TRIANGOLI
La trattazione dell’argomento “triangoli” può essere inserita in percorsi didattici differenti:
si parte dai solidi (tetraedri, prismi a base triangolare, ottaedro, icosaedro) e si ottengono i
triangoli attraverso “impronte” delle facce
si parte dalla rappresentazione nel piano di punti, poi di poligonali e di poligoni
si parte dalle generalità sui poligoni e poi si presentano i triangoli, i quadrilateri
si parte dai triangoli, successivamente si trattano i quadrilateri e poi si generalizzano alcune
proprietà valide per i poligoni di n lati.
Modelli di triangoli possono essere prodotti utilizzando materiali diversi e facendo riferimento a
differenti definizioni:
-come terna di punti non allineati (chiodini e geopiano, anche se in questo caso non è possibile
costruire il triangolo equilatero)
-come “scheletro” (cannucce-listelli-meccano: si scopre che il triangolo è indeformabile, elastici e
geopiano)
-come intersezione di semipiani (strisce di carta velina )
L’argomento in sé non presenta particolari difficoltà, ma ritengo che si debba prestare attenzione ai
seguenti punti:
tre punti o tre segmenti danno automaticamente un triangolo?
I tre punti devono essere non allineati, i tre lati, a due a due consecutivi, devono rispettare la
disuguaglianza triangolare: in ogni triangolo ogni lato è minore della somma degli altri due
e maggiore della loro differenza. Non sempre, quindi, dati tre segmenti, è possibile costruire
un triangolo che li abbia come lati.
ESERCIZI
1)Calcola il perimetro di un triangolo avente i lati rispettivamente di 15 cm, 5 cm e 9 cm.
Attenzione quando si danno in maniera affrettata esercizi di questo tipo, poiché non è rispettata la
disuguaglianza triangolare.
2)Stabilisci quali delle seguenti terne di numeri possono essere le misure in cm dei lati di un
triangolo
a 7, 4, 8
b 11, 4, 7
c 8, 8, 15
d 6, 14, 4
e 5, 10, 14
L’unica difficoltà è quella di scrivere tre disuguaglianze e stabilire se sono vere o false.
Le terne valide sono espresse nel caso a, c ed e. A questo punto si può discutere: è sempre
indispensabile scrivere tre disuguaglianze? No, basta verificare che il lato più lungo è minore della
somma degli altri due.
3) Un triangolo avente il perimetro di 30 cm non può avere un lato lungo 16 cm, perché?
Qualche allievo può essere disorientato perché mancano gli altri due lati, ma basta conoscere la
loro somma.
Da un libro di testo
4)Due lati di un triangolo sono lunghi rispettivamente 30 cm e 36 cm. La lunghezza del terzo
lato non potrà essere inferiore a…
Sicuramente non può essere inferiore a 6 cm, ma anche 6 cm non va bene. Se lo scopo era quello di
indicare tutte le possibilità è meglio richiedere:”Tra quali valori deve essere compresa la
lunghezza del terzo lato affinché il triangolo esista?”. I valori, espressi in cm, sono dati dalla
disuguaglianza 6<x<66.
5)Berenice ha sulla sua scrivania cinque bacchette di 15, 18, 30, 33 e 46 cm di lunghezza. Ne
sceglie tre e le dispone a triangolo.
Quanti triangoli differenti potrà formare Berenice con le sue cinque bacchette?
Descrivete ciascuna delle vostre soluzioni. (7° rally Matematico Transalpino II prova)
La conoscenza che entra in gioco è la disuguaglianza triangolare. Mi sembra importante notare
come in una prima media su 28 alunni non c’è stata alcuna risposta corretta, in una II liceo
scientifico su 29 allievi hanno risposto correttamente in 4, al primo anno di corso di laurea (lauree
scientifiche) su 338 studenti solo il 34% ha risolto correttamente l’esercizio. Nelle risposte vengono
date tutte le possibilità: 60, 10 possibilità, 7 possibilità.
Terne: 15,18,30-15,30,33-15,33,46-18,30,33-18,30,46-18,33,46-30,33,46
disegno della figura
Spesso gli alunni riconoscono che sono triangoli, ma dicono che sono “storti”, cioè hanno in
mente che uno dei lati deve essere parallelo a un bordo del foglio.
Come si disegna un triangolo, note le lunghezze dei lati? Quel lato viene chiamato “base”.
Disegna sul quaderno un triangolo avente i lati di lunghezza 2 cm, 3 cm e 4 cm.
Occorre utilizzare riga e compasso. Si inizia a disegnare il segmento più lungo di 4 cm di estremi A
e B. Si traccia la circonferenza di centro A e raggio 3 cm e la circonferenza di centro B e raggio 2
cm. Uno dei due punti di intersezione può essere scelto come terzo vertice.
Analogamente possiamo chiederci: è possibile disegnare un triangolo noti i tre angoli, un lato e
due angoli, due lati e un angolo?
Premetto che gli angoli del triangolo vengono chiamati “interni”, non certo nel senso che l’angolo
è contenuto nella regione triangolare; anzi è vero il viceversa: la regione triangolare è tutta
contenuta nei tre angoli. Nel primo caso possiamo disegnare diversi triangoli simili tra loro, ma
con i lati di lunghezze diverse, nel secondo occorre sapere se l’angolo assegnato è compreso tra i
due lati, nel terzo se gli angoli sono adiacenti al lato
Lato-angolo o vertice opposto: utile quando si disegna l’altezza, la mediana, la bisettrice
Lato –angoli adiacenti: utile sia nei criteri di congruenza dei triangoli sia nel caso di un
triangolo rettangolo (gli angoli adiacenti all’ipotenusa sono complementari)
classificazione
in base ai lati: triangolo scaleno, isoscele, equilatero.
La definizione che richiede attenzione è quella di triangolo isoscele.
DEF 1 Un triangolo è isoscele se ha solo una coppia di lati congruenti
Versione degli studenti: un triangolo isoscele ha due lati uguali e uno diverso
DEF 2 Un triangolo è isoscele se ha almeno una coppia di lati congruenti.
DEF 3 Un triangolo è isoscele se ha due lati congruenti.
Questa definizione può essere interpretata sia nel senso della Def. 1 che nel senso della Def.
2.
La scelta è libera ma ritengo che la DEF 3, se non chiarita, possa indurre gli alunni a
commettere errori dovuti ad una libera interpretazione o alla impostazione proposta alla
scuola primaria in esercizi del tipo:
Indica se le seguenti affermazioni sono vere o false
Un triangolo isoscele è anche equilatero Un triangolo equilatero è anche isoscele.
La prima affermazione è falsa in generale, la seconda è falsa se ci si riferisce alla def. 1.
Riconosci quali triangoli sono isosceli.
Si può usare il compasso o il righello. Se si possono ritagliare le figure può emergere da
qualche alunno che per individuare un triangolo isoscele basta scoprire se ha un asse di
simmetria.
Ecco allora la classificazione in base agli assi di simmetria:
scaleno: non ha assi di simmetria,
isoscele ha un solo asse (def 1)
almeno uno (def 2)
uno (def 3)
Si introduce la classificazione
in base agli angoli: acutangoli, ottusangoli, rettangoli
3 acuti acutangolo
2 acuti + 1 ottuso ottusangolo
2 acuti + 1 retto rettangolo
-i triangoli equilateri sono sempre acutangoli
- i triangoli isosceli possono essere acutangoli, rettangoli, ottusangoli
-i triangoli scaleni possono essere acutangoli, ottusangoli, rettangoli
Ci può porre la domanda: esistono triangoli con due angoli ottusi? E con due angoli retti? I
triangoli equilateri sono sempre acutangoli? Si perviene così al calcolo della
somma degli angoli interni di un triangolo: in un triangolo la somma degli angoli interni è
un angolo piatto.
Occorre evidenziare che “un” corrisponde ad “ogni”. Si può scoprire questo risultato piegando
un modello di triangolo lungo la parallela al terzo lato passante per i punti medi degli altri due, si
può misurare con il goniometro l’ampiezza degli angoli, fare la loro somma e notare che vale
circa 180°, si può, disegnata la parallela ad un lato, ragionare sugli angoli alterni interni
congruenti e fare la somma. L’unica cosa importante è che l’insegnante sia consapevole che
questa proprietà equivale a richiedere l’unicità della parallela per un punto ad una retta e che vale
solo nella geometria euclidea. Ciò comporta le seguenti conseguenze: gli angoli acuti di un
triangolo equilatero sono ampi 60°, in un triangolo rettangolo gli altri due angoli sono
complementari e acuti, in un triangolo non possono esserci due angoli retti o due ottusi.
ESERCIZI di vario tipo diretti e inversi sul perimetro, il calcolo dell’ampiezza di un angolo
interno.
Sottolineo solo che nell’impostazione di un problema geometrico il disegno della figura è
importante. E’ chiaro che se un angolo è ottuso non è accettabile un triangolo acutangolo, se non si
hanno informazioni ulteriori non si disegna un triangolo particolare (isoscele o rettangolo o
equilatero). Se c’è un rapporto assegnato tra due lati (per esempio un lato è triplo di un altro o è i
3/5 si deve tenere presente nel disegno. Il disegno ha una componente figurale e una concettuale.
Un disegno fatto bene, aderente ai concetti esposti nei dati, aiuta nella risoluzione, uno che non
rispecchia le richieste induce a commettere errori.
individuazione degli angoli esterni (angoli aventi per lati un lato del triangolo e il
prolungamento di un altro lato). In realtà l’accezione “esterni” non vuol dire che questi angoli
siano i soli a non contenere la regione triangolare.
Da un libro di testo:”Ad ogni angolo interno di un poligono (quindi anche di un triangolo) possiamo
associare un corrispondente angolo esterno”.
Ne possiamo associare due opposti al vertice; questa è proprio la difficoltà: ci sono sei angoli
esterni, ma poi per calcolare la somma degli angoli esterni se ne considerano solo tre. Una volta
chiarito che ne consideriamo uno solo per ogni angolo interno non c’è nessuna difficoltà a
verificare sperimentalmente, tagliando e incollando, che la somma delle ampiezze degli angoli
esterni è 360°. Si può inoltre notare che ogni angolo esterno è uguale alla somma dei due angoli
interni non adiacenti.
ESERCIZI
Supponiamo che si sappia che in un triangolo isoscele gli angoli adiacenti alla “base” siano
congruenti.
1)Un angolo esterno di un triangolo isoscele è di 120°. Com’è il triangolo?
Occorre esaminare le due possibilità: se l’angolo esterno è adiacente ad un angolo alla base o
all’angolo al vertice. In ogni caso si ottiene che il triangolo è equilatero.
2)In un triangolo isoscele un angolo ha ampiezza doppia di una altro; quale può essere
l’ampiezza degli angoli?
36°,72°,72° e 45°,45°, 90°. Mi sembra importante sottoporre agli allievi problemi che hanno più
soluzioni.
altezze di un triangolo
Def 1
Si dice altezza il segmento che ha per estremi un vertice del triangolo e il piede della
perpendicolare condotta per quel vertice al lato opposto.
Def 2
L’altezza di un triangolo è il segmento condotto perpendicolarmente da un vertice alla retta a
cui appartiene il lato opposto.
In questa seconda definizione si parla di retta e forse è più facile che gli alunni ricordino che il
piede della perpendicolare non è detto che cada internamente al lato.
Il concetto di altezza di un poligono è legato a quello di striscia. I vertici del poligono devono
appartenere ai lati della striscia. Esistono tre strisce contenenti i vertici di un triangolo, quindi,
esistono tre altezze (e tre basi).
E’ chiaro che occorre esaminare con gli studenti triangoli acutangoli, rettangoli, ottusangoli,
non delegando ad eseguire a casa i casi più complicati. Gli allievi hanno grande difficoltà ad
usare la squadra e a capire dove posizionare i lati di questo strumento.
assi di un triangolo
La difficoltà sta nel considerare le due condizioni (perpendicolarità al lato, passaggio nel suo
punto medio) contemporaneamente e nel fatto che, in questo caso, non si parte da un vertice. Ne
consegue che spesso è confusa con la mediana.
punti notevoli in un triangolo isoscele e in un triangolo equilatero
Il disegno può essere supportato da una valida attività di esplorazione con Cabri.
uso delle proprietà di un triangolo isoscele per disegnare la figura: in un triangolo isoscele
generico i due lati congruenti si chiamano lati obliqui , il terzo lato è chiamato “base”. Spesso
gli allievi non capiscono che disegnare un triangolo isoscele equivale a produrre graficamente
un modello di triangolo nel quale devono essere verificate le proprietà valide in questo
particolare tipo di triangolo. Così capita di vedere modelli dove i lati obliqui sono quasi
uguali, ma è evidente che l’altezza relativa alla “base” non è mediana.
conoscenza e applicazione corretta della costruzione di un triangolo equilatero di lato
assegnato.
Solitamente gli allievi disegnano un triangolo isoscele nel quale l’altezza è congruente alla
“base”.
Quesito INVALSI
Osserva la seguente figura. (triangolo rettangolo di cateti BA e AC. AH è la mediana relativa A
BC)
Se AB ≠ AC e BH = HC, che cosa rappresenta il segmento AH nel triangolo ABC?
o A. Una altezza
o B. Una mediana.
o C. Una bisettrice.
o D. Un asse
La condizione ipotizzata è indispensabile per avere una sola risposta valida; dall’immagine
potrebbe sembrare anche bisettrice, ma il fatto che ABC non sia isoscele lo esclude.
criteri di congruenza
E’ importante notare che sono condizioni sufficienti (bastano queste tre condizioni) e
necessarie (se manca una delle tre o non è rispettata la richiesta, per esempio che gli angoli
siano compresi tra i due lati congruenti assegnati, non si può dedurre che i triangoli siano
congruenti. Si possono facilmente verificare utilizzando la carta trasparente.
Controesempi
Si può notare che due triangoli che hanno ordinatamente congruenti due coppie di lati e due
angoli, nel secondo triangolo non compreso tra i lati, non sono congruenti; due triangoli che
hanno ordinatamente congruenti una coppia di lati e due coppie di angoli, adiacenti al lato nel
primo triangolo, uno adiacente e uno opposto al lato nel secondo triangolo non sono congruenti.
Triangoli che hanno ordinatamente congruenti gli angoli sono simili.
Problema
Due triangoli isosceli aventi due lati congruenti sono congruenti?
Non è detto. Si possono invitare gli alunni a produrre controesempi.
Sono utili i criteri?
Sì, servono in parecchie dimostrazioni, per esempio per descrivere l’asse come luogo di punti
equidistanti dagli estremi di un segmento, la bisettrice come luogo di punti equidistanti dai lati
di un angolo, per dimostrare che un triangolo isoscele ha gli angoli alla base congruenti, nei
quadrilateri.
Qualche gioco sui triangoli
La figura è formata da 9 fiammiferi:
- spostarne 5 per ottenere 5 triangoli equilateri (soluzione : figura es.2)
2)Togliere 4 fiammiferi per ottenere 2 triangoli congruenti.
soluzione
3) Aggiungere 3 fiammiferi per ottenere 4 triangoli congruenti.
Soluzione: figura es.2.
4) Sposta tre fiammiferi per formare 5 triangoli.
Soluzione:figura es 2.
