Massimo Bergamini
Anna Trifone Graziella Barozzi
1
Matematica.azzurro
Algebra, Geometria, Statistica
Massimo Bergamini
Anna Trifone Graziella Barozzi
Matematica.azzurro
Algebra, Geometria, Statistica
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1
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22 aprile 1941 n. 633. Tali fotocopie possono essere effettuate negli esercizi commerciali
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Spiegazione filmata su Le percentuali, codice V05a.
Per le riproduzioni ad uso non personale (ad esempio: professionale, economico, commerciale,
strumenti di studio collettivi, come dispense e simili) l’editore potrà concedere a pagamento
l’autorizzazione a riprodurre un numero di pagine non superiore al 15% delle pagine
del presente volume. Le richieste per tale tipo di riproduzione vanno inoltrate a
Associazione Italiana per i Diritti di Riproduzione
delle Opere dell’ingegno (AIDRO)
Corso di Porta Romana, n. 108
20122 Milano
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La fotocopia dei soli esemplari esistenti nelle biblioteche di tali opere è consentita, oltre il limite del 15%,
non essendo concorrenziale all’opera.
Non possono considerarsi rare le opere di cui esiste, nel catalogo dell’editore, una successiva edizione,
le opere presenti in cataloghi di altri editori o le opere antologiche. Nei contratti
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).disponibile anche
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Realizzazione editoriale:
– Coordinamento redazionale: Marinella Lombardi
– Redazione: Valentina Franceschi
– Collaborazione redazionale: Massimo Armenzoni, Davide Bergamini,
Marco Giusiano
– Indice analitico: Massimo Armenzoni, Parma
– Segreteria di redazione: Deborah Lorenzini
– Progetto grafico: Byblos, Faenza
– Progetto grafico delle pagine I-XVI, delle aperture di capitolo e delle schede
Problemi, ragionamenti, deduzioni: Roberto Marchetti
– Composizione e impaginazione: Litoincisa, Bologna
– Disegni: Graffito, Cusano Milanino
– Ricerca iconografica: Raffaella Agostini, Alessandra Giannini, Giulia Laffi
Contributi:
– Stesura del Laboratorio di matematica: Antonio Rotteglia
– Revisioni dei testi e degli esercizi: Luisa Francia, Francesca Incensi,
Elisa Menozzi, Monica Prandini, Elisa Quartieri, Ambra Tinti, Alessandro Zagnoli
– Stesura di schede: Chiara Ballarotti (Insiemi infiniti, Matematica e democrazia,
Triangoli sulle porte, Geometria per gli occhi), Silvia Benvenuti (I numeri
nel mondo, 1870: nasce la bicicletta!, Quanto distano le stelle?),
Davide Bergamini (Numeri e musica), Andrea Betti (Cicale e numeri primi,
Acqua ed energia), Daniela Cipolloni (I gruppi sanguigni, Il padre dei polinomi,
Partite di calcio, Senza bussola, Il volo delle falene), Robert Ghattas
(Calcolatrici), Daniele Gouthier (Un po’ d’equilibrio), Chiara Lugli
(5, 6, 7,... miliardi), Maria Chiara Manzini (La falsa posizione), Ilaria Pellati
(Il fumo fa male?)
– Revisione di schede: Ambra Tinti
– Risoluzione degli esercizi: Francesca Anna Riccio, Angela Capucci,
Elisa Capucci, Elisa Garagnani, Daniela Giorgi, Erika Giorgi, Cristina Imperato,
Chiara Lugli, Elisa Targa, Ambra Tinti
– Stesura e revisione degli esercizi di Matematica per il cittadino: Roberto Ceriani,
Andrea Betti, Daniela Boni, Maria Luisa Pagani
– Stesura e revisione degli esercizi in lingua inglese: Andrea Betti
– Revisione linguistica degli esercizi in inglese: Alexander Synge
– Rilettura dei testi: Marco Giusiano, Francesca Anna Riccio
Il DVD-ROM è stato realizzato con la collaborazione di:
– Elisa Garagnani (esercizi);
– Luca Malagoli (revisione);
– Valentina Franceschi e Giulia Laffi (redazione);
– Priscilla Labardi, Piero Chessa (voci).
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– Progettazione esecutiva e sviluppo software: Infmedia (www.infmedia.it)
– Video realizzati da PèM s.r.l. (www.pemproduzioni.com)
– Immagini © Shutterstock
Copertina:
– Progetto grafico: Miguel Sal & C., Bologna
– Realizzazione: Roberto Marchetti
– Immagine di copertina: Artwork Miguel Sal & C., Bologna
Prima edizione: gennaio 2011
L’impegno a mantenere invariato il contenuto di questo volume per
un quinquennio (art. 5 legge n. 169/2008) è comunicato nel catalogo
Zanichelli, disponibile anche online sul sito www.zanichelli.it, ai sensi
del DM 41 dell’8 aprile 2009, All. 1/B.
File per diversamente abili
L’editore mette a disposizione degli studenti non vedenti,
ipovedenti, disabili motori o con disturbi specifici
di apprendimento i file pdf in cui sono memorizzate le pagine
di questo libro. Il formato del file permette l’ingrandimento
dei caratteri del testo e la lettura mediante software screen reader.
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Excel è un marchio registrato della Microsoft Corp
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L’intera opera è frutto del lavoro comune di Massimo Bergamini e Anna Trifone
Il format Bravi si diventa, inclusi i video e le spiegazioni teoriche,
è un’opera collettiva di proprietà di Zanichelli editore.
Hanno collaborato alla realizzazione di questo volume Davide Bergamini
e Enrico Bergamini.
Questo libro è stampato su carta che rispetta le foreste.
www.zanichelli.it/la-casa-editrice/carta-e-ambiente/
INDICE
Strette di mano
Risolvere problemi
Calcolare
Dimostrare
Ricercare
Imparare a imparare
RISORSE ONLINE
Esercitazioni guidate su
Motori di ricerca,
Elaborazione di testi,
Presentazioni multimediali,
Introduzione a GeoGebra,
Introduzione a Wiris.
…perché le cicale preferiscono i numeri primi?
IX
X
XII
XIII
XIV
XVI
CAPITOLO
1
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
20 esercizi in più
86 esercizi di recupero
30 test interattivi
20 esercitazioni di Laboratorio
con Derive o Wiris
12 esercitazioni di Laboratorio
con Excel
1 scheda di lavoro su Problemi,
ragionamenti, deduzioni
17 Mettiti alla prova
12 Test your skills
tabella con le cifre nel mondo
ESERCIZI
I numeri naturali
e i numeri interi
fi La risposta a pag. 29
RISORSE ONLINE
TEORIA
Che cosa sono i numeri naturali
Le quattro operazioni
I multipli e i divisori di un numero
Le potenze
Le espressioni con i numeri naturali
Le proprietà delle operazioni
Le proprietà delle potenze
Il massimo comune divisore e il minimo comune multiplo
PROBLEMI, RAGIONAMENTI, DEDUZIONI Ma quanti sono
i numeri primi?
9. I sistemi di numerazione
ESPLORAZIONE I numeri maya
10. Che cosa sono i numeri interi
11. Le operazioni nell’insieme dei numeri interi
ESPLORAZIONE I quadrati magici
12. Le leggi di monotonia
■Laboratorio di matematica I numeri naturali con Derive
■Matematica per il cittadino Cassa comune
■Verifiche di fine capitolo
BRAVI SI DIVENTA
10 videolezioni
3 esercizi interattivi
Bergamini, Trifone, Barozzi Matematica.azzurro 1 © Zanichelli 2011 Algebra, Geometria, Statistica
1
2
5
6
6
8
11
14
16
17
19
19
22
23
27
33
34
35
36
37
44
46
49
51
53
54
66
68
69
70
III
www.online.zanichelli.it/bergaminibiennio
TEORIA
…perché nella bicicletta si
usano i rapporti?
CAPITOLO
25 esercizi in più
34 esercizi di recupero
30 test interattivi
14 esercitazioni di Laboratorio
con Excel
1 scheda di lavoro su Problemi,
ragionamenti, deduzioni
4 Mettiti alla prova
6 Test your skills
BRAVI SI DIVENTA
2
I numeri razionali
fi La risposta a pag. 98
RISORSE ONLINE
1.
2.
3.
4.
5.
Dalle frazioni ai numeri razionali
Il confronto tra numeri razionali
Le operazioni in Q
Le potenze con esponente intero negativo
Le percentuali
ESPLORAZIONE Numeri e musica
6. Le frazioni e le proporzioni
PROBLEMI, RAGIONAMENTI, DEDUZIONI Il problema delle parti
7. I numeri razionali e i numeri decimali
8. Il calcolo approssimato
■Laboratorio di matematica I numeri razionali con Excel
■Matematica per il cittadino La ricetta
■Verifiche di fine capitolo
75
81
83
87
88
89
89
91
91
95
fi La risposta a pag. 172
RISORSE ONLINE
10 esercizi in più
17 esercizi di recupero
30 test interattivi
17 esercitazioni di Laboratorio
con Derive o Wiris sugli insiemi
34 esercitazioni di Laboratorio
con Derive o Wiris sulla logica
1 scheda di lavoro su Problemi,
ragionamenti, deduzioni
18 Mettiti alla prova
14 Test your skills
teoria e 15 esercizi su I circuiti
elettrici e i connettivi logici
teoria e 14 esercizi su
I sillogismi
IV
CAPITOLO
101
104
106
124
127
131
133
137
139
140
141
8 videolezioni
4 esercizi interattivi
…esistono donatori universali? E riceventi universali?
ESERCIZI
3
Gli insiemi e la logica
1. Che cos’è un insieme
2. Le rappresentazioni di un insieme
3. I sottoinsiemi
ESPLORAZIONE Insiemi infiniti
4. Le operazioni con gli insiemi
5. L’insieme delle parti e la partizione di un insieme
6. Le proposizioni logiche
7. I connettivi logici e le espressioni
PROBLEMI, RAGIONAMENTI, DEDUZIONI Cavalieri e furfanti
8. Forme di ragionamento valide
9. La logica e gli insiemi
10. I quantificatori
■Laboratorio di matematica Gli insiemi con Wiris
■Matematica per il cittadino Partita di pallone
■Verifiche di fine capitolo
Bergamini, Trifone, Barozzi Matematica.azzurro 1 © Zanichelli 2011 Algebra, Geometria, Statistica
147
149
150
152
153
159
160
161
163
167
169
171
175
176
179
180
187
190
191
199
200
202
204
205
206
Indice
…di quanto si deve aumentare il diametro di una conduttura per dimezzare il tempo
di svuotamento di un certo
volume d’acqua?
CAPITOLO
TEORIA
ESERCIZI
211
214
218
219
220
225
226
227
231
235
238
242
243
247
253
4
Le relazioni e le funzioni
fi La risposta a pag. 232
1.
2.
3.
4.
5.
6.
RISORSE ONLINE
37 esercizi in più
13 esercizi di recupero
30 test interattivi
13 esercitazioni di Laboratorio
con Excel
1 scheda di lavoro su Problemi,
ragionamenti, deduzioni
7 Mettiti alla prova
6 Test your skills
Le relazioni binarie
Le relazioni definite in un insieme e le loro proprietà
Le relazioni di equivalenza
Le relazioni d’ordine
Le funzioni
Le funzioni numeriche
PROBLEMI, RAGIONAMENTI, DEDUZIONI Alberi in più, alberi in meno
7. Particolari funzioni numeriche
ESPLORAZIONE 5, 6, 7, … miliardi
■Laboratorio di matematica Le funzioni numeriche
con Excel
■Matematica per il cittadino Albero genealogico
■Verifiche di fine capitolo
…come si può calcolare a
mente 632?
CAPITOLO
263
264
265
5
I monomi, i polinomi,
le frazioni algebriche
fi La risposta a pag. 296
RISORSE ONLINE
95 esercizi in più
97 esercizi di recupero
30 test interattivi
7 esercitazioni di Laboratorio
con Derive o Wiris
11 esercitazioni di Laboratorio
con Excel
1 scheda di lavoro su Problemi,
ragionamenti, deduzioni
8 Mettiti alla prova
8 Test your skills
1. Che cosa sono i monomi
2. Le operazioni con i monomi
3. Massimo comune divisore e minimo comune multiplo
fra monomi
4. Che cosa sono i polinomi
5. Le operazioni con i polinomi
PROBLEMI, RAGIONAMENTI, DEDUZIONI Un campo da rifare
6. I prodotti notevoli
ESPLORAZIONE Il padre dei polinomi
7. Le funzioni polinomiali
8. La scomposizione in fattori dei polinomi
9. Le frazioni algebriche
■Laboratorio di matematica I monomi con Wiris
■Matematica per il cittadino Taxi a New York
BRAVI SI DIVENTA
23 videolezioni
11 esercizi interattivi
258
■
Verifiche di fine capitolo
Bergamini, Trifone, Barozzi Matematica.azzurro 1 © Zanichelli 2011 Algebra, Geometria, Statistica
271
273
300
301
276
277
280
282
282
286
287
289
292
323
325
330
342
353
356
370
379
380
381
V
www.online.zanichelli.it/bergaminibiennio
TEORIA
…hai una bilancia e due pesi,
da 10 g e da 40 g. Come puoi
separare con tre sole pesate
1800 g di mais in due mucchi,
da 400 g e da 1400 g?
CAPITOLO
ESERCIZI
6
Le equazioni lineari
fi La risposta a pag. 406
RISORSE ONLINE
36 esercizi in più
55 esercizi di recupero
30 test interattivi
13 esercitazioni di Laboratorio
con Excel
2 schede di lavoro su Problemi,
ragionamenti, deduzioni
5 Mettiti alla prova
3 Test your skills
BRAVI SI DIVENTA
1.
2.
3.
4.
Le identità
Le equazioni
I princìpi di equivalenza
Le equazioni numeriche intere
389
390
393
397
PROBLEMI, RAGIONAMENTI, DEDUZIONI Il principe e il messaggero 398
ESPLORAZIONE La falsa posizione400
5. Le equazioni fratte401
6. Le equazioni letterali402
7. Equazioni e problemi403
PROBLEMI, RAGIONAMENTI, DEDUZIONI Occhio al trucco!404
■Laboratorio di matematica Le equazioni lineari con Excel
■Matematica per il cittadino Consumo dell’automobile
■Verifiche di fine capitolo
409
411
414
418
426
429
436
448
449
450
7 videolezioni
3 esercizi interattivi
…è vero che è più facile vincere una partita in casa che in
trasferta?
CAPITOLO
Introduzione alla statistica
fi La risposta a pag. 20
RISORSE ONLINE
13 esercizi in più
26 esercizi di recupero
30 test interattivi
13 esercitazioni di Laboratorio
con Excel
1 scheda di lavoro su Problemi,
ragionamenti, deduzioni
8 Mettiti alla prova
9 Test your skills
VI
1. I dati statistici
2. La rappresentazione grafica dei dati
ESPLORAZIONE Il fumo fa male?
3. Gli indici di posizione centrale
PROBLEMI, RAGIONAMENTI, DEDUZIONI Tasse
4. Gli indici di variabilità
■Laboratorio di matematica La statistica con Excel
■Matematica per il cittadino I furti
■Verifiche di fine capitolo
Bergamini, Trifone, Barozzi Matematica.azzurro 1 © Zanichelli 2011 Algebra, Geometria, Statistica
Indice
…riusciresti a trovare il Nord
usando solo un comune orologio da polso e il Sole?
CAPITOLO
TEORIA
ESERCIZI
G1
G4
G4
G5
G6
G12
G22
G1
La geometria del piano
fi La risposta a pag. G19
RISORSE ONLINE
14 esercizi in più
16 esercizi di recupero
20 test interattivi
12 esercitazioni di Laboratorio
con Cabri o GeoGebra
1 scheda di lavoro su Problemi,
ragionamenti, deduzioni
5 Mettiti alla prova
5 Test your skills
…come si fa a calcolare a
quale distanza si trova una
stella?
1. Oggetti geometrici e proprietà
ESPLORAZIONE Matematica e democrazia
2. Appartenenza e ordine
PROBLEMI, RAGIONAMENTI, DEDUZIONI Mettere in bolla
3. Gli enti fondamentali
4. Le operazioni con i segmenti e con gli angoli
Figure e dimostrazioni
■Laboratorio di matematica La geometria del piano
con GeoGebra
■Matematica per il cittadino Taxi in città
■Verifiche di fine capitolo
CAPITOLO
G23
G25
G28
G33
G40
G41
G42
G2
I triangoli
fi La risposta a pag. G56
RISORSE ONLINE
20 esercizi in più
15 esercizi di recupero
20 test interattivi
11 esercitazioni di Laboratorio
con Cabri o GeoGebra
1 scheda di lavoro su Problemi,
ragionamenti, deduzioni
6 Mettiti alla prova
4 Test your skills
1. Considerazioni generali sui triangoli
ESPLORAZIONE Triangoli sulle porte
2. I criteri di congruenza dei triangoli
PROBLEMI, RAGIONAMENTI, DEDUZIONI Triangoli e SMS
3. Le proprietà del triangolo isoscele
4. Le disuguaglianze nei triangoli
5. Che cosa sono i poligoni
■Laboratorio di matematica I triangoli con Cabri
■Matematica per il cittadino La forza del triangolo
■Verifiche di fine capitolo
Bergamini, Trifone, Barozzi Matematica.azzurro 1 © Zanichelli 2011 Algebra, Geometria, Statistica
G45
G48
G49
G50
G50
G53
G55
G59
G61
G65
G70
G74
G75
G76
G77
VII
www.online.zanichelli.it/bergaminibiennio
TEORIA
…perché le falene sono attratte dalla luce artificiale?
CAPITOLO
32 esercizi in più
27 esercizi di recupero
20 test interattivi
38 esercitazioni di Laboratorio
con Cabri o GeoGebra
1 scheda di lavoro su Problemi,
ragionamenti, deduzioni
20 Mettiti alla prova
8 Test your skills
G3
Perpendicolari e parallele.
Parallelogrammi e trapezi
fi La risposta a pag. G106
RISORSE ONLINE
1. Le rette perpendicolariG81
2. Le rette paralleleG83
ESPLORAZIONE Geometria per gli occhiG89
3. Le proprietà degli angoli dei poligoniG90
4. I criteri di congruenza dei triangoli rettangoliG92
5. Il parallelogrammaG93
6. Il rettangoloG96
7. Il romboG97
8. Il quadratoG98
9. Il trapezioG99
10. Le corrispondenze in un fascio di rette paralleleG101
PROBLEMI, RAGIONAMENTI, DEDUZIONI Il metodo del falegname G103
■Laboratorio di matematica I parallelogrammi e i trapezi
con GeoGebra
■Matematica per il cittadino Lavoro d’équipe
■Verifiche di fine capitolo
G111
G113
G118
G123
G126
G128
G128
G130
G131
G133
G137
G138
G139
Indice analitico
VIII
ESERCIZI
Bergamini, Trifone, Barozzi Matematica.azzurro 1 © Zanichelli 2011 Algebra, Geometria, Statistica
I1
Strette di mano
Stringersi la mano serve
per presentarsi
e anche per dimostrare
la propria amicizia.
Nelle prossime pagine
ti proponiamo occasioni per stringere
la mano ai tuoi compagni
e all’insegnante che ti seguirà, oltre
che a noi autori del libro.
È un modo per conoscerci e riflettere
su cosa pensiamo della matematica, su
cosa sappiamo e su cosa studieremo.
È anche un modo per andare alla
scoperta del libro, capire che cosa
offre e come utilizzarlo al meglio.
Iniziamo con un problema in tema!
Quante strette di mano diverse si possono scambiare gli studenti
di una classe?
Naturalmente stiamo pensando che tutti gli studenti si stringano la mano e ogni coppia di studenti
se la stringa una volta sola.
Prima di leggere la soluzione che proponiamo nelle righe seguenti, chiudi il libro e prova a cercarne
una insieme ai tuoi compagni, magari cogliendo l’occasione per stringere loro la mano davvero!
Soluzione
Il numero di strette di mano varia in base al numero dei componenti della classe
o, più in generale, del gruppo di persone che le stringono.
Per cercare la soluzione generale, concentriamoci prima su un esempio con un
numero ridotto di persone in modo da poter costruire uno schema grafico.
Nello schema della figura abbiamo pensato a 5 ragazzi.
Notiamo che ogni ragazzo stringe la mano ai 4 rimanenti; quindi, essendo i ragazzi 5, possiamo pensare a 5 4 strette di mano.
?
Ma in questo modo abbiamo contato ogni stretta di mano 2 volte, corrispondenti alle 2 punte di freccia che ci sono nello schema per ogni linea. Le punte
sono 20, le linee 10.
54
—Quindi le strette di mano sono: —— 10 .
2
Pensiamo ora a n persone che si stringono la mano (con n indichiamo un numero
generico). Il ragionamento è del tutto simile a quello precedente: ognuno stringe
la mano a n − 1 persone.
n (n − 1)
—— —Le strette di mano sono quindi: —— — —
2
Allora, quante strette di mano sono possibili nella tua classe?
Bergamini, Trifone, Barozzi Matematica.azzurro 1 © Zanichelli 2011 Algebra, Geometria, Statistica
IX
Risolvere problemi
«I«Il prezzo scontato di un
cocomputer è di 400 euro.
Sapendo che lo sconto è statoSa
del 25%, posso affermare chede
prima dello sconto il computerpr
costava 500 euro.»co
i25% d
sconto
400
euro!
È giusto questo ragionamento?g
■
Prima di risdi rispondere
PERCENTUALI CH INGANNANOCHE
«Sono soddisfatto delle azioni che ho comprato. In questo giornale, per ogni
pemese, è riportata la percentuale di aumento o
diminuzione del valore rispetto all’inizio del mes È vero che in un mese le azioni hanno perso il
40%mese.
del loro valore, ma il mese dopo hanno guadagnato il 50%. Quindi in due
mesi
il loro valore
aumentato del 10%. Non male!»
È giusto
questoèragionamento?
Supponiamo che all’inizio del primo mese un’azione avesse valore 100.
Dopo un mese il suo valore è diminuito del 40% e quindi è sceso a 60.
Alla fine del secondo mese si è avuto un aumento del 50% rispetto al valore di inizio mese, quindi un aumento di:
50
—— 60 30.—
100
ALLA SCOPERTA DEL LIBRO
Usa l’indice per cercare il
paragrafo della teoria sulle
percentuali. In corrispondenza c’è anche un paragrafo con esercizi guida ed
esercizi.
Il valore finale è quindi: 60 30 90.
Rispetto a due mesi prima, il valore è calato del 10% e non aumentato del
10%!
Come vedi, con le percentuali è molto importante fare attenzione a quale
quantità si riferiscono.
ALLA SCOPERTA DEL LIBRO
UP TO YOU
Trovi due problemi sulle
percentuali anche nella sezione Test your skills degli
esercizi del capitolo 1.
«Qualcuno dice che sto cercando di guadagnare troppo. È falso! L’anno scorso guadagnavo il 20% rispetto al prezzo dei prodotti che vendevo, quest’anno il 22%. Un guadagno di appena il 2% in più: non è poi tanto!»
È giusto questo ragionamento?
?
Ora risolvi il problema iniziale
Nel sito:
Scheda di lavoro
Per approfondire
Sconti su sconti
«Il supermercato dove faccio spese ha molti prodotti in offerta “Prendi due, paghi uno”. In più, alla cassa, viene dato un buono pari al 20% dell’importo pagato, da utilizzare in una spesa successiva. Se compero soltanto prodotti in offerta, è come se avessi lo sconto del 70%.»
È giusto questo ragionamento?
X
Bergamini, Trifone, Barozzi Matematica.azzurro 1 © Zanichelli 2011 Algebra, Geometria, Statistica
A quale velocità ci muoviamo
con la Terra intorno al Sole?
■
Prima di rispondere
QUARANTA ALL’ORA
Un ciclista ha percorso 50 km di circuito pianeggiante mantenendo una
velocità di 40 km/h.
Quanto tempo ha impiegato?
Un problema presenta, in genere, una situazione che contiene dati e richieste. Per risolverlo è necessario trovare come le richieste sono legate ai dati.
I dati del nostro problema sono lo spazio percorso (50 km) e la velocità
costante mantenuta dal ciclista (40 km/h).
La relazione che lega fra loro dati e richieste afferma che lo spazio s percorso in un tempo t da un corpo che si muove a velocità costante v è dato
dal prodotto fra la velocità e il tempo. In simboli: s v t. Quindi, nel nostro caso, abbiamo l’equazione 50 40 t.
Ci chiediamo qual è quel numero t che moltiplicato per 40 dà 50.
Per la definizione di quoziente di due numeri, ciò equivale a dire che
t
ALLA SCOPERTA DEL LIBRO
C’è un sottoparagrafo intitolato «Che cos’è un’equazione». Cerca «equazione»
con l’indice analitico.
50
5
1,25 ore, ossia 1 ora e 15 minuti.
———
——
40
4
UP TO YOU
Se un ciclista percorre 180 km in 5 ore, qual è la sua velocità media?
?
Ora risolvi il problema iniziale
Nel sito:
Esercitazione guidata su Motori di ricerca
Esercitazione guidata su Elaborazione di testi
In dieci righe
Foreste di carta
Riciclare la carta è importante per ridurre la velocità della deforestazione.
Quanti fogli di carta si ricavano da un albero?
Per rispondere alla domanda fai una ricerca in Internet, poi realizza con il
computer una sintetica relazione che spieghi come si possa calcolare una
stima del numero di fogli formato A4 ricavabili da un pino di circa 10-15
metri. Dai anche informazioni relative alla deforestazione e ai suoi effetti.
Cerca nel web: fogli, carta, albero,
deforestazione, effetti.
Bergamini, Trifone, Barozzi Matematica.azzurro 1 © Zanichelli 2011 Algebra, Geometria, Statistica
ALLA SCOPERTA DEL LIBRO
Elaborare informazioni e
sintetizzare è un tipo di
esercizio che spesso ti proporremo all’interno delle
Esplorazioni.
XI
Calcolare
Come si può calcolare a mente,
con rapidità, 29 8?
■
Prima di rispondere
CALCOLI E PROPRIETÀ DELLE OPERAZIONI
Come si calcola a mente 42 6?
Per eseguire mentalmente moltiplicazioni fra numeri interi, è importante
conoscere, oltre alle tabelline, la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione. Questa afferma: quando si deve moltiplicare
un numero per una somma, si può moltiplicare quel numero per ciascun
addendo della somma e poi sommare i prodotti ottenuti, e il risultato non
cambia.
Con le lettere: a (b c) a b a c.
Per esempio:5 (2 3) 5 2 5 3 10 15 25.
Utilizziamo questa proprietà per calcolare: 42 6.
Consideriamo 42 come 40 2:42 6 (40 2) 6
Applichiamo la proprietà distributiva
della moltiplicazione rispetto all’addizione: 42 6 40 6 2 6.
Eseguiamo le moltiplicazioni:42 6 240 12.
Eseguiamo l’addizione:42 6 252.
ALLA SCOPERTA DEL LIBRO
Trovi la proprietà distributiva della moltiplicazione
rispetto all’addizione, per
esempio, nella Teoria in
sintesi del primo capitolo.
UP TO YOU
ALLA SCOPERTA DEL LIBRO
1. Esegui mentalmente le seguenti moltiplicazioni:
a) 67 8; b) 123 20; c) 12 23.
Giustificale mediante la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione e quella associativa della moltiplicazione.
2. La proprietà distributiva della moltiplicazione vale anche rispetto alla
sottrazione. Applicala per calcolare mentalmente:
a) 28 3; b) 190 4; c) 15 28.
Spiega i tuoi passaggi.
La proprietà distributiva
della moltiplicazione rispetto alla sottrazione si
trova in una nota nel colonnino della teoria del capitolo 1. Anche nel colonnino ci sono informazioni
importanti!
?
Ora rispondi alla domanda iniziale
Nel sito:
Scheda di lavoro
Per approfondire
Uno strano calcolo
Per calcolare 43 47 procediamo come nella figura:
al 4 di 47 aggiungiamo 1:4 1 5;
moltiplichiamo il 4 di 43 con il 5 ottenuto: 4 520;
moltiplichiamo il 3 di 43 con il 7 di 47:3 721;
il risultato è:2021.
•
43 • 47 = 2021
+1
5
•
Giustifica il metodo usato, mediante le proprietà delle operazioni.
Ci sono delle condizioni che ci dicono rapidamente quando possiamo applicare questo metodo?
XII
Bergamini, Trifone, Barozzi Matematica.azzurro 1 © Zanichelli 2011 Algebra, Geometria, Statistica
Dimostrare
Nel trapezio ABCD della figura il punto P è
tale che i segmenti DP e CP sono congruenti.
ˆˆ
Come sono gli angoli APD e BPC? Perché?
■
Prima di rispondere
?
A
?
P
B
?
ALLA SCOPERTA DEL LIBRO
E
?
A
D
C
Che cosa possiamo dire dei segmenti DE e EB? Perché?
Se osservi con attenzione la figura, forse puoi giungere alla conclusione
che i segmenti DE ed EB sono congruenti. Per conferma potresti provare
a misurarli: se la loro misura è uguale, allora i segmenti sono congruenti.
Tuttavia, queste prove e osservazioni non consentono di essere sicuri che
la congruenza dei segmenti continui a essere vera per tutti i triangoli ABC
che è possibile considerare, né consentono di capire perché la proprietà è
sempre vera. Per soddisfare queste due esigenze serve una dimostrazione.
Dimostriamo che DE ed EB sono congruenti utilizzando queste proprietà:
a) Se in un triangolo due angoli sono congruenti, allora i due lati del
triangolo che i due angoli non hanno in comune sono congruenti (il
triangolo è isoscele);
b) Se due rette sono parallele, tagliate da una trasversale formano angoli
alterni interni congruenti.
c) Se x è congruente a y e y è congruente a z, allora x è congruente a z
(proprietà transitiva della congruenza).
ˆ
Ipotesi 1. BD è bisettrice di ABC;Tesi ED e BE sono congruenti.
2. DE è parallela a BC.
?
C
B
LA BISETTRICE E LA PARALLELA
In un triangolo qualsiasi ABC, chiamiamo D il punto di incontro tra la bisettrice dell’angolo in B e il
lato AC. Da D tracciamo la retta parallela al lato BC
e chiamiamo E il suo punto di incontro con AB.
D
Dimostrazione
ˆˆ
L’angolo EBD è congruente a DBC, perché, per ipotesi, BD è bisettrice
ˆ
dell’angolo ABC.
ˆˆ
Ma DBC è congruente a BDE, perché angoli alterni interni formati dalle
parallele ED e BC tagliate dalla trasversale BD (proprietà b).
ˆˆ
Quindi anche EBD è congruente a BDE per la proprietà transitiva della
congruenza
UP TO YOU(proprietà c).
B
C
Allora, per la proprietà a il triangolo EBD è isoscele e BE è congruente a ED.
?
Nel trapezio di basi AD e BC della figura, i lati AB e AD
?
sono congruenti. Che cosa possiamo dire degli angoli
ˆˆ
ABD e DBC? Perché? Utilizza le proprietà b e c viste priA
D
ma e questa: in un triangolo isoscele i due angoli alla base
sono congruenti.
Ora risolvi il problema iniziale
Bergamini, Trifone, Barozzi Matematica.azzurro 1 © Zanichelli 2011 Algebra, Geometria, Statistica
Trovi problemi sulle rette
parallele nella Matematica
per il cittadino del capitolo
G3.
ALLA SCOPERTA DEL LIBRO
Cerca queste proprietà e le
definizioni dei termini utilizzati con l’indice e con
l’indice analitico. Confronta i due tipi di ricerca.
Nel sito: Esercitazione
guidata su Motori di ricerca,
Esercitazione guidata su
Presentazioni multimediali
In cinque slide
Un teorema famoso
Con una presentazione
multimediale, spiega che
cosa dice il teorema di Pitagora e illustra diversi
modi per dimostrarlo.
Cerca nel web:
teorema, Pitagora,
dimostrazione.
XIII
Ricercare
Sono di più i numeri naturali
o i numeri interi?
■
ALLA SCOPERTA DEL LIBRO
Sugli insiemi puoi svolgere
le esercitazioni con il computer del Laboratorio di
matematica del capitolo 3.
Prima di rispondere
UN NUMERO FINITO DI ELEMENTI
Per confrontare la numerosità di due insiemi A e B con un numero finito di
elementi, basta contarli.
Verifichiamo che l’insieme A dei divisori di 10 ha lo stesso numero
di elementi dell’insieme B dei divisori di 8.
Elenchiamo gli elementi degli insiemi:
Nel sito: Esercitazione
guidata su Motori di ricerca
Esercitazione guidata su
Elaborazione di testi
In dieci righe
A
{1, 2, 5, 10}, B
{1, 2, 4, 8}.
Una ricerca infinita
A e B hanno entrambi 4 elementi; si dice anche che hanno la stessa cardiIn matematica ci sono connalità.
cetti oggetto di incessante inPossiamo arrivare alla stessa condagine e ricerca. Il matematiclusione costruendo una corrisponco tedesco David Hilbert af11
fermò che nessun altro con- denza come quella della figura.
2
2
cetto ha mai scosso così profondamente lo spirito umano Poiché a ogni elemento di A corri4sponde
come quello di infinito. Scriuno
e
un
solo
elemento
di
B
5
vi una relazione con il com8
puter descrivendo il parados- e, viceversa, a ogni elemento di B
10corrisponde uno e un solo
so dell’infinito in cui si imelemenbatté Galileo e i risultati otteto di A, i due insiemi hanno la stes- AB
nuti in seguito. Descrivi poi
almeno un paradosso dell’in- sa cardinalità, ossia hanno lo stesso
numero di elementi.
finito riguardante la geomeINFINITI ELEMENTI
tria. Per esempio, i punti di
Che cosa succede se gli insiemi hanno infiniti elementi?
una semiretta sono di più di
Per esempio, consideriamo C insieme dei numeri naturali e D insieme dei
quelli di un suo segmento?
numeri naturali maggiori di 0. Poiché D si ottiene da C privandolo dello
Cerca nel web:
paradosso, quadra- 0, si direbbe che il numero di elementi di D è minore di quello degli elementi di C. Ragioniamoci sopra.
ti, paradosso
In questo caso non possiamo contare gli elementi di C e di D: non finiGrand Hotel.
remmo mai! Allora cerchiamo di creare una corrispondenza fra gli elementi dei due insiemi, come quella dell’esempio precedente.
Associamo al numero 0 dell’insieme C il numero 1 dell’insieme D, al numero 1 di C il numero 2 di D e così via: al numero n appartenente a C associamo il numero n 1 appartenente a D.
ALLA SCOPERTA DEL LIBRO
Poiché a ogni elemento di C corrisponde uno e un solo elemento di D e, viceversa, a ogni elemento di D corrisponde uno e un solo elemento di C, i
Trovi informazioni nell’Esploradue insiemi hanno la stessa cardinalità, ossia lo stesso numero di elementi.
zione «Insiemi infiniti». Cercala
nell’indice.
UP TO YOU
?
Sono di più i numeri naturali o i numeri pari?
Ora rispondi alla domanda iniziale
XIV
Bergamini, Trifone, Barozzi Matematica.azzurro 1 © Zanichelli 2011 Algebra, Geometria, Statistica
Il rettangolo ABCD ha base lunga 2 cm e
altezza 2 cm. Ai lati AB e CD togliamo e ai lati
AD e BC aggiungiamo segmenti congruenti,
in modo da ottenere il rettangolo AB C D .
Quale deve essere la lunghezza di questi
segmenti per fare in modo che il nuovo
rettangolo abbia area massima?
■
C
B
C'
B'
A
D
D'
Prima di rispondere
UN PROBLEMA DI MASSIMO
ALLA SCOPERTA DEL LIBRO
Fin dai tempi dei Greci, i concetti di massimo e minimo costituiscono un
importante strumento di ricerca del pensiero scientifico, tanto da far dire
al matematico Eulero (1774): «nel mondo non avviene nulla senza che si
osservi una regola di minimo o di massimo».
Esercizi di scrittura di aree e
perimetri con espressioni
algebriche sono nel paragrafo «Le operazioni con i
polinomi». Cercalo.
Dimostriamo che fra tutti i rettangoli di perimetro 40 cm, quello
che ha area massima è il quadrato di lato 10 cm.
L’area del quadrato è 100 cm2. Notiamo poi che ogni rettangolo di perimetro 40 cm si può ottenere dal quadrato, togliendo un segmento da due
lati paralleli del quadrato e aggiungendo un segmento di uguale misura
x
agli altri due lati. Se chiamiamo x questa misura, una dimensione del ret10 + x
tangolo è 10 x, l’altra è 10 x, quindi la misura A dell’area del rettangolo è:
10 – x
10
A (10 x) (10 x).
Applichiamo la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione:
10
x
A (10 x) (10 x) (10 x) 10 (10 x) x
10 10 10 x 10 x x x 102 x2 100 x2.
ALLA SCOPERTA DEL LIBRO
L’area del rettangolo è quindi sempre minore di quella del quadrato.
Possiamo anche vedere questa proprietà mediante un grafico x A
La rappresentazione di
0 100cartesiano della funzione A una funzione mediante
100 x2, dove i valori relativi ai
una tabella e un grafico è
3 91
5 75rettangoli
trattata nel paragrafo «Le
sono soltanto quellifunzioni numeriche».
con x 0. Notiamo che il valore
7 51
massimo di A è in corrispondenza di x 0, ossia quando con-9 19
100sideriamo il quadrato.
y
100
91
A = 100 – x2
75
UP TO YOU
In un paese, piazza Garibaldi ha lo stesso perimetro di piazza Mazzini,
ma area maggiore. Che cosa possiamo dire dei loro lati?
?
51
19
Ora rispondi alla domanda iniziale
Nel sito:
Scheda di lavoro
–10 –9 –7 –5 –3
0
3
5
7
910 x
Per approfondire
Un perimetro infinito
È possibile racchiudere una regione finita di piano con una linea di lunghezza infinita?
Bergamini, Trifone, Barozzi Matematica.azzurro 1 © Zanichelli 2011 Algebra, Geometria, Statistica
XV
Imparare a imparare
Alcuni matematici sono uccelli, altri sono rane.
Gli uccelli volano alto nell’aria e scrutano le vaste distese della matematica, spingendo lo sguardo fino all’orizzonte. Prediligono i concetti che
unificano i nostri modi di pensare e partendo da punti diversi del paesaggio riuniscono una molteplicità di problemi.
Invece le rane vivono nel fango e vedono solo i fiori che crescono nei
pressi. Preferiscono osservare i singoli oggetti nei loro minuti particolari
e risolvono i problemi uno alla volta.
Imparare a imparare è una
delle competenze chiave che
l’Unione Europea ha individuato per i cittadini della società della conoscenza.
Implica:
l saper cercare e controllare
le informazioni;
l individuare collegamenti e
relazioni;
l progettare la propria attività;
l comunicare e collaborare
con gli altri;
l risolvere problemi della vita reale.
Freeman Dyson, Uccelli e rane: la matematica come metafora,
in Il club dei matematici solitari del Prof. Odifreddi, Mondadori, 2009.
■
Essere rana
Nello studio della matematica sarai soprattutto una rana: affronterai i problemi uno
alla volta e cercherai di capire i particolari.
Ma non dimenticare di «vedere i fiori».
La matematica è nella realtà Può essere difficile vederla, ma ci circonda
e serve nella vita di tutti i giorni. Scoprilo nei problemi di Matematica
per il cittadino.
La matematica è cultura È una delle discipline che più si prestano al collegamento con le altre ed è necessaria per affrontare i problemi del sapere in
campi anche molto diversi fra loro. Puoi vederlo nelle Esplorazioni e
La matematica ha un linguaggio specificonelle
prime pagine di ogni capitolo.
al quale devi fare attenzione nelle definiLa matematica è palestra Una palestra per la mente. La comprensiozioni e nelle parole che mettiamo in evi-
ne di ogni nuovo concetto e l’esercizio giornaliero allenano ad af-denza. Nei Test your skills hai un’occasione per imparare il lessico matematico in in-frontare i
problemi in modo razionale.
glese.Ma non accontentarti degli esercizi di
allenamento: nei Mettiti
alla prova, gioca le tue partite!
■
Essere falco
Nello studio è importante anche avere una visione d’insieme.
Per darti una mano a essere falco, ti proponiamo di inquadrare quello che farai mediante quattro competenze fondamentali, indicando dove le incontrerai prevalentemente.
Competenza
Dove si trova nel libro
Per esempio
Utilizzare le tecniche e le procedure
del calcolo aritmetico e algebrico
Capitoli 1, 2, 5, 6
Le espressioni con i razionali, pag. 118
Le operazioni con i polinomi, pag. 330
Rappresentare e analizzare figure
geometriche
Capitoli G1, G2, G3
I criteri di congruenza dei triangoli,
pag. G49
Le proprietà dei parallelogrammi,
pag. G93
Individuare le strategie appropriate
per la soluzione di problemi
Problemi, ragionamenti,
deduzioni in tutti i capitoli
Il problema delle parti a pag. 91
I problemi con le percentuali e le
proporzioni, pag. 128
I problemi in cui si applica l’algebra alla
geometria, pag. 442
Capitoli 1, 2, 3, 6, alfa
Rilevare, analizzare e interpretare
dati
XVI
Capitoli 3, 4, alfa
La proporzionalità diretta, pag. 237
La frequenza nei dati statistici, pag. 3
Bergamini, Trifone, Barozzi Matematica.azzurro 1 © Zanichelli 2011 Algebra, Geometria, Statistica
TEORIA
I numeri naturali
e i numeri interi
CAPITOLO
1
Cicale e numeri primi
In alcune zone degli Stati Uniti vivono due specie
di cicale, Magicicada septendecim e Magicicada
tredecim, con cicli vitali di 17 e 13 anni: ogni 17
anni le une, ogni 13 le altre, dopo una lunga
«infanzia» passata sottoterra, emergono in massa
per riprodursi e quindi morire. Naturalmente non
è vantaggioso per le due specie competere per le
risorse ambientali emergendo dal terreno negli
stessi anni…
…perché le cicale preferiscono i numeri primi?
La risposta a pag. 29
1. Che cosa sono i numeri naturali
I numeri naturali sono:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...
I numeri naturali hanno un ordine. Dati due numeri naturali qualunque
e diversi fra loro, è sempre possibile stabilire se il primo è minore del secondo o viceversa. Per indicare questa relazione usiamo i simboli < (minore) e > (maggiore). Per esempio, 0 < 5, 8 > 3.
Di ogni numero naturale, escluso lo 0, esistono il precedente e il successivo. Per esempio, il precedente di 7 è 6, il successivo di 7 è 8.
Il simbolo
significa
minore
maggiore
minore o uguale
maggiore o uguale
uguale
diverso
L’insieme dei numeri naturali viene indicato con la lettera N.
■ La rappresentazione dei numeri naturali
Poiché i numeri naturali sono ordinati, si possono rappresentare su una
semiretta orientata, cioè su una semiretta sulla quale fissiamo, a partire
dal punto origine O, un verso di percorrenza, che indichiamo con una
freccia, e un’unità di misura.
Bergamini, Trifone, Barozzi Matematica.azzurro 1 © Zanichelli 2011 Algebra, Geometria, Statistica
◗ Orientato qui significa
«che ha un verso».
1
CAPITOLO 1. I NUMERI NATURALI E I NUMERI INTERI
TEORIA
Figura 1 Fissata una
unità di misura, è possibile
far corrispondere ai numeri
naturali determinati punti di
una semiretta orientata.
O
A
B
C
D
E
F
0
1
2
3
4
5
6
u
I punti della semiretta sono molti di più di quelli che corrispondono ai
numeri naturali. Per esempio, fra B e C vi sono infiniti punti che non rappresentano numeri naturali. Per indicarlo si dice che N è un insieme discreto.
2. Le quattro operazioni
■ Gli operatori, gli operandi, il risultato
Nell’insieme N si possono eseguire le quattro operazioni: addizione,
moltiplicazione, sottrazione e divisione.
I simboli usati per le operazioni ( , , , ) si chiamano operatori.
◗ Per la moltiplicazione
useremo di solito il simbolo invece del simbolo .
Ogni operatore agisce su due numeri che si chiamano operandi e produce un risultato. Vediamo i loro nomi in ogni operazione.
OPERANDI E RISULTATO
OPERAZIONE
1° OPERANDO
2° OPERANDO
RISULTATO
addendo
addendo
somma
addizione
ESEMPIO
2° addendo
1° addendosomma
8 4 12
moltiplicazione
fattore
fattore
prodotto
sottrazione
minuendo
sottraendo
differenza
divisione
dividendo
divisore
quoziente
2° fattore
1° fattoreprodotto
8
4 32
8 4 4
divisore
dividendoquoziente
8 4 2
■ L’addizione e la moltiplicazione
◗ La sottrazione e la divisione sono definite rispettivamente in base all’addizione e alla moltiplicazione
e agiscono in modo contrario rispetto a queste; per
tale motivo sono anche
chiamate operazioni inverse.
2
Fra le quattro operazioni solo l’addizione e la moltiplicazione danno
sempre come risultato un numero naturale. Per questo si dice che l’addizione e la moltiplicazione sono operazioni interne in N, oppure che N
è chiuso rispetto a tali operazioni.
■ La sottrazione e la divisione
La differenza fra due numeri è quel numero che, addizionato al sottraendo, dà come somma il minuendo.
Bergamini, Trifone, Barozzi Matematica.azzurro 1 © Zanichelli 2011 Algebra, Geometria, Statistica
sottraendo
differenzaminuendo
Paragrafo 2. Le quattro operazioni
TEORIA
ESEMPIO
5
3
2,
perché
2
3
5.
Non sempre esiste in N il risultato della sottrazione: il risultato di una
sottrazione è un numero naturale se e solo se il minuendo è maggiore o
uguale al sottraendo.
Il quoziente fra due numeri è quel numero che, moltiplicato per il divisore, dà come prodotto il dividendo. Quindi, perché la divisione abbia senso il divisore deve sempre essere diverso da 0.
◗ La sottrazione non è
un’operazione interna in N:
4
9
?
Non esiste in N il risultato
di 4 9, perché non esiste
un numero naturale n tale
che n 9 4.
ESEMPIO
1. 18 : 3 6, perché 6 3 18.
2. 18 : 0 è un’operazione impossibile, perché non esiste nessun numero
che, moltiplicato per 0, dia 18.
Anche con il divisore diverso da 0, non sempre esiste per la divisione il risultato in N, cioè la divisione non è un’operazione interna in N.
Per esempio, il risultato di 15 6 non esiste in N, perché non esiste un
numero naturale che, moltiplicato per 6, dia 15.
Figura 2
dividendo
Nei numeri naturali è sempre possibile eseguire la divisione non esatta
(con resto). In questo caso fra dividendo, divisore, quoziente e resto vale
la relazione:
dividendo
divisore quoziente
15
12
divisore
6
2
3
resto (figura 2).
quozienteresto
15 6 2 3
Solo se il resto è 0, ritorniamo al caso della divisione esatta.
DAI NUMERI ALLE LETTERE
In matematica le lettere offrono la possibilità di
parlare non di un numero particolare, ma di un
numero generico.
Il doppio di 4 è 2 4, il doppio di 100 è 2 100.
Se indichiamo con n un generico numero naturale,
il suo doppio è 2 n.
L’espressione 2 n ha un valore diverso a seconda
del valore attribuito a n:
●
●
se n
se n
4,
100,
2n
2n
diventa
diventa
2 4 8;
2 100 200.
Quando vogliamo indicare un numero generico,
usiamo quindi una lettera dell’alfabeto. A tale lettera viene dato il nome di variabile numerica (o,
più brevemente, variabile); nell’esempio precedente n è una variabile.
◗ Se utilizziamo la variabile n, possiamo scrivere:
■ Il numero 0
Addizione e sottrazione
Lo 0 sommato a qualsiasi numero dà come risultato il numero stesso. Ciò
è vero indifferentemente quando 0 è il primo addendo o il secondo. Per
questo motivo 0 è detto elemento neutro dell’addizione.
Non è invece possibile in N la sottrazione con il minuendo uguale a 0.
Bergamini, Trifone, Barozzi Matematica.azzurro 1 © Zanichelli 2011 Algebra, Geometria, Statistica
n00
n N,
n
n,
dove il simbolo significa
«per ogni» e significa
«che appartiene».
3
CAPITOLO 1. I NUMERI NATURALI E I NUMERI INTERI
TEORIA
ESEMPIO
8 0 0 8 8.
0 6 non ha risultato in quanto in N non esiste un numero che, sommato a 6, dia 0.
◗7
0
7 = 0 perché
7
7.
La somma di due numeri naturali è 0 soltanto se entrambi i numeri sono
0. Invece, quando la sottrazione dà come risultato 0, significa che il minuendo e il sottraendo sono uguali.
Moltiplicazione e divisione
Nella moltiplicazione basta che lo 0 compaia una sola volta tra i fattori
per annullare il prodotto. Lo 0 è quindi un numero che, moltiplicato per
qualsiasi numero, dà come risultato se stesso. Per questo lo 0 viene detto
elemento assorbente della moltiplicazione.
◗ In generale:
ESEMPIO
0,
n00n
n N.
70
◗ È necessario significa
che se il prodotto è 0, almeno uno dei fattori deve
essere 0. È sufficiente significa che se uno dei fattori è 0, anche il prodotto è
uguale a 0.
0;
5 4 0 200
0.
Nella moltiplicazione vale la legge di annullamento del prodotto: affinché un prodotto sia 0 è necessario e sufficiente che sia 0 almeno uno
dei suoi fattori.
Nella divisione, quando il dividendo è 0, il quoziente è 0.
ESEMPIO
04
◗ Anche la divisione 0 0
non viene definita. Infatti
ogni numero, moltiplicato
per 0, dà come risultato 0:
la divisione non potrebbe
quindi avere un unico risultato. In casi come questo si dice che l’operazione
è indeterminata.
07
0 perché 0 4
0.
Non è possibile la divisione con il divisore uguale a 0.
6 0 non ha significato. Infatti non è possibile trovare un numero che moltiplicato per 0 dia come risultato 6.
ESEMPIO
In casi come questo si dice che l’operazione è impossibile.
■ Il numero 1
5.
Moltiplicando qualsiasi numero per 1 si ottiene come risultato il numero
stesso, indifferentemente quando 1 è il primo fattore o il secondo. Per
questo 1 è detto elemento neutro della moltiplicazione.
n,
Nella divisione, quando il divisore è 1, il quoziente coincide con il dividendo. Se la divisione ha quoziente 1, il dividendo e il divisore sono uguali.
◗ Esempio:
51
15
In generale:
n11n
n N.
ESEMPIO
16 1
16 perché 16 1
8 8 1 perché 1 8
4
16.
8.
Bergamini, Trifone, Barozzi © Zanichelli 2011 Algebra, Geometria, Statistica
Paragrafo 3. I multipli e i divisori di un numero
TEORIA
3. I multipli e i divisori di un numero
Un numero naturale è multiplo di un altro se la divisione del primo
per il secondo dà come resto 0.
Attraverso la moltiplicazione possiamo trovare per ogni numero diverso
da 0 infiniti multipli: basta moltiplicare il numero per 0, 1, 2, 3, 4, ... (il
numero 0 ha invece come unico multiplo se stesso).
◗ I multipli di 8 sono:
0, 8, 16, 24, 32, 40, ...
Per indicarli sinteticamente possiamo scrivere:
Un numero naturale diverso da 0 è divisore di un altro numero naturale se la divisione fra quest’ultimo e il numero dato è esatta, cioè se la
divisione dà come resto 0.
ESEMPIO
6 è divisore di 18, perché 18 6
7 non è divisore di 18, perché 18 7
8 n, n
N.
I multipli di 2 sono i numeri pari e si indicano
con:
3 con resto 0;
2 n, n
N.
2 con resto 4.
Mentre i multipli di un numero sono infiniti, i suoi divisori sono un numero finito.
ESEMPIO
I divisori di 40 sono:
1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40.
CRITERI DI DIVISIBILITÀ
UN NUMERO
È DIVISIBILE PER
QUANDO
ESEMPIO DI NUMERO
DIVISIBILE
ESEMPIO DI NUMERO
NON DIVISIBILE
2
l’ultima cifra è pari
5 679 254
60 018 841
5
l’ultima cifra è 0 o 5
279 640; 310 065
9 111 008
4
il numero formato dalle ultime
due cifre a destra lo è, oppure
queste cifre sono 00
295 264; 310 500
917 426
157 275; 98 200
784 040
la somma delle cifre è
divisibile per 3
74 391
32 723
(7 4 3 9 1 24 3 8)
(3 2 7 2 3 17)
la somma delle cifre
è divisibile per 9
65 682
sommando le cifre di posto dispari
e poi quelle di posto pari, la
differenza fra il risultato maggiore
e quello minore è 11 oppure un
multiplo di 11
6 150 914
25
3
9
11
6
5
(4
9
24
15 747
6
5
2
8
2
27
93
1
5
7
4
7
24
122 333
6)
(1
22
Bergamini, Trifone, Barozzi Matematica.azzurro 1 © Zanichelli 2011 Algebra, Geometria, Statistica
0
1)
(3
3
8
2)
6
(3
2
1)
2
5
CAPITOLO 1. I NUMERI NATURALI E I NUMERI INTERI
TEORIA
4. Le potenze
Ci sono moltiplicazioni particolari nelle quali tutti i fattori sono uguali.
Per esempio, 2 2 2 2 2 2 2.
Per evitare scritture così lunghe è stata introdotta una nuova operazione,
la potenza: 2 2 2 2 2 2 2 si scrive 27 (si legge «2 alla settima»).
Il numero 2 è la base e il numero 7 è l’esponente della potenza. La base
indica quale fattore viene moltiplicato per se stesso, l’esponente indica il
numero di fattori uguali. Dunque:
◗ Usando le lettere:
an
aaa…a
n volte
se l’esponente è maggiore di 1, la potenza è il prodotto di tanti fattori quanti vengono indicati dall’esponente, tutti uguali alla base.
È ragionevole pensare che l’esponente sia maggiore o uguale a 2, per avere almeno una moltiplicazione, ossia due fattori. Tuttavia vogliamo dare
un significato anche a potenze con esponente 1 o esponente 0.
Per definizione:
◗
1. Potenze con esponente 0:
20
10
1; 20080
1.
●
elevando a 0 un numero naturale diverso da 0 si ottiene 1:
a0
1;
●
1 se a
0;
elevando a 1 un numero naturale si ottiene il numero stesso: a1
a.
00 non ha significato.
Non viene invece definita la potenza con base ed esponente 0:
2. Potenze con esponente 1:
21
11
00 non ha significato.
2; 20081 2008;
1; 01 0.
5. Le espressioni con i numeri naturali
Se vogliamo eseguire una sequenza di operazioni con i numeri naturali
risolviamo un’espressione. Per esempio,
34
2 52
3
20 22.
Le operazioni vanno eseguite con un ordine ben preciso: prima vengono
calcolate le potenze, poi le moltiplicazioni e le divisioni, nell’ordine in cui
sono scritte, infine le addizioni e le sottrazioni, sempre nell’ordine in cui
sono scritte.
Ciò significa che alcune operazioni hanno la precedenza rispetto ad altre.
Moltiplicazioni e divisioni hanno pari precedenza, così come addizioni e
sottrazioni.
ESEMPIO
◗ 10
23
è sbagliato!
6
12 3
36
10
23
10
6
16.
La moltiplicazione ha priorità sull’addizione e va quindi svolta per prima.
Bergamini, Trifone, Barozzi Matematica.azzurro 1 © Zanichelli 2011 Algebra, Geometria, Statistica
Paragrafo 5. Le espressioni con i numeri naturali
TEORIA
Semplificare un’espressione significa sostituirla con una più semplice
che abbia lo stesso valore.
Semplifichiamo l’espressione 34
ESEMPIO
34
2 52
2 52
20 22.
3
20 : 22
3
Calcoliamo le potenze:
81
2 25
3
20 4
Eseguiamo la moltiplicazione e la divisione:
81
50
3
5
Eseguiamo nell’ordine in cui le incontriamo le addizioni e la sottrazione:
133.
■ Le espressioni con le parentesi
A che cosa servono le parentesi in un’espressione? Ad alterare la priorità
delle operazioni, cioè a modificare l’ordine con cui devono essere svolte.
◗ Se abbiamo
Occorre eseguire prima i calcoli presenti all’interno delle parentesi tonde,
poi quelli all’interno delle quadre e infine quelli all’interno delle graffe.
eseguiamo prima la
potenza:
20 22
20 4
Se abbiamo
ESEMPIO
{25
5.
[152
(20 2)2
(20 2)2 2]} 5
{32
[225
102 2]} 5
{32
25} 5
75
eseguiamo prima la
divisione:
35.
102
100.
LE ESPRESSIONI E LE LETTERE
Con le variabili possiamo scrivere espressioni letterali, per esempio:
2a
b
3 a 2.
Il simbolo di moltiplicazione fra variabile e numero, o fra variabili, può essere sottinteso.
Per esempio, l’espressione precedente può essere
scritta:
2a
b 3a 2.
Possiamo calcolare il valore di un’espressione per
particolari valori attribuiti alle lettere.
Per esempio, prendendo a 5 e b 10, sostituendo i valori alle lettere, otteniamo per l’espressione
precedente:
25
3 52
75.
Invece, se:
a
Quando una variabile compare più volte nella stessa espressione, essa rappresenta sempre lo stesso
numero.
10
2eb
3,
l’espressione vale:
22
3
3 22
Bergamini, Trifone, Barozzi Matematica.azzurro 1 © Zanichelli 2011 Algebra, Geometria, Statistica
4
3
34
1
12
13.
7
CAPITOLO 1. I NUMERI NATURALI E I NUMERI INTERI
TEORIA
6. Le proprietà delle operazioni
Le proprietà che ora studieremo vengono dette proprietà formali delle
operazioni. Esse valgono indipendentemente dai particolari numeri ai
quali scegliamo di applicarle.
■ La proprietà commutativa
PROPRIETÀ
Proprietà commutativa
dell’addizione
In un’addizione, se si cambia l’ordine degli addendi, la somma non
cambia.
a b
b a
ESEMPIO
5
4
4
5.
PROPRIETÀ
◗ La proprietà commutativa non vale né per la sottrazione né per la divisione. Per esempio,
15 3 12,
mentre 3 15 non è nemmeno un numero naturale.
Proprietà commutativa
della moltiplicazione
In una moltiplicazione, se si cambia l’ordine dei fattori, il prodotto
non cambia.
b
a
b
a
ESEMPIO
42
2 4.
■ La proprietà associativa
PROPRIETÀ
Proprietà associativa
dell’addizione
La somma di tre numeri non cambia se si associano diversamente gli
addendi, lasciando invariato il loro
ordine.
(
)
(
)
( a b) c a ( b c )
ESEMPIO
(3
6)
4
3
(6
4).
La proprietà associativa fa sì che, in una sequenza di addizioni, possiamo sostituire a due addendi consecutivi la loro somma: il risultato non
cambia.
8
Bergamini, Trifone, Barozzi Matematica.azzurro 1 © Zanichelli 2011 Algebra, Geometria, Statistica
Paragrafo 6. Le proprietà delle operazioni
ESEMPIO
5
7
3
2
5
10
◗ Leggendo l’uguaglianza
da destra a sinistra, possiamo anche dire che la
somma di due o più numeri naturali non cambia se
sostituiamo a un suo addendo due numeri naturali che abbiano per somma
tale addendo.
2.
PROPRIETÀ
Proprietà associativa
della moltiplicazione
(
(a
Il prodotto di tre numeri non cambia se si associano diversamente i
fattori, lasciando invariato il loro
ordine.
)
b)
c a
TEORIA
(
(b
)
c)
ESEMPIO
(6 4) 5
6 (4 5).
La proprietà associativa fa sì che, in una sequenza di moltiplicazioni,
possiamo sostituire a due fattori consecutivi il loro prodotto: il risultato
non cambia.
ESEMPIO
3725
3 7 10.
In una sequenza di addizioni (o moltiplicazioni), applicando le proprietà
commutativa e associativa più volte, è sempre possibile spostare in qualunque posizione uno o più addendi (o fattori).
ESEMPIO
(5
3)
7
(7
3)
5.
Infatti, per la proprietà associativa dell’addizione:
(5
3)
7
5
(3
◗ La proprietà associativa
non vale né per la sottrazione né per la divisione.
Infatti:
7)
Per la proprietà commutativa:
5
(7
3)
(7
3)
◗ Leggendo l’uguaglianza
da destra a sinistra, possiamo anche dire che il
prodotto di due o più numeri naturali non cambia
se sostituiamo a un suo fattore due numeri naturali
che abbiano per prodotto tale fattore.
(10
5.
3)
1
(24 4) 2
10
(3
1);
24 (4 2).
■ La proprietà distributiva
PROPRIETÀ
Proprietà distributiva
della moltiplicazione
rispetto all’addizione
Quando si deve moltiplicare un
numero per una somma, si può
moltiplicare quel numero per ciascun addendo e poi sommare i
prodotti ottenuti, e il risultato non
cambia.
(
a
)
(b c )a
◗ Non è valida la proprietà distributiva dell’addizione rispetto alla moltiplicazione.
ba
c
Bergamini, Trifone, Barozzi Matematica.azzurro 1 © Zanichelli 2011 Algebra, Geometria, Statistica
7
(2 5)
(7 2) (7
5).
Infatti:
7 (2 5) 17;
(7 2) (7 5)
108.
9
CAPITOLO 1. I NUMERI NATURALI E I NUMERI INTERI
TEORIA
ESEMPIO
5 (4
2)
54
5 2.
Abbiamo formulato la proprietà in modo che il fattore venga distribuito
verso destra. In tal caso si parla di proprietà distributiva a destra. Poiché
la moltiplicazione è commutativa, la proprietà distributiva vale anche a
sinistra.
ESEMPIO
(3
◗ In simboli:
ab
ba
ac
ca
a (b c);
(b c) a.
4) 5
35
4 5.
Leggendo le uguaglianze dei due esempi precedenti da destra verso sinistra, si può ricavare la regola del raccoglimento a fattore comune: quando in una somma tutti gli addendi presentano un fattore in comune, esso
può essere raccolto moltiplicandolo per la somma degli altri termini.
ESEMPIO
98
◗ Proprietà distributiva
della moltiplicazione rispetto alla sottrazione
a (b c)
con b c.
ab
92
9 (8
2).
La proprietà distributiva della moltiplicazione e il raccoglimento a fattore
comune valgono anche rispetto alla sottrazione.
a c,
PROPRIETÀ
Proprietà distributiva della divisione rispetto all’addizione
◗ La proprietà distributiva della divisione è vera
anche rispetto alla sottrazione.
Per esempio:
(20
4) 2
20 2
4 2.
◗ La proprietà vale solo a
sinistra (la divisione non è
commutativa).
Quando si deve dividere una somma per un numero, si può dividere ciascun addendo per quel numero e poi sommare i quozienti ottenuti, e il risultato non cambia.
ESEMPIO
(20
4) 2
20 2
4 2.
La proprietà può essere espressa in lettere:
(a
b) c
ac
b c,
con c
0ea
b, a, b multipli di c.
■ La proprietà invariantiva
PROPRIETÀ
Proprietà invariantiva della sottrazione
In una sottrazione, se si aggiunge o si toglie uno stesso numero sia al minuendo sia al sottraendo, la differenza non cambia.
10
Bergamini, Trifone, Barozzi Matematica.azzurro 1 © Zanichelli 2011 Algebra, Geometria, Statistica
Paragrafo 7. Le proprietà delle potenze
TEORIA
In lettere:
a
b
(a
c)
(b
c),
con a
b;
a
b
(a
c)
(b
c),
con a
b
c.
ESEMPIO
15
8
(15
2)
(8
2).
PROPRIETÀ
Proprietà invariantiva della divisione
In una divisione, se si moltiplica o divide per uno stesso numero, diverso
da 0, sia il dividendo sia il divisore, il quoziente non cambia.
ESEMPIO
60 15
(60 2) (15 2);
60 15
◗ La proprietà invariantiva non vale né per l’addizione né per la moltiplicazione. Infatti, per esempio:
(60 3) (15 3).
In lettere:
ab
ab
(a n) (b n),
(a n) (b n),
◗ Se dividiamo il dividendo e il divisore per uno
stesso numero, questo
deve essere un divisore di
entrambi.
10
con b 0, n 0 e a multiplo di b;
con b 0, n 0 e a multiplo di b
e a, b multipli di n.
2
15 9
(10
3)
(2
3);
(15 3) (9 3).
7. Le proprietà delle potenze
■ Il prodotto di potenze di uguale base
BRAVI SI DIVENTA
Videolezione
Consideriamo la seguente moltiplicazione:
V01a
42 43.
◗ Poiché 00 non ha significato, in tutte le proprietà
delle potenze che esaminiamo, l’esponente e la
base di una stessa potenza
non possono essere contemporaneamente nulli.
Applichiamo la definizione di potenza,
42 43
44444
2 volte
ossia: 42 43
44444
3 volte
42
45,
5 volte
3
.
PROPRIETÀ
Prima proprietà delle potenze
Il prodotto di potenze di uguale
base è una potenza con la stessa
base avente come esponente la
somma degli esponenti.
am
an am
n
Bergamini, Trifone, Barozzi Matematica.azzurro 1 © Zanichelli 2011 Algebra, Geometria, Statistica
◗ La definizione data per
le potenze con esponente 1
o 0 è tale da verificare la
prima proprietà.
64 60
64 60
64 1 64;
64 0 64.
11
CAPITOLO 1. I NUMERI NATURALI E I NUMERI INTERI
TEORIA
■ Il quoziente di potenze di uguale base
BRAVI SI DIVENTA
Videolezione
V01b
Consideriamo la divisione 47 43.
Poiché la divisione è l’operazione inversa della moltiplicazione, stiamo
cercando quel numero che, moltiplicato per 43, dia come prodotto 47.
……? … 4 4 4…
4444444
7 volte
3 volte
4444444
4444444
7 volte
(7
3) volte
3 volte
Il numero cercato è 44; quindi possiamo scrivere:
47 43
47
3
.
PROPRIETÀ
◗ Se gli esponenti sono
uguali, si ha, per esempio,
47 47
47
7
40
1,
e in generale:
am a m
am
m
a0
BRAVI SI DIVENTA
Videolezione
V01c
1.
Seconda proprietà delle potenze
Il quoziente di potenze di uguale
base (con l’esponente della seconda minore o uguale all’esponente
della prima e con la base diversa da
0) è una potenza con la stessa base
che ha come esponente la differenza degli esponenti.
am
an am
n
con m n, a 0
■ La potenza di una potenza
Consideriamo 42 come base di un’altra potenza con esponente 3:
(42)3.
Per definizione di potenza:
(42)3
42 42 42.
Per la prima proprietà delle potenze:
42 42 42
42
2
2
42 3.
Quindi:
(42)3
42 3.
PROPRIETÀ
Terza proprietà delle potenze
La potenza di una potenza è una
potenza che ha la stessa base e
per esponente il prodotto degli
esponenti.
12
(
)
n
( am ) am n
Bergamini, Trifone, Barozzi Matematica.azzurro 1 © Zanichelli 2011
Paragrafo 7. Le proprietà delle potenze
■ Il prodotto di potenze di uguale esponente
TEORIA
BRAVI SI DIVENTA
Dato un prodotto fra potenze con lo stesso esponente, per esempio
42 62, cerchiamo di scriverlo in altro modo, utilizzando proprietà note.
Videolezione
V01d
Per la definizione di potenza:
42 62
4 4 6 6.
Applichiamo le proprietà commutativa e associativa della moltiplicazione:
4466
(4 6) (4 6).
Per la definizione di potenza:
(4 6)2.
(4 6) (4 6)
Quindi:
42 62
(4 6)2.
PROPRIETÀ
Quarta proprietà delle potenze
Il prodotto di potenze di uguale
esponente è una potenza che ha
per base il prodotto delle basi e per
esponente lo stesso esponente.
an
(
)
bn ( a
b)
n
■ Il quoziente di potenze di uguale esponente
BRAVI SI DIVENTA
Consideriamo un quoziente fra potenze con lo stesso esponente:
Videolezione
V01e
122 42.
Poiché la divisione è l’operazione inversa della moltiplicazione, stiamo
cercando quel numero che, moltiplicato per 42, dia come prodotto 122.
Mostriamo che quel numero è (12 4)2, cioè che:
(12 4)2 42
122.
Per la quarta proprietà delle potenze:
(12 4)2 42
[(12 4) 4]2
122.
Quindi:
122 42
(12 4)2.
PROPRIETÀ
Quinta proprietà delle potenze
Il quoziente di potenze di uguale
esponente è una potenza che ha
per base il quoziente delle basi e
per esponente lo stesso esponente.
(
)
a bn ( a b )
n n
con b 0
Bergamini, Trifone, Barozzi Matematica.azzurro 1 © Zanichelli 2011
13
