In particolare la 2° legge F = G’ MtMm/rt2 =Mm A
dice che sulla
2
superficie terrestre
A = G’Mt = 9,81 m/sec
e’ indipendente da Mm
Ma :
La massa che compare nella legge di gravitazione e’ la stessa che compare nella
legge d’inerzia P = MV = costante ?
Il principio di Azione/Reazione dice che la forza esercitata dal sole sul pianeta e’ la
stessa esercitata dal pianeta sul Sole allo stesso istante.
L’effetto gravitazionale si propaga con V infinita
La gravita’ e’ intrinseca alla massa? Newton risponde che cio’ che dice e’ che due
masse si attraggono con quella forza “la massa non so cosa sia”
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Secondo E.Noether le grandezze fisiche che si conservano in natura sono
legate ad una invarianza delle equazioni del moto rispetto ad un
cambiamento “locale” di una variabile cioe’ ad una simmetria locale
della natura . Questa invarianza si manifesta nella impossibilita’ di
conoscere il valore assoluto della variabile stessa.
Il valore assoluto di posizione, orientamento e tempo e’ inconoscibile.
E’ facile dimostrare che l’inconoscibilita’:
di posizione assoluta > Conservazione della quantita’ di moto P in un sistema isolato
di orientamento assoluto >conservazione momento angolare M in s.i.
del tempo assoluto > Conservazione dell’energia E in sist. Isolato.
N.B. 0) [PX] =[θ M] =[Et] = “azione” = [L2,m1,t-1]
N.B.1) La conservazione di P,M e E e’ un fatto sperimentale. La “teoria” interpreta
questa conservazione come dovuta ad una particolare “simmetria” dellospazio/tempo
P (X,t)
X’
X’= X + O’O = X + Wt
V
W
O
O’
N.B. 2) Questa e’ una trasformazione “globale” . Il valore di X e’ cambiato
allo stesso istante della stessa quantita’ in tutti i punti dello spazio
E.Noether dice qualcosa di piu’ “profondo”:parla di invarianza per
Trasformazioni locali ! In una trasformazione “locale” OO’ potrebbe
essere diverso per ogni X e per ogni T.
15
(equivalente a fare una trasformazione “globale” usando un metro con passo non costante)
29/4/2010
Tra il 1887 e il 1901 si scoprono due cose importanti
1887
Michelson e Morley la velocita’ della luce e’ indipendente dal
Sistema di riferimento
V’(luce) = V (luce) e non V(luce) + W
1901
Planck Atomo assorbe ed emette energia in quantita’ finite E=h n
h ha un valore molto piccolo h ~ 10-34 J sec
[E/n] = [Et]=[px] =h = [azione] in unita’ naturali h=1 [E] =[1/t] [p]=[1/x]
Conseguenze
1905
Einstein
la relativita’ ristretta e 1916 la relativita’ generale
(prima verifica Eddington 1919)
1927
Heisenberg
il principio di indeterminazione: conseguenza di Planck.
La grandezza che e’ chiamata “azione” e’ quantizzata. Le sue piu’ piccole
variazioni non possono essere minori di h.
Non e’ possibile conoscere con precisione arbitraria i valori di P e della posizione allo stesso
istante , e di E e t nella stessa posizione.
Il prodotto delle incertezze e’ sempre maggiore di h di Planck.
dE dt > h
dPx dX > h
dPy dY>h
dPz dZ > h
Il valore di E all’istante t e’ inconoscibile. In un intervallo dt essa non e’ conoscibile meglio
16
di
dE = h/dt
dA = rXr’ = rXr + r X dr = r r dθ K
dA/dt = r2 d θ/dt = r2 ω K (r=cost, K=cost)
ω
V
V=ωXr
a = dV/dt= dω/dt X r + ω X dr/dt
r
ω = cost
a = ω X dr/dt = ω X V = ω X (ω X r)
Diretta in verso opposto a r
!a! = ω2 r = V2/r
K
r’
dr
dθ r
Da
da ω= v/r
si ha dA/dt = r v K = rXv
17
2 Keplero dA/dt = cost
se l’orbita e’ ~ circ. ω = cost
3 Keplero T2/s3 = cost = T2/r3 = k
T = periodo
s = semiasse maggiore ~ r (orbita circolare)
ω = 2π/ T
a = ω2 r = 4 π2 r / T2 ~ 4 π2/k r2
F = ma = m/(k r2) m = m terra
Azione e reazione
Fs = M/k’ r2 = m/k r2 = Ft
k’ = G/m
k = G/M
M= M sole
F = G Mm/r2
dA/dt = cost = r X v ~ r X (mV) = rXP
Conservazione del momento della QdM
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29/4/2010
Conservazione della quantità di moto
consideriamo due corpi che interagiscono tra
loro:
F1 F2
0
m1 a 1
m2 a 2
se moltiplichiamo ambo i membri per un intervallo
dt
m 1 a1 dt = − m 2 a2 dt
ma sappiamo che:
dv
a =
dt
m1 d v 1 = − m2 d v 2
se prendiamo un intervallo finito si ottiene
m 1 v 1 t2
v 1 t1
m 2 v 2 t2
v 2 t1
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29/4/2010
Conservazione della quantità di moto
raccogliendo da una parte i termini in t1 e
dall'altra i termini in t2 avremo:
m 1 v 1 t2
m 2 v 2 t2
m 1 v 1 t1
m 2 v 2 t1
che possiamo anche scrivere come
q 1 t2
q 2 t2
q 1 t1
q 2 t1
poiché i tempi t1 e t2 sono arbitrari questa
relazione si traduce in un principio del tutto
generale:
Principio di conservazione della quantità di
moto: la quantità di moto di un sistema di
due particelle soggette solamente alla loro
mutua interazione rimane costante nel tempo
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29/4/2010
Per “misurare” sono necessarie ‘UNITA’ DI MISURA” e Sistema di riferimento
(xyzt).
Per (xyz) si sceglie una terna ordinata e levogira di versori,
Vale il teorema di Pitagora .
L’ordine dei versori (i,j,k) indica il verso positivo delle rotazioni .
Il verso positivo delle rotazioni (della misura degli angoli) e’ levogiro,“sinistrorso”
Antiorario (medio,indice,pollice) della mano sinistra.
Sperimentalmente Galilei verifica che il valore assoluto della velocita’ ( della
Quantita’ di Moto per Newton) e’ sempre definito a meno di una costante e
dunque il suo valore assoluto non e’ conoscibile. Cio’ che e’ misurabile,
Conoscibile in modo “assoluto” sono le variazioni di QdM. ( e di Momento della
QdM e dell’energia ) .
I valori di queste variazioni sono gli stessi in tutti i sistemi di riferimento in moto
relativo rettilineo e uniforme.
Un sistema di riferimento in cui un corpo “libero”, non soggetto a forze, mantiene
Costante la propria QdM si chiama “Galileiano” o “inerziale”.
Tutti sistemi “galileiani” sono equivalenti. In particolare se un sistema e’
Galileiano tutti i riferimenti in moto relativo rettilineo uniforme rispetto ad
esso Sono “galileiani”.
Le variazioni della QdM sono le stesse in tutti i sistemi Galileiani o Inerziali.
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29/4/2010
La fondamentale legge di inerzia
Q =costante
E’ invariante per trasformazioni di coordinate tra sistemi galileiani :
Se in O (X,Y,Z,T)
In O’(X’,y’z’,t)
Q = cost
Q’ = cost’
se O’ e O sono Galileiani
L’invarianza della legge e’ legata alla “arbitrarieta” nella scelta dell’origine delle
Coordinate.
Una trasformazione “galileiana” e’ una operazione di simmetria che lascia
Invarianti le leggi del moto.
AD OGNI COSTANTE DEL MOTO E’ SEMPRE ASSOCIATA UNA VARIABILE IL
CUI VALORE ASSOLUTO E’ INCONOSCIBILE. Il cui cambiamento costituisce
una simmetria del sistema.
Oggi si pensa che esista un legame stretto tra simmetrie, grandezze conservate,
e forze.
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29/4/2010
Conservazione della quantità di moto
il principio di conservazione della quantità
di moto è uno dei principi fondamentali della
Fisica
la sua validità è generale, sussiste cioè
qualunque sia il numero di particelle che si
considerano, purché interagenti esclusivamente
tra loro, costituenti quindi un sistema isolato
non si conoscono violazioni a questo principio
abbiamo dedotto la conservazione della quantità
di moto dal principio di azione e reazione, ma
è possibile fare il viceversa:
i due principi sono uno conseguenza dell'altro
23
Moto rettilineo
un punto materiale di massa m si muove lungo
l'asse z sotto l'azione di una forza diretta
lungo l'asse z con componente Fz
per il secondo principio di Newton abbiamo:
az=
e quindi
2
d z
dt
Fz
2
=
m
Fz
m
il problema consiste nel trovare la funzione z
= z(t) tale che la derivata seconda rispetto al
tempo ad ogni istante sia pari a Fz/m
24
Forza peso
consideriamo il caso in cui la forza agente sia la
forza peso mg e che il punto materiale si muova lungo
l'asse z. Questo non è altro che un caso di moto
rettilineo uniformemente accelerato, già visto in
precedenza, la cui soluzione è:
z t
1
2
g t v 0z t
2
z0
dove v0z z0 sono velocità e posizione all'istante t=0
se l'asse z è orientato verso l'alto ovviamente
l'equazione cambia
z t
1
2
gt
2
v 0z t
z0
il segno di v0z riflette il verso rispetto l'asse z
25
29/4/2010
lungo z NON si conserva la
quantita’ di moto
Z
P (x,y)
mg =dPz/dt =maz
az=-g
Vz(t) = V0z – gt
Z(t) = V0z t – 1/2gt2 + Z0
Sia Z0 = 0
V(t) = 0 per
θ
Zmax= V0z2/(2g)
Per t = V0z/g
Z=0 per t = 2 V0z/g
X
Lungo X si conserva la quantita’ di moto
Vx = V0x
X(t) = Vox t
t = V0z/g
Mv0x = cost
X(V0z/g) = V0x Voz/g
X(2V0z/g)= 2v0xV0z/g = 2V0 cos(θ) V0sin(θ)/g =V02 sin (2 θ)
sin(a) x cos(a)=1/2 sin(2a)
X max per a = 45o
Nella discesa vz(t) = gt t discesa = v0z/g
Vz finale = v0z
v x fin= v0x
Nella discesa ½ v0z2 = g zmax mentre nella salita g z max = ½ v0z2
29/4/2010
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Moto su piano orizzontale liscio
un corpo lanciato su di una superficie orizzontale, a
parità di velocità iniziale, percorre spazi maggiori se
la superficie viene levigata con maggiore cura
idealmente, se la superficie è perfettamente liscia
il corpo, se non incontra altri impedimenti, non si
ferma
☞questa è chiaramente una situazione ideale non
realizzabile praticamente
su un piano orizzontale liscio un corpo si muove con
velocità costante (a=0), per il secondo principio di
Newton:
F= m a
sul corpo agiscono la forza peso mg e la reazione
vincolare R (derivante dal principio di azione e
reazione), perciò
F = mg + R = 0
se sta fermo
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29/4/2010
Moto su piano orizzontale liscio
quindi avremo:
Rx = 0
R z − mg = 0
Rz = mg
si ricava:
la reazione che un vincolo privo di attrito può sviluppare
in un punto è perpendicolare (in quel punto) alla
superficie che costituisce il vincolo
Un vincolo si dice liscio se e’ capace solo di reazioni normali
(perpendicolari alla tangente locale alla superficie vincolare)
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29/4/2010
Moto su piano inclinato liscio
consideriamo un corpo di massa m posto su di un piano
liscio inclinato rispetto alla orizzontale di un angolo
:
le uniche forze agenti sono:
la forza peso mg
la reazione vincolare R
possiamo prendere un sistema di riferimento il cui asse x
è parallelo al piano inclinato e l'asse z ortogonale a
esso e diretto verso l'alto
Lungo Z non c’e’ moto Fztot=0
Lungo z, Qz =cost
C’e’ moto lungo x
Fxtot = max = dQx/dt
Mg cos b
ma cos b = sin ( P/2 – b)
29
29/4/2010
Moto su piano inclinato liscio
in questo sistema di riferimento si osserva che:
il moto avviene lungo l'asse x
la componente z della accelerazione è nulla
la componente x della accelerazione è g sin(α)
la risultante delle forze risulta essere:
Fx
R x mg sin
F z Rz mg cos
mg sin
0
un piano inclinato liscio esercita su di un corpo che scivola
sopra di esso una reazione perpendicolare al piano stesso e di
intensità uguale alla componente perpendicolare della forza
peso
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29/4/2010
Piano inclinato
supponiamo che
all'istante t=0 il corpo
parta con velocità nulla
dalla sommità del piano
inclinato:
all'istante t avremo:
V(t) = g sin(α) t
S(t) = ½ g sin(α) t2
Si ha V2(t) = 2 s(t) g sin(α)
Quando tocca il suolo s=l
l sin(α) = h
V2(t)=2 h g
La velocita’ finale e’
indipendente da l , dipende
solo da h . Come nel caso del
Corpo lanciato verso l’alto.
la velocità acquistata da
un corpo scendendo lungo
un piano inclinato liscio
è in modulo uguale a
quella che il corpo
acquista cadendo lungo la
verticale per un
dislivello uguale
all'altezza del piano
inclinato
questo enunciato può
essere generalizzato per
qualunque superficie
liscia non piana con la
quale il corpo mantiene
costantemente il contatto
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29/4/2010
Forza d'attrito
forze d'attrito: quando un
corpo viene a contatto con
un altro corpo nascono delle
forze che si oppongono a
qualsiasi movimento di
scorrimento relativo
una superficie che
presenta attrito viene
detta scabra
consideriamo il caso di un
corpo di massa m in quiete
sopra un piano scabro e
soggetto ad una forza F
verticale
R + mg + f = 0
R è verticale, diretta
verso l'alto e ha modulo
pari alla somma dei
moduli di mg e F
applichiamo una forza T
parallela alla superficie
di appoggio; se la forza
è abbastanza piccola il
corpo rimane in quiete
R + mg + f + T = 0
la reazione R non è
più verticale, ma
sarà:
Rz= N = mg + f
Rx = Fs = T
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29/4/2010
Attrito statico
aumentando l'intensità della forza T il corpo rimane in
quiete fino a che non raggiunge il valore limite Tmax
oltre il quale il corpo si mette in moto:
la superficie scabra può esercitare una forza
d'attrito statico di intensità massima Fsmax = Tmax
aumentando F aumenta anche Tmax
F + mg= Rz determina una pressione sulla superficie di
appoggio. A parita’di superficie Tmax aumenta con Rz
Fsmax è proporzionale alla componente normale della
forza risultante (Rz)
Fsmax = ms Rz
μs è un coefficiente numerico chiamato coefficiente di
massimo attrito statico
33
29/4/2010
Attrito statico
valgono le seguenti leggi empiriche:
la massima forza di attrito statico tra due superfici ha
un'intensità proporzionale all'intensità della forza
normale tra le due superfici
il coefficiente s di proporzionalità dipende dalla natura
e dallo stato di levigatezza delle superfici
entro larghi limiti, è indipendente dall'area di
contatto tra le due superfici
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29/4/2010
Attrito statico
Una cassa viene appoggiata con velocità nulla sopra un piano
inclinato di
= /4 rad rispetto all'orizzontale; il
coefficiente di massimo attrito statico tra la cassa e il
piano è s = 0.4. Si mostri che la cassa scende verso il basso
scivolando lungo il piano inclinato
consideriamo un sistema di riferimento con l'asse x parallelo al
piano inclinato e l'asse y perpendicolare ad esso
sulla cassa agiscono le forze mg e la reazione vincolare N
Lungo y
l'accelerazione lungo l'asse y è nulla
R = - mg cos α + N = 0 = dQy/dt
Lungo X agiscono mg sin α e l’attrito il cui max e’ - μ N = - μ mg cos α
la cassa scivola se mg sin > Fsmax
mgsinα > μ mg cos α
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29/4/2010
Attrito dinamico
Nel caso del problema
precedente, si calcoli il
modulo della velocità che
la cassa raggiunge dopo
aver percorso un tratto l
= 0.5 m sopra il piano
inclinato se il relativo
coefficiente di attrito
dinamico è D = 0.3
la forza risultante
agente sulla cassa ha
componente y nulla,
mentre la componente x è
data da
l'accelerazione risulta essere:
a =
mg sin
a = g sin
−
D
mg cos
m
− D g cos
=
2
= 4.9 m / s
la velocità scalare richiesta è
allora:
v =
2al = 2.2 m / s
Fx = mg sin α = Fd
con
Fd = μ mg cos α
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Attrito dinamico
consideriamo un corpo di massa m su di un piano scabro
con coefficiente di massimo attrito statico relativo s
applichiamo una forza T di modulo maggiore di Fsmax, la
forza totale risultante è:
F = T - Fsmax
l'accelerazione risultante è:
a = T/m - msg
sperimentalmente si trova che il moto è uniformemente
accelerato, ma con accelerazione maggiore di a
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Attrito dinamico
la forza agente tra superficie e corpo è
inferiore a Fsmax, comunque di intensità
costante
se a è il modulo della accelerazione del
corpo scriviamo:
a = T/m - μd g
dove μD < μS è un coefficiente numerico chiamato
coefficiente di attrito dinamico
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Attrito dinamico
la forza di attrito dinamico tra due superfici ha
la stessa direzione ma verso opposto della velocità
relativa delle due superfici
intensità proporzionale all'intensità della forza
normale tra le due superfici
il coefficiente D di proporzionalità dipende dalla
natura e dallo stato di levigatezza delle superfici,
entro larghi limiti, è indipendente dall'area di
contatto tra le due superfici
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