Testi esami
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Università degli Studi di Pisa Facoltà di Ingegneria CALCOLO NUMERICO TESTI D’ESAME A cura del prof. M. Caprili 1 Ingegneria Aeronautica e Aerospaziale Appello d'esame di CALCOLO NUMERICO del 9/6/93 1 . Calcolare l'integrale /2 (sin x 2 + cos x 2 )dx 0 con la formula composita di Cavalieri-Simpson e con k=1 di Legendre con un errore globale minore o uguale a 10-3 . 2 . Data la funzione 6 x 3 ab ƒ(x,a,b) = 2 b 3ax valutare ƒ ( e , , 2 ) con un errore assoluto minore o uguale a 10-4. 3. Studiare le radici dell'equazione x5 -5x4 +4k=0 al variare del parametro reale k. Posto poi, k= 64 determinare le radici reali con un errore assoluto minore o uguale a 10-2. 2 Ingegneria Aeronautica e Aerospaziale Appello d'esame di CALCOLO NUMERICO del 28/6/93 1. Data l'equazione x4 -4x3 +2x2 -x +3 =0 determinare tutte le radici reali e complesse con un errore assoluto minore di 10 -4 (dimostrare la convergenza di eventuali metodi iterativi utilizzati). 2 . Risolvere il sistema lineare 1 1 x y w - z = - 1,2 100 10 x + y - 3w + 2z = 9 1 y + w - z = 3,3 100 - x + w + z = 5,5 con un metodo iterativo con errore assoluto minore di 10 -2. Dimostrare la convergenza del metodo prescelto. 3. Valutare la soluzione in x = 1/2 del problema di Cauchy y' + 2xy = 0 y(0) = 1 applicando il metodo di Runge-Kutta del quarto ordine con errore assoluto minore di 10-5. 3 Ingegneria Aeronautica e Aerospaziale Appello d'esame di CALCOLO NUMERICO del 14/7/93 1. Dato il sistema lineare 5 0 2 1 1 x 1 1 0 3 0 3 0 x 2 2 2 0 5 2 1 x 3 3 3 2 x 4 2 0 0 0 0 1 0 1 3 x 5 1 risolverlo con un metodo iterativo approssimando i valori della soluzione con un errore minore di 10-2 e determinare il raggio spettrale della matrice di iterazione associata al metodo. 2 . Calcolare 1 ( 0 1- cosx ) dx x2 con un errore massimo assoluto minore di 10-3. 4 Ingegneria Aeronautica e Aerospaziale Appello d'esame di CALCOLO NUMERICO del 15/9/93 1. Assegnate le matrici 0 1 0 0 A 0 0 1 2 0 1 0 1 0 0 , 1 2 2 1 0 0 1 2 1 0 D 0 1 2 1 0 0 1 2 determinare la matrice B= D-1 AD. Dimostrare che A e B hanno la stessa equazione caratteristica. Calcolarne le radici caratteristiche. 2 . Si calcoli l’integrale /4 x tg(x) dx 0 con un errore assoluto minore di 10-2. 5 Ingegneria Aeronautica e Aerospaziale Appello d'esame di CALCOLO NUMERICO del 2/10/93 1. Data l'equazione x5 -25x3 +60x +h =0 studiare il luogo delle radici al variare del parametro h. Posto poi, h =20, calcolare tutte le radici con un errore assoluto minore o uguale a 10-3 . 2. Calcolare il polinomio P(x) = x3 -e x + 2 nel punto x = con un errore globale assoluto E minore o uguale a 10-3. ( = 3.141592....., e = 2.718281..., 2 = 1.414213). 6 Ingegneria Aeronautica e Aerospaziale Appello d'esame di CALCOLO NUMERICO del 15/12/93 1. Determinare la soluzione del problema di Cauchy y' ' = x 2 y' + y y(0) = 0 y' (0) = 1 nel punto x = 0.1 con un errore massimo assoluto di 10-2 tramite il metodo di Runge-Kutta esplicito p=4, controllando la stabilità. 2. Calcolare l'integrale I= 2 /2 e sin x dx 0 con un errore massimo assoluto E = 10-3 indicando con quale precisione si devono introdurre i valori 2 , e, . Si utilizzi una formula di quadratura composita di Gauss-Legendre. 7 Ingegneria Aeronautica e Aerospaziale Appello d'esame di CALCOLO NUMERICO del 26/1/94 1. E' dato il sistema lineare 4x 1 - x 2 + x 4 - x 5 = 1 4x - x + x = - 2 4 2 3 5x 3 - 2x 4 + 2x 5 = -1 x + 2x + x = 2 4 5 1 3x 1 - x 2 + 5x 5 = 3 dimostrare che i metodi di Jacobi e Gauss-Seidel sono convergenti; risolvere il sistema e arrestare il calcolo quando l'errore assoluto è minore di 10 -3 indicando quale dei due metodi ha la velocità di convergenza maggiore. 2. Si debba calcolare la funzione y = x1/x2 con un errore E minore o uguale di 10-2 dove 4 x1 = e 2 x -1 dx , x2 = 1 Approssimare gli integrali con la formula dei trapezi. 8 x 1 x dx . Ingegneria Aeronautica e Aerospaziale Appello d'esame di CALCOLO NUMERICO del 16/2/94 1. Dato il sistema lineare x 1 - 3x 2 - x 4 x - 2x + x = 1 2 4 ax x + x 3 = 1 2 x 2 + x 3 - x 4 = x5 = 5 1 2 - 1 dimostrare che i metodi iterativi di Jacobi e Gauss-Seidel non sono convergenti per qualunque valore di a . Risolvere il sistema con il metodo di Gauss determinando anche la fattorizzazione LR. 2. Calcolare la funzione f ,e, 2 -e 2 +1 con un errore assoluto minore di 10-3 . 3. Dati i valori f(0)= 1, f(1)= -1, f(-1)= 6, f(2)= 0, f(-2)= 10, costruire il polinomio di grado minore o uguale a 2 con il metodo dei minimi quadrati valutando "l'accostamento" raggiunto. 9 Ingegneria Aeronautica e Aerospaziale Appello d'esame di CALCOLO NUMERICO del 6/4/94 1. Costruire la spline cubica che interpola i valori x y 0 -18 0.1 0.2 -17.92539 -18.08608 x y 0.3 -18.46497 -0.1 -18.35541 -0.2 -18.96672 assumendo per le derivate prime agli estremi i valori la derivata numerica. 2. Dato il sistema lineare 2x 1 - x 2 + x 3 = 8 x - 2x + x = 7 1 2 4 x 2 + 3x 3 - x 4 = 11 x 1 - x 3 + x 4 = 8 dopo aver verificato che i metodi di Gauss-Sedel e Jacobi risultano convergenti determinare la soluzione con un errore assoluto, in norma 2, minore o uguale a 10 -2 tramite quello dei due metodi che risulta più veloce. 10 Ingegneria Aeronautica e Aerospaziale Appello d'esame di CALCOLO NUMERICO del 1/6/94 1. Studiare l'equazione x3 + x2 -x + 1 = 0 al variare di numero reale. Trovare poi l'unico valore di K per cui l'equazione ha due radici reali ( di cui una di molteplicità due) con errore massimo assoluto minore o uguale di 10-2. 2. Data la matrice 1 3 A 0 0 2 0 2 2 1 3 0 1 0 0 2 1 dopo aver provato che il metodo delle potenze è convergente, determinare gli autovalori di max e min modulo. Indicare anche gli autovettori associati precisando la precisione raggiunta. 11 Ingegneria Aeronautica e Aerospaziale Appello d'esame di CALCOLO NUMERICO del 22/6/94 1. Sia dato il problema di Cauchy y' ' = - g R 2 /y 2 y(0) = H y' (0) = 0 dove g = 9.81 m/sec2 , R = 6.380 •10-6 m, H = 340*106 m. Giustificare che descrive il moto di un oggetto che cade verso la terra, e determinare la soluzione numerica tramite il metodo di Numerov y n+2 - 2y n+1 + y n h2 = 1 (f + 10f n+1 + f n ) 12 n+2 specificando il passo e la precisione nei.risultati. Limitarsi ad eseguire qualche passo di integrazione. Valutare l’errore troncamento e l'intervallo di assoluta stabilità del metodo imponendo che le radici dell’equazione caratteristica siano in modulo minore o uguale di 1. 2. Data la matrice 20 7 3 2 7 5 1 4 A 1 3 1 3 4 1 2 2 calcolare gli autovalori e autovettori normalizzati tramite il metodo Jacobi ciclico. Specificare la precisione dei risultati ottenuti. 12 Ingegneria Aeronautica e Aerospaziale Appello d'esame di CALCOLO NUMERICO del 13/7/94 1. Si valuti il coefficiente di scambio termico in unità BTU di un vapore che lambisce un tubo di raffreddamento. 1/4 (T') h= r(Tv - Tw ) 22/3 3 I 3/4 per r=0.375 inches, Tv = 210 °F, Tw = 202 °F , I= (sen x) 1/3 dx T' = ( Tv - Tw )/2 0 e la funzione (T) è assegnata dalla tabella dei valori (T).10-14 T (T).10-14 T 0.481 .536 100 110 1.130 190 0.606 0.670 0.748 0.820 0.892 0.976 1.051 120 130 140 150 160 170 180 1.218 200 1.280 210 1.327 220 1.376 230 1.430 240 1.503 250 Si illustri adeguatamente le scelte fatte e si dia delle indicazioni sulla precisione del risultato finale e dei risultati di (T’) e di I. 13 Ingegneria Aeronautica e Aerospaziale Appello d'esame di CALCOLO NUMERICO del 14/9/94 1. Integrare con il metodo di Runge-Kutta esplicito, p=4, il seguente problema di Cauchy y'' - 400y = 400cos2 ( t) + 2 2 cos(2 t) y(0) = 0 y'(0) = - 20 giustificando il passo d'integrazione prescelto e la precisione raggiunta confrontando i risultati numerici con quelli ottenuti tramite la soluzione esatta. Discutere infine i risultati. 2. Calcolare l'integrale J= 1 1 cos( 2 sin t - t)dt 0 con la formula di quadratura composta di Gauss-Legendre per n=1 e con errore assoluto di 10-3. Si stimi l'errore analitico senza far uso della derivata della funzione integranda. 14 Ingegneria Aeronautica e Aerospaziale Appello d'esame di CALCOLO NUMERICO del 4/12/94 1. Calcolare l'integrale /4 log(1 + x) sin(10x) dx 0 con una formula di quadratura composita e con un errore assoluto di 10 -3. Si stimi anche l'errore analitico con la procedura del "raddoppio degli intervalli". 2. Determinare la soluzione, espressa tramite funzioni reali, del problema alle differenze y -4y +5y y0n+4= 5 n+3 n+2 y1 = 0 y2 = -4;y3 = -12 15 -4yn+1 +4yn = 4 Ingegneria Aeronautica e Aerospaziale Appello d'esame di CALCOLO NUMERICO del 10/1/95 1. Dato il metodo di predizione e correzione PECE Error! determinare l'errore di troncamento del predittore e correttore. Studiare la stabilità assoluta per reale e indicare la formula per la stima dell'errore locale. Applicare il metodo per la risoluzione del problema non lineare di Cauchy y' = cos y 2 y(0) = 3 determinando i risultati con 3 cifre significative esatte. Confrontare poi i risultati numerici con quelli esatti (si consideri il cambio di variabile t = tg (y/2)). 16 Ingegneria Aeronautica e Aerospaziale Appello d'esame di CALCOLO NUMERICO del 7/6/95 1. Determinare la temperatura della parete di una camera di combustione che contiene gas caldi e disperde calore nell'aria circostante per irraggiamento e convezione. Calcolare poi le frazioni di calore trasferito per irraggiamento e convezione. Illustrare il procedimento di calcolo e la precisione raggiunta. Dati : Taria = 100 °F, Tgas = 1100 °F d = 0.0625 ft. (spessore della parete), K = 25.9 BTU/hr. ft. °F (coefficiente di conduzione dell'acciaio), = 0.171 10-8 BTU/hr. sqft. °R4 ( costante di Boltzmann), = 0.79 (potere di emissione dell'acciaio ossidato), h = 0.21 (Tparete - Taria)1/3 BTU/hr. ft. °F (coefficiente di convenzione) ( lo studente prima di iniziare il calcolo chieda al docente se l'equazione di bilancio termico è esatta) 2. Dato il sistema non lineare 1 x x sin( x1x 2 ) 2 1 0 2 4 2 1 ex (1 )( e 2 x 1 e ) 2 2ex1 0 4 applicare un procedimento iterativo per determinare la soluzione con errore 10 -2. 17 Ingegneria Aeronautica e Aerospaziale Appello d'esame di CALCOLO NUMERICO del 21/6/95 1. Risolvere il problema di Cauchy relativo all'equazione di Blasius f f'' +2 f''' = 0 f (0) = 0 f' (0) = 0 f'' (0) = 0.3 tramite il metodo Runge-Kutta del quarto ordine stimando l'errore locale. 18 Ingegneria Aeronautica e Aerospaziale Appello d'esame di CALCOLO NUMERICO del 10/7/95 1. Calcolare il fattore di compressibilità Z = PV/RT per le temperature T=0° C e 200° C e le pressioni P=1;10;100 atm. Il volume molare è la soluzione dell'equazione di stato di Beattle-Bridgman P= con RT + V V2 + V 3 + V4 Rc RTB * A * 2 T RcB * RTB * b A * a T2 RB * bc T2 dove per il gas naturale-metano vale: A*= 2.2769 ; B* = 0.05587 ; a = 0.01855; b = - 0.01587 ; c= 12.83 104 R = 0.08205 litri atm/ °K g-mole ; °K = °C + 273.15. Determinare il volume con un numero adeguato di cifre significative. 2. Provare che se B1 è una buona approssimazione di A-1 allora una migliore approssimazione è B2=B1 (2I – AB1 ) Indicare una condizione per la convergenza del procedimento iterativo. (Si pensi al residuo I - AB1 e alla sua relazione con l'errore A-1-B1) 19 Ingegneria Aeronautica e Aerospaziale Appello d'esame di CALCOLO NUMERICO del 13/9/95 1.Determinare la distribuzione di temperatura di una aletta di raffreddamento sapendo che essa è la soluzione del problema differenziale d 2T 2hT ( T Ta ), dx 2 T0 Tw dT L 0 dx Kb 0xL dove BTU BTU hT 0.21( T Ta )1 / 3 ; K 25.9 hr sqft F hr ft F Tw 200 F ; Ta 70 F ; b 0.25 in ; L 5 in Valutare poi il calore totale smaltito dall'aletta per unità di lunghezza. 2. Determinare la posizione angolare di una camma per una fissata posizione D dello stelo sapendo che essa è determinata dalla soluzione dell'equazione x f(x) = 0.5 0.5e 2 sin( x ) D 0 0 x . Si ponga D = 0.50 , 0.70 , 0.75 , 1.00 e si applichi un metodo iterativo con test di arresto f( x) . 20 Ingegneria Aeronautica e Aerospaziale Appello d'esame di CALCOLO NUMERICO del 4/10/95 1. una sfera contenente gas ad alta pressione si espande adiabaticamente in acqua (esplosione sottomarina). Determinare il raggio della sfera agli istanti t=0.5; 1; 2; 5; 10 ms sapendo che t r0 dove p0 2 1 (1 2 )(2 ) 1/ 2 3 5 r 1; r0 (raggio iniziale) 1 ft; r0 (densità dell'acqua)=64(lbm/cuft); p 0 (pressione iniziale) = 104 (1bf/sq in) Applicare un metodo iterativo indicando la precisione raggiunta. Determinare inoltre la pressione del gas agli istanti indicati sapendo che .= Cp/Cv vale 4/3. 2. In un circuito RCL la tensione ai capi del condensatore (inizialmente carico alla tensione V*) soddisfa all'equazione differenziale + RCV +V=0 LCV Essendo V* = 100V, R = 100, L = 0.5H, C = 2.10-6 F, determinare la soluzione numerica tramite il metodo di Runge-Kutta p=4 nell'intervallo 0; 0.25 s e confrontarla con quella esatta. 21 Ingegneria Aeronautica e Aerospaziale Appello d'esame di CALCOLO NUMERICO del 31/1/96 1. Data l'equazione differenziale y Py EJ relativa alla trave caricata di punta. Approssimare l'equazione con il metodo alle differenze finite.Determinare quindi, gli autovalori e autovettori del problema discretizzato e, indicare la loro relazione con i carichi critici ottenuti dalla soluzione esatta. 2. Determinare, con 3 cifre significative esatte, le prime 5 radici positive dell'equazione cosh(x) cos(x) = -1 relativa al problema di un’asta vibrante. 22 Ingegneria Aeronautica e Aerospaziale Appello d'esame di CALCOLO NUMERICO del 21/2/96 1. Calcolare l'integrale doppio 1 2 I 1 sin( x 2 y 2 ) 0 1 dxdy 1 x y con precisione 10-2 tramite la formula numerica dei trapezi e del punto di mezzo di Gauss-Legendre. 2. Determinare la parabola di migliore approssimazione dei dati x 2 3 4 5 6 y 2 6 7 5 2 Rappresentare graficamente i dati e la parabola indicando la bontà della approssimazione. 23 Ingegneria Aeronautica e Aerospaziale Appello d'esame di CALCOLO NUMERICO del 10/4/96 1. Un proiettile di massa m e diametro d viene lanciato con velocità V* e alzo *. Le componenti della velocità soddisfano le equazioni differenziali m du F cos dt m dv F sin mg dt dove è l'angolo della velocità V con l’asse delle x, F CD A V2 d2 con A 2 4 e la densità dell’aria. Il coefficiente di attrito CD è funzione del numero di Mach M=V/C secondo la tabella M 0 0.5 0.75 1 1.25 1.5 2 2.5 3 CD 1.6 1.8 2.1 4.8 5.8 5.4 4.8 4.2 3.9 Presentare la procedura di calcolo, con l'ausilio di un flow-chart, per determinare i possibili alzi * affinché il proiettile abbia una fissata gittata R. Indicare quindi i tempi di volo, le velocità di impatto, nonché l’errore di R per una variazione di * di 10 di grado. Effettuare l’integrazione con il metodo di Runge-Kutta del 4º ordine stimando l'errore locale. Dati m=100 lb; g = 32.2 ft/sec2 d = 6 in ; V*=2154 ft/sec = 0.0742 lbm/cft; c = 1137 ft/sec R = (0.5; 1; 2; 4; 6; 8; 10)103 yard. Si effettuino i calcoli con l’ausilio di un programma scritto in linguaggio MATLAB. 24 Ingegneria Aeronautica e Aerospaziale Appello d'esame di CALCOLO NUMERICO del 5/6/96 1. Studiare la propagazione dell'errore algoritmo nel calcolo dei due membri dell’uguaglianza tg ( x ) tg ( y ) sin( x y ) tg ( x ) tg ( y ) sin( x y) con 0 x, y 2 supponendo che le funzioni di libreria che calcolano tg(a) e sin(a) introducano un errore analitico + algoritmo limitato, in modulo dalla precisione di macchina. 2. Si determini il numero delle radici reali dell'equazione log.x = x2 - 1 e dati i due metodi iterativi (a ) xi 1 1 log xi ; (b) xi 1 xi xi e xi 2 1 1 2 xi e xi 2 1 si dica come si comportano le successioni al variare del punto iniziale. Si noti che (b) è il metodo di Newton. 25 Ingegneria Aeronautica e Aerospaziale Appello d'esame di CALCOLO NUMERICO del 26/6/96 1. Data la matrice di ordine n p aij q se i = j se i j trovare a e b tali che A2 = aA+bI = 0; gli autovalori di A, con le proprie molteplicità, utilizzando la relazione precedente (A ha due soli autovalori distinti); gli autovettori di A; la matrice inversa A-1 sfruttando ancora la relazione sopra indicata. 2. Il sistema lineare 3 2 x1 1 1 2 x 2 2 può essere risolto tramite il metodo iterativo x( i1 ) x( i ) ( Ax ( i ) b ) Trovare i valori di che rendono il metodo convergente e indicare quello che conferisce la massima velocità di convergenza. 26 Ingegneria Aeronautica e Aerospaziale Appello d'esame di CALCOLO NUMERICO del 15/7/96 1. Si calcolino i nodi e i pesi della formula di quadratura 1 J f ( x)dx 9a 1 1 f ( x1 ) a2 f (0) a3 f ( x3 ) R 1 in modo che abbia grado di precisione massimo e si indichi una rappresentazione del resto nel caso che f(x) vi sia sufficientemente regolare. 2. Data la matrice B J J cI A = con 0 1 2 1 0 1 2 2 2 0 B , J = 0 0 1 2 1 1 0 1 2 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 determinare i valori di c con precisione di 10-4 che rendono A degenere. 27 Ingegneria Aeronautica e Aerospaziale Appello d'esame di CALCOLO NUMERICO del 11/9/96 1. Data la matrice a blocchi A B N = C D 0 0 0 E I dove le sottomatrici sono quadrate di ordine n. Calcolare il determinante. Posto poi, A=D=I e C=0 di dica se N è diagonalizzabile supposto B ed E non singolare e si calcoli l’inversa di N. Si valuti se le matrici di iterazioni di Jacobi e Gauss-Seidel associate ad N risultano convergenti. Nel caso particolare di 81 36 27 18 98 44 A , B CT , D 36 116 62 68 44 90 si fattorizzi la matrice A B P C D nella forma P=L D LT e si provi che P è definita positiva. 28 Ingegneria Aeronautica e Aerospaziale Appello d'esame di CALCOLO NUMERICO del 25/9/96 1.In quanti sottointervalli deve essere suddiviso l'intervallo di integrazione affinché l'errore di troncamento che si commette approssimando con la formula dei trapezi l'integrale 0.5 log(1 x 2 )dx 0.5 sia minore, in modulo, alla precisione di macchia F (16,6)? Effettuare poi il calcolo con una suddivisione di 10 intervalli valutando la precisione. 2. Si calcoli il polinomio di primo grado che approssima, nel senso dei minimi quadrati, la funzione f ( x ) x nell’intervallo [1;9]. Si calcoli il massimo errore relativo nell'intervallo [1;9]. 29 Ingegneria Aeronautica e Aerospaziale Appello d'esame di CALCOLO NUMERICO del 23/11/96 1.Determinare gli autovalori della matrice 1 i i A= i 1 i i i 1 e una matrice B, se esiste, che diagonalizzi A. 2. Risolvere l'equazione alle differenze 5 y n 3 7 y n 2 14 y n 1 8 y n 0 con le condizioni y 0 0, y1 31 25 , y2 . 6 36 3. Si esaminino i tre metodi iterativi x i1 log x i x i 1 2 i ; x i1 e x ( x i 1 ); 2 i x i 1 x i e x 1 ; x i per risolvere l'equazione ex x 0. x 1 2 30 Ingegneria Aeronautica e Aerospaziale Appello d'esame di CALCOLO NUMERICO del 29/1/97 1. Tramite il metodo di Jacobi calcolare autovettori ed autovalori della matrice : a 1 A , a 1 a Applicare ad A il metodo delle potenze per determinare il raggio spettrale, con , ) T discutendone la convergenza. Fattorizzare A=Q R. vettore iniziale, y ( 0) (11 2. Dato il metodo ad un passo h h 1 f ( x n , y n ) 4 f ( x n , y n hf ( x n , y n )) f ( x n h, y n h( f ( x n , y n ) 6 2 2 h h 2 f ( x n , y n f ( x n , y n )))) 2 2 y n 1 y n scrivere il polinomio di stabilità dopo aver verificato che è un metodo di RungeKutta. Indicare l’ordine del metodo e la regione di stabilità. 3. Data la matrice 0 1 2 A = 1 1 2 2 2 2 determinare il numero di condizionamento nella norma spettrale, (A), con un errore assoluto E 10 2 . 31 Ingegneria Aeronautica e Aerospaziale Appello d'esame di CALCOLO NUMERICO del 19/2/97 1.Date le matrici a blocchi A B I M , S B A iI iI I dove le sottomatrici sono quadrate di ordine n. Calcolare la matrice N=S-1 MS e determinare gli autovalori di M sapendo che 2 i 3i i 1 3 A i 1 2 , B 1 2i i i 3i 3i 2 1 3 Determinare la matrice H che diagonalizzi la matrice M. 2.Data la tabella dei valori x 2 1 -2 -4 0 4 f(x) 2 -1 -2 1 Determinare in modo che il polinomio di interpolazione risulti di grado minimo e trovare le sue radici con precisione assoluta di 10-2. 32 UNIVERSITA' DEGLI STUDI DI PISA - Facolta' di ingegneria Ingegneria Aeronautica e Aerospaziale Appello d'esame di CALCOLO NUMERICO DEL 25/03/97 1. Dati i valori di ( x, f ( x)):( 2, e 1/ 2 ),( 1, e 3 ),(11 , ),(2, e1/ 2 ),(3, e 3 ). Determinare la funzione g ( x) a e bx che meglio approssima i dati nel senso dei minimi quadrati. Valutare la precisione. 2. Dati i valori di ( x , f ( x ), f ( x )):(0,1,0),( / 4, 2 / 2, 2 / 2),( / 2,0,1). Determinare il polinomio d’ interpolazione di Hermite e valutare l’errore /2 /2 f ( x )dx 0 P( x)dx 0 sapendo che le derivate di f(x) sono in modulo minori o uguali ad 1. 3. Si provi che se A A H allora B A4 A3 2 A2 A I e’ non degenere. 33 Ingegneria Aeronautica e Aerospaziale Appello d'esame di CALCOLO NUMERICO del 3/6/97 1.Calcolare l'integrale doppio 1 2 0 1 I dx sin( x y) dy x y 1 con errore assoluto 10-3 tramite la formula composta di Cavalieri-Simpson. 2. Determinare la spline cubica periodica che interpola la funzione f ( x ) 1 x2 x nei nodi x0=0, x1=0.6, x2=0.8, x3=1. 3. determinare il polinomio trigonometrico F(x) che interpola la funzione f ( x) 1 sin(3x) nei nodi x k 2 k , k = 0,1,2,3 . 12 34 Ingegneria Aeronautica e Aerospaziale Appello d'esame di CALCOLO NUMERICO del 14/7/97 1.Studiare il metodo di predizione-correzione P( EC) m E ( P )y (n01) y (nm1) 2hf n( m ) ( E )f n( s11 ) f ( x n 1 , y (ns)1 ) ,s 0,1,2 ,...m 1 h ( C )y (ns11 ) y (nm ) ( f n( m ) f n( s1) ) 2 ( E )f n 1 f ( x n 1 , y n 1 ) e applicarlo alla risoluzione del problema di Cauchy 2x 1 y y 1 x2 y(1) 2 Confrontare i risultati numerici con quelli esatti. 2. Calcolare l'integrale ( 0 sinx 4 ) dx x con una precisione di 10-1. Si verifichi l’integrabilità e si confronti il risultato ottenuto con il valore 1.04719755 che approssima l'integrale a meno di 10-7 . 35 Ingegneria Aeronautica e Aerospaziale Appello d'esame di CALCOLO NUMERICO del 10/9/97 1. Determinare il polinomio trigonometrico che interpola la funzione f ( x ) 3 sinx nei punti x k k ,( k 1,2,3,4,5) . 6 2. Applicare un metodo di predizione-correzione per risolvere il problema di Cauchy y cos y y (0) scegliendo il passo h in modo che la stima di y(0.8) presenti un errore locale non superiore a 0.5 10-2. Si confrontino i risultati numerici con quelli esatti. 36 Ingegneria Aeronautica e Aerospaziale Appello d'esame di CALCOLO NUMERICO del 21/11/97 1. Usando il metodo delle rotazioni di Jacobi, si approssimino gli autovalori e autovettori della matrice 1 0 2 A 0 2 1 2 1 1 Si arresti il processo quando 1 ai(jk ) 2 i j 2 10 2 , , indicando esplicitamente le matrici di rotazione utilizzate. 2. Calcolare a, b, c, in modo che la formula di quadratura h f ( x) haf (h) bf (0) af (h) h cf (h) cf (h) R 2 h abbia grado di precisione massimo. Quindi si dia una rappresentazione del resto R. 37 Ingegneria Aeronautica e Aerospaziale Appello d'esame di CALCOLO NUMERICO del 13/1/98 1. Dato il metodo lineare a due passi yn1 yn h (1 b) f n bf n1 con b parametro reale, studiare l'errore di troncamento e l‘assoluta stabilità al variare di b. 2. Dato il metodo iterativo xi 1 g ( xi ) con 2 f ( s1) ( x) g( x) x 2 f ( s) ( x) h( x) f ( s1) ( x) Si dimostri che il metodo ha ordine di convergenza p = 3 se h( x ) ( s 1) f f ( s) ( x) ( x) dove s è la molteplicità dela radice. Applicare il metodo per determinare la radice reale dell'equazione f ( x) ( x 3 x 1) 2 0 con precisione 10-6 e indicare quante iterazioni avrebbe richiesto il metodo di Newton. Infine stimare il fattore di convergenza. 38 Ingegneria Aeronautica e Aerospaziale Appello d'esame di CALCOLO NUMERICO del 28/1/98 1. Dato il problema di Cauchy y'1 2 y1 y 2 ' y 2 y1 20y 2 y1 0 1 y 0 0 2 ed il metodo lineare ad un passo yi 1 yi h (3 f i 1 f i ) 2 indicare le caratteristiche del metodo e per h = 0.1, h = 0.2, calcolare l’approssimazione di y(0.2), effettuare poi una estrapolazione per h = 0 e confrontare i risultati numerici con quelli esatti. 2. Applicare un metodo alle differenze finite del 4° ordine per determinare un’approssimazione della soluzione del problema differenziale ai limiti y 8 sin 2 ( x )y 0 y( 0 ) 1 y( 1 ) 1 Trovare anche un’approssimazione di y ( 0) . 39 Ingegneria Aeronautica e Aerospaziale Appello d'esame di CALCOLO NUMERICO del 9/6/98 1. Dato lo schema iterativo xn1 xn ((axn ) 2 3(1 axn )) , a > 0 determinare i punti uniti ed i relativi ordini di convergenza. Indicare la scelta del valore iniziale x 0 per la determinazione del punto unito relativo all’ordine di convergenza più elevato. Eseguire i calcoli per a = 7. 2. Data la matrice tridiagonale di ordine n a c A 0 0 b 0 0 a b 0 c a 0 , cb 0 c a determinare la matrice diagonale D tale che B D 1 AD sia tridiagonale simmetrica. Posto n 5, a 2, b 3, c 1, determinare gli autovettori destri e sinistri di A verificando che i ) n 1 2 ij sin( ) , j 1......m n 1 n 1 i a 2b1 cos( x (j i ) sono gli autovalori e autovettori di B con b1 l’elemento della subdiagonale e superdiagonale di B. 40 Ingegneria Aeronautica e Aerospaziale Appello d'esame di CALCOLO NUMERICO del 24/6/98 1. Data la matrice (1 a ) I C = 1 B B A aI con A e B matrici quadrate di ordine n e a numero reale. Fattorizzare C nella forma LR e determinare la relazione tra gli autovalori di A e quelli di D=C-aI. Calcolare gli autovalori di D nel caso 79 / 4 4 13 1 / 4 117 / 4 7 17 1 / 4 A 43 / 2 4 15 1 / 2 . 91 / 4 4 13 11 / 4 2. Sia A una matrice di ordine n definita positiva. Per quali valori di q, il processo iterativo x ( k 1) x ( k ) q(Ax ( k ) I ) risulta convergente. Effettuare i calcoli con 3 1 A= . 1 2 41 Ingegneria Aeronautica e Aerospaziale Appello d'esame di CALCOLO NUMERICO del 15/7/98 1. Dato il problema differenziale ai limiti y (3 cos x ) y y ( ) 0 y ( ) 0 determinare numericamente l’autovalore minimo applicando il metodo delle differenze finite e il metodo delle potenze. 2. Data la matrice B I A 0 0 0 0 B I 0 0 B I I 0 0 B partizionata a blocchi di matrici quadrate di ordine n con B non degenere, Partizionare A nella forma LR, e utilizzare tale fattorizzazione per determinare la soluzione del sistema lineare Ax=b. Effettuare i calcoli sapendo che 1 2 B 2 2 b ( 1,1,1,1,1,1,1,1, )T 42 Ingegneria Aeronautica e Aerospaziale Appello d'esame di CALCOLO NUMERICO del 23/9/98 1. Dato il metodo yn1 yn hf ( yn yn1 ) / 2 relativo al problema di Cauchy y f ( y ) y( a ) determinarne l’ordine, l’errore di troncamento e la regine di stabilità. 2. Determinare la spline cubica naturale, S(x), che interpola i valori x y 0.1 1 0.2 2 0.3 -2 0.4 2 e trovare le radici di S(x) =0 con 5 cifre significative. 43 Ingegneria Aeronautica e Aerospaziale Appello d'esame di CALCOLO NUMERICO del 13/1/99 1. Dati i valori di f(x) : f(0)=2.5 f(1)=6.5 f(2)=23.5 f(3)=108 approssimare f(x) con il metodo dei minimi quadrati nello spazio generato dalle funzioni 2x 3x 4x . Valutare l'errore e risolvere il sistema lineare con un metodo iterativo. 2. Si calcoli la DFT del vettore y ( 0 0.5 1 0.5 0 0.5 1 T 0.5 ) e si scriva il polinomio trigonometrico di interpolazione F8(x) tale che F8 xk dove x k k / 4 , k=0,1,2,…,7. 44 yk , Ingegneria Aeronautica e Aerospaziale Appello d'esame di CALCOLO NUMERICO del 14/4/99 1. Calcolare numericamente l'integrale 1 cos(x) log(x) dx 0 indicando la precisione raggiunta. 2. Approssimare la soluzione del problema ai limiti y' ' = e y y(0) = 0 y(1) = 0 con il metodo alle differenze finite. . 3. Data l'equazione 2x4-kx3+5x+4=0 si dica, facendo uso della successione di Sturm, quante sono le radici reali al variare di k. Per k=23/4 si calcolino tutte le radici con un errore 10-3. 45 Ingegneria Aeronautica e Aerospaziale Appello d'esame di CALCOLO NUMERICO del 14/7/99 1. Data la matrice A, i cui elementi valgono n i a a ij 1 2 , se i j , se i j dove a è un numero reale. Provare che A è definita positiva se a 1. Indicare una limitazione superiore del raggio spettrale della matrice di iterazione relativa al metodo di Jacobi . Posto a=0 calcolare gli autovalori di A e il numero di condizionamento nella norma spettrale. 2. Determinare il polinomio che interpola i valori f(0) = 1 f'(0) = a f(1) = 1 f'(1) = b Posto a = 0 studiare le radici del polinomio al variare di b. Posto b = 0 detereminare i valori di a affinchè il polinomio abbia radici reali e distinte. 46 Data la Ingegneria Aeronautica e Aerospaziale Appello d'esame di CALCOLO NUMERICO del 8/9/99 1. Data la matrice A di ordine n 1 (i 1)q aij pi (i 1)q qp ( j 1)q j , i j , i j , i j Fattorizzare A=LR e determinare i parametri p1, p2,…… pn, q affinchè A sia definita positiva. Posto p1 = p2 =…… pn = q = 1 calcolare A-1 e (A) in norma infinito. Nel caso particolare n=3 e p1 = p2 = p3 = q = 1 calcolare il numero di condizionamento (A) in norma spettrale. 47 Ingegneria Aeronautica e Aerospaziale Appello d'esame di CALCOLO NUMERICO del 22/4/99 1. Determinare i pesi e i nodi affinché la formula di quadratura f x x e x dx A1 f ( x1 ) A 2 f ( x 2 ) E ( f ) 0 abbia grado di precisione massimo. Determinare quindi le costanti c ed r che compaiono nell’espressione del resto E ( f ) c f ( r ) ( ) . 2. Separare la radici dell’equazione 2 e x 1 1 0 x 2 x 1 e approssimarle con errore assoluto E 10-3 dopo aver dimostrato la convergenza del metodo iterativo scelto. 48 Ingegneria Aeronautica e Aerospaziale Appello d'esame di CALCOLO NUMERICO del 12/1/2000 1. Determinare la soluzione del sistema non lineare f1 ( x1 , x2 ) sin( x1 ) sin( x2 ) 1 0 f 2 ( x1 , x2 ) 2 tan( x1 ) tan( x2 ) 0 nel quadrato 0,1 0,1 dimostrando se possibile la convergenza del metodo iterativo scelto. Indicare la precisione raggiunta ed il numero di cifre significative utilizzate per i calcoli. 2. Data la matrice di Wilson 10 7 W 8 7 7 8 7 5 6 5 6 10 9 5 9 10 determinare il numero di condizionamento 2 W e risolvere i sistemi lineari Wx=f, con f1 32;23;33;31 f 2 32.1;22.9;32.9;31.1 f 3 32.01;22.99;32.99;31.01 utilizzando la fattorizzazione W=LR. Stimare una limitazione a priori dell’errore dovuto alla perturbazione di f. Indicare il numero di cifre significative impiegate per i calcoli. 49 Ingegneria Aeronautica e Aerospaziale Appello d'esame di CALCOLO NUMERICO del 2/2/2000 1. Scrivere il polinomio trigonometrico F8 (x) che approssima la funzione f ( x) 0 x 3 x 2 2 2 . 3 x 2 2 , 2. Calcolare gli integrali 1 1 sin 2 x 1 x2 dx , cos x 1 x 0 indicando la precisione del risultato. 50 2 dx Ingegneria Aeronautica e Aerospaziale Appello d'esame di CALCOLO NUMERICO del 16/2/2000 1. Si determini la retta di approssimazione ai minimi quadrati di f(x)=x 2 nell’intervallo [0,1] con i polinomi di Legendre e con i polinomi di Chebyshev di prima e seconda specie. Si determini l’errore assoluto in norma 2 e il resto in norma infinito nei tre casi. 2. Si costruiscano le formule di quadratura per il calcolo dell’integrale 1 0 f ( x) x(1 x) dx della forma 1 S 3 0 f (0) 1 f 2 f 1 2 1 S 3 0 f ( x0 ) 1 f 2 f 1 x0 2 con grado di precisione massimo. Si applichino al caso particolare 1 S 0 log 1 x x1 x dx valutando la precisione del risultato. Il risultato esatto si può ottenere applicando la formula di quadratura di Gauss-Chebyshev con n=3. 51 Ingegneria Aeronautica e Aerospaziale Appello d'esame di CALCOLO NUMERICO del 31/5/2000 1. Si interpoli la funzione f(x)=sin(2x) su [0,1] mediante a. Polinomio di interpolazione di 4° grado con nodi equidistanti; b. Polinomio di Hermite con i nodi del punto a. c. Spline cubica completa con i nodi del punto a. Si stimi l’errore in norma infinito nei tre casi. 2. Data la serie 1 k A k 0 k! eA si verifichi : a. e S 1 AS S 1e A S b. e A ed A hanno gli stessi autovettori associati agli autovalori e e , rispettivamente; c. se det(A)=0 allora eA non è una matrice convergente; d. se e A 1 allora il metodo iterativo: z i 1 M 1 N z i M 1b per la soluzione di Az=b non è convergente (A=M-N); e. se e A 1 e A=AT allora A è semidefinita negativa. 52 Ingegneria Aeronautica e Aerospaziale Appello d'esame di CALCOLO NUMERICO del 21/6/2000 1. Calcolare la densità totale di energia emessa dal corpo nero alla temperatura di T=273.16 K E d 0 dove 8h 3 c 3 e h K BT 1 8 m c 2.9979246 10 s 23 J K B 1.3807 10 K 34 h 6.623 10 J s Indicare la precisione del risultato di E sapendo che le cifre indicate nei parametri c, h, KB, T sono esatte. 2. Risolvere il sistema non lineare 1 1 1 x1 81 cos( x1 ) 9 x 2 3 sin( x3 ) 1 1 x 2 sin( x1 ) cos( x3 ) 3 3 1 1 1 x3 9 cos( x1 ) 3 x 2 6 sin( x3 ) con il metodo x i 1 g x i e con il metodo di Newton. Studiare la convergenza T 1 dei metodi sapendo che la soluzione è 0, , 0 al variare del punto iniziale. 3 53 Ingegneria Aeronautica e Aerospaziale Appello d'esame di CALCOLO NUMERICO del 12/7/2000 1. Dato il metodo iterativo D~ x (B C)x k b k 1 w x k 1 w ~ x x per la soluzione del sistema lineare Ax=b si scriva la matrice d’iterazione e si determinino i valori di w per i quali il metodo converge sapendo che A=D-B-C è di dimensione 3, e gli autovalori di D-1A valgono 1 0.5, 2 1, 3 2 . Indicare w per cui si ha massima velocità di convergenza. 2. Dato il metodo esplicito a due passi: u n 1 2 a u n a 1u n 1 h 1 a 2 a f n a 1 f n 1 si studino al variare di a le caratteristiche del metodo e lo si applichi per approssimare la soluzione del problema di Cauchy: 1 2 y 2 y 1 x 2 y (1) 1 2 con un’opportuna scelta di a. 54 Ingegneria Aeronautica e Aerospaziale Appello d'esame di CALCOLO NUMERICO del 6/9/2000 1. Determinare l’ordine e l’intervallo di stabilità del metodo di Runge-Kutta semimplicido h y n 1 y n k1 3k 2 4 k1 f x n , y n k 2 f x n 2 h, y n 1 hk1 1 hk 2 3 3 3 Si determini quindi una limitazione del passo h in modo da integrare correttamente il problema di Cauchy: y 2 y y y 1 2 3 1 y 2 y1 2 y 2 y 3 y 3 y1 y 2 2 y 3 , y1 0 1 y 2 0 0 y 0 0 3 Posto h=0.1 calcolare y(0,2). Confrontare i risultati numerici con quegli esatti. 2. Determinare l’errore relativo algoritmico e l’errore relativo propagato nel calcolo dalla frazione continua di ordine 3 : F (a1 , a 2 , a3 ) a1 55 1 1 a2 a3 . Ingegneria Aeronautica e Aerospaziale Appello d'esame di CALCOLO NUMERICO del 20/9/2000 1. Dato il metodo iterativo: xn 1 g xn g x x 4 35 3 1 x 5x 2 x 8 2 Studiare la convergenza e l’ordine di convergenza in corrispondenza delle varie radici. Verificare inoltre empiricamente l’ordine di convergenza del metodo nei casi in cui esso risulta convergente. 2. Dato il metodo esplicito a due passi 1 1 1 1 1 1 2 1 y n 1 2 y n 2 1 y n 1 h 2 2 f n 2 f n 1 2 2 6 4 4 3 3 6 studiare al variare di le caratteristiche del metodo e applicarlo per approssimare la soluzione del problema di Cauchy : y 10 y 12 y 0 2 con il valore di più opportuno. Si confrontino infine i valori numerici con quelli esatti. 56 Ingegneria Aeronautica e Aerospaziale Appello d'esame di CALCOLO NUMERICO del 11/1/2001 1. Risolvere il sistema non lineare : 4 x12 x 22 4 x1 x 2 sin x1 x 2 con un metodo iterativo provando, se possibile, la convergenza osservando che, il sistema può essere ridotto ad un’unica equazione. 2. Determinare la retta che approssima nel senso dei minimi quadrati la funzione f ( x) ex , 1 x 2 x in modo che l’errore relativo nel calcolo dei coefficienti c 0 , c1 della retta sia c c 2 2 dove c c0 , c1 T e c c1 ,c2 . 57 10 2 Ingegneria Aeronautica e Aerospaziale Appello d'esame di CALCOLO NUMERICO del 31/1/2001 1. Studiare il metodo predictor-corrector h 23 f xn , y n 16 f xn1 , y n1 5 f xn2 , y n2 12 h 0 yn 9 f x n 1 , y n 1 19 f x n , y n 5 f x n 1 , y n 1 f x n 2 , y n 2 24 y n01 y n y n11 e applicarlo per risolvere il problema di Cauchy: 1 2 y 2 y 1 x2 y 0 0 , x0 Si utilizzino i valori esatti per innescare il metodo sapendo che la soluzione è y x . 1 x2 Calcolare la soluzione per due diversi valori del passo h per verificare sperimentalmente l’ordine del metodo. 2. Data la successione: y n 1 y n 1 2y n , y 0 1, y1 e determinare R per cui y10 sia una buona stima di e10 58 Ingegneria Aeronautica e Aerospaziale Appello d'esame di CALCOLO NUMERICO del 10/1/2002 1. Si calcoli x 3 10 S x dx 0 e 1 con un errore assoluto minore di 10-2 e con un numero di valutazioni della funzione integranda minimo. 2. Si approssimi la funzione f ( x) 1 x3 sull’intervallo 1,1 con un polinomio di grado più basso possibile in modo che f ( x) p( x) 1 10 2 . 2 3. Dato il problema differenziale: u u f ( x) u (0) k u (0) 0 u (1) 0 scrivere l’equazione variazionale associata e, se esiste, il funzionale da minimizzare. Dimostrare che per certi k la soluzione non esiste (si ricorda la disuguaglianza v c v H , v H 2 ). Posto poi k=1 e f(x)=sin(x) si trovi un’approssimazione dell’equazione variazionale nel sottospazio di 2 59 dimensione 4 delle funzioni lineari a tratti e si confrontino i risultati numerici con quelli ottenuti dalla soluzione esatta. Ingegneria Aeronautica e Aerospaziale Appello d'esame di CALCOLO NUMERICO del 30/1/2002 1. Data la matrice pentadiagonale A=pentadiag10(-1,-1,10,-1,-1) Si ponga A=M+N+D con D=diag10(8,8,…,8) M=pentadiag10(-1,-1,1,0,0) N=MT e si considerino i metodi iterativi a) (M+D)x(k+1)=-Nx(k)+b b) Dx(k+1)=-(M+N)x(k)+b. c) (M+N)x(k+1)=-Dx(k)+b Si dica quali tra i metodi iterativi proposti convergono alla soluzione del sistema Ax=b con bR10 . Indicare poi, il costo computazionale per iterazione. 2. Indicare il numero di autovalori complessi della matrice 0 0.5 4 0 2 4 3 2 A 0.5 0 1 0 0.5 0 0.2 3 2 0.5 1 3 0 1 0 0 4 si valuti (A) con 6 cifre significative esatte (A è riducibile nella forma M1 M 2 con M1 R 22 , M 3 R33 ; si considerino i teoremi di Gershgorin). 0 M 3 60 Ingegneria Aeronautica e Aerospaziale Appello d'esame di CALCOLO NUMERICO del 13/24/2002 1. Sia A 1 ωM N ωP con M-1N non degenere e con autovalori reali 1 2 .... n . Trovare i valori di R per i quali il metodo iterativo 1 Pxk 1 N Pxk b risulti convergente x0 e il valore di ottimale. 2. Dato il problema di Cauchy y1 10 y2 y1 y 70 y y y y 2 1 2 1 3 8 y3 3 y3 y1 y2 y1 0 y2 0 y3 0 1 determinare la soluzione numerica con il metodo di Runge-Kutta del 4° ordine classico e valutare la precisione. 61 Ingegneria Aeronautica e Aerospaziale Appello d'esame di CALCOLO NUMERICO del 29/5/2002 coordinate della funzione f x i 103 / sinh x i , per xi i , i 0,1,2,...,10 . Si determini la parabola di migliore approssimazione nel senso dei minimi quadrati (nel discreto) valutando l’effetto della funzione peso e-x. Si indichi la stima dell’errore 1. Siano note le 2. Trovare la soluzione del sistema x1 2 x2 3 2 2 2 x1 x2 5 8 9 e il flesso della funzione f ( x) e x 3 indicandone la precisione e la 40 x convergenza del metodo iterativo impiegato. 62
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