Un`indagine statistica nell`ipotesi di Goldbach

Un’indagine statistica nell’ipotesi di Goldbach
Supponiamo di considerare l’insieme [0, 2a] ove a è un qualunque numero intero. Il numero di numeri
primi che è contenuto in questo intervallo è approssimativamente (per il teorema dei numeri primi) pari ad:
2𝑎
𝑛 = 𝑖𝑛𝑡 (
)
log 2𝑎
Oppure
2𝑎
𝑛 = 𝑖𝑛𝑡 (∫
2
𝑑𝑦
)
log 𝑦
Ove int(x) è la parte intera di x.
Il numero di possibili combinazioni di due primi contenuti in questo intervallo è uguale a
𝐶𝑛,2 =
𝑛!
2! (𝑛 − 2)!
Possiamo dunque calcolare il rapporto
𝑘=
𝐶𝑛,2
𝑎
Ovvero il dà in via approssimativa il numero di coppie di primi che si sono per ogni numero pari compreso
nell’intervallo considerato. Nella nostra formula dovremmo considerare che il primo numero pari non
rientra nell’ipotedi di Golbach dal momento che 2 = 1+1 (quindi sostituire a con a-1), tuttavia la formula
anche in questo caso si comporta bene e approssima i valori reali con estrema precisione, precisione che
aumento ma mano che si considerano valori di a grandi.
Possiamo agevolare il calcolo utilizzando il software Mathematica:
a =10
b = Floor[2a/Log[2a]]
n = b!/(2(b-2)!)
k= n/(a)
N[k]
Da tutta una serie di prove il rapporto k risulta essere sempre crescente e questo prova che ma mano che
consideriamo numeri pari sempre più grandi aumenta la probabilità di trovare almeno due primi la cui
somma dia proprio quel numero pari.
Solo per citare alcuni esempi:
1
a = 5, k = 1,2 (usando la formula trovata prima) mentre il valore corretto è k = 5 (combinazioni)/4 (numeri)=
1,25
4 = 2+2
6 = 3+3
8 = 5+3
10 = 5+5+, 7+3
5 combinazioni per 4 numeri pari
Nel caso a = 10 dobbiamo aggiungere
12 = 7+5
14 = 7+7 , 11+3
18 = 11+7, 13+5
20 = 13+7, 17 +3
In questo caso k = 1,5 mentre il valore esatto è 1,55 = 14 (combinazioni)/9 (possibilità)
Metodi di verifica della congettura di Goldbach
Di seguito due metodi molti semplici per la verifica dell’ipotesi di Goldbach (abbiamo preso il numero pari
20 ma potevamo considerare qualunque altro numeri pari)
N
20
20
20
20
20
20
20
20
20
N
20
19
18
17
16
15
N/2+1
11
12
13
14
15
16
17
18
19
N/2-1
9
8
7
6
5
4
3
2
1
PASSO
0
1
2
3
4
5
CONTROLLO –GOLD
NO
NO
SI
NO
NO
NO
SI
NO
NO
CONTROLLO
NO
NO
NO
SI
NO
NO
2
14
13
12
11
10
09
08
07
06
05
04
03
02
01
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
NO
SI
NO
NO
NO
MATR SIMMETRICA
MATR SIMMETRICA
MATR SIMMETRICA
MATR SIMMETRICA
MATR SIMMETRICA
MATR SIMMETRICA
MATR SIMMETRICA
MATR SIMMETRICA
MATR SIMMETRICA
3