Corso di Econometria
esempio n. 1 di esame completo
Parte 1 - rispondere a due domande a scelta tra le seguenti:
1)
La tabella sottostante riporta la funzione di probabilità congiunta f(X,Y) per le due variabili casuali
X e Y.
X
Y
6
1
2
3
f(Y)
0.0
0.2
0.4
8
0.0
0.0
0.2
10
0.2
0.0
f(X)
0.2
0.4
0.4
(i) completare la tabella
(ii) calcolare E(X), E(Y), E(XY), COV(XY)
(iii) verificare se X e Y sono statisticamente indipendenti.
2)
(a) Dati E(X)=8 e V(X)=4. Calcolare il valore atteso e la varianza delle seguenti espressioni:
(i) Y=2X+4
(ii) Y=0.6X-4
(b) Siano XN(8,4) e YN(6,9), = 0.5; sia Z=4X+2Y
Trovare E(Z) e V(Z).
3)
Dato il seguente modello: Yi= 0+1Xi+ui
(i) spiegate quali sono le ipotesi che assicurano proprietà ottimali agli stimatori OLS.
(ii) spiegate qual è il principio che sta alla base della stima coi minimi quadrati ordinari e impostate
la derivazione degli stimatori ̂0 e ̂1 .
4)
Immaginate di aver stimato il modello descritto nella domanda (1) utilizzando N=25 osservazioni,
ottenendo i seguenti risultati ̂1 =1.4, se( ̂1 )= 0.8.
(i) Verificate la significatività statistica di ̂1 al 5% conducendo il test a due code e a una coda.
(ii) Costruite un intervallo di confidenza al 95% per 1.
(iii) Supponete di aver riscalato la variabile X moltiplicandola per 10 e di aver ristimato la
regressione dove la variabile indipendente è ora X*=10X. Quali sono gli effetti di questa variazione
di scala sulla stima di 1?
Parte 2 – rispondere a due domande a scelta tra le seguenti
1)
Supponete di aver stimato un modello a ritardi distribuiti (infiniti) usando il modello di Koyck: Yt =
costante+ 0.4X t + 0.8Yt-1.
(i) Ricavate i coefficienti dei ritardi distribuiti sino al quinto ordine e rappresentateli graficamente.
(ii) Discute di quali aspetti è necessario tener conto nella stima di un modello di Koyck.
(2)
Immaginate di aver stimato un modello e ottenuto i seguenti risultati relativi ai vari test diagnostici:
- Breusch e Godfrey LM(3)=10.65(0.01);
- RESET(1)=2.15(0.14);
- White(5)= 6.52(0.26).
In parentesi sono riportati i p-value dei test.
Per ogni test indicate l’ipotesi nulla, i gradi di libertà, scrivete la regressione ausiliaria usata per il
test, e spiegate quali conclusioni trarreste.
(3)
Dopo aver definito il concetto di eteroschedasticità degli errori di un modello di regressione,
discutete le conseguenze sugli stimatori OLS e descrivete un test per individuarne la presenza.
(4)
Descrivete in dettaglio il test di Chow.
(5)
Il seguente modello: yt = 1 + 2xt + 3xt-1 + 4yt-1 + ut
dove le variabili sono espresse in logaritmi, è stato stimato col metodo dei minimi quadrati ordinari
su 41 osservazioni annuali ottendendo i seguenti risultati:
yt = 0.4 + 0,10 xt + 0.20 xt-1 + 0.65 yt-1 + residui
(0.1) (0.04) (0.08)
(0.10)
R2 = 0.68. Standard error in parentesi.
(a) Commentate i risultati delle stime dei coefficienti..
(b) Calcolate l’elasticità di y rispetto a x nel breve e nel lungo periodo.
(c) Ricavate la relazione di lungo periodo tra y e x.
(d) Sottoponete a test l’ipotesi che l’elasticità di lungo periodo sia uguale a zero, sapendo che
cov(b2b3) = 0.05.
Esempio n. 2 di esame completo
PARTE 1
1A. Le variabili casuali X e Y hanno la seguente distribuzione di probabilità congiunta:
X
Y
1
2
1
0.04
0.07
0.11
2
0.14
0.17
0.31
3
0.23
0.23
0.46
4
0.07
0.05
0.12
0.48
0.52
1.00
a) Determinate se le due variabili X e Y sono indipendenti. Nel caso non lo fossero spiegate perché.
b) Trovate la funzione di distribuzione condizionale f(Y=2|X=2) e f(Y=1|X=4).
2A. In riferimento al modello di regressione semplice Yi = β1 + β2 Xi + ui spiegate quale è il principio dei
minimi quadrati ordinari e cosa si intende per stimatore BLU.
3A. Si consideri il seguente modello:
ln(Yt)= 1+2ln(X1t)+3ln(X2t)+t
Il modello è stato stimato col metodo dei minimi quadrati ordinari utilizzando un campione di 43
osservazioni. I risultati ottenuti sono i seguenti (tra parentesi sono indicati i valori del test t per la
significatività del singolo coefficiente):
b1=9.228 (16.23);
b2=-1.761 (-5.90);
b3=1.34 (2.54);
R2=0.73;
F=17.50;
SSE=0.314
a) interpretate i risultati della regressione;
b) ricavate un intervallo di confidenza al 95% per il coefficiente 3.
c) Scrivete il modello ristretto sotto l’ipotesi 3=1 e testate tale ipotesi sapendo che SSE del modello
ristretto è 0.356.
PARTE 2 Rispondete a due domande a scelta tra le seguenti:
1B. Descrivete il problema dell’autocorrelazione analizzando in dettaglio i seguenti punti:
a) le possibili cause;
b) le conseguenze sulle proprietà degli stimatori OLS e sull’inferenza condotta sulla base del modello
stimato;
c) metodo di stima in presenza di autocorrelazione.
2B. Si considerino i seguenti modelli di regressione:
wi=0+1*espi+2*votolaureai+1i
i=1,2, ….. N1
wj= 0+1*espj+2*votolaureaj+2j
j=1,2, ….. N2
dove la variabile dipendente w rappresenta il salario e le variabili esplicative sono rappresentate dagli anni di
esperienza sul lavoro (esp) e dal voto di laurea. La prima regressione è stata stimata in riferimento a un
campione di N1 lavoratori maschi, mentre per la seconda è stato utilizzato un campione di N2 lavoratrici della
stessa impresa. Ipotizzando che rispetto a tutte le altre caratteristiche (età, razza, provenienza geografica) le
persone assunte dall’impresa siano uguali:
a) interpretate il significato dei coefficienti 0 e 0, 1 e 1, 2 e 2;
b) spiegate come utilizzereste le variabili dummy per verificare l’ipotesi che le due regressioni siano
uguali e che, quindi, sia possibile stimare un’unica regressione utilizzando le N1+N2=N osservazioni
disponibili.
3B. Partendo da un modello a ritardi distribuiti infiniti, dove la variabile dipendente è rappresentata da yt e la
variabile esplicativa da xt, è stato ottenuto il seguente modello di Koyck:
yt=0.5 + 0.45*xt + 0.7yt-1
a) spiegate quali ipotesi è necessario assumere per poter effettuare la trasformazione di Koyck;
b) ricavate i coefficienti dei ritardi distribuiti sino al quarto ordine e rappresentateli graficamente;
c) discutete di quali aspetti è necessario tener conto nella stima di un modello di Koyck.
4B. Considerate il modello di regressione Yi = β1 + β2 Xi + ei , sapendo che Xi è un regressore stocastico e
che la correlazione (Xi,ei) è diversa da zero:
a) dimostrate l’inconsistenza dello stimatore OLS per β2;
b) ricavate lo stimatore alternativo.
5B. Il seguente modello: yt = 1 + 2xt + 3xt-1 + 4yt-1 + ut
è stato stimato col metodo dei minimi quadrati ordinari utilizzando un campione di 200 osservazioni
trimestrali ottenendo i seguenti risultati (in parentesi sono riportati gli standard errors):
yt = 1.2 + 0.5 xt + 0.3 xt-1 + 0.4 yt-1 + residui
(0.1) (0.04) (0.08) (0.10)
R2 = 0.82
a) commentate i risultati delle stime dei coefficienti e ricavate la relazione di lungo periodo tra yt e xt;
b) calcolate l’elasticità di yt rispetto a xt nel breve e nel lungo periodo;
c) calcolate l’effetto sulla variabile dipendente di una variazione unitaria di xt dopo un periodo.
Esempio n.3 di esame completo
PARTE 1
1A. Le variabili casuali X e Y hanno la seguente distribuzione di probabilità congiunta:
X
Y
2
4
6
a)
b)
3
0.2
0.12
0.08
0.4
4
0.2
0.12
0.08
0.4
5
0.1
0.06
0.04
0.2
0.5
0.3
0.2
Determinate se le due variabili X e Y sono indipendenti. Nel caso non lo fossero spiegate perché.
Trovate la funzione di distribuzione condizionale f(Y|X=4) e f(Y|X=5).
2A. Spiegate in dettaglio tutte le ipotesi che è necessario formulare per poter applicare il metodo dei minimi
quadrati ordinari e commentate il teorema di Gauss-Markov.
3A. E’ stato specificato il seguente modello di regressione per stimare la funzione di produzione:
yi = 1 + 2 x1i + 3 x2i + i
dove y rappresenta il logaritmo della quantità prodotta, x1 il logaritmo del fattore lavoro e x2 il logaritmo del
fattore capitale.
Il modello è stato stimato col metodo dei minimi quadrati ordinari utilizzando un campione di 63
osservazioni. I risultati ottenuti sono i seguenti (tra parentesi sono indicati i valori degli standard errors):
b1 = 4.0 (0.78);
b2 = 0.7 (0.10);
b3 = 0.2 (0.10);
a)
b)
c)
R2 = 0.86;
F = 12.50;
SSE = 0.258
interpretate i risultati della regressione;
ricavate un intervallo di confidenza al 95% per il coefficiente 2.
Scrivete il modello ristretto sotto l’ipotesi di rendimenti costanti di scala e testate tale ipotesi sapendo
che SSE del modello ristretto è 0.294.
PARTE 2 Rispondete a due domande a scelta tra le seguenti:
1B. Descrivete il problema dell’eteroschedasticità analizzandone in dettaglio le cause e le conseguenze sugli
stimatori dei minimi quadrati ordinari. Descrivete un test per individuare la presenza di eteroschedasticità.
2B. Considerate il seguente modello per la determinazione del salario individuale, che è stato stimato col
metodo dei minimi quadrati ordinari su un campione di 526 lavoratori:
ŵi = 0.389 – 0.227 femi+ 0.082 istruzi - 0.0056 femi*istruzi + 0.029 experi - 0.0058 experi2 + 0.032 duratai
(0.119) (0.168)
(0.008)
(0.0131)
(0.005)
(0.00011)
(0.007)
2
R =0.441
dove w rappresenta il salario, fem è una variabile dummy che assume valore 1 per le donne e 0 per gli
uomini, le altre variabili misurano in anni il livello di istruzione (istruz), l’esperienza del lavoratore (exper) e
la permanenza del lavoratore nell’ultimo posto di lavoro (durata). Tra parentesi vengono riportati gli
standard errors.
a)
b)
c)
d)
Commentate i risultati;
calcolate il valore atteso del salario per una lavoratrice con 12 anni di istruzione, 4 anni di esperienza e
2 anni di permanenza nell’ultima occupazione;
calcolate l’effetto sul salario di una variazione unitaria dell’istruzione per una lavoratrice;
calcolate l’effetto sul salario di una variazione unitaria dell’esperienza.
3B. Considerate il seguente modello a ritardi distribuiti finiti:
yt = + 0 xt + 1 xt-1 + 2 xt-2 + 3 xt-3 + 4 xt-4 + t
a)
b)
spiegate quali sono i principali problemi che si incontrano nella stima di tale modello e come possono
essere superati.
Ipotizzate che il modello stimato nella versione ristretta sia:
yt = + 0 z0t + 1 z1t + 2 z2t + et
con ˆ0 = 0.07; ˆ1 = 0.4 e ˆ2 =-0.05
- spiegate quali ipotesi è necessario assumere sui coefficienti i del modello iniziale (non ristretto)
per ottenere il modello ristretto e cosa rappresentano le variabili z0t, z1t e z2t.
- ricavate i coefficienti 0, 1, 2, 3 e 4.
4B. Considerate il modello di regressione Yi = β1 + β2 Xi + ei , sapendo che Xi è un regressore stocastico e
che la correlazione (Xi,ei) è diversa da zero:
a)
b)
dimostrate l’inconsistenza dello stimatore OLS per β2;
ricavate lo stimatore alternativo.
5B. Il seguente modello: yt = 1 + 2 xt + 3 xt-1 + 4 yt-1 + 5 yt-2 + ut
dove tutte le variabili sono espresse in logaritmi naturali, è stato stimato col metodo dei minimi quadrati
ordinari utilizzando un campione di 200 osservazioni e ottenendo i seguenti risultati (in parentesi sono
riportati gli standard errors):
ŷ t = 0.5 + 0.75 xt + 0.4 xt-1 + 0.2 yt-1 + 0.3 yt-2 + residui
(0.1) (0.04) (0.08)
a)
b)
c)
(0.10)
R2 = 0.77
(0.15)
commentate i risultati delle stime dei coefficienti e ricavate la relazione di lungo periodo tra yt e xt;
calcolate l’elasticità di yt rispetto a xt nel breve e nel lungo periodo;
calcolate l’effetto sulla variabile dipendente di una variazione dell’1% di xt dopo un periodo.
