Corso di laurea in Matematica (3 anni)
Programma preventivo del Corso di Geometria 4 -- a.a.2006-07
(Curve piane e geometria differenziale)
[Codice: SM077 -- CFU 7,5] -- prof. Walter Spangher
Richiami di geometria euclidea (in R2,R3):
Orientazioni; coordinate contravarianti e covarianti; particolari
endomorfismi di spazi vettoriali euclidei; prodotto vettoriale e misto; complessificazione e spazi proiettivi; Luoghi geometrici e
problemi relativi; circoli e sfere - relativi problemi; concetto di eliminazione e di estensione-proiezione; Curve piane notevoli;
generazioni di superfici: cilindri,coni,conoidi,superfici di rotazione; quadriche.
Curve algebriche piane (proiettive):
richiami di algebra dei polinomi; intersezione, punti semplici,singolari, cono
tangente; risultante,discriminante ed eliminazione; teorema di Bézout; nozione di inviluppo; formule di Plucker; sistemi
lineari; genere,curve razionali e criteri di razionalità; Cenni su superficie algebriche e curve algebriche in P3(C).
Richiami di algebra multilineare (caso dei moduli liberi):
prodotto tensoriale, dualità, algebra tensoriale;
tensori -covarianza e contravarianza; cenni sull'algebra simmetrica; algebra esterna, richiami sul determinante; dualità
nell'algebra esterna; caso particolare degli spazi euclidei.
Geometria euclidea di Rn:
richiami topologici e differenziali; spazio tangente e nozione di differenziale; prodotto
esterno, vettoriale e misto; riferimento mobile e proprietà; forme differenziali e prime proprietà.
Curve (in geometria differenziale):
archi parametrati ed equivalenza; lunghezza d'arco; archi regolari e retta
tangente; archi definiti da forme implicite, esplicite, parametriche: legami; teoria del contatto; formule di Frenet; piano e
circolo osculatore; invarianti (ordine 1,2, 3); equazioni intrinseche e determinazione per curvatura e torsione.
Inviluppi di rette e piani (caso: tengenti e piani osculatori).
Superfici (in geometria differenziale): a)
discussione sui vari aspetti della nozione intuitiva di superficie; varietà
parametrate (regolari), definite implicitamente, ecc. ; definizioni globali ed intrinseche; spazio tangente e differenziale;
contatti.
b) superfici regolari; piano tangente; diffeomorfismi; differenziale di un'applicazione differenziabile; versore normale;
superfici orientabili e non; prima forma fondamentale; curve integrali; geodetiche;
applicazione di Gauss; seconda forma fondamentale; curvatura normale e relative proprietà; direzioni e curvature principali;
curvatura gaussiana; determinazione tramite le due forme fondamentali (teor. di Bonnet); indicatrice di Dupin e
classificazione dei punti- applicazioni.
Forme differenziali: definizioni ed alcune applicazioni al caso delle superfici di
R3 .
P.S.:
molti teoremi saranno soltanto enunciati e quindi molte dimostrazioni saranno omesse e/o sostituite con esempi e
casi particolari (per chiarire il loro significato).
Testi seguiti e letture consigliate:
- Bertin J.E - Bertin M.J., Algèbre linéaire et géométrie classique, Masson, Paris (1981)
- do Carmo M.P., Differential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice-Hall (1976)
- Comessatti A., Lezioni di geometria analitica e proiettiva, Cedam, Padova (1946-62).
- Klingenberg W., A course in Differential Geometry, Springer, Berlin (1978).
- Lelong-Ferrand J., Géométrie differentielle (Tenseurs-Formes différentielles),
Masson,Paris (1963)
- Predonzan A., Lezioni di geometria -Vol. II - Curve piane algebriche,
Tipografia Moderna Ed., Trieste (1972).
- Predonzan A., Lezioni di geometria (Geometria differenziale delle curve e delle superficie),
Copisteria Univ.Trieste, (1962).
