Soluzione esercizi

Questo e’ un esempio di come scrivere la soluzione dell’esercizio scelto. L’esercizio dovra’
essere memorizzato in un file di nome “esercizio_numero.doc “
Nome studente ………..
Esercizio n. 4
Un commutatore ATM 4x4 con accadimento in uscita realizza l’inoltro dell’informazione con
modalità asincrona (store&forward). Il traffico di ingresso e’ bernoulliano, con parametro p = 0.1
per gli ingressi 1 e 2 e p’= 0.2 per gli ingressi 3 e 4, ed e’ uniformemente distribuito sulle uscite.
Ogni uscita e’servita da una linea di velocità pari a quella delle linee di ingresso e la capacità delle
memorie di uscita e’pari ad una cella.
1) Disegnare la catena di Markov che descrive ciascuno dei buffer di uscita
2) Calcolare la matrice delle probabilità di transizione
3) Calcolare la probabilità di perdita
Soluzione:
b 1
p  0.1
p '  0.2
4 4
Figura 1.
Buffer d’uscita
p  p / 4  0.025
p'  p' / 4  0.05
b 1
Figura 2.
Probabilità di arrivo di k pacchetti per i primi due ingressi al buffer di uscita:
 N  p
a k   
 k  M
p N k

(1  )
M

con N  2, M  4, p  0.1
e analogamente per le ultime due uscite con p’ al posto di p.
(1)
Il buffer di uscita può essere studiato come catena di Markov tempo discreto con il modello
geom/D/1. In modalità store & forward il diagramma degli stati è mostrato in figura 3:
1-a0
a0
0
1
a0
1-a0
Figura 3.
Essendo il carico sbilanciato in ingresso al buffer bisogna calcolare i vari a k considerando tutte le
possibile combinazioni. Dal grafico in figura 3 si nota che il sistema è risolvibile anche solo
calcolando a 0 . Il valore numerico si ottiene come prodotto tra le probabilità di zero arrivi dagli
ingressi uno e due e la probabilità di zero arrivi dagli ingressi tre e quattro. Le singole probabilità si
ottengono con la formula (1).
a0  Pr{0;1,2}  Pr{0;3,4}  (1  p ) 2  (1  p' ) 2  0.858
Completando la matrice delle probabilità di transizione si ha:
a 1  a0  0.858 0.142
 0


a0 1  a0  0.858 0.142
Ora è possibile impostare il sistema che calcola le probabilità di stato   q0 , q1 
Sviluppando il sistema    si ottiene:
q0  q0 a0  q1a0

q1  q0 (1  a0 )  q1 (i  a0 )
q  0.858
e quindi  0
q1  0.142
Il throughput S del buffer in uscita si calcola in modalità store & forward:
S  1  q0  0.142
Mentre la probabilità di perdita

p

p
 1

p
si ottiene come:
S
2 p  2 p'
dove pout 
è la media pesata del carico agli ingressi.
p out
4
 5.3  10 2