Algoritmi e Strutture Dati
Capitolo 13
Cammini minimi:
Ordinamento topologico
Algoritmi e strutture dati
Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. Italiano
Cammini minimi in grafi pesati
Sia G=(V,E,w) un grafo orientato con pesi w reali sugli archi.
Il costo di un cammino p=<v0,v1,v2,… ,vk> è dato da:
Un cammino minimo tra una coppia di vertici x e y è un
cammino avente costo minore o uguale a quello di ogni
altro cammino tra gli stessi vertici.
NOTA: Il cammino minimo non è necessariamente unico.
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Algoritmica concreta: il navigatore satellitare
•
Sono in auto a Roma in Piazza Dante 12, (punto A) e devo recarmi ad un
appuntamento a L’Aquila, in Via Vetoio 1 (punto B). Non conosco la
strada, ma dispongo di un moderno navigatore satellitare, il quale mi
aiuterà ad arrivare a destinazione:
1.
2.
•
percorrendo la strada più breve possibile (funzione obiettivo 1), oppure
impiegando il minor tempo possibile (funzione obiettivo 2).
Come calcola la soluzione? Semplice: rappresenta l’intera rete stradale
italiana (centinaia di migliaia di strade!) come un grafo diretto G=(V,E), in
cui i nodi sono le intersezioni fisiche tra le varie strade (milioni di nodi!),
e gli archi sono le strade stesse, con i loro sensi di marcia. Il grafo viene
quindi pesato rispetto alla mia funzione obiettivo, ovvero rispettivamente:
1.
2.
Lunghezza della strada funzione peso w1;
Tempo di percorrenza funzione peso w2.
Infine, calcola (rapidamente!) il cammino minimo in G=(V,E,w1)
e in G=(V,E,w2) tra A ed B.
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Il percorso più breve
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Proprietà dei cammini minimi
• Sottostruttura ottima: ogni sottocammino di un
cammino minimo è anch’esso un cammino minimo
• Grafi con cicli negativi: se due vertici x e y
appartengono a un ciclo di costo negativo, non esiste
nessun cammino minimo finito tra di essi (né tra tutte
le coppie di nodi che ammettono un cammino
passante per tale ciclo)
• Se G non contiene cicli negativi, tra ogni coppia di
vertici connessi in G (cioè uniti da almeno un
cammino) esiste sempre un cammino minimo
semplice, in cui cioè tutti i vertici sono distinti
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Distanza fra vertici
• Ricorda: la distanza dxy tra due vertici x e y è il
costo di un cammino minimo da x a y, o +∞ se i due
vertici non sono connessi
• Disuguaglianza triangolare: per ogni x, y e z V
dxy ≤ dxz + dzy (l’uguaglianza sussiste quando esiste
un cammino minimo da x a y che passa per z)
• Condizione di Bellman: per ogni arco (u,v) e per
ogni vertice s, essendo duv ≤ w(u,v), dalla
disuguaglianza triangolare segue che:
dsv ≤ dsu + duv ≤ dsu + w(u,v)
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Ricostruire cammini minimi dalle distanze
Supponendo di disporre delle distanze tra tutte le coppie di
nodi in un dato grafo, dalla condizione di Bellman è facile
risalire al cammino minimo che congiunge due nodi;
infatti, un arco (u,v) appartiene ad un cammino minimo da
s a v se e solo se dsu+w(u,v)=dsv, e quindi:
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Tecnica del rilassamento
• Partendo da stime per eccesso delle distanze Dxy ≥ dxy si
aggiornano le stime, decrementandole progressivamente
fino a renderle esatte
• L’aggiornamento delle stime è basato sul seguente passo
di rilassamento (pvy denota un qualche cammino tra un
generico nodo v di G e y, selezionato secondo un
qualche criterio indotto dall’algoritmo soggiacente):
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Algoritmo generico
per il calcolo delle distanze
rilassamento
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Albero dei cammini minimi
• L’unione di tutti i cammini minimi da un
vertice s a tutti i vertici da esso raggiungibili nel
grafo G genera un sottografo di G, detto
sottografo dei cammini minimi con sorgente in s
• Se da tale sottografo rimuoviamo archi in modo
tale da ridurre ad 1 il grado entrante di tutti i
nodi (escluso s che ha grado entrante pari a 0)
otterremo un albero orientato con tutti gli archi
orientati in direzione delle foglie, detto albero
dei cammini minimi radicato in s
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Esempio di albero dei cammini minimi
1
a 1
c
11
s
0
2
4
5
1
1
1 b
5
d
6
oppure
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Sommario dei risultati a venire
• Algoritmo basato su ordinamento topologico
(albero dei cammini minimi in grafi aciclici)
• Algoritmo di Bellman e Ford
(albero dei cammini
minimi in grafi che non contengono cicli negativi)
• Algoritmo di Dijkstra (albero dei cammini minimi in
grafi con pesi non negativi)
• Algoritmo di Floyd e Warshall
(cammini minimi
tra tutte le coppie di nodi in grafi che non contengono cicli
negativi)
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Algoritmo basato su
ordinamento topologico
(albero dei cammini minimi
in grafi aciclici)
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Ordinamento topologico
Funzione biettiva s: V {1, … n} tale che se esiste un cammino da
u a v in G, allora s(u)<s(v).
Teorema: Esiste se e solo se G è aciclico.
Dim.: (solo se) Infatti, se per assurdo G avesse un ciclo e
ammettesse un ordinamento topologico s, allora su tale ciclo
esisterebbe un cammino da un nodo u a un nodo v ed un
cammino da v ad u, cioè s(u)<s(v) e s(v)<s(u) (assurdo).
Per il (se) si veda il prossimo algoritmo costruttivo:
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Calcolo di un ordinamento topologico
(*)
(*) perché altrimenti in Ĝ ogni vertice deve avere almeno un arco entrante, e quindi posso
trovare un ciclo percorrendo archi entranti a ritroso, e quindi G non può essere aciclico)
Tempo di esecuzione (con liste di adiacenza):
Θ(n+m) (dimostrare!)
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Esempio
Applicare l’algoritmo di ordinamento
topologico sul seguente grafo:
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Cammini minimi in grafi aciclici
Eseguo i rilassamenti in ordine topologico, da sinistra verso
destra: infatti, poiché tutti gli archi sono orientati verso
destra, le stime di distanza che mi lascio alle spalle sono
esatte (non possono essere ulteriormente rilassate)!
Tempo di esecuzione (liste di adiacenza): (n+m)
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Esercizi
1. Assegnare pesi arbitrari al grafo appena
esaminato, e utilizzare l’ordinamento
topologico trovato per costruire l’albero
dei cammini minimi radicato in A.
2. Quanto costa calcolare tutte le distanze da
un nodo sorgente in un albero di n nodi?
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