Dimostrazioni x esame di Statistica

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RIPASSO teorico e dimostrazioni per esame di STATISTICA
Note. Qui troverai le domande teoriche e le relative risposte ad alcuni tra
i più importanti quesiti teorici dell'esame di Statistica.
Questo lavoro non ha alcuna pretesa di completezza e probabilmente
conterrà degli errori (nessuno è perfetto). Anzi se ne trovi segnalali
all’indirizzo Email [email protected]
Col presente lavoro non si è voluto nemmeno sostituire i testi e le lezioni
universitarie, che restano le principali fonti della preparazione all'esame,
cui ci si dovrà SEMPRE riferire.
Tuttavia, SOLAMENTE in fase di ripasso finale, può essere utile riferirsi
a questi appunti, al fine di verificare la propria preparazione teorica prima
dell’esame.
Se hai trovato utili questi esercizi e questo metodo di preparazione dell’esame
collegati al sito internet www.profste.com dove troverai altre informazioni utili ai
tuoi studi e non solo. Potrai inoltre scaricare una copia aggiornata e gratuita di
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1. Dare la definizione della scala di modalità nominale e fornire un esempio oppure definire
le scale di modalità (appunti)
2. Dare la definizione/formula di mediana e indicarne le/la proprietà (appunti).
3. Dare la definizione/formula e indicare o dimostrare le proprietà della media aritmetica
(appunti).
4. Dimostrare la proprietà di minimo della media aritmetica oppure si dimostri che
 (xi – A) fi   (xi –) fi con A costante reale (appunti).
5. Dimostrare che y = a x + b , sapendo che il fenomeno x, con media paria x , è legato al
fenomeno Y dalla relazione Y = a X + b oppure sapendo che Y = a + b X dimostrare che
y = a + bx oppure proprietà della trasformazione lineare di 
6. Dimostrare la proprietà di internalità di Cauchy.
7. Dare la definizione/formula e indicare o dimostrare le proprietà della media geometrica.
8. Dare la definizione/formula della media geometrica e indicarne il metodo indiretto di
calcolo attraverso i logaritmi, con dimostrazione (appunti).
9. Dare la definizione/formula e indicare o dimostrare le proprietà della media armonica.
10. Siano X e Y due fenomeni quantitativi, legati dalla relazione Y = a /X, con a > 0,
dimostrare che  -1(y)= a / x .
11. Si fornisca la definizione/formula di media potenziata di ordine s e si elenchino le
proprietà di cui essa gode (appunti).
12. Criteri per la scelta delle medie oppure Chisini e CENTRI
13. Dimostrare che 2= (2) - 2 oppure Metodo indiretto di calcolo della varianza.
14. Si cosideri la relazione lineare Y = a + bX , ( a e b costanti reali, b0), tra le due variabili
statistiche X e Y e si dimostri che VAR(Y) = b2 Var (X) opppure se Y = aX + b si
dimostri che 2y = a2 2x
15. Definire gli impieghi e fornire la formula/definizione del coefficente di variazione CV
(appunti).
16. Definire la differenza media quadratica con ripetizione e dimostrare il legame con lo
17.
18.
19.
20.
21.
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23.
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26.
27.
scarto quadratico medio oppure dimostrare che (2)R =  √2 ̅
La concentrazione: per quali fenomeni è possibile valutarla, come si rappresenta
graficamente e l’indice utilizzato per misurarla (con relativa formula).
Definire i concetti di connessione e di indipendenza statistica e, dopo aver deciso quale
delle due si presta ad essere valutato tramite un indice, si fornisca la formula dell’indice
opportuno.
Definire l’indice di connessione 2 di Pearson e indicarne il metodo indiretto di calcolo.
Dimostrare che 2max = n  min (h - 1) , (k – 1 )  oppure 2max = n  (min tra h e k) - 1

Dimostrare che, in una tabella a doppia entrata, la media generale è ottenibile sia
mediante la media delle medie parziali o condizionate (proprietà associativa)che
calcolandola sulla distribuzione marginale.
Proprietà di scomposizione della varianza.
Fornire la definizione e le formule della varianza spiegata e della varianza residua della
funzione di regressione
Definire i concetti di dipendenza in media e di indipendenza in media e, dopo aver
deciso quale delle due si presta ad essere valutato tramite un indice, si fornisca la formula
dell’indice opportuno.
Definire l’indice di dipendenza in media x2 di Pearson.
Siano X eY due fenomeni quantitativi statisticamente indipendenti. Dimostrare che x2 =
0 oppure y2 = 0 oppure Dimostrare che, in caso di indipendenza statistica, x2= 0 e/o
y2= 0 oppure vi è anche indipendenza in media oppure assenza di dipendenza in
media.
Dare la formula/definizione della covarianza xy e discuterne il segno e/o.i suoi utilizzi.
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28. Fissata l’attenzione sulla covarianza xy , si dica di quale momento si tratta e si dimostri
che: xy = xy - x y oppure metodo indiretto di calcolo della covarianza.
29. Dare la formula/definizione della covarianza xy e indicarne le proprietà.
30. Dati due fenomeni quantitativi x e y dimostrare che l’indipendenza statistica implica
l’incorrelazione oppure dimostrare che se 2.= 0 allora xy = 0 e/o =0
31. Dati due fenomeni quantitativi x e y dimostrare che  è invariante alle trasformazioni
lineari.
32. Dati due fenomeni quantitativi, dimostrare che l’indipendenza in media implica
l’incorrelazione oppure dimostrare che se x2= 0 e/o y2= 0 allora xy = 0.
33. Si dia la definizione e si indichino gli impieghi del coefficente di correlazione lineare 
di BRAVAIS oppure di BRAVAIS PEARSON.
34. Enunciare e discutere la condizione dei minimi quadrati oppure retta interpolante ai
minimi quadrati oppure retta di regressione
35. Definire la doppia interpolante l’uso del coefficente di correlazione lineare .
36. Fornire la definizione di probabilità oppure le definizioni di probabilità (appunti).
37. Fornire la definizione assiomatica di probabilita’ oppure fornire i 3 assiomi di
probabilità (appunti).
38. I teoremi di probabilità (appunti).
39. Dare la definizione di eventi incompatibili e di evanti indipendenti (appunti).
40. Dare la definizione di eventi complementari e verificare che sono anche incompatibili
(appunti).
41. Definizione di evento condizionato oppure di probabilità condizionata (appunti).
42. Fornire la definizione di variabile casuale (v.c.) (appunti).
43. Fornire la definizione di variabile casuale (v.c.) e si dica cosa differenzia le v.c. discrete
dalle v.c. continue(appunti).
44. Proprietà del valore atteso E(X) e della varianza VAR(X) di una variabile casuale v.c.
45. Sia X una variabile casuale (v.c.) disceta. Dare la definizione/formula ed un esempio della
corrispondente funzione di ripartizione (appunti).
46. Si dia la definizione di variabile casuale (v.c.) Bernoulliana e si fornisca un esempio di
esperimento casuale interpretabile mediante tale v.c. (appunti)
47. Si dia la definizione di variabile casuale (v.c.) Binomiale e si fornisca un esempio di
esperimento casuale interpretabile mediante tale v.c. (appunti)
48. Si dia la definizione di variabile casuale (v.c.) Normale o Gaussiana. (appunti)
49. Sia X una variabile casuale (v.c.) normale oppure gaussiana, con media E(X) =  e
varianza VAR(X) = 2. Definita la v.c. Z = (X - )/ , si calcolino, fornendo tutti i
passaggi, la media/valore attteso e la varianza .di Z oppure definire la v.c. Normale
Standardizzata. (appunti)
50. Fornire le proprietà degli stimatori.
51. Fornire la definizione dello stimatore media campionaria X oppure variabile casuale
media campionaria e sue proprietà
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RISPOSTA 5: Proprietà trasformazione lineare di 
Se y = a + b X si ha che y = a + b x
Dimostrazione:
y = 1/n ∑ yi = 1/n ∑ ( a + b xi ) = 1/n ∑ a + 1/n ∑ b xi =
= 1/n n a + 1/n b ∑ xi = a + b x c.v.d.
RISPOSTA 6: Proprietà di internalità di Cauchy
Si dimostra questa proprietà con riferimento alla media aritmetica 
X1 ≤  ≤ xkù
Dimostrazione:
È sicuramente possibile affermare che:
∑ X1 fi ≤ ∑ Xi fi ≤ ∑ Xk fi
da cui:
X1 ∑ fi ≤ ∑ Xi fi ≤ Xk ∑ fi
dato che:
∑ fi = n
si ha che:
n X1 ≤ ∑ Xi fi ≤ n Xk
n X1 ≤ n  ≤ n X k
dividendo i tre membri della diseguaglianza per n, si ottiene:
X1 ≤  ≤ Xk c.v.d.
RISPOSTA 7: Proprietà della media geometrica  0
1. Se Y = a Xb si ha che  0Y = a ( 0X)b
Dimostrazione:
 0Y = (  yi)1/n = (  a xib)1/n = ( an   xib)1/n=
= (an)1/n (   xi1/n)b= a (   xi1/n)b = a ( 0X)b c.v.d.
2. Se Z = x/y si ha che  0Z =  0X/ 0Y ovvero la media
geometrica di un rapporto è pari al rapporto tra le medie
geometriche.
Dimostrazione:
 0Z = (  zi)1/n = (  xi/ yi)1/n = (  xi/yi)1/n =
= (  xi)1/n /(yi)1/n =  0X/ 0Y c.v.d.
3. Vedi appunti
RISPOSTA 8: Metodo indiretto di calcolo della media geometrica  0
 0 = (  xi )1/n
facendo il log di entrambe i membri si ottiene:
log 0 = log(  xi )1/n
log 0 = 1/n log  xi
log 0 = 1/n  log xi
si è così mostrato come il log della  0 è pari alla µ dei log delle intensità xi
Viene così prima calcolato log 0 per poi farne l’antilog determinando  0
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RISPOSTA 9: Proprietà della media armonica  -1
1. Se Y = a/X si ha che  -1Y = a/X
Dimostrazione:
 -1Y = n/(1/yi) = n/ (1/a/xi) =
an/xi = a/(1/nxi) = a/X c.v.d.
2. Proprietà di omogeneità che viene dimostrata per µ per
semplicità, ma vale per tutte le medie analitiche
appartenenti alla famiglia delle medie potenziate µs
Se Y = aX si ha che Y = aX
Y = 1/n yi = 1/n axi = a/n xi = aX c.v.d.
3. Vedi appunti
RISPOSTA 12: Criteri per la scelta delle medie/Chisini e CENTRI
Per prima cosa è necessario tener presenti i limiti nella scelta della media
più opportuna derivanti dal tipo di carattere e dalla scala sulla quale lo
stesso viene rilevato. Ad es.un carattere qualitativo su scala nominale
permette di determinare solo la moda.
Se si dispone di un carattere quantitativo, è possibile applicare i seguenti
due criteri formali:
1. Criterio di invarianza di Chisini, secondo il quale non erano
importanti tanto i singoli valori, quanto una funzione degli stessi,
da lasciare inalterata mediante una media opportuna:
f(x1,x2,x3,…,xn) = f(x,x,x,…,x)
Ad esempio, se la funzione dei valori è la somma, questa viene
lasciata inalterata dalla media aritmetica µ
2. Criterio di ottimizazione di Herzel, il quale concentra la propria
attenzione sulla funzione di perdita definita come:
|xi - |s
dove , chiamato centro di ordine s, è una media
opportunamente scelta al fine di minimizzare la funzione di
perdita, che varia a seconda dell’ordine s dato alla funzione di
perdita.
In particolare:
per s=1 si ha =m0,5
per s=2 si ha =µ
per s=0 si ha =m0
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RISPOSTA 13: Metodo indiretto di calcolo della varianza 2
2 = 1/n  (xi - µ )2 fi
svolgendo il quadrato del binomio si ottiene:
2 = 1/n  (xi2 + µ2 – 2 xi µ) fi
applicando la proprietà associativa di  e moltiplicando nel contempo per
1/n e per fi si ha:
2 = 1/n  xi2 fi + 1/n  µ2 fi – 2/n  xi µ fi
applicando la proprietà di omogeneità di  si ottiene:
2 = 1/n  xi2 fi + µ21/n  fi – 2µ 1/n  xi fi
da cui:
2 = µ(2) + µ2 n/n - 2µ µ
2 = µ(2) + µ2 - 2µ2
2 = µ(2) - µ2
RISPOSTA 14: Proprietà trasformazione lineare per la varianza 2
Se Y = a + bX si ha che 2y = b2 2x
Dimostrazione:
2y = 1/n  (yi - µy)2 fi
2y = 1/n  (a+bxi – a-bµx)2 fi
2y = 1/n  b2 (xi - µx)2 fi
2y = b2/n  (xi - µx)2 fi
2y = b2 2x c.v.d.
(2) R
RISPOSTA 16: Legame tra  e 
(2) R
 = { 1/n2 ij (xi – xj)2}1/2
Si toglie e aggiunge µ ottenedo:
(2) R
 = { 1/n2 ij (xi – µ + µ - xj)2}1/2
(2) R
 = { 1/n2 ij [(xi – µ) - (xj - µ)]2}1/2
Svolgendo il quadrato del binomio si ha:
(2) R
 = {1/n2 ij [(xi – µ)2 + (xj - µ)2 - 2(xi – µ) (xj - µ)]}1/2
Si applica la proprietà associativa di  e nel contempo si moltiplica per
1/n2, ottenendo:
(2) R
 = {1/n2 ij (xi – µ)2 + 1/n2 ij (xj - µ)2 - 2/n2 ij (xi – µ) (xj - µ)}1/2
Applicando la proprietà di omogeneità di  si ha:
(2) R
 = {n/n2 i (xi – µ)2 + n/n2 J (xj - µ)2 - 2/n2 i (xi – µ) j (xj - µ)}1/2
(2) R
 = {1/n i (xi – µ)2 + 1/n J (xj - µ)2 - 2/n2 i (xi – µ) j (xj - µ)}1/2
(2) R
 = {2 + 2 - 2/n2 0 0}1/2
(2) R
 = {22}1/2
(2) R
 =  {2}1/2
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RISPOSTA 17: Concentrazione
La concentrazione è l’attitudine di un fenomeno a distribuire frazioni
elevate della propria intensità su frazioni ridotte della popolazione. Ad es.
Il 90% del reddito è nelle mani del 5% della popolazione. La
concentrazione è perciò, ovviamente, studiabile solo per fenomeni
trasferibili o completamente trasferibili, come appunto ad esempio il
reddito, dove cioè sia possibile pensare di spostare l’intensità da un’unità
statistica all’altra.
Per rappresentare la concentrazione si utilizza il diagramma o spezzata di
Lorenz.
Per misurare la concentrazione si utilizza il Rapporto di concentrazione R o
Area di concentrazione normalizzata Ã, dato dal rapporto tra A (area di
concentrazione) e AMAX (area di massima concentrazione):
R= Ã = [1 -  (Vi + Vi-1)fi/n]/Pk-1
Questo indice normalizzato assume valore 0 in caso di assenza di
concentrazione/equidistribuzione, cresce al crescere della concentrazione
presente, fino ad assumere valore 1 in caso di massima concentrazione.
RISPOSTA 18: Connessione-Indipendenza Statistica (IS)
Si ha ad es. IS di Y da X se le distribuzioni condizionate di Y/Xi sono simili
tra loro e simili alla distribuzione marginale di Y. In questo caso infatti non
c’è influenza di un carattere sull’altro, dato che al variare di X non muta la
proporzione che assume ciascuna modalità yj.
L’ IS è una relazione SEMPRE biunivoca ovvero se c’è IS di Y da X
necessariamente si avra anche IS di X da Y.
E’ raro che vi sia IS tra due caratteri, più spesso si osservano fenomeni di
connessione, ovvero di una certa influenza di un carattere sull’altro, che
può essere più o meno elevata.
Sarà quindi utile misurare la connessione attraverso un opportuno indice,
che assuma valore 0 in assenza di connessione (IS) e cresca
all’aumentare della connessione presente.
Per poter poi effettivamente valutare se la connesione presente è più o
meno elevata, è necessario disporre di un indice di connessione
normalizzato, che vari tra 0 (assenza di connessione/IS) e 1 (massima
connessione).
L’indice di connesione è 2 di Pearson, per normalizzarlo è necessario
rapportarlo al suo massimo 2MAX, cioè al valore che lo stesso indice
assume in caso vi sia massima connessione. Si indicherà di seguito la
formula indiretta di calcolo dell’indice suddetto.
2 = n[(f2ij/fi. f.j) – 1]
2max = n  min (h - 1) , (k – 1 ) 
̃2 = 2/2MAX
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RISPOSTA 19: Indice di connessione 2 di Pearson
2 = ij(fij - f*ij)2/f*ij
2
 = ij[fij – (fi. f.j)/n]2/(fi. f.j)/n
2 = nij[fij – (fi. f.j)/n]2/(fi. f.j)
Svolgendo il quadrato del binomio e facendo il m.c.m. si ottiene:
2 = nij(n2f2ij + f2i. f2.j – 2n fij fi. f.j)/(fi. f.j)
Semplificando opportunamente si ha:
2 = n[(f2ij/fi. f.j) – 1]
che è la formula indiretta di calcolo del 2
RISPOSTA 20: Dimostrazione 2max = n  (min h e k) – 1 
Essendo 2 = n[ij (f2ij/fi. f.j) – 1]
Si concentri l’attenzione sulla ij (f2ij/fi. f.j)
Si può certamente affermare che:
ij (f2ij/fi. f.j) ≤ ij (fij fi./fi. f.j) = ij (fij/f.j) = j1/ f.j i fij = jf.j/f.j = h
Analogamente si può affermare che:
ij (f2ij/fi. f.j) ≤ ij (fij f.j /fi. f.j) = ij (fij/ fi.) = i1/ fi. j fij = ifi./fi. = k
Riassumendo si è mostrato come:
ij (f2ij/fi. f.j) ≤ h e nel contempo ij (f2ij/fi. f.j) ≤ k
E’ per cui chiaro come:
il massimo valore della ij (f2ij/fi. f.j) sia il minore tra h e k
Sostituendo nella formula del 2 si ottiene: 2max = n  (min h e k) – 1 
RISPOSTA 21: Proprietà associativa µ in statistica bivariata
Questa è la formula di µy calcolata sulla distribuzione marginale
µy = 1/n j yj f.j
Si dimostrerà come la stessa media sia ottenibile anche mediante le medie
parziali o condizionate, infatti:
µy = 1/n i µy/Xi fi.
Sapendo che:
µy/Xi = 1/ fi. j yj fij
Sostituendo si ottiene:
µy = 1/n i (1/ fi. j yj fij ) fi.= 1/n i (1/ fi. j yj fij ) fi.=
= 1/n i fi. (1/ fi. j yj fij) = 1/n j yj i fij = 1/n j yj f.j = µy
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RISPOSTA 22: Proprietà di scomposizione della varianza
2y = 1/n j (yi - µy)2 fi. = 1/n j (yj - µy)2 i fij =
= 1/n ij (yj - µy)2 fij
Si toglie e aggiunge µy/Xi :
2y = 1/n ij [(yj - µy/Xi)+(µy/Xi - µy)]2 fij
Svolgendo il quadrato del binomio si ottiene:
2y = 1/n ij[(yj - µy/Xi)2+(µy/Xi - µy)2+2(yj - µy/Xi) (µy/Xi - µy)]fij
Si applica ora la proprietà associativa di  e nel contempo si moltiplica per
1/n e per fij :
2y =1/nij(yj -µy/Xi)2fij+1/n ij(µy/Xi-µy)2fij+2/n ij (yj - µy/Xi) (µy/Xi - µy)fij
Grazie alla proprietà di omogeneità di  si ha:
2y =1/nij(yj -µy/Xi)2fij+1/n i(µy/Xi-µy)2jfij+2/n i(µy/Xi - µy)j (yj - µy/Xi) fij
Sapendo che, per la proprietà di µ, j (yj - µy/Xi) fij = 0 l’espressione si
semplifica e diventa:
2y =1/nij(yj -µy/Xi)2fij+1/n i(µy/Xi-µy)2fi.
Dove il secondo addendo:
1/n i(µy/Xi-µy)2fi. = 2y
è una varianza delle medie parziali ed è detto varianza spiegata che si
indica con 2y
Concentrandosi invece sul primo addendo:
1/nij(yj -µy/Xi)2fij
moltiplicando e dividendo per fi. si ottiene:
1/ni fi. [1/fij j(yj -µy/Xi)2fij]
2
essendo 1/fij j(yj -µy/Xi) fij = 2y/Xi si ha:
1/ni2y/Xi fi. = 2y
che è una media delle varianze parziali, detta varianza residua che si
indica con 2y
Si è così dimostrata la scomposizione della varianza come:
VAR TOTALE = VAR RESIDUA + VAR SPIEGATA
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RISPOSTA 23: Definizione di VAR RESIDUA e VAR SPIEGATA
Si dimostra che la varianza può essere scomposta come:
VAR TOTALE = VAR RESIDUA + VAR SPIEGATA
La varianza residua è una media delle varianze parziali, anche detta
varianza nei gruppi ed è definita come 1/ni2y/Xi fi. = 2y
La varianza spiegata è una varianza delle medie parziali, anche detta
varianza fra i gruppi ed è definita come 1/n i(µy/Xi-µy)2fi. = 2y
RISPOSTA 24:Dipendenza in Media(DM)/Indipendenza inMedia(IM)
Dato un carattere quantitativo, ad es. Y, in una tabella a doppia entrata, si
dice che y è indipendente in media da X se le medie condizionate di Y/Xi
sono uguali tra loro e uguali alla media generale µy quindi se si ha:
µy/Xi = µy i
E’ raro che vi sia IM, più frequentemente si ha Dipendenza in Media(DM),
che può essere più o meno elevata. E’ perciò utile misurare attraverso un
opportuno indice normalizzato di DM che assume valore 0 in caso di
assenza di DM( quindi IM), cresce al crescere della DM presente e assume
valore 1 in caso di massima DM. L’indice è definito dal rapporto tra la
varianza spiegata e il suo valore massimo, che è la varianza totale, data la
scomposizione VAR TOT = VAR RES + VAR SPIEG.
L’indice è chiamato y2 di Pearson:
y2 = 2y/2y
2
RISPOSTA 25: Indice x di Pearson
Vedi risposta 23 da riferire a X invece che a Y
RISPOSTA 26: Due caratteri quantitativi tra loro IS sono anche IM
La dimostrazione viene fatta per Y, ma è analogamente estensibile anche
aX
Se c’è IS si ha che fij= (fi. f.j)/n i,j
Se c’è IM di Y/X si ha che µy/Xi = µy i
Sapendo che:
µy/Xi = 1/ fi. j yj fij
e sostituendo la condizione di IS sopra citata si ha:
µy/Xi = 1/ fi. j yj (fi. f.j)/n = 1/nj yj f.j = µy
Quindi c’è anche IM.
E’ da sottolineare che non vale il contrario, cioè se tra due caratteri c’è IM
non è detto vi sia anche IS.
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RISPOSTA 27: Definizione e utilizzi covarianza xy
La covarianza è il momento centrale misto di ordine r+s=2 con r=1 e s=1.
E’ quindi definita come:
µ11 = xy = 1/n  (xi - µx) (yi - µy)
La correlazione è lo studio di come variano insieme due caratteri
quantitativi.
La covarianza è un indice di correlazione, non è quindi un indice di
variabilità, anche perchè può essere negativa e, come noto, gli indici di
variabilità sono solo e sempre positivi o zero.
Se xy > 0 tra i due caratteri c’è correlazione positiva, ovvero i due
caratteri sono tra loro in relazione diretta: all’aumentare di uno, l’altro
aumenta e viceversa (es.statura e peso).
Se xy < 0 tra i due caratteri c’è correlazione negativa, ovvero i due
caratteri sono tra loro in relazione inversa: all’aumentare di uno, l’altro
diminuisce e viceversa (es.consumo e risparmio).
Se xy = 0 ci sono due possibilità:
a) Tra i due caratteri c’è incorrelazione, ovvero i due
caratteri sono tra loro incorrelati: al variare dell’uno, laltro
varia, ma non si può dire in che modo.
b) Tra i due caratteri c’è indipendenza statistica: al varialre
dell’uno, l’altro NON varia.
RISPOSTA 28: Definiz. covarianza xy e metodo indiretto di calcolo
La covarianza è il momento centrale misto di ordine r+s=2 con r=1 e s=1.
E’ quindi definita come:
µ11 = xy = 1/n  (xi - µx) (yi - µy)
La correlazione è lo studio di come variano insieme due caratteri
quantitativi.
La covarianza è un indice di correlazione, non è quindi un indice di
variabilità, anche perchè può essere negativa e, come noto, gli indici di
variabilità sono solo e sempre positivi o zero.
E’ interessante osservare come:
xy = 1/n  (xi - µx) (yi - µy)
Svolgendo il prodotto, applicando nel comtempo la proprietà associativa di
 e moltiplicando per 1/n, si ottiene:
xy = 1/n  xi yi – 1/n  xi µy – 1/n  µx yi + 1/n  µx µy
Con la proprietà di omogeneità di  l’espressione diventa:
xy = 1/n  xi yi – µy 1/n  xi – µx 1/n  yi + n/n µx µy
Da cui si ha:
xy = µxy – µx µy – µx µy + µx µy
xy = µxy – µx µy
La covarianza è perciò determinabile come differenza tra il momento misto
µxy o momento ordinario misto di ordine r+s=2 con r=1 e s=1 e il
prodotto delle due medie µx e µy
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RISPOSTA 29: Definizione covarianza xy e sue proprietà
La covarianza è il momento centrale misto di ordine r+s=2 con r=1 e s=1.
E’ quindi definita come:
µ11 = xy = 1/n  (xi - µx) (yi - µy)
La correlazione è lo studio di come variano insieme due caratteri
quantitativi.
La covarianza è un indice di correlazione, non è quindi un indice di
variabilità, anche perchè può essere negativa e, come noto, gli indici di
variabilità sono solo e sempre positivi o zero.
(segue)
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(segue)
Proprietà:
a) Dati due caratteri quantitativi X e Y indipendenti statisticamente,
questi saranno anche incorrelati ovvero si ha che xy=0 e quindi
=0
Dimostrazione:
xy = 1/n ij (xi - µx) (yj - µy) fij
Se c’è IS si ha che:
fij= (fi. f.j)/n i,j
Sostituendo si ottiene:
xy = 1/n ij (xi - µx) (yj - µy) (fi. f.j)/n
Da cui, svolgendo il prodotto per fi. f.j e applicando la proprietà di
omogeneità di , si ha:
xy = [1/n i (xi - µx) fi.][1/n j (yj - µy) f.j]
Dato che per la proprietà di µ:
j (yj - µy) f.j= 0
Ne consegue che:
xy = 0 c.v.d.
Essendo poi:
 = xy/xy
Con xy = 0 si ha:
= 0/xy = 0
E’ importante ricordare che non vale il contrario, cioè se tra due
caratteri la xy = 0 non è detto vi sia IS, dato che potrebbe
aversi la sola incorrelazione, pur in presenza di una certa
connessione.
b) Dati due caratteri quantitativi X e Y con una certa xy, se si opera
una doppia trasformazione lineare:
W=a+bX
Z = c+ d Y
Si ha che:
wz = bd xy
Inoltre:
wz = xy
Dimostrazione:
wz = 1/n  (wi - µw) (zi - µz)
Sapendo che: W = a + b X Z = c+ d Y
e che per la proprietà di µ: µw = a + b µx µz = c+ d µy
sostituendo si ottiene:
wz = 1/n  (a + b xi - a - b µx) (c + d yi – c - d µy)
Semplificando,raccogliendo e riordinando opportunamente si ha:
wz = bd/n  (xi - µx) (yi - µy)
Da cui:
wz = bd xy c.v.d.
Inoltre:
wz = wz/wz = bdwz/bwbz = xy
RISPOSTA 30: Vedi proprietà a) cov
RISPOSTA 31: Vedi proprietà b) cov
RISPOSTA 32: IM implica l’incorrelazione
Se si ha IM di ad es.Y/X, si ha incorrelazione, cioè xy = 0.
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Infatti essendo:
xy = 1/n ij (xi - µx) (yj - µy) fij
Se c’è IM di Y/X si ha che µy/Xi = µy i sostituendo si ha:
xy = 1/n ij (xi - µx) (yj - µy/Xi) fij
applicando la proprietà di omogeneità di  si ottiene:
xy = 1/n i (xi - µx) j (yj - µy/Xi) fij
Essendo poi j (yj - µy/Xi) fij = 0 per la proprietà di µ:
xy = 0
RISPOSTA 33 : Coefficente di correlazione lineare  di Bravais
E’ definito come:
 = xy/xy
Misura l’intensità del legame di interdipendenza lineare tra due caratteri
quantitativi X e Y e, attraverso il segno, anche il verso di tale legame
(positivo o negativo).
 Se =  1 si ha perfetta dipendenza lineare (pos. o neg. che sia)
ovvero i due caratteri sono perfettamente correlati.
 Se 0 <  < 1 si ha una dipendenza lineare positiva, tanto più elevata
quanto più  si avvicina al valore 1
 Se .-1 <  < 0 si ha una dipendenza lineare negativa, tanto più elevata
quanto più  si avvicina al valore -1
 Se  = 0 si ha incorrelazione ovvero i due caratteri sono tra loro
incorrelati.
 è anche usato come indice di interdipendenza nei casi dove si effettua
una doppia interpolazione, essendo dimostrabile come  sia determinabile
anche come media geometrica dei coefficenti angolari delle due rette
interpolanti.
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RISPOSTA 34 : Condizione dei minimi quadrati/retta interpolante ai
minimi quadrati/retta di regressione
Dati due fenomeni quantitativi si cerca una funzione continua analitica
Ŷ=f(X) che interpreti la dipendenza di Y da X.
La funzione dovrà essere la miglior interprete possibile di tale dipendenza,
un modo per individuarla è quello di sceglierla in modo tale che renda
minima la seguente espressione:
 (Yi – Ŷi)2
In pratica si cerca quella funzione che minimizzi la somma degli scarti al
quadrato tra i valori reali Y i e i valori teorici Ŷi ovvero la funzione che passi
il più possibile vicino ai punti, appunto, la miglior interprete possibile della
dipendenza di Y da X. Il metodo di scelta è per questo detto criterio dei
minimi quadrati quindi:
La funzione Ŷ=f(X) può essere scelta tra infinite possibili, per semplicità si
decide di usare la retta Ŷ= a + b X, sostituendo la condizione sopra
esposta diventa:
 [Yi – (a + b xi)] = minimo
Si tratta quindi di determinare i parametri a e b che individuino la retta
interpolante ai minimi quadrati ovvero la retta che soddisfi tale
condizione.
Ricorrendo perciò alle derivate prime parziali rispetto ad a ed a b,
eguagliandole a zero, mettendo a sistema e risolvendo si ottiene:
a = µy – b µx
b = xy/2x
RISPOSTA 35 : Doppia interpolante
Talvolta può essere utile studiare la dipendenza di un carattere dall’altro,
ad es. di Y da X, ma nel contempo anche il contrario, quindi anche di X da
Y. Ciò avviene nei casi di interdipendenza ad es. età dello sposo/età della
sposa. E’ necessario perciò determinare due interpolanti, ossia:
Ŷ= a + b X che interpreta la dip. di Y/X
X= c + d Y che interpreta la dip. di X/Y
Dove i parametri delle due rette sono, secondo il criterio dei minimi
quadrati:
a = µy – b µx
b = xy/2x
e:
c = µx – d µy
d = xy/2y
Inoltre, si dimostra che la media geometrica dei coefficenti angolari delle
due interpolanti è pari al coefficente di correlazione lineare .
Infatti:
µ0(b,d)=(bd)1/2=[(xy/2x)(xy/2y)]1/2=[(2xy/2x2y)]1/2=(2)1/2=
 è perciò utilizzabile anche come indice di interdipendenza, nei casi di
doppia interpolazione.
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RISPOSTA 44 : Proprietà del valore atteso e della varianza.
Le proprietà del valore atteso di una v.c. sono:
E(a) = a
E(aX) = a E(X)
E(xi) =  E(xi)
Le proprietà della varianza di una v.c. sono:
VAR(a) = 0
VAR(aX) = a2 VAR(X)
Solo se le v.c. sono tra loro indipendenti e quindi incorrelate si ha che:
VAR(xi) =  VAR(xi)
RISPOSTA 50: Proprietà degli stimatori
Correttezza: si dice che T è corretto o non distorto per il parametro  se la
media di T coincide con , ossia E() = T
Consistenza: uno stimatore T si dice consistente per , se al crescere della
numerosità campionaria n migliora la stima, ossia si avvicina sempre più a
, quindi se:
lim P{| T -  |<  } = 1
n∞
Efficienza relativa: Dati più stimatori per , tutti corretti e consistenti, si
preferisce quello che ha minor varianza.
RISPOSTA 51: Definizione dello stimatore media campionaria X
E’ una variabile casuale determinata facendo la media dei possibili risultati
delle estrazioni di un campione, quindi è la distribuzione campionaria della
media aritmetica. E’ quindi uno stimatore della media aritmetica. In
pratica, si tratta di calcolare la media aritmetica dei diversi campioni e di
associare ad ogni valore della media la probabilità di quei campioni cui
tale media corrisponde.
Lo stimatore della media è quindi la variabile casuale:
X = 1/n  Xi
Lo stimatore è corretto in quanto il suo valore atteso coincide col
parametro da stimare, infatti:
E(X) = µ
Lo stimatore è consistente in quanto la sua variabilità decresce al crescere
della numerosità campionaria n, infatti:
VAR(X) = 2/µ
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