Legge di Stefan-Boltzmann

Legge di Stefan-Boltzmann
Si ricava partendo dai principi primi: la legge di conservazione dell’energia,
la legge dell’aumento dell’entropia, la dipendenza, per un gas perfetto,
dalla sola temperatura assoluta da parte dell’energia interna, l’isotropia
dello spazio per una densità di energia.
Legge di conservazione
Termodinamica:
dell’energia
o
primo
principio
della
la variazione dell’energia interna è data dalla variazione di calore e dalla
variazione di lavoro. La variazione di calore per la definizione di entropia è:
TdS
, dove S è l’entropia di un certo volume V di gas perfetto.
Primo principio della Termodinamica:
1
TdS  dU  dL , dove U è l’energia interna, che per un gas
perfetto dipende solo dalla temperatura assoluta T, U = U(T); L è il lavoro
fatto dal gas per espandersi: per espandersi deve contrastare la pressione
quindi dL = PdV, dove V è il volume. La pressione può dipendere solo
dalla densità di energia u, tale che U = uV. u, la densità di energia, è la
nostra incognita, rappresenta l’energia di irraggiamento. L’energia di
irraggiamento è uniforme, per l’isotropia spaziale, quindi si esercita in tutte
le direzioni. Per contrastare l’irraggiamento si deve presentare una sezione
piana, la quale raccolga tutti i contributi principali, cioè quelli
perpendicolari alla sezione piana: quante sezioni piane indipendenti si
possono utilizzare, fino a un massimo di tre, perché lo spazio è
tridimensionale: il contrasto opposto dalla sezione piana dà origine alla
pressione, quindi la pressione ha un’intensità pari ad un terzo della densità
di energia. Anche dimensionalmente le cose tornano, perché la pressione
è una forza fratto una superficie, se moltiplichiamo il rapporto sopra e
sotto per una lunghezza, sotto compare un volume, sopra un lavoro, cioè
un’energia diviso volume, una densità d’energia: la pressione è una
1
densità di energia ovvero una densità di energia fa pressione. P  u .
3
TdS  dU  PdV
1
TdS  duV   udV
3
1
TdS  udV  Vdu  udV
3
1 
du

TdS   u  u dV  V
dT
3 
dT

perché anche la densità di energia di un gas perfetto dipende solo dalla
Temperatura assoluta.
Esprimendo la variazione di entropia:
4u
V du
dS 
dV 
dT .
3T
T dT
Questa espressione è sempre il primo principio della termodinamica, solo
che mette in evidenza il fatto che si può considerare l’entropia come una
funzione di stato che dipende dal volume e dalla temperatura assoluta:
S= S(V,T).
Ma allora l’espressione formale del differenziale dell’entropia, in termini di
derivate parziali si può scrivere così:
 S 
 S 
dS  
 dV    dT , questo porta ad eguagliare le derivate con i
 V  T
 T  V
coefficienti delle variazioni di volume e di temperatura.
2
S 4 u

V 3 T
.
S V du

T T dT
Ora tocca al secondo principio della termodinamica; un modo elegante per
esprimerlo è questo: ci si basa sul concetto di struttura simplettica e si
afferma che la superficie (astratta) che rappresenta l’entropia nello spazio
V,T non è dotata di struttura simplettica, si costruisce la struttura
simplettica (un commutatore) e la si annulla. Se non fosse nulla la
struttura simplettica esprimerebbe delle asimmetrie, l’esistenza di queste
asimmetrie implicherebbe ordine, che data la condizione di equilibrio
termico non può esistere. Questo è un commutatore astratto applicato
all’entropia:
 2
2 

S

 VT TV 
Il commutatore deve essere nullo, se vale il secondo principio della
termodinamica:
 2
2 

S  0

 VT TV 
3
 2S
4  1 du u 
  2T


VT 3  T
dT T 2 
 2S
1 du

VT T dT
4 1 du 4 u
1 du


2
3 T dT 3 T
T dT
1 du 4 u

3 dT 3 T
integrare.
4 du 4 u du


3 dT 3 T dT
du
u
4
dT
T
4 du du 4 u


3 dT dT 3 T
ora si possono separare le variabili e poi
du
dT
4
u
T
L’integrazione porta ai logaritmi.
1
ln u  4 ln T  4 ln  4
ln u  ln T 4  ln 
ln u  ln T 4
u  T 4
Ecco quindi che la densità di energia di un gas perfetto viene a dipendere
dalla quarta potenza della temperatura assoluta.