Massimo Bergamini Anna Trifone Graziella Barozzi 1 Matematica
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Massimo Bergamini Anna Trifone Graziella Barozzi 1 Matematica.azzurro Algebra, Geometria, Statistica Massimo Bergamini Anna Trifone Graziella Barozzi Matematica.azzurro Algebra, Geometria, Statistica www.online.zanichelli.it/bergaminibiennio Su questo sito ci sono esercizi guida interattivi, spiegazioni filmate, test interattivi e file .pdf. Alcuni contenuti sono accessibili a tutti, altri sono riservati. SE VUOI ACCEDERE AI CONTENUTI ONLINE RISERVATI Studente Insegnante Se non sei registrato: Se non sei registrato: 1. Vai su www.myzanichelli.it e seleziona Procedi con la registrazione. 2. Segui i tre passaggi per registrarti come studente. Ti arriverà un’e-mail: clicca sul link per completare la registrazione. 1. Vai su www.myzanichelli.it e seleziona Procedi con la registrazione. 2. Segui i tre passaggi per registrarti come docente. Ti arriverà un’e-mail: clicca sul link per completare la registrazione. 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Le fotocopie per uso personale (cioè privato e individuale, con esclusione quindi di strumenti di uso collettivo) possono essere effettuate, nei limiti del 15% di ciascun volume, dietro pagamento alla S.I.A.E del compenso previsto dall’art. 68, commi 4 e 5, della legge 22 aprile 1941 n. 633. Tali fotocopie possono essere effettuate negli esercizi commerciali convenzionati S.I.A.E. o con altre modalità indicate da S.I.A.E. Spiegazione filmata su Le percentuali, codice V05a. Per le riproduzioni ad uso non personale (ad esempio: professionale, economico, commerciale, strumenti di studio collettivi, come dispense e simili) l’editore potrà concedere a pagamento l’autorizzazione a riprodurre un numero di pagine non superiore al 15% delle pagine del presente volume. Le richieste per tale tipo di riproduzione vanno inoltrate a Associazione Italiana per i Diritti di Riproduzione delle Opere dell’ingegno (AIDRO) Corso di Porta Romana, n. 108 20122 Milano e-mail [email protected] e sito web www.aidro.org L’editore, per quanto di propria spettanza, considera rare le opere fuori del proprio catalogo editoriale, consultabile al sito www.zanichelli.it/f_catalog.html. La fotocopia dei soli esemplari esistenti nelle biblioteche di tali opere è consentita, oltre il limite del 15%, non essendo concorrenziale all’opera. Non possono considerarsi rare le opere di cui esiste, nel catalogo dell’editore, una successiva edizione, le opere presenti in cataloghi di altri editori o le opere antologiche. Nei contratti di cessione è esclusa, per biblioteche, istituti di istruzione, musei ed archivi, la facoltà di cui all’art. 71 - ter legge diritto d’autore. Maggiori informazioni sul nostro sito: www.zanichelli.it/fotocopie/ Esercizio interattivo, codice E25. Per accedere a questi contenuti, digita il codice V05a o E25 nell’apposita sezione della homepage di Bravi si diventa. *DVD-ROM allegato al Libro Misto Multimediale (LMM), ).disponibile anche online con chiave di attivazione ( Realizzazione editoriale: – Coordinamento redazionale: Marinella Lombardi – Redazione: Valentina Franceschi – Collaborazione redazionale: Massimo Armenzoni, Davide Bergamini, Marco Giusiano – Indice analitico: Massimo Armenzoni, Parma – Segreteria di redazione: Deborah Lorenzini – Progetto grafico: Byblos, Faenza – Progetto grafico delle pagine I-XVI, delle aperture di capitolo e delle schede Problemi, ragionamenti, deduzioni: Roberto Marchetti – Composizione e impaginazione: Litoincisa, Bologna – Disegni: Graffito, Cusano Milanino – Ricerca iconografica: Raffaella Agostini, Alessandra Giannini, Giulia Laffi Contributi: – Stesura del Laboratorio di matematica: Antonio Rotteglia – Revisioni dei testi e degli esercizi: Luisa Francia, Francesca Incensi, Elisa Menozzi, Monica Prandini, Elisa Quartieri, Ambra Tinti, Alessandro Zagnoli – Stesura di schede: Chiara Ballarotti (Insiemi infiniti, Matematica e democrazia, Triangoli sulle porte, Geometria per gli occhi), Silvia Benvenuti (I numeri nel mondo, 1870: nasce la bicicletta!, Quanto distano le stelle?), Davide Bergamini (Numeri e musica), Andrea Betti (Cicale e numeri primi, Acqua ed energia), Daniela Cipolloni (I gruppi sanguigni, Il padre dei polinomi, Partite di calcio, Senza bussola, Il volo delle falene), Robert Ghattas (Calcolatrici), Daniele Gouthier (Un po’ d’equilibrio), Chiara Lugli (5, 6, 7,... miliardi), Maria Chiara Manzini (La falsa posizione), Ilaria Pellati (Il fumo fa male?) – Revisione di schede: Ambra Tinti – Risoluzione degli esercizi: Francesca Anna Riccio, Angela Capucci, Elisa Capucci, Elisa Garagnani, Daniela Giorgi, Erika Giorgi, Cristina Imperato, Chiara Lugli, Elisa Targa, Ambra Tinti – Stesura e revisione degli esercizi di Matematica per il cittadino: Roberto Ceriani, Andrea Betti, Daniela Boni, Maria Luisa Pagani – Stesura e revisione degli esercizi in lingua inglese: Andrea Betti – Revisione linguistica degli esercizi in inglese: Alexander Synge – Rilettura dei testi: Marco Giusiano, Francesca Anna Riccio Il DVD-ROM è stato realizzato con la collaborazione di: – Elisa Garagnani (esercizi); – Luca Malagoli (revisione); – Valentina Franceschi e Giulia Laffi (redazione); – Priscilla Labardi, Piero Chessa (voci). L’interfaccia del multimedia deriva da un progetto grafico di Chialab s.r.l., Bologna – Progettazione esecutiva e sviluppo software: Infmedia (www.infmedia.it) – Video realizzati da PèM s.r.l. (www.pemproduzioni.com) – Immagini © Shutterstock Copertina: – Progetto grafico: Miguel Sal & C., Bologna – Realizzazione: Roberto Marchetti – Immagine di copertina: Artwork Miguel Sal & C., Bologna Prima edizione: gennaio 2011 L’impegno a mantenere invariato il contenuto di questo volume per un quinquennio (art. 5 legge n. 169/2008) è comunicato nel catalogo Zanichelli, disponibile anche online sul sito www.zanichelli.it, ai sensi del DM 41 dell’8 aprile 2009, All. 1/B. File per diversamente abili L’editore mette a disposizione degli studenti non vedenti, ipovedenti, disabili motori o con disturbi specifici di apprendimento i file pdf in cui sono memorizzate le pagine di questo libro. Il formato del file permette l’ingrandimento dei caratteri del testo e la lettura mediante software screen reader. Le informazioni su come ottenere i file sono sul sito www.zanichelli.it/diversamenteabili Suggerimenti e segnalazione degli errori Realizzare un libro è un’operazione complessa, che richiede numerosi controlli: sul testo, sulle immagini e sulle relazioni che si stabiliscono tra essi. L’esperienza suggerisce che è praticamente impossibile pubblicare un libro privo di errori. Saremo quindi grati ai lettori che vorranno segnalarceli. Per segnalazioni o suggerimenti relativi a questo libro scrivere al seguente indirizzo: [email protected] Le correzioni di eventuali errori presenti nel testo sono pubblicate nella sezione errata corrige del sito dell’opera (www.online.zanichelli.it/bergaminibiennio) Zanichelli editore S.p.A. opera con sistema qualità certificato CertiCarGraf n. 477 secondo la norma UNI EN ISO 9001: 2008 Derive è un marchio registrato della Soft Warehouse Inc. Excel è un marchio registrato della Microsoft Corp Cabri-Géomètre è un marchio registrato della Texas Instruments L’intera opera è frutto del lavoro comune di Massimo Bergamini e Anna Trifone Il format Bravi si diventa, inclusi i video e le spiegazioni teoriche, è un’opera collettiva di proprietà di Zanichelli editore. Hanno collaborato alla realizzazione di questo volume Davide Bergamini e Enrico Bergamini. Questo libro è stampato su carta che rispetta le foreste. www.zanichelli.it/la-casa-editrice/carta-e-ambiente/ INDICE Strette di mano Risolvere problemi Calcolare Dimostrare Ricercare Imparare a imparare RISORSE ONLINE Esercitazioni guidate su Motori di ricerca, Elaborazione di testi, Presentazioni multimediali, Introduzione a GeoGebra, Introduzione a Wiris. …perché le cicale preferiscono i numeri primi? IX X XII XIII XIV XVI CAPITOLO 1 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 20 esercizi in più 86 esercizi di recupero 30 test interattivi 20 esercitazioni di Laboratorio con Derive o Wiris 12 esercitazioni di Laboratorio con Excel 1 scheda di lavoro su Problemi, ragionamenti, deduzioni 17 Mettiti alla prova 12 Test your skills tabella con le cifre nel mondo ESERCIZI I numeri naturali e i numeri interi fi La risposta a pag. 29 RISORSE ONLINE TEORIA Che cosa sono i numeri naturali Le quattro operazioni I multipli e i divisori di un numero Le potenze Le espressioni con i numeri naturali Le proprietà delle operazioni Le proprietà delle potenze Il massimo comune divisore e il minimo comune multiplo PROBLEMI, RAGIONAMENTI, DEDUZIONI Ma quanti sono i numeri primi? 9. I sistemi di numerazione ESPLORAZIONE I numeri maya 10. Che cosa sono i numeri interi 11. Le operazioni nell’insieme dei numeri interi ESPLORAZIONE I quadrati magici 12. Le leggi di monotonia ■Laboratorio di matematica I numeri naturali con Derive ■Matematica per il cittadino Cassa comune ■Verifiche di fine capitolo BRAVI SI DIVENTA 10 videolezioni 3 esercizi interattivi Bergamini, Trifone, Barozzi Matematica.azzurro 1 © Zanichelli 2011 Algebra, Geometria, Statistica 1 2 5 6 6 8 11 14 16 17 19 19 22 23 27 33 34 35 36 37 44 46 49 51 53 54 66 68 69 70 III www.online.zanichelli.it/bergaminibiennio TEORIA …perché nella bicicletta si usano i rapporti? CAPITOLO 25 esercizi in più 34 esercizi di recupero 30 test interattivi 14 esercitazioni di Laboratorio con Excel 1 scheda di lavoro su Problemi, ragionamenti, deduzioni 4 Mettiti alla prova 6 Test your skills BRAVI SI DIVENTA 2 I numeri razionali fi La risposta a pag. 98 RISORSE ONLINE 1. 2. 3. 4. 5. Dalle frazioni ai numeri razionali Il confronto tra numeri razionali Le operazioni in Q Le potenze con esponente intero negativo Le percentuali ESPLORAZIONE Numeri e musica 6. Le frazioni e le proporzioni PROBLEMI, RAGIONAMENTI, DEDUZIONI Il problema delle parti 7. I numeri razionali e i numeri decimali 8. Il calcolo approssimato ■Laboratorio di matematica I numeri razionali con Excel ■Matematica per il cittadino La ricetta ■Verifiche di fine capitolo 75 81 83 87 88 89 89 91 91 95 fi La risposta a pag. 172 RISORSE ONLINE 10 esercizi in più 17 esercizi di recupero 30 test interattivi 17 esercitazioni di Laboratorio con Derive o Wiris sugli insiemi 34 esercitazioni di Laboratorio con Derive o Wiris sulla logica 1 scheda di lavoro su Problemi, ragionamenti, deduzioni 18 Mettiti alla prova 14 Test your skills teoria e 15 esercizi su I circuiti elettrici e i connettivi logici teoria e 14 esercizi su I sillogismi IV CAPITOLO 101 104 106 124 127 131 133 137 139 140 141 8 videolezioni 4 esercizi interattivi …esistono donatori universali? E riceventi universali? ESERCIZI 3 Gli insiemi e la logica 1. Che cos’è un insieme 2. Le rappresentazioni di un insieme 3. I sottoinsiemi ESPLORAZIONE Insiemi infiniti 4. Le operazioni con gli insiemi 5. L’insieme delle parti e la partizione di un insieme 6. Le proposizioni logiche 7. I connettivi logici e le espressioni PROBLEMI, RAGIONAMENTI, DEDUZIONI Cavalieri e furfanti 8. Forme di ragionamento valide 9. La logica e gli insiemi 10. I quantificatori ■Laboratorio di matematica Gli insiemi con Wiris ■Matematica per il cittadino Partita di pallone ■Verifiche di fine capitolo Bergamini, Trifone, Barozzi Matematica.azzurro 1 © Zanichelli 2011 Algebra, Geometria, Statistica 147 149 150 152 153 159 160 161 163 167 169 171 175 176 179 180 187 190 191 199 200 202 204 205 206 Indice …di quanto si deve aumentare il diametro di una conduttura per dimezzare il tempo di svuotamento di un certo volume d’acqua? CAPITOLO TEORIA ESERCIZI 211 214 218 219 220 225 226 227 231 235 238 242 243 247 253 4 Le relazioni e le funzioni fi La risposta a pag. 232 1. 2. 3. 4. 5. 6. RISORSE ONLINE 37 esercizi in più 13 esercizi di recupero 30 test interattivi 13 esercitazioni di Laboratorio con Excel 1 scheda di lavoro su Problemi, ragionamenti, deduzioni 7 Mettiti alla prova 6 Test your skills Le relazioni binarie Le relazioni definite in un insieme e le loro proprietà Le relazioni di equivalenza Le relazioni d’ordine Le funzioni Le funzioni numeriche PROBLEMI, RAGIONAMENTI, DEDUZIONI Alberi in più, alberi in meno 7. Particolari funzioni numeriche ESPLORAZIONE 5, 6, 7, … miliardi ■Laboratorio di matematica Le funzioni numeriche con Excel ■Matematica per il cittadino Albero genealogico ■Verifiche di fine capitolo …come si può calcolare a mente 632? CAPITOLO 263 264 265 5 I monomi, i polinomi, le frazioni algebriche fi La risposta a pag. 296 RISORSE ONLINE 95 esercizi in più 97 esercizi di recupero 30 test interattivi 7 esercitazioni di Laboratorio con Derive o Wiris 11 esercitazioni di Laboratorio con Excel 1 scheda di lavoro su Problemi, ragionamenti, deduzioni 8 Mettiti alla prova 8 Test your skills 1. Che cosa sono i monomi 2. Le operazioni con i monomi 3. Massimo comune divisore e minimo comune multiplo fra monomi 4. Che cosa sono i polinomi 5. Le operazioni con i polinomi PROBLEMI, RAGIONAMENTI, DEDUZIONI Un campo da rifare 6. I prodotti notevoli ESPLORAZIONE Il padre dei polinomi 7. Le funzioni polinomiali 8. La scomposizione in fattori dei polinomi 9. Le frazioni algebriche ■Laboratorio di matematica I monomi con Wiris ■Matematica per il cittadino Taxi a New York BRAVI SI DIVENTA 23 videolezioni 11 esercizi interattivi 258 ■ Verifiche di fine capitolo Bergamini, Trifone, Barozzi Matematica.azzurro 1 © Zanichelli 2011 Algebra, Geometria, Statistica 271 273 300 301 276 277 280 282 282 286 287 289 292 323 325 330 342 353 356 370 379 380 381 V www.online.zanichelli.it/bergaminibiennio TEORIA …hai una bilancia e due pesi, da 10 g e da 40 g. Come puoi separare con tre sole pesate 1800 g di mais in due mucchi, da 400 g e da 1400 g? CAPITOLO ESERCIZI 6 Le equazioni lineari fi La risposta a pag. 406 RISORSE ONLINE 36 esercizi in più 55 esercizi di recupero 30 test interattivi 13 esercitazioni di Laboratorio con Excel 2 schede di lavoro su Problemi, ragionamenti, deduzioni 5 Mettiti alla prova 3 Test your skills BRAVI SI DIVENTA 1. 2. 3. 4. Le identità Le equazioni I princìpi di equivalenza Le equazioni numeriche intere 389 390 393 397 PROBLEMI, RAGIONAMENTI, DEDUZIONI Il principe e il messaggero 398 ESPLORAZIONE La falsa posizione400 5. Le equazioni fratte401 6. Le equazioni letterali402 7. Equazioni e problemi403 PROBLEMI, RAGIONAMENTI, DEDUZIONI Occhio al trucco!404 ■Laboratorio di matematica Le equazioni lineari con Excel ■Matematica per il cittadino Consumo dell’automobile ■Verifiche di fine capitolo 409 411 414 418 426 429 436 448 449 450 7 videolezioni 3 esercizi interattivi …è vero che è più facile vincere una partita in casa che in trasferta? CAPITOLO Introduzione alla statistica fi La risposta a pag. 20 RISORSE ONLINE 13 esercizi in più 26 esercizi di recupero 30 test interattivi 13 esercitazioni di Laboratorio con Excel 1 scheda di lavoro su Problemi, ragionamenti, deduzioni 8 Mettiti alla prova 9 Test your skills VI 1. I dati statistici 2. La rappresentazione grafica dei dati ESPLORAZIONE Il fumo fa male? 3. Gli indici di posizione centrale PROBLEMI, RAGIONAMENTI, DEDUZIONI Tasse 4. Gli indici di variabilità ■Laboratorio di matematica La statistica con Excel ■Matematica per il cittadino I furti ■Verifiche di fine capitolo Bergamini, Trifone, Barozzi Matematica.azzurro 1 © Zanichelli 2011 Algebra, Geometria, Statistica Indice …riusciresti a trovare il Nord usando solo un comune orologio da polso e il Sole? CAPITOLO TEORIA ESERCIZI G1 G4 G4 G5 G6 G12 G22 G1 La geometria del piano fi La risposta a pag. G19 RISORSE ONLINE 14 esercizi in più 16 esercizi di recupero 20 test interattivi 12 esercitazioni di Laboratorio con Cabri o GeoGebra 1 scheda di lavoro su Problemi, ragionamenti, deduzioni 5 Mettiti alla prova 5 Test your skills …come si fa a calcolare a quale distanza si trova una stella? 1. Oggetti geometrici e proprietà ESPLORAZIONE Matematica e democrazia 2. Appartenenza e ordine PROBLEMI, RAGIONAMENTI, DEDUZIONI Mettere in bolla 3. Gli enti fondamentali 4. Le operazioni con i segmenti e con gli angoli Figure e dimostrazioni ■Laboratorio di matematica La geometria del piano con GeoGebra ■Matematica per il cittadino Taxi in città ■Verifiche di fine capitolo CAPITOLO G23 G25 G28 G33 G40 G41 G42 G2 I triangoli fi La risposta a pag. G56 RISORSE ONLINE 20 esercizi in più 15 esercizi di recupero 20 test interattivi 11 esercitazioni di Laboratorio con Cabri o GeoGebra 1 scheda di lavoro su Problemi, ragionamenti, deduzioni 6 Mettiti alla prova 4 Test your skills 1. Considerazioni generali sui triangoli ESPLORAZIONE Triangoli sulle porte 2. I criteri di congruenza dei triangoli PROBLEMI, RAGIONAMENTI, DEDUZIONI Triangoli e SMS 3. Le proprietà del triangolo isoscele 4. Le disuguaglianze nei triangoli 5. Che cosa sono i poligoni ■Laboratorio di matematica I triangoli con Cabri ■Matematica per il cittadino La forza del triangolo ■Verifiche di fine capitolo Bergamini, Trifone, Barozzi Matematica.azzurro 1 © Zanichelli 2011 Algebra, Geometria, Statistica G45 G48 G49 G50 G50 G53 G55 G59 G61 G65 G70 G74 G75 G76 G77 VII www.online.zanichelli.it/bergaminibiennio TEORIA …perché le falene sono attratte dalla luce artificiale? CAPITOLO 32 esercizi in più 27 esercizi di recupero 20 test interattivi 38 esercitazioni di Laboratorio con Cabri o GeoGebra 1 scheda di lavoro su Problemi, ragionamenti, deduzioni 20 Mettiti alla prova 8 Test your skills G3 Perpendicolari e parallele. Parallelogrammi e trapezi fi La risposta a pag. G106 RISORSE ONLINE 1. Le rette perpendicolariG81 2. Le rette paralleleG83 ESPLORAZIONE Geometria per gli occhiG89 3. Le proprietà degli angoli dei poligoniG90 4. I criteri di congruenza dei triangoli rettangoliG92 5. Il parallelogrammaG93 6. Il rettangoloG96 7. Il romboG97 8. Il quadratoG98 9. Il trapezioG99 10. Le corrispondenze in un fascio di rette paralleleG101 PROBLEMI, RAGIONAMENTI, DEDUZIONI Il metodo del falegname G103 ■Laboratorio di matematica I parallelogrammi e i trapezi con GeoGebra ■Matematica per il cittadino Lavoro d’équipe ■Verifiche di fine capitolo G111 G113 G118 G123 G126 G128 G128 G130 G131 G133 G137 G138 G139 Indice analitico VIII ESERCIZI Bergamini, Trifone, Barozzi Matematica.azzurro 1 © Zanichelli 2011 Algebra, Geometria, Statistica I1 Strette di mano Stringersi la mano serve per presentarsi e anche per dimostrare la propria amicizia. Nelle prossime pagine ti proponiamo occasioni per stringere la mano ai tuoi compagni e all’insegnante che ti seguirà, oltre che a noi autori del libro. È un modo per conoscerci e riflettere su cosa pensiamo della matematica, su cosa sappiamo e su cosa studieremo. È anche un modo per andare alla scoperta del libro, capire che cosa offre e come utilizzarlo al meglio. Iniziamo con un problema in tema! Quante strette di mano diverse si possono scambiare gli studenti di una classe? Naturalmente stiamo pensando che tutti gli studenti si stringano la mano e ogni coppia di studenti se la stringa una volta sola. Prima di leggere la soluzione che proponiamo nelle righe seguenti, chiudi il libro e prova a cercarne una insieme ai tuoi compagni, magari cogliendo l’occasione per stringere loro la mano davvero! Soluzione Il numero di strette di mano varia in base al numero dei componenti della classe o, più in generale, del gruppo di persone che le stringono. Per cercare la soluzione generale, concentriamoci prima su un esempio con un numero ridotto di persone in modo da poter costruire uno schema grafico. Nello schema della figura abbiamo pensato a 5 ragazzi. Notiamo che ogni ragazzo stringe la mano ai 4 rimanenti; quindi, essendo i ragazzi 5, possiamo pensare a 5 4 strette di mano. ? Ma in questo modo abbiamo contato ogni stretta di mano 2 volte, corrispondenti alle 2 punte di freccia che ci sono nello schema per ogni linea. Le punte sono 20, le linee 10. 54 —Quindi le strette di mano sono: —— 10 . 2 Pensiamo ora a n persone che si stringono la mano (con n indichiamo un numero generico). Il ragionamento è del tutto simile a quello precedente: ognuno stringe la mano a n − 1 persone. n (n − 1) —— —Le strette di mano sono quindi: —— — — 2 Allora, quante strette di mano sono possibili nella tua classe? Bergamini, Trifone, Barozzi Matematica.azzurro 1 © Zanichelli 2011 Algebra, Geometria, Statistica IX Risolvere problemi «I«Il prezzo scontato di un cocomputer è di 400 euro. Sapendo che lo sconto è statoSa del 25%, posso affermare chede prima dello sconto il computerpr costava 500 euro.»co i25% d sconto 400 euro! È giusto questo ragionamento?g ■ Prima di risdi rispondere PERCENTUALI CH INGANNANOCHE «Sono soddisfatto delle azioni che ho comprato. In questo giornale, per ogni pemese, è riportata la percentuale di aumento o diminuzione del valore rispetto all’inizio del mes È vero che in un mese le azioni hanno perso il 40%mese. del loro valore, ma il mese dopo hanno guadagnato il 50%. Quindi in due mesi il loro valore aumentato del 10%. Non male!» È giusto questoèragionamento? Supponiamo che all’inizio del primo mese un’azione avesse valore 100. Dopo un mese il suo valore è diminuito del 40% e quindi è sceso a 60. Alla fine del secondo mese si è avuto un aumento del 50% rispetto al valore di inizio mese, quindi un aumento di: 50 —— 60 30.— 100 ALLA SCOPERTA DEL LIBRO Usa l’indice per cercare il paragrafo della teoria sulle percentuali. In corrispondenza c’è anche un paragrafo con esercizi guida ed esercizi. Il valore finale è quindi: 60 30 90. Rispetto a due mesi prima, il valore è calato del 10% e non aumentato del 10%! Come vedi, con le percentuali è molto importante fare attenzione a quale quantità si riferiscono. ALLA SCOPERTA DEL LIBRO UP TO YOU Trovi due problemi sulle percentuali anche nella sezione Test your skills degli esercizi del capitolo 1. «Qualcuno dice che sto cercando di guadagnare troppo. È falso! L’anno scorso guadagnavo il 20% rispetto al prezzo dei prodotti che vendevo, quest’anno il 22%. Un guadagno di appena il 2% in più: non è poi tanto!» È giusto questo ragionamento? ? Ora risolvi il problema iniziale Nel sito: Scheda di lavoro Per approfondire Sconti su sconti «Il supermercato dove faccio spese ha molti prodotti in offerta “Prendi due, paghi uno”. In più, alla cassa, viene dato un buono pari al 20% dell’importo pagato, da utilizzare in una spesa successiva. Se compero soltanto prodotti in offerta, è come se avessi lo sconto del 70%.» È giusto questo ragionamento? X Bergamini, Trifone, Barozzi Matematica.azzurro 1 © Zanichelli 2011 Algebra, Geometria, Statistica A quale velocità ci muoviamo con la Terra intorno al Sole? ■ Prima di rispondere QUARANTA ALL’ORA Un ciclista ha percorso 50 km di circuito pianeggiante mantenendo una velocità di 40 km/h. Quanto tempo ha impiegato? Un problema presenta, in genere, una situazione che contiene dati e richieste. Per risolverlo è necessario trovare come le richieste sono legate ai dati. I dati del nostro problema sono lo spazio percorso (50 km) e la velocità costante mantenuta dal ciclista (40 km/h). La relazione che lega fra loro dati e richieste afferma che lo spazio s percorso in un tempo t da un corpo che si muove a velocità costante v è dato dal prodotto fra la velocità e il tempo. In simboli: s v t. Quindi, nel nostro caso, abbiamo l’equazione 50 40 t. Ci chiediamo qual è quel numero t che moltiplicato per 40 dà 50. Per la definizione di quoziente di due numeri, ciò equivale a dire che t ALLA SCOPERTA DEL LIBRO C’è un sottoparagrafo intitolato «Che cos’è un’equazione». Cerca «equazione» con l’indice analitico. 50 5 1,25 ore, ossia 1 ora e 15 minuti. ——— —— 40 4 UP TO YOU Se un ciclista percorre 180 km in 5 ore, qual è la sua velocità media? ? Ora risolvi il problema iniziale Nel sito: Esercitazione guidata su Motori di ricerca Esercitazione guidata su Elaborazione di testi In dieci righe Foreste di carta Riciclare la carta è importante per ridurre la velocità della deforestazione. Quanti fogli di carta si ricavano da un albero? Per rispondere alla domanda fai una ricerca in Internet, poi realizza con il computer una sintetica relazione che spieghi come si possa calcolare una stima del numero di fogli formato A4 ricavabili da un pino di circa 10-15 metri. Dai anche informazioni relative alla deforestazione e ai suoi effetti. Cerca nel web: fogli, carta, albero, deforestazione, effetti. Bergamini, Trifone, Barozzi Matematica.azzurro 1 © Zanichelli 2011 Algebra, Geometria, Statistica ALLA SCOPERTA DEL LIBRO Elaborare informazioni e sintetizzare è un tipo di esercizio che spesso ti proporremo all’interno delle Esplorazioni. XI Calcolare Come si può calcolare a mente, con rapidità, 29 8? ■ Prima di rispondere CALCOLI E PROPRIETÀ DELLE OPERAZIONI Come si calcola a mente 42 6? Per eseguire mentalmente moltiplicazioni fra numeri interi, è importante conoscere, oltre alle tabelline, la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione. Questa afferma: quando si deve moltiplicare un numero per una somma, si può moltiplicare quel numero per ciascun addendo della somma e poi sommare i prodotti ottenuti, e il risultato non cambia. Con le lettere: a (b c) a b a c. Per esempio:5 (2 3) 5 2 5 3 10 15 25. Utilizziamo questa proprietà per calcolare: 42 6. Consideriamo 42 come 40 2:42 6 (40 2) 6 Applichiamo la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione: 42 6 40 6 2 6. Eseguiamo le moltiplicazioni:42 6 240 12. Eseguiamo l’addizione:42 6 252. ALLA SCOPERTA DEL LIBRO Trovi la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione, per esempio, nella Teoria in sintesi del primo capitolo. UP TO YOU ALLA SCOPERTA DEL LIBRO 1. Esegui mentalmente le seguenti moltiplicazioni: a) 67 8; b) 123 20; c) 12 23. Giustificale mediante la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione e quella associativa della moltiplicazione. 2. La proprietà distributiva della moltiplicazione vale anche rispetto alla sottrazione. Applicala per calcolare mentalmente: a) 28 3; b) 190 4; c) 15 28. Spiega i tuoi passaggi. La proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alla sottrazione si trova in una nota nel colonnino della teoria del capitolo 1. Anche nel colonnino ci sono informazioni importanti! ? Ora rispondi alla domanda iniziale Nel sito: Scheda di lavoro Per approfondire Uno strano calcolo Per calcolare 43 47 procediamo come nella figura: al 4 di 47 aggiungiamo 1:4 1 5; moltiplichiamo il 4 di 43 con il 5 ottenuto: 4 520; moltiplichiamo il 3 di 43 con il 7 di 47:3 721; il risultato è:2021. • 43 • 47 = 2021 +1 5 • Giustifica il metodo usato, mediante le proprietà delle operazioni. Ci sono delle condizioni che ci dicono rapidamente quando possiamo applicare questo metodo? XII Bergamini, Trifone, Barozzi Matematica.azzurro 1 © Zanichelli 2011 Algebra, Geometria, Statistica Dimostrare Nel trapezio ABCD della figura il punto P è tale che i segmenti DP e CP sono congruenti. ˆˆ Come sono gli angoli APD e BPC? Perché? ■ Prima di rispondere ? A ? P B ? ALLA SCOPERTA DEL LIBRO E ? A D C Che cosa possiamo dire dei segmenti DE e EB? Perché? Se osservi con attenzione la figura, forse puoi giungere alla conclusione che i segmenti DE ed EB sono congruenti. Per conferma potresti provare a misurarli: se la loro misura è uguale, allora i segmenti sono congruenti. Tuttavia, queste prove e osservazioni non consentono di essere sicuri che la congruenza dei segmenti continui a essere vera per tutti i triangoli ABC che è possibile considerare, né consentono di capire perché la proprietà è sempre vera. Per soddisfare queste due esigenze serve una dimostrazione. Dimostriamo che DE ed EB sono congruenti utilizzando queste proprietà: a) Se in un triangolo due angoli sono congruenti, allora i due lati del triangolo che i due angoli non hanno in comune sono congruenti (il triangolo è isoscele); b) Se due rette sono parallele, tagliate da una trasversale formano angoli alterni interni congruenti. c) Se x è congruente a y e y è congruente a z, allora x è congruente a z (proprietà transitiva della congruenza). ˆ Ipotesi 1. BD è bisettrice di ABC;Tesi ED e BE sono congruenti. 2. DE è parallela a BC. ? C B LA BISETTRICE E LA PARALLELA In un triangolo qualsiasi ABC, chiamiamo D il punto di incontro tra la bisettrice dell’angolo in B e il lato AC. Da D tracciamo la retta parallela al lato BC e chiamiamo E il suo punto di incontro con AB. D Dimostrazione ˆˆ L’angolo EBD è congruente a DBC, perché, per ipotesi, BD è bisettrice ˆ dell’angolo ABC. ˆˆ Ma DBC è congruente a BDE, perché angoli alterni interni formati dalle parallele ED e BC tagliate dalla trasversale BD (proprietà b). ˆˆ Quindi anche EBD è congruente a BDE per la proprietà transitiva della congruenza UP TO YOU(proprietà c). B C Allora, per la proprietà a il triangolo EBD è isoscele e BE è congruente a ED. ? Nel trapezio di basi AD e BC della figura, i lati AB e AD ? sono congruenti. Che cosa possiamo dire degli angoli ˆˆ ABD e DBC? Perché? Utilizza le proprietà b e c viste priA D ma e questa: in un triangolo isoscele i due angoli alla base sono congruenti. Ora risolvi il problema iniziale Bergamini, Trifone, Barozzi Matematica.azzurro 1 © Zanichelli 2011 Algebra, Geometria, Statistica Trovi problemi sulle rette parallele nella Matematica per il cittadino del capitolo G3. ALLA SCOPERTA DEL LIBRO Cerca queste proprietà e le definizioni dei termini utilizzati con l’indice e con l’indice analitico. Confronta i due tipi di ricerca. Nel sito: Esercitazione guidata su Motori di ricerca, Esercitazione guidata su Presentazioni multimediali In cinque slide Un teorema famoso Con una presentazione multimediale, spiega che cosa dice il teorema di Pitagora e illustra diversi modi per dimostrarlo. Cerca nel web: teorema, Pitagora, dimostrazione. XIII Ricercare Sono di più i numeri naturali o i numeri interi? ■ ALLA SCOPERTA DEL LIBRO Sugli insiemi puoi svolgere le esercitazioni con il computer del Laboratorio di matematica del capitolo 3. Prima di rispondere UN NUMERO FINITO DI ELEMENTI Per confrontare la numerosità di due insiemi A e B con un numero finito di elementi, basta contarli. Verifichiamo che l’insieme A dei divisori di 10 ha lo stesso numero di elementi dell’insieme B dei divisori di 8. Elenchiamo gli elementi degli insiemi: Nel sito: Esercitazione guidata su Motori di ricerca Esercitazione guidata su Elaborazione di testi In dieci righe A {1, 2, 5, 10}, B {1, 2, 4, 8}. Una ricerca infinita A e B hanno entrambi 4 elementi; si dice anche che hanno la stessa cardiIn matematica ci sono connalità. cetti oggetto di incessante inPossiamo arrivare alla stessa condagine e ricerca. Il matematiclusione costruendo una corrisponco tedesco David Hilbert af11 fermò che nessun altro con- denza come quella della figura. 2 2 cetto ha mai scosso così profondamente lo spirito umano Poiché a ogni elemento di A corri4sponde come quello di infinito. Scriuno e un solo elemento di B 5 vi una relazione con il com8 puter descrivendo il parados- e, viceversa, a ogni elemento di B 10corrisponde uno e un solo so dell’infinito in cui si imelemenbatté Galileo e i risultati otteto di A, i due insiemi hanno la stes- AB nuti in seguito. Descrivi poi almeno un paradosso dell’in- sa cardinalità, ossia hanno lo stesso numero di elementi. finito riguardante la geomeINFINITI ELEMENTI tria. Per esempio, i punti di Che cosa succede se gli insiemi hanno infiniti elementi? una semiretta sono di più di Per esempio, consideriamo C insieme dei numeri naturali e D insieme dei quelli di un suo segmento? numeri naturali maggiori di 0. Poiché D si ottiene da C privandolo dello Cerca nel web: paradosso, quadra- 0, si direbbe che il numero di elementi di D è minore di quello degli elementi di C. Ragioniamoci sopra. ti, paradosso In questo caso non possiamo contare gli elementi di C e di D: non finiGrand Hotel. remmo mai! Allora cerchiamo di creare una corrispondenza fra gli elementi dei due insiemi, come quella dell’esempio precedente. Associamo al numero 0 dell’insieme C il numero 1 dell’insieme D, al numero 1 di C il numero 2 di D e così via: al numero n appartenente a C associamo il numero n 1 appartenente a D. ALLA SCOPERTA DEL LIBRO Poiché a ogni elemento di C corrisponde uno e un solo elemento di D e, viceversa, a ogni elemento di D corrisponde uno e un solo elemento di C, i Trovi informazioni nell’Esploradue insiemi hanno la stessa cardinalità, ossia lo stesso numero di elementi. zione «Insiemi infiniti». Cercala nell’indice. UP TO YOU ? Sono di più i numeri naturali o i numeri pari? Ora rispondi alla domanda iniziale XIV Bergamini, Trifone, Barozzi Matematica.azzurro 1 © Zanichelli 2011 Algebra, Geometria, Statistica Il rettangolo ABCD ha base lunga 2 cm e altezza 2 cm. Ai lati AB e CD togliamo e ai lati AD e BC aggiungiamo segmenti congruenti, in modo da ottenere il rettangolo AB C D . Quale deve essere la lunghezza di questi segmenti per fare in modo che il nuovo rettangolo abbia area massima? ■ C B C' B' A D D' Prima di rispondere UN PROBLEMA DI MASSIMO ALLA SCOPERTA DEL LIBRO Fin dai tempi dei Greci, i concetti di massimo e minimo costituiscono un importante strumento di ricerca del pensiero scientifico, tanto da far dire al matematico Eulero (1774): «nel mondo non avviene nulla senza che si osservi una regola di minimo o di massimo». Esercizi di scrittura di aree e perimetri con espressioni algebriche sono nel paragrafo «Le operazioni con i polinomi». Cercalo. Dimostriamo che fra tutti i rettangoli di perimetro 40 cm, quello che ha area massima è il quadrato di lato 10 cm. L’area del quadrato è 100 cm2. Notiamo poi che ogni rettangolo di perimetro 40 cm si può ottenere dal quadrato, togliendo un segmento da due lati paralleli del quadrato e aggiungendo un segmento di uguale misura x agli altri due lati. Se chiamiamo x questa misura, una dimensione del ret10 + x tangolo è 10 x, l’altra è 10 x, quindi la misura A dell’area del rettangolo è: 10 – x 10 A (10 x) (10 x). Applichiamo la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione: 10 x A (10 x) (10 x) (10 x) 10 (10 x) x 10 10 10 x 10 x x x 102 x2 100 x2. ALLA SCOPERTA DEL LIBRO L’area del rettangolo è quindi sempre minore di quella del quadrato. Possiamo anche vedere questa proprietà mediante un grafico x A La rappresentazione di 0 100cartesiano della funzione A una funzione mediante 100 x2, dove i valori relativi ai una tabella e un grafico è 3 91 5 75rettangoli trattata nel paragrafo «Le sono soltanto quellifunzioni numeriche». con x 0. Notiamo che il valore 7 51 massimo di A è in corrispondenza di x 0, ossia quando con-9 19 100sideriamo il quadrato. y 100 91 A = 100 – x2 75 UP TO YOU In un paese, piazza Garibaldi ha lo stesso perimetro di piazza Mazzini, ma area maggiore. Che cosa possiamo dire dei loro lati? ? 51 19 Ora rispondi alla domanda iniziale Nel sito: Scheda di lavoro –10 –9 –7 –5 –3 0 3 5 7 910 x Per approfondire Un perimetro infinito È possibile racchiudere una regione finita di piano con una linea di lunghezza infinita? Bergamini, Trifone, Barozzi Matematica.azzurro 1 © Zanichelli 2011 Algebra, Geometria, Statistica XV Imparare a imparare Alcuni matematici sono uccelli, altri sono rane. Gli uccelli volano alto nell’aria e scrutano le vaste distese della matematica, spingendo lo sguardo fino all’orizzonte. Prediligono i concetti che unificano i nostri modi di pensare e partendo da punti diversi del paesaggio riuniscono una molteplicità di problemi. Invece le rane vivono nel fango e vedono solo i fiori che crescono nei pressi. Preferiscono osservare i singoli oggetti nei loro minuti particolari e risolvono i problemi uno alla volta. Imparare a imparare è una delle competenze chiave che l’Unione Europea ha individuato per i cittadini della società della conoscenza. Implica: l saper cercare e controllare le informazioni; l individuare collegamenti e relazioni; l progettare la propria attività; l comunicare e collaborare con gli altri; l risolvere problemi della vita reale. Freeman Dyson, Uccelli e rane: la matematica come metafora, in Il club dei matematici solitari del Prof. Odifreddi, Mondadori, 2009. ■ Essere rana Nello studio della matematica sarai soprattutto una rana: affronterai i problemi uno alla volta e cercherai di capire i particolari. Ma non dimenticare di «vedere i fiori». La matematica è nella realtà Può essere difficile vederla, ma ci circonda e serve nella vita di tutti i giorni. Scoprilo nei problemi di Matematica per il cittadino. La matematica è cultura È una delle discipline che più si prestano al collegamento con le altre ed è necessaria per affrontare i problemi del sapere in campi anche molto diversi fra loro. Puoi vederlo nelle Esplorazioni e La matematica ha un linguaggio specificonelle prime pagine di ogni capitolo. al quale devi fare attenzione nelle definiLa matematica è palestra Una palestra per la mente. La comprensiozioni e nelle parole che mettiamo in evi- ne di ogni nuovo concetto e l’esercizio giornaliero allenano ad af-denza. Nei Test your skills hai un’occasione per imparare il lessico matematico in in-frontare i problemi in modo razionale. glese.Ma non accontentarti degli esercizi di allenamento: nei Mettiti alla prova, gioca le tue partite! ■ Essere falco Nello studio è importante anche avere una visione d’insieme. Per darti una mano a essere falco, ti proponiamo di inquadrare quello che farai mediante quattro competenze fondamentali, indicando dove le incontrerai prevalentemente. Competenza Dove si trova nel libro Per esempio Utilizzare le tecniche e le procedure del calcolo aritmetico e algebrico Capitoli 1, 2, 5, 6 Le espressioni con i razionali, pag. 118 Le operazioni con i polinomi, pag. 330 Rappresentare e analizzare figure geometriche Capitoli G1, G2, G3 I criteri di congruenza dei triangoli, pag. G49 Le proprietà dei parallelogrammi, pag. G93 Individuare le strategie appropriate per la soluzione di problemi Problemi, ragionamenti, deduzioni in tutti i capitoli Il problema delle parti a pag. 91 I problemi con le percentuali e le proporzioni, pag. 128 I problemi in cui si applica l’algebra alla geometria, pag. 442 Capitoli 1, 2, 3, 6, alfa Rilevare, analizzare e interpretare dati XVI Capitoli 3, 4, alfa La proporzionalità diretta, pag. 237 La frequenza nei dati statistici, pag. 3 Bergamini, Trifone, Barozzi Matematica.azzurro 1 © Zanichelli 2011 Algebra, Geometria, Statistica TEORIA I numeri naturali e i numeri interi CAPITOLO 1 Cicale e numeri primi In alcune zone degli Stati Uniti vivono due specie di cicale, Magicicada septendecim e Magicicada tredecim, con cicli vitali di 17 e 13 anni: ogni 17 anni le une, ogni 13 le altre, dopo una lunga «infanzia» passata sottoterra, emergono in massa per riprodursi e quindi morire. Naturalmente non è vantaggioso per le due specie competere per le risorse ambientali emergendo dal terreno negli stessi anni… …perché le cicale preferiscono i numeri primi? La risposta a pag. 29 1. Che cosa sono i numeri naturali I numeri naturali sono: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ... I numeri naturali hanno un ordine. Dati due numeri naturali qualunque e diversi fra loro, è sempre possibile stabilire se il primo è minore del secondo o viceversa. Per indicare questa relazione usiamo i simboli < (minore) e > (maggiore). Per esempio, 0 < 5, 8 > 3. Di ogni numero naturale, escluso lo 0, esistono il precedente e il successivo. Per esempio, il precedente di 7 è 6, il successivo di 7 è 8. Il simbolo significa minore maggiore minore o uguale maggiore o uguale uguale diverso L’insieme dei numeri naturali viene indicato con la lettera N. ■ La rappresentazione dei numeri naturali Poiché i numeri naturali sono ordinati, si possono rappresentare su una semiretta orientata, cioè su una semiretta sulla quale fissiamo, a partire dal punto origine O, un verso di percorrenza, che indichiamo con una freccia, e un’unità di misura. Bergamini, Trifone, Barozzi Matematica.azzurro 1 © Zanichelli 2011 Algebra, Geometria, Statistica ◗ Orientato qui significa «che ha un verso». 1 CAPITOLO 1. I NUMERI NATURALI E I NUMERI INTERI TEORIA Figura 1 Fissata una unità di misura, è possibile far corrispondere ai numeri naturali determinati punti di una semiretta orientata. O A B C D E F 0 1 2 3 4 5 6 u I punti della semiretta sono molti di più di quelli che corrispondono ai numeri naturali. Per esempio, fra B e C vi sono infiniti punti che non rappresentano numeri naturali. Per indicarlo si dice che N è un insieme discreto. 2. Le quattro operazioni ■ Gli operatori, gli operandi, il risultato Nell’insieme N si possono eseguire le quattro operazioni: addizione, moltiplicazione, sottrazione e divisione. I simboli usati per le operazioni ( , , , ) si chiamano operatori. ◗ Per la moltiplicazione useremo di solito il simbolo invece del simbolo . Ogni operatore agisce su due numeri che si chiamano operandi e produce un risultato. Vediamo i loro nomi in ogni operazione. OPERANDI E RISULTATO OPERAZIONE 1° OPERANDO 2° OPERANDO RISULTATO addendo addendo somma addizione ESEMPIO 2° addendo 1° addendosomma 8 4 12 moltiplicazione fattore fattore prodotto sottrazione minuendo sottraendo differenza divisione dividendo divisore quoziente 2° fattore 1° fattoreprodotto 8 4 32 8 4 4 divisore dividendoquoziente 8 4 2 ■ L’addizione e la moltiplicazione ◗ La sottrazione e la divisione sono definite rispettivamente in base all’addizione e alla moltiplicazione e agiscono in modo contrario rispetto a queste; per tale motivo sono anche chiamate operazioni inverse. 2 Fra le quattro operazioni solo l’addizione e la moltiplicazione danno sempre come risultato un numero naturale. Per questo si dice che l’addizione e la moltiplicazione sono operazioni interne in N, oppure che N è chiuso rispetto a tali operazioni. ■ La sottrazione e la divisione La differenza fra due numeri è quel numero che, addizionato al sottraendo, dà come somma il minuendo. Bergamini, Trifone, Barozzi Matematica.azzurro 1 © Zanichelli 2011 Algebra, Geometria, Statistica sottraendo differenzaminuendo Paragrafo 2. Le quattro operazioni TEORIA ESEMPIO 5 3 2, perché 2 3 5. Non sempre esiste in N il risultato della sottrazione: il risultato di una sottrazione è un numero naturale se e solo se il minuendo è maggiore o uguale al sottraendo. Il quoziente fra due numeri è quel numero che, moltiplicato per il divisore, dà come prodotto il dividendo. Quindi, perché la divisione abbia senso il divisore deve sempre essere diverso da 0. ◗ La sottrazione non è un’operazione interna in N: 4 9 ? Non esiste in N il risultato di 4 9, perché non esiste un numero naturale n tale che n 9 4. ESEMPIO 1. 18 : 3 6, perché 6 3 18. 2. 18 : 0 è un’operazione impossibile, perché non esiste nessun numero che, moltiplicato per 0, dia 18. Anche con il divisore diverso da 0, non sempre esiste per la divisione il risultato in N, cioè la divisione non è un’operazione interna in N. Per esempio, il risultato di 15 6 non esiste in N, perché non esiste un numero naturale che, moltiplicato per 6, dia 15. Figura 2 dividendo Nei numeri naturali è sempre possibile eseguire la divisione non esatta (con resto). In questo caso fra dividendo, divisore, quoziente e resto vale la relazione: dividendo divisore quoziente 15 12 divisore 6 2 3 resto (figura 2). quozienteresto 15 6 2 3 Solo se il resto è 0, ritorniamo al caso della divisione esatta. DAI NUMERI ALLE LETTERE In matematica le lettere offrono la possibilità di parlare non di un numero particolare, ma di un numero generico. Il doppio di 4 è 2 4, il doppio di 100 è 2 100. Se indichiamo con n un generico numero naturale, il suo doppio è 2 n. L’espressione 2 n ha un valore diverso a seconda del valore attribuito a n: ● ● se n se n 4, 100, 2n 2n diventa diventa 2 4 8; 2 100 200. Quando vogliamo indicare un numero generico, usiamo quindi una lettera dell’alfabeto. A tale lettera viene dato il nome di variabile numerica (o, più brevemente, variabile); nell’esempio precedente n è una variabile. ◗ Se utilizziamo la variabile n, possiamo scrivere: ■ Il numero 0 Addizione e sottrazione Lo 0 sommato a qualsiasi numero dà come risultato il numero stesso. Ciò è vero indifferentemente quando 0 è il primo addendo o il secondo. Per questo motivo 0 è detto elemento neutro dell’addizione. Non è invece possibile in N la sottrazione con il minuendo uguale a 0. Bergamini, Trifone, Barozzi Matematica.azzurro 1 © Zanichelli 2011 Algebra, Geometria, Statistica n00 n N, n n, dove il simbolo significa «per ogni» e significa «che appartiene». 3 CAPITOLO 1. I NUMERI NATURALI E I NUMERI INTERI TEORIA ESEMPIO 8 0 0 8 8. 0 6 non ha risultato in quanto in N non esiste un numero che, sommato a 6, dia 0. ◗7 0 7 = 0 perché 7 7. La somma di due numeri naturali è 0 soltanto se entrambi i numeri sono 0. Invece, quando la sottrazione dà come risultato 0, significa che il minuendo e il sottraendo sono uguali. Moltiplicazione e divisione Nella moltiplicazione basta che lo 0 compaia una sola volta tra i fattori per annullare il prodotto. Lo 0 è quindi un numero che, moltiplicato per qualsiasi numero, dà come risultato se stesso. Per questo lo 0 viene detto elemento assorbente della moltiplicazione. ◗ In generale: ESEMPIO 0, n00n n N. 70 ◗ È necessario significa che se il prodotto è 0, almeno uno dei fattori deve essere 0. È sufficiente significa che se uno dei fattori è 0, anche il prodotto è uguale a 0. 0; 5 4 0 200 0. Nella moltiplicazione vale la legge di annullamento del prodotto: affinché un prodotto sia 0 è necessario e sufficiente che sia 0 almeno uno dei suoi fattori. Nella divisione, quando il dividendo è 0, il quoziente è 0. ESEMPIO 04 ◗ Anche la divisione 0 0 non viene definita. Infatti ogni numero, moltiplicato per 0, dà come risultato 0: la divisione non potrebbe quindi avere un unico risultato. In casi come questo si dice che l’operazione è indeterminata. 07 0 perché 0 4 0. Non è possibile la divisione con il divisore uguale a 0. 6 0 non ha significato. Infatti non è possibile trovare un numero che moltiplicato per 0 dia come risultato 6. ESEMPIO In casi come questo si dice che l’operazione è impossibile. ■ Il numero 1 5. Moltiplicando qualsiasi numero per 1 si ottiene come risultato il numero stesso, indifferentemente quando 1 è il primo fattore o il secondo. Per questo 1 è detto elemento neutro della moltiplicazione. n, Nella divisione, quando il divisore è 1, il quoziente coincide con il dividendo. Se la divisione ha quoziente 1, il dividendo e il divisore sono uguali. ◗ Esempio: 51 15 In generale: n11n n N. ESEMPIO 16 1 16 perché 16 1 8 8 1 perché 1 8 4 16. 8. Bergamini, Trifone, Barozzi © Zanichelli 2011 Algebra, Geometria, Statistica Paragrafo 3. I multipli e i divisori di un numero TEORIA 3. I multipli e i divisori di un numero Un numero naturale è multiplo di un altro se la divisione del primo per il secondo dà come resto 0. Attraverso la moltiplicazione possiamo trovare per ogni numero diverso da 0 infiniti multipli: basta moltiplicare il numero per 0, 1, 2, 3, 4, ... (il numero 0 ha invece come unico multiplo se stesso). ◗ I multipli di 8 sono: 0, 8, 16, 24, 32, 40, ... Per indicarli sinteticamente possiamo scrivere: Un numero naturale diverso da 0 è divisore di un altro numero naturale se la divisione fra quest’ultimo e il numero dato è esatta, cioè se la divisione dà come resto 0. ESEMPIO 6 è divisore di 18, perché 18 6 7 non è divisore di 18, perché 18 7 8 n, n N. I multipli di 2 sono i numeri pari e si indicano con: 3 con resto 0; 2 n, n N. 2 con resto 4. Mentre i multipli di un numero sono infiniti, i suoi divisori sono un numero finito. ESEMPIO I divisori di 40 sono: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40. CRITERI DI DIVISIBILITÀ UN NUMERO È DIVISIBILE PER QUANDO ESEMPIO DI NUMERO DIVISIBILE ESEMPIO DI NUMERO NON DIVISIBILE 2 l’ultima cifra è pari 5 679 254 60 018 841 5 l’ultima cifra è 0 o 5 279 640; 310 065 9 111 008 4 il numero formato dalle ultime due cifre a destra lo è, oppure queste cifre sono 00 295 264; 310 500 917 426 157 275; 98 200 784 040 la somma delle cifre è divisibile per 3 74 391 32 723 (7 4 3 9 1 24 3 8) (3 2 7 2 3 17) la somma delle cifre è divisibile per 9 65 682 sommando le cifre di posto dispari e poi quelle di posto pari, la differenza fra il risultato maggiore e quello minore è 11 oppure un multiplo di 11 6 150 914 25 3 9 11 6 5 (4 9 24 15 747 6 5 2 8 2 27 93 1 5 7 4 7 24 122 333 6) (1 22 Bergamini, Trifone, Barozzi Matematica.azzurro 1 © Zanichelli 2011 Algebra, Geometria, Statistica 0 1) (3 3 8 2) 6 (3 2 1) 2 5 CAPITOLO 1. I NUMERI NATURALI E I NUMERI INTERI TEORIA 4. Le potenze Ci sono moltiplicazioni particolari nelle quali tutti i fattori sono uguali. Per esempio, 2 2 2 2 2 2 2. Per evitare scritture così lunghe è stata introdotta una nuova operazione, la potenza: 2 2 2 2 2 2 2 si scrive 27 (si legge «2 alla settima»). Il numero 2 è la base e il numero 7 è l’esponente della potenza. La base indica quale fattore viene moltiplicato per se stesso, l’esponente indica il numero di fattori uguali. Dunque: ◗ Usando le lettere: an aaa…a n volte se l’esponente è maggiore di 1, la potenza è il prodotto di tanti fattori quanti vengono indicati dall’esponente, tutti uguali alla base. È ragionevole pensare che l’esponente sia maggiore o uguale a 2, per avere almeno una moltiplicazione, ossia due fattori. Tuttavia vogliamo dare un significato anche a potenze con esponente 1 o esponente 0. Per definizione: ◗ 1. Potenze con esponente 0: 20 10 1; 20080 1. ● elevando a 0 un numero naturale diverso da 0 si ottiene 1: a0 1; ● 1 se a 0; elevando a 1 un numero naturale si ottiene il numero stesso: a1 a. 00 non ha significato. Non viene invece definita la potenza con base ed esponente 0: 2. Potenze con esponente 1: 21 11 00 non ha significato. 2; 20081 2008; 1; 01 0. 5. Le espressioni con i numeri naturali Se vogliamo eseguire una sequenza di operazioni con i numeri naturali risolviamo un’espressione. Per esempio, 34 2 52 3 20 22. Le operazioni vanno eseguite con un ordine ben preciso: prima vengono calcolate le potenze, poi le moltiplicazioni e le divisioni, nell’ordine in cui sono scritte, infine le addizioni e le sottrazioni, sempre nell’ordine in cui sono scritte. Ciò significa che alcune operazioni hanno la precedenza rispetto ad altre. Moltiplicazioni e divisioni hanno pari precedenza, così come addizioni e sottrazioni. ESEMPIO ◗ 10 23 è sbagliato! 6 12 3 36 10 23 10 6 16. La moltiplicazione ha priorità sull’addizione e va quindi svolta per prima. Bergamini, Trifone, Barozzi Matematica.azzurro 1 © Zanichelli 2011 Algebra, Geometria, Statistica Paragrafo 5. Le espressioni con i numeri naturali TEORIA Semplificare un’espressione significa sostituirla con una più semplice che abbia lo stesso valore. Semplifichiamo l’espressione 34 ESEMPIO 34 2 52 2 52 20 22. 3 20 : 22 3 Calcoliamo le potenze: 81 2 25 3 20 4 Eseguiamo la moltiplicazione e la divisione: 81 50 3 5 Eseguiamo nell’ordine in cui le incontriamo le addizioni e la sottrazione: 133. ■ Le espressioni con le parentesi A che cosa servono le parentesi in un’espressione? Ad alterare la priorità delle operazioni, cioè a modificare l’ordine con cui devono essere svolte. ◗ Se abbiamo Occorre eseguire prima i calcoli presenti all’interno delle parentesi tonde, poi quelli all’interno delle quadre e infine quelli all’interno delle graffe. eseguiamo prima la potenza: 20 22 20 4 Se abbiamo ESEMPIO {25 5. [152 (20 2)2 (20 2)2 2]} 5 {32 [225 102 2]} 5 {32 25} 5 75 eseguiamo prima la divisione: 35. 102 100. LE ESPRESSIONI E LE LETTERE Con le variabili possiamo scrivere espressioni letterali, per esempio: 2a b 3 a 2. Il simbolo di moltiplicazione fra variabile e numero, o fra variabili, può essere sottinteso. Per esempio, l’espressione precedente può essere scritta: 2a b 3a 2. Possiamo calcolare il valore di un’espressione per particolari valori attribuiti alle lettere. Per esempio, prendendo a 5 e b 10, sostituendo i valori alle lettere, otteniamo per l’espressione precedente: 25 3 52 75. Invece, se: a Quando una variabile compare più volte nella stessa espressione, essa rappresenta sempre lo stesso numero. 10 2eb 3, l’espressione vale: 22 3 3 22 Bergamini, Trifone, Barozzi Matematica.azzurro 1 © Zanichelli 2011 Algebra, Geometria, Statistica 4 3 34 1 12 13. 7 CAPITOLO 1. I NUMERI NATURALI E I NUMERI INTERI TEORIA 6. Le proprietà delle operazioni Le proprietà che ora studieremo vengono dette proprietà formali delle operazioni. Esse valgono indipendentemente dai particolari numeri ai quali scegliamo di applicarle. ■ La proprietà commutativa PROPRIETÀ Proprietà commutativa dell’addizione In un’addizione, se si cambia l’ordine degli addendi, la somma non cambia. a b b a ESEMPIO 5 4 4 5. PROPRIETÀ ◗ La proprietà commutativa non vale né per la sottrazione né per la divisione. Per esempio, 15 3 12, mentre 3 15 non è nemmeno un numero naturale. Proprietà commutativa della moltiplicazione In una moltiplicazione, se si cambia l’ordine dei fattori, il prodotto non cambia. b a b a ESEMPIO 42 2 4. ■ La proprietà associativa PROPRIETÀ Proprietà associativa dell’addizione La somma di tre numeri non cambia se si associano diversamente gli addendi, lasciando invariato il loro ordine. ( ) ( ) ( a b) c a ( b c ) ESEMPIO (3 6) 4 3 (6 4). La proprietà associativa fa sì che, in una sequenza di addizioni, possiamo sostituire a due addendi consecutivi la loro somma: il risultato non cambia. 8 Bergamini, Trifone, Barozzi Matematica.azzurro 1 © Zanichelli 2011 Algebra, Geometria, Statistica Paragrafo 6. Le proprietà delle operazioni ESEMPIO 5 7 3 2 5 10 ◗ Leggendo l’uguaglianza da destra a sinistra, possiamo anche dire che la somma di due o più numeri naturali non cambia se sostituiamo a un suo addendo due numeri naturali che abbiano per somma tale addendo. 2. PROPRIETÀ Proprietà associativa della moltiplicazione ( (a Il prodotto di tre numeri non cambia se si associano diversamente i fattori, lasciando invariato il loro ordine. ) b) c a TEORIA ( (b ) c) ESEMPIO (6 4) 5 6 (4 5). La proprietà associativa fa sì che, in una sequenza di moltiplicazioni, possiamo sostituire a due fattori consecutivi il loro prodotto: il risultato non cambia. ESEMPIO 3725 3 7 10. In una sequenza di addizioni (o moltiplicazioni), applicando le proprietà commutativa e associativa più volte, è sempre possibile spostare in qualunque posizione uno o più addendi (o fattori). ESEMPIO (5 3) 7 (7 3) 5. Infatti, per la proprietà associativa dell’addizione: (5 3) 7 5 (3 ◗ La proprietà associativa non vale né per la sottrazione né per la divisione. Infatti: 7) Per la proprietà commutativa: 5 (7 3) (7 3) ◗ Leggendo l’uguaglianza da destra a sinistra, possiamo anche dire che il prodotto di due o più numeri naturali non cambia se sostituiamo a un suo fattore due numeri naturali che abbiano per prodotto tale fattore. (10 5. 3) 1 (24 4) 2 10 (3 1); 24 (4 2). ■ La proprietà distributiva PROPRIETÀ Proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione Quando si deve moltiplicare un numero per una somma, si può moltiplicare quel numero per ciascun addendo e poi sommare i prodotti ottenuti, e il risultato non cambia. ( a ) (b c )a ◗ Non è valida la proprietà distributiva dell’addizione rispetto alla moltiplicazione. ba c Bergamini, Trifone, Barozzi Matematica.azzurro 1 © Zanichelli 2011 Algebra, Geometria, Statistica 7 (2 5) (7 2) (7 5). Infatti: 7 (2 5) 17; (7 2) (7 5) 108. 9 CAPITOLO 1. I NUMERI NATURALI E I NUMERI INTERI TEORIA ESEMPIO 5 (4 2) 54 5 2. Abbiamo formulato la proprietà in modo che il fattore venga distribuito verso destra. In tal caso si parla di proprietà distributiva a destra. Poiché la moltiplicazione è commutativa, la proprietà distributiva vale anche a sinistra. ESEMPIO (3 ◗ In simboli: ab ba ac ca a (b c); (b c) a. 4) 5 35 4 5. Leggendo le uguaglianze dei due esempi precedenti da destra verso sinistra, si può ricavare la regola del raccoglimento a fattore comune: quando in una somma tutti gli addendi presentano un fattore in comune, esso può essere raccolto moltiplicandolo per la somma degli altri termini. ESEMPIO 98 ◗ Proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alla sottrazione a (b c) con b c. ab 92 9 (8 2). La proprietà distributiva della moltiplicazione e il raccoglimento a fattore comune valgono anche rispetto alla sottrazione. a c, PROPRIETÀ Proprietà distributiva della divisione rispetto all’addizione ◗ La proprietà distributiva della divisione è vera anche rispetto alla sottrazione. Per esempio: (20 4) 2 20 2 4 2. ◗ La proprietà vale solo a sinistra (la divisione non è commutativa). Quando si deve dividere una somma per un numero, si può dividere ciascun addendo per quel numero e poi sommare i quozienti ottenuti, e il risultato non cambia. ESEMPIO (20 4) 2 20 2 4 2. La proprietà può essere espressa in lettere: (a b) c ac b c, con c 0ea b, a, b multipli di c. ■ La proprietà invariantiva PROPRIETÀ Proprietà invariantiva della sottrazione In una sottrazione, se si aggiunge o si toglie uno stesso numero sia al minuendo sia al sottraendo, la differenza non cambia. 10 Bergamini, Trifone, Barozzi Matematica.azzurro 1 © Zanichelli 2011 Algebra, Geometria, Statistica Paragrafo 7. Le proprietà delle potenze TEORIA In lettere: a b (a c) (b c), con a b; a b (a c) (b c), con a b c. ESEMPIO 15 8 (15 2) (8 2). PROPRIETÀ Proprietà invariantiva della divisione In una divisione, se si moltiplica o divide per uno stesso numero, diverso da 0, sia il dividendo sia il divisore, il quoziente non cambia. ESEMPIO 60 15 (60 2) (15 2); 60 15 ◗ La proprietà invariantiva non vale né per l’addizione né per la moltiplicazione. Infatti, per esempio: (60 3) (15 3). In lettere: ab ab (a n) (b n), (a n) (b n), ◗ Se dividiamo il dividendo e il divisore per uno stesso numero, questo deve essere un divisore di entrambi. 10 con b 0, n 0 e a multiplo di b; con b 0, n 0 e a multiplo di b e a, b multipli di n. 2 15 9 (10 3) (2 3); (15 3) (9 3). 7. Le proprietà delle potenze ■ Il prodotto di potenze di uguale base BRAVI SI DIVENTA Videolezione Consideriamo la seguente moltiplicazione: V01a 42 43. ◗ Poiché 00 non ha significato, in tutte le proprietà delle potenze che esaminiamo, l’esponente e la base di una stessa potenza non possono essere contemporaneamente nulli. Applichiamo la definizione di potenza, 42 43 44444 2 volte ossia: 42 43 44444 3 volte 42 45, 5 volte 3 . PROPRIETÀ Prima proprietà delle potenze Il prodotto di potenze di uguale base è una potenza con la stessa base avente come esponente la somma degli esponenti. am an am n Bergamini, Trifone, Barozzi Matematica.azzurro 1 © Zanichelli 2011 Algebra, Geometria, Statistica ◗ La definizione data per le potenze con esponente 1 o 0 è tale da verificare la prima proprietà. 64 60 64 60 64 1 64; 64 0 64. 11 CAPITOLO 1. I NUMERI NATURALI E I NUMERI INTERI TEORIA ■ Il quoziente di potenze di uguale base BRAVI SI DIVENTA Videolezione V01b Consideriamo la divisione 47 43. Poiché la divisione è l’operazione inversa della moltiplicazione, stiamo cercando quel numero che, moltiplicato per 43, dia come prodotto 47. ……? … 4 4 4… 4444444 7 volte 3 volte 4444444 4444444 7 volte (7 3) volte 3 volte Il numero cercato è 44; quindi possiamo scrivere: 47 43 47 3 . PROPRIETÀ ◗ Se gli esponenti sono uguali, si ha, per esempio, 47 47 47 7 40 1, e in generale: am a m am m a0 BRAVI SI DIVENTA Videolezione V01c 1. Seconda proprietà delle potenze Il quoziente di potenze di uguale base (con l’esponente della seconda minore o uguale all’esponente della prima e con la base diversa da 0) è una potenza con la stessa base che ha come esponente la differenza degli esponenti. am an am n con m n, a 0 ■ La potenza di una potenza Consideriamo 42 come base di un’altra potenza con esponente 3: (42)3. Per definizione di potenza: (42)3 42 42 42. Per la prima proprietà delle potenze: 42 42 42 42 2 2 42 3. Quindi: (42)3 42 3. PROPRIETÀ Terza proprietà delle potenze La potenza di una potenza è una potenza che ha la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti. 12 ( ) n ( am ) am n Bergamini, Trifone, Barozzi Matematica.azzurro 1 © Zanichelli 2011 Paragrafo 7. Le proprietà delle potenze ■ Il prodotto di potenze di uguale esponente TEORIA BRAVI SI DIVENTA Dato un prodotto fra potenze con lo stesso esponente, per esempio 42 62, cerchiamo di scriverlo in altro modo, utilizzando proprietà note. Videolezione V01d Per la definizione di potenza: 42 62 4 4 6 6. Applichiamo le proprietà commutativa e associativa della moltiplicazione: 4466 (4 6) (4 6). Per la definizione di potenza: (4 6)2. (4 6) (4 6) Quindi: 42 62 (4 6)2. PROPRIETÀ Quarta proprietà delle potenze Il prodotto di potenze di uguale esponente è una potenza che ha per base il prodotto delle basi e per esponente lo stesso esponente. an ( ) bn ( a b) n ■ Il quoziente di potenze di uguale esponente BRAVI SI DIVENTA Consideriamo un quoziente fra potenze con lo stesso esponente: Videolezione V01e 122 42. Poiché la divisione è l’operazione inversa della moltiplicazione, stiamo cercando quel numero che, moltiplicato per 42, dia come prodotto 122. Mostriamo che quel numero è (12 4)2, cioè che: (12 4)2 42 122. Per la quarta proprietà delle potenze: (12 4)2 42 [(12 4) 4]2 122. Quindi: 122 42 (12 4)2. PROPRIETÀ Quinta proprietà delle potenze Il quoziente di potenze di uguale esponente è una potenza che ha per base il quoziente delle basi e per esponente lo stesso esponente. ( ) a bn ( a b ) n n con b 0 Bergamini, Trifone, Barozzi Matematica.azzurro 1 © Zanichelli 2011 13
