Lezione del 27 marzo 2009
Nel corso del tempo, i matematici hanno cercato funzioni che “approssimassero” la funzione (x)
(che calcola il numero dei primi non superiori al reale positivo x). Il risultato più famoso è il
seguente, che si dimostra con metodi analitici (omettiamo la dimostrazione):
Teorema di Hadamard-De La Vallé Poussin.
Considerata la funzione f(x)=x/log(x) (definita per x>0, x1) dove log(x) è il logaritmo neperiano,
π(x)
si ha:
lim
1
x f(x)
Quindi, per x abbastanza grande, il rapporto “percentuale”
π(x)
è abbastanza vicino a 1, e in questo
f(x)
senso f(x)=x/log(x) approssima (x).
Per esempio f(1014) 3.102.103.442.166, da cui
π(1014 ) 3.204.941.750.802
1.033.
f(10 14 ) 3.102.103.442.166
Una funzione che approssima ancora meglio (x) è la funzione (definita per x2 e detta “logaritmo
integrale”):
x
li(x) =
1
log(t) dt
2
In pratica il valore li(x) misura l’area sottesa dalla curva della funzione 1/log(t) rispetto
all’intervallo [2,x].
π(x)
Anche per tale funzione si può dimostrare che si ha lim
1 , ma per esempio:
x li(x)
li(1014) 3.204.942.065.692
π(1014 ) 3.204.941.750.802
0,9999999
li(10 14 ) 3.204.942.065.692
(approssimazione migliore di quella ottenuta con la funzione x/log(x)).
Per x>7 la funzione li(x) sembra approssimare sempre per eccesso (x): con i moderni calcolatori si
è arrivati al calcolo delle 2 funzioni per valori di x intorno a 41022, e si è sempre verificato che
li(x)>(x). Molti matematici (tra cui Gauss e Riemann) congetturarono che ciò fosse vero per ogni
valore x>7, ma Littlewood (1914) dimostrò che la differenza li(x)-(x) cambia segno infinite volte
per x che tende a infinito (dimostrazione non costruttiva). Tuttavia non è stato ancora trovato
effettivamente un valore di x per cui li(x)< (x). Nel 1933 Skewes dimostrò che il più piccolo di tali
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x è < 10 (10
)
(un numero con 1034+1 cifre in base 10). Tale maggiorazione è stata nel tempo
migliorata: nel 2000 si é dimostrato che il più piccolo di tali x è <1,4 10 316 (un numero ancora al di
là delle capacità dei calcolatori moderni).
Calcoliamo approssimativamente la probabilità che, scelto casualmente un numero naturale x di n
cifre (in base 10), esso sia primo. Si ha 10n-1x<10n, quindi i naturali in tale range sono in numero
di (10n-10n-1), mentre i valori primi nello stesso range sono in numero di (10n)-(10n-1); utilizzando
l’approssimazione di (x) mediante x/log(x), la probabilità che x sia primo è:
[(10n)-(10n-1)]/(10n-10n-1) [(10n/logn(x))- (10n-1/logn-1(x))]/(910n-1) = (9n-10)/[9n(n-1)log(10)]
1/[nlog(10)].
Tenendo conto che log(10)2,3, la probabilità che un numero x di n cifre, scelto casualmente, sia
primo è 1/[2,3n]. Per esempio la probabilità che un numero di 100 cifre sia primo è 1/230: se
scegliamo casualmente 230 numeri di 100 cifre, statisticamente dovremmo aspettarci che uno di
essi sia primo.
Quindi per trovare un numero primo di un fissato numero n di cifre (in base 10), si può scegliere
casualmente un numero di n cifre, sottoporlo a un “test di primalità” e se il test non è superato
cambiare la scelta del numero, e così via: statisticamente dovrebbero bastare circa 2,3n tentativi per
trovare un numero primo.
Congruenze aritmetiche.
Ricordiamo la teoria delle congruenze aritmetiche.
La nozione di divisore (e simmetricamente quella di multiplo) si estende facilmente dall’insieme N
dei numeri naturali all’insieme Z dei numeri interi relativi: dati gli interi relativi a,bZ si dice che a
è divisore di b (o che b è multiplo di a) e si scrive ab, se esiste un intero relativo cZ tale che
ac=b.
Fissato un naturale m>1 (detto modulo), e dati i numeri interi relativi a,b, diremo che a è congruo
b modulo m (e scriveremo ab (mod m)) se m(a-b).
In questo modo definiamo nell’insieme Z degli interi relativi una relazione, detta appunto
congruenza modulo m, che è una relazione di equivalenza in quanto soddisfa le proprietà:
- riflessiva (per ogni aZ si ha aa (mod m) perché a-a=0=0m)
- simmetrica (per ogni a,bZ se ab (mod m) si ha a-b=mk con kZ, quindi b-a=m(-k) e si
conclude che ab (mod m))
- transitiva ((per ogni a,b,cZ se ab (mod m), e se bc (mod m) si ha a-b=mk, b-c=mh con k,hZ,
quindi a-c=m(k+h) e si conclude che ac (mod m))
Per ogni aZ si può allora costruire la classe di equivalenza rappresentata da a (detta classe di
congruenza modulo m rappresentata da a):
[a]m = { xZ / xa (mod m) } = { xZ / x-a=km, con kZ } = { xZ / x=a+km, con kZ }
(se non vi è possibilità di equivoco sul modulo m, useremo semplicemente il simbolo [a])
Per la teoria generale delle relazioni di equivalenza, dati a,bZ si ha [a]=[b] ab (mod m), e
inoltre le classi di congruenza modulo m formano una partizione dell’insieme Z .
Teorema.
Fissato il naturale m>1, le classi di congruenza modulo m distinte sono tutte e sole le seguenti:
[0], [1], ……, [m-1] (*)
Dimostrazione:
Le classi (*) sono distinte: se per assurdo fosse [a]=[b] con 0b<a<n, si avrebbe ab (mod m),
dunque 0<a-b<m sarebbe un multiplo di m (contraddizione).
Per ogni aZ la classe di congruenza [a] coincide con una delle classi (*): infatti se a>0 allora,
dividendo a per m con quoziente q e resto r si ha a=mq+r , a-r=mq, ar (mod m), [a]=[r], con r
compreso fra i valori 0,1,…,m-1; se invece a<0 allora, dividendo (-a) per m con quoziente q e resto
r si ha -a=mq+r , a-(m-r)=m(-q-1), am-r (mod m), [a]=[m-r], con m-r compreso fra 1,…,m-1 (se
r>0) oppure (se r=0) con [a]=[m]=[0].
Poiché 0,1,…,m-1 sono i possibili resti delle divisioni di un numero naturale per m, le classi di
congruenza modulo m sono anche dette classi resto modulo m, e il loro insieme è indicato con Zm :
per il Teorema precedente si ha Zm = { [0], [1], ……, [m-1] }, e la cardinalità di Zm è uguale al
modulo m.
Nella dimostrazione del Teorema, per ogni intero relativo aZ si è costruito un (unico) intero t
compreso fra i valori 0,1,…,m-1 tale che [a]=[t] (o equivalentemente at (mod m)): tale t è detto
riduzione modulo m dell’intero a ed è indicato con amodm.
Dato comunque aZ, un algoritmo per il calcolo della sua riduzione modulo m è indicato nella
dimostrazione del Teorema: se a>0 la riduzione coincide con il resto r della divisione di a per m, se
a<0 la riduzione coincide invece con (m-r) dove r è il resto r della divisione di (-a) per m (se r>0,
mentre se r=0 allora la riduzione è 0). In particolare la complessità dell’algoritmo per il calcolo
della riduzione modulo m di un numero naturale a è di ordine quadratico nella dimensione
dell’input (perché coinvolge una divisione di a per m).
Congruenze di primo grado ad una incognita.
Fissato il modulo m>1 e i numeri naturali a,b, poniamoci il problema di trovare (se esistono) tutti e
soli gli interi relativi x tali che axb (mod m) . Diremo anche che tali valori x sono le soluzioni
della congruenza axb (mod m) di primo grado nell’incognita x.
Vediamo quando una soluzione x esiste:
Teorema.
Fissati i numeri naturali a,b,m con m>1 si ha, posto d=mcd(a,b):
esiste una soluzione x della congruenza axb (mod m) d é divisore di b.
Dimostrazione:
(): Se axb (mod m), si ha ax-b=km, con kZ, da cui, essendo da, dm, ovviamente db.
(): Se db, posto dt=b, con tZ, e posto d=mcd(a,m)=az+mw, con z,wZ, si ottiene
b=dt=azt+mwt, da cui aztb (mod m), e basta porre x=zt per ottenere una soluzione della
congruenza.
Osservazione. Dal punto di vista algoritmico, per verificare se esiste una soluzione della
congruenza axb (mod m) basta usare l’algoritmo Euclideo delle divisioni successive per calcolare
d=mcd(a,m), e poi eseguire una divisione per verificare se db.
La dimostrazione precedente fornisce anche un algoritmo per il calcolo di una soluzione x (se essa
esiste cioè se db): basta moltiplicare t (ottenuto dividendo b per d) per z (coefficiente di a nella
espressione del mcd(a,m) come combinazione lineare di a,m, calcolato con l’algoritmo Euclideo
esteso). Globalmente la complessità dell’algoritmo per il calcolo della soluzione della congruenza è
di ordine polinomiale (come quella di tutti i sottoalgoritmi utilizzati).
La soluzione (se esiste) della congruenza axb (mod m) non è unica, ma è possibile determinare
tutte le soluzioni, conoscendone una:
Teorema.
Fissati i numeri naturali a,b,m con m>1, si ha:
se esiste una soluzione x0 della congruenza axb (mod m) , tutte e sole le soluzioni sono i numeri
interi relativi x1 tali che x1x0 (mod m/d) (ossia i numeri della classe di congruenza [x0]m/d
rappresentata da x0 modulo m/d).
Dimostrazione:
Sia x1 una soluzione della congruenza.
Allora ax1b (mod m), ax0b (mod m), da cui per transitività ax1ax0 (mod m), ax1-ax0=mk con k
intero, (a/d)(x1-x0)=(m/d)k.
Ma per una proprietà del mcd, i numeri a/d, m/d sono coprimi (essendo d=mcd(a,m)). Per una
proprietà dei numeri coprimi essendo (m/d)(a/d)(x1-x0) si ha (m/d)(x1-x0) ottenendo infine la tesi
x1x0 (mod m/d).
Viceversa sia x1 un intero relativo tale che x1x0 (mod m/d).
Allora x1-x0=km/d, con k intero, ax1-ax0=k(a/d)m, ax1ax0 (mod m).
Ma per ipotesi ax0b (mod m), e per transitività anche ax1b (mod m), dunque anche x1 è soluzione
della congruenza.
