Statistica matematica

FACOLTÀ DI INGEGNERIA – CAGLIARI
I° anno, II°semestre l'A.A. 2002-2003
CORSO DI: STATISTICA MATEMATICA
Responsabile del Corso: Francesco Bertolino
1. Necessità ed importanza del Corso
Il corso di Statistica Matematica risulterà particolarmente utile per l’allievo della Laurea in Ingegneria per
l’Ambiente ed il Territorio se egli maturerà tre consapevolezze:
(i) I dati che ordinariamente si acquisiscono sono caotici, affetti da errori di ogni tipo e (spesso) di grande
complessità: i concetti, le tecniche ed i modelli della Statistica Matematica permettono di fare chiarezza
nel caos e di dominare l’accidentalità e la variabilità dei dati. Non è casuale che numerosi insegnamenti
del Corsi di Laurea e di Laurea specialistica utilizzino nozioni di Statistica Matematica.
(ii) Nessuna altra disciplina possiede, al pari della Statistica e dell’Informatica, la capacità di essere
disciplina sia di analisi che di sintesi.
(iii) Il mondo deterministico è solo un’utile interpretazione/rappresentazione del mondo. Innumerevoli sono
i casi in cui le “formule esatte” del mondo deterministico sono tali solo in prima approssimazione;
quando poi non sono del tutto irrealistiche. Ben più di quanto si sospetti sono i fenomeni che, sfuggendo
totalmente all’esattezza delle formule deterministiche, possono essere studiati ed interpretati solo
acquisendo un abito probabilistico e dunque “antideterministico”.
2. Pre requisiti
È necessario che l’allievo sia in possesso di elementi di calcolo combinatorio e di analisi (limiti, derivate e
integrali) così come sono impartiti nei corsi di Analisi I e Geometria. Per quanto concerne nozioni e
concetti un poco più avanzati sono sufficienti brevi interventi tecnici durante il corso.
3. Carico orario e crediti
Il corso di Statistica Matematica, articolato in 3 sezioni, prevede 50 ore di lezioni ed esercitazioni, oltre che
20 ore di studio assistito. Crediti acquisiti: 5.
4. Programma
(Il carico orario delle singole sezioni è indicato in parentesi quadra)
I - Statistica descrittiva [14]
- Collettivo, popolazione, unità statistica.
- Variabili e mutabili semplici. Distribuzioni di frequenze, rappresentazioni grafiche.
- Indici sintetici di un collettivo: medie (aritmetica, armonica, geometrica, quadratica), moda, mediana,
range, devianza, varianza, sd, momenti, th. di Huyghens.
- Relazione fra medie.
- Variabili e mutabili bidimensionali. Indipendenza statistica.
- Tavole di contingenza. Indici di connessione (K.Pearson, Yule, Mortara).
- Metodo dei minimi quadrati. Interpolazione statistica. Leggi lineari e linearizzabili rispetto ai parametri.
- Correlazione e regressione. Varianza totale, residua e spiegata. Indici di K.Pearson.
II - Elementi di calcolo delle probabilità [10]
- Eventi, insiemi. Logica ed operazioni sugli eventi. Definizione di probabilità.
- Modelli di urne, prove con o senza reimbussolamento.
- Assiomi di Kolmogorov, probabilità condizionata. Teoremi elementari sulla probabilità. Eventi
indipendenti. Legge delle probabilità totali e delle probabilità composte, th. di Bayes.
- Variabile aleatoria, distribuzione di probabilità. Speranza matematica e momenti.
- Leggi discrete: binomiale, geometrica, di Pascal, binomiale negativa, ipergeometrica, uniforme discreta, di
Poisson.
- Convergenza della ipergeometrica alla binomiale e della binomiale alla legge di Poisson.
- Legge uniforme continua, normale, esponenziale negativa; standardizzazione.
- Cenni sulle trasformazioni di v.a. e sugli ntegrali euleriani di I e II specie.
- Somma di v.a. indipendenti.
- Leggi gamma, di Erlang, Chi-2, di Student. Tavole degli integrali delle leggi normale, Chi-2, Student.
- Momenti primi e secondi delle principali distribuzioni.
- Cenni sulla convergenza in legge e sul th. del limite centrale.
III – (a) Modello statistico, verosimiglianza e stime [6]
- Modello probabilistico-statistico. Campione, spazio dei campioni e spazio dei parametri.
- Funzione di verosimiglianza. Concetto di statistica, stimatore e quantità pivotale.
- Sufficienza e statistiche sufficienti.
- Cenni su stimatori corretti, consistenti e stimatori di max verosimiglianza e sulla stima dei momenti.
III –(b) Intervalli di confidenza e cenni sui test statistici [20]
- Insiemi di verosimiglianza.
- Gli intervalli di confidenza secondo l'impostazione di Neyman.
- Metodo delle quantità pivotali: per un solo parametro di interesse (con o senza parametri di disturbo).
Cenni
sugli intervalli di confidenza per più parametri. Metodi asintotici.
- Intervalli di confidenza per media e varianza di una v.a. normale, di una proporzione, della media di una
v.a.
di Poisson.
- Test parametrici. Ipotesi semplici ed ipotesi composte. L'impostazione Fisheriana: test di significatività, Pvalue, considerazioni critiche.
- Test sulle medie e sulle varianze, confronto fra più medie.Test asintotici: test sulle proporzioni,
- Test Chi-2 di adattamento ed indipendenza.
5. Modalità dell’esame
Durante l’anno sono previste quattro prove scritte, ciascuna della durata di due ore, che coprono tutti gli
argomenti del corso. Lo studente che ha riportato un voto positivo è ammesso a sostenere un breve colloquio
finale. Lo studente che ha riportato insufficienze non gravi è ammesso ad una prova di recupero. Gli studenti
non ammessi al colloquio hanno la possibilità di sostenere la prova scritta negli appelli estivo ed autunnale.
6. Testi consigliati e di consultazione, materiali didattici
- ZIP (2003), Cuec.
- M.R.Spiegel. Statistica. ETAS LIBRI (1961, trad.it. 1973).
- G.Cicchitelli. Probabilità e Statistica, II^ ediz. Maggioli (1999).
- F.Ricci. Statistica. Zanichelli (1978).
Durante il corso potranno essere divulgate fotocopie, esempi, esercizi svolti.
7. Capacità acquisite dallo studente
Lo studente dovrà essere capace di organizzare i dati in tabelle e in sintesi grafiche, di effettuare semplici
interpolazioni statistiche. Dovrà essere capace di schematizzare i processi di acquisizione dei dati, almeno
quelli più elementari, secondo modelli probabilistico-statistici semplici nei quali rientra la teoria elementare
degli errori. Dovrà infine di calcolare gli intervalli di confidenza almeno nei casi più usuali.