Il problema dello spettro del corpo nero
1859 – 1862 Kirchhoff propone di spiegare lo spettro di radiazione di un corpo nero.
Definizione di corpo nero. È un corpo in grado di assorbire completamente le onde
elettromagnetiche che lo investono, qualunque sia la loro lunghezza d’onda – o frequenza1 –. Un
corpo nero è anche in grado di emettere onde elettromagnetiche di qualunque lunghezza d’onda.
Lo spettro elettromagnetico è l'intervallo di tutte le possibili frequenze delle radiazioni. Le
radiazioni sono onde elettromagnetiche caratterizzate da una lunghezza d'onda e da una frequenza.
Poiché la lunghezza d'onda e la frequenza di una radiazione sono inversamente proporzionali, tanto
minore sarà la lunghezza d'onda, tanto maggiore sarà la frequenza e quindi l'energia. Con la vista
riusciamo a percepire lunghezze d'onda comprese tra i 380 e i 760 nanometri (nm) a cui diamo il
nome di luce visibile. Lunghezze d'onda minori corrispondono ai raggi ultravioletti, ai raggi X ed ai
raggi gamma che hanno tutti quindi frequenza superiore alla luce visibile2. Le radiazioni infrarosse,
le onde radio e le microonde hanno invece lunghezze d'onda maggiori della luce. La radiazione con
una lunghezza d'onda inferiore a 0,4 µm è denominata luce ultravioletta. Questa zona scende fino a
una lunghezza d'onda di circa 0,35 µm. Al di sotto di questa zona, si trova quella dei raggi X e si
stende fino a una lunghezza d'onda di circa 0,006 µm. La parte inferiore dello spettro si compone di
onde denominate raggi gamma. Questa zona si trova al di sotto della zona dei raggi X. Dalla parte
dello spettro, dove la luce ha lunghezza d'onda maggiore, cioè oltre il rosso, si trova la zona
denominata infrarossa. Quest'ultima va da 0,7 µm a 0,4 mm. Quindi, viene la zona delle microonde,
con lunghezze d'onda da 0,4 mm. a 100 cm. Oltre a questa, vi sono tre campi di onde radio: onde
corte da 1 m a 100 m; onde medie da 200 m a 600 m; onde lunghe superiori a 600 m. È interessante
rilevare che solo una parte assai limitata dello spettro contiene radiazioni visibili all'occhio. Per
quanto le onde delle diverse zone abbiano tutte le stesse proprietà, si impiega il termine luce solo
per la parte visibile dello spettro e le due zone circostanti. Le parti di luce visibile dello spettro sono
emesse da corpi incandescenti. Il campo di raggi gamma rappresenta il risultato della
disintegrazione radioattiva. Le onde radio possono essere generate da scariche che producono onde
elettromagnetiche. Quantunque si distinguano varie zone nello spettro, non si può dire che esistano
tra esse limiti netti.
Tipo di radiazione elettromagnetica
Onde radio
Microonde
Infrarossi
Luce visibile
Ultravioletti
Raggi X
Raggi gamma
Frequenza
≤ 3 GHz
> 3 GHz – 300 GHz
> 300 GHz – 428 THz
>428 THz – 749 THz
>749 THz – 30 PHz
>30 PHz – 300 EHz
>300 EHz
Lunghezza d'onda
≥ 10 cm
< 10 cm – 1 mm
< 1 mm – 700 nm
<700 nm – 400 nm
<400 nm – 10 nm
<10 nm – 1 pm
<1 pm
Si ricorda che la relazione fondamentale tra lunghezza d’onda e frequenza di un’onda
elettromagnetica che si propaga nel vuoto è: = c
2
Si vedrà che ciò corrisponde a maggiore energia dei fotoni.
1
1
La teoria classica dell’elettromagnetismo prevede che una carica accelerata perda energia irradiando
onde elettromagnetiche.
Supponendo che nei corpi le cariche siano soggette a forze elastiche allora esse potranno emettere e
assorbire onde elettromagnetiche aventi la frequenza di oscillazione delle cariche.
Situazione iniziale di un oscillatore armonico:
dopo l’emissione di energia elettromagnetica:
dopo l’assorbimento di energia elettromagnetica
Gli scienziati che si sono cimentati con il problema proposto da Kirchhoff ritenevano che sia la
frequenza di oscillazione delle cariche che l’energia scambiata da esse con il campo
elettromagnetico fossero variabili continue. L’assunzione della continuità della frequenza nel
modello degli oscillatori proposto per il corpo nero veniva giustificata dalle osservazioni
2
spettroscopiche di alcune sostanze; però gli stessi studi spettroscopici evidenziavano anche una
numerabilità delle frequenze emesse e assorbite da parte di gas chimicamente poco complessi, cioè
le cui molecole siano costituite da pochi atomi.
Il problema proposto da Kirchhoff è la deduzione della distribuzione spettrale dell’energia emessa
da un corpo nero nel quale materia e campo elettromagnetico siano in equilibrio termodinamico.
I , l’intensità di radiazione, è l’energia emessa per unità di tempo e per unità di superficie, cioè è la
dI
potenza emessa per unità di superficie.
è l’intensità di radiazione per unità di lunghezza d’onda.
d
Video su Planck
Ecco la formula dedotta da Planck3 e non falsificata dalle osservazioni sperimentali:
dI 2h 3
d
c2
1
e
h
kT
;
1
ove:
k
è la costante di Boltzmann;
T
è la temperatura assoluta del corpo nero;
c
è la velocità della luce nel vuoto;
h , chiamata ora costante di Planck o quanto d’azione, assume il valore di 6,626·10-34 J·s .
dI 2kT 2
2 supponendo
Planck ha ripetuto gli stessi conti che portavano al risultato classico
c
d
però che gli scambi di energia tra radiazione e materia avvengano per multipli della quantità h .
calcolando il limite della formula di Planck per h 0 si ottiene la formula classica.
3
è la ,T riportata sul Manuale di fisica di Jovorskij, Detlaf ( pag. 568-573), edizioni MIR, Mosca, 1977.
3
Compiti (soluzioni a pagina 6) :
dI
dI dI d
(suggerimento: · = c
=…)
d
d d d
hc
dI h 4c 3
x5
Posto x
e y
, la distribuzione di Planck diventa: y x
: studiarla
kT
d 2k 5T 5
e 1
(l’ascissa del massimo consente di determinare il valore della costante della legge dello
spostamento di Wien).
Calcolare il limite della distribuzione di Planck per h 0 ;
Trovare la funzioni ad essa asintotica per (coincide con la funzione classica);
Trovare la funzioni ad essa asintotica per 0 (si evita la catastrofe ultravioletta) ;
È anche interessante studiarla parametricamente in T e trovare il luogo geometrico dei massimi.
1) Trovare l’espressione della funzione
2)
3)
4)
5)
6)
4
Ecco una breve storia delle ricerche sul problema del corpo nero4
Nel seguito E rappresenta la densità volumica di energia elettromagnetica, cioè l’energia rilasciata
per unità di volume: risulta I = Ec , essendo c la velocità della luce nel vuoto. Infatti IdtS è
l’energia emessa dalla sorgente nell’intervallo di tempo dt attraverso la superficie S ; essa riempirà
I dt S I dt S I
un volume V = Scdt , dunque E =
=
= .
V
S c dt c
1879
1886
1896
Stefan. Formulazione della legge sperimentale per l’emissione totale:
I = T4
dE
b e T
Paschen. Formulazione della legge sperimentale per l’emissività:
d
Wien. Deduzione, dall’analisi della radiazione contenuta in una cavità, della
dE
b5e T
legge per l’emissività:
d
1995 – 1900 Planck Nella ricerca dei meccanismi microscopici dell’irreversibilità Planck sviluppa
un modello formato dalla radiazione elettromagnetica, governato dalle equazioni di Maxwell, e
dalla materia costituente le pareti della cavità, schematizzata tramite semplici oscillatori lineari5.
1899 – 1900 una serie di prove sperimentali cominciò a suggerire l’inadeguatezza della legge di
Wien per grandi lunghezza d’onda – basse frequenze –.
dE
b 2T . Per
Nei primi mesi del 1900 Rayleigh deduce, per le basse frequenze, la formula
d
evitare una “catastrofe” ultravioletta nell’estrapolazione della formula alle alte frequenze, la
moltiplica per il seguente fattore di smorzamento: e
dE
b 2Te T .
per l’emissività del corpo nero è:
d
settembre 1900
T
. Quindi la formula proposta da Rayleigh
Rubens e Kurlbaum confermano le deviazioni dalla legge di Wien per lunghe
e alte T. Planck, informato da essi, inizia un lavoro di revisione che lo
dE
b 3e T
porta in ottobre a dedurre la legge:
d
dicembre 1900
Planck presenta la versione definitiva della legge dandone giustificazione fisica.
dE 2h 3
d
c3
1
e
h
kT
ovvero in termini di lunghezza d’onda:
1
dE 2hc
5
d
1
e
hc
kT
1
nella formula k è la costante di Boltzmann, c è la velocità della luce nel vuoto, h è una costante a cui
è stato assegnato, a suo onore, il nome di Planck.
4
A pagina 7 si confrontano le varie leggi proposte per lo spettro del corpo nero.
Pag. 13 di “Einstein, Teoria dei quanti di luce, a cura e con un saggio di A. Hermann. Introduzione di F. La Teana,
Newton & Compton Editori, Roma 2005.
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