unità-9

Unità 9
Il campo elettrico e il
potenziale
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1. Il vettore campo elettrico




La forza tra due corpi carichi, come quella
gravitazionale, è una forza a distanza: agisce
senza contatto.
Una carica Q1 in un punto A modifica lo spazio
che la circonda, in particolare in un punto B dove
si trova la carica Q2;
Q2 risente della forza elettrica, dovuta alle
nuove proprietà dello spazio in cui si trova.
Su queste idee si basa il concetto di campo
elettrico.
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Il vettore campo elettrico



La carica Q1 genera un campo elettrico nello
spazio circostante al punto A;
la presenza del campo nel punto B si constata
con la forza che agisce su Q2;
il campo elettrico in B esiste indipendentemente
da Q2.
Q1 modifica lo spazio come
la sfera pesante deforma il
telo elastico: la deformazione
determina il moto della sfera
più piccola, ma esiste a
prescindere da essa.
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Definizione del vettore campo elettrico


Una carica di prova è abbastanza piccola da non
modificare il sistema fisico in studio.
Su una carica di prova q+ nel punto P agisce una
forza che dipende:

dalle cariche che generano il campo;

dalla posizione P della carica;

dal valore della carica di prova stessa.
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Definizione del vettore campo elettrico



Definiamo il campo elettrico
indipendente dalla carica di prova:
in
modo
il vettore campo elettrico E è dato dal rapporto
tra il vettore forza, agente sulla carica di prova, e
la carica stessa:
È una grandezza unitaria che si misura in N/C e
corrisponde alla forza che agirebbe sulla carica
di 1 C.
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Definizione del vettore campo elettrico


Misuriamo il valore di E in un dato punto:
mettiamo la carica di prova in quel punto,
Nell'esempio,
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Il calcolo della forza


Noto E in un dato punto, possiamo ricavare il
vettore forza F agente su una carica q:
quindi il modulo del vettore è F = q E;
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2. Il campo elettrico di una carica puntiforme


Se una sola carica puntiforme Q genera il
campo, la forza che essa esercita nel vuoto sulla
carica di prova è:
Quindi il campo elettrico ha intensità:

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, ovvero
Il campo elettrico di una carica puntiforme


Quando le cariche sono immerse in un mezzo
isolante, la forza sulla carica q+ è:
E il campo elettrico ha intensità:


direttamente proporzionale a Q;
 inversamente proporzionale al
della distanza r.
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quadrato
Il campo elettrico di una carica puntiforme
La direzione dei vettori E è radiale con centro in
Q; per il verso:
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Campo elettrico di più cariche puntiformi
I diversi campi elettrici in uno stesso punto si
sommano con la regola del parallelogramma:
La presenza di ogni carica non influisce sui campi
generati dalle altre
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3. Le linee del campo elettrico
Mettendo una carica Q in olio, dei fili di cotone si
dispongono a raggiera intorno alla carica:
in questo modo si può visualizzare il campo
elettrico.
La disposizione dei fili è
polarizzazione del mezzo isolante.
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dovuta
alla
Le linee del campo elettrico
Queste linee non esistono realmente e vengono
dette linee di campo.
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Costruzione delle linee di campo
 Si considera il vettore E1 nel punto P1;
 ci si sposta di un tratto s lungo E1 e si disegna
il vettore E2 in P2;
 si continua così fino a ottenere una linea
spezzata che congiunge P1, P2, ...Pn.
 per s che tende a zero, la spezzata diventa la
linea di campo.
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Costruzione delle linee di campo
Le linee del campo elettrico hanno le seguenti
proprietà:
 in ogni punto sono tangenti al vettore E;
 sono orientate nel verso del vettore E;
 escono dalle cariche positive ed entrano in
quelle negative;
 la loro densità è proporzionale
all'intensità del campo E.
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Il campo di una carica puntiforme
Le linee sono semirette che hanno origine nella
carica Q che genera il campo e che si diradano
man mano che ci si allontana da Q.
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Il campo di due cariche puntiformi
Le linee variano a seconda che le cariche siano di
segno opposto (A) o uguale (B):
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4. Il flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie
La portata di un fluido attraverso una superficie S
è il rapporto tra il volume di fluido che attraversa
S nel tempo t e l'intervallo t:
Se il fluido si muove con velocità v, il valore della
portata dipende dall'inclinazione di S rispetto alla
direzione di v.
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Il flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie
Esaminiamo ora un angolo d'inclinazione qualsiasi .
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Il flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie
Scomponendo v: v = v|| + v;
si ha
La portata è la somma:
Come nella figura precedente:
(caso A);
Quindi
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(caso B).
Il vettore superficie
Introduciamo il vettore superficie S,
che ha:
 modulo pari all'area di S;
 direzione perpendicolare alla superficie;
 verso uscente, se S è parte di una superficie
chiusa.
La portata si scrive:
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5. Il flusso del campo elettrico e il teorema di Gauss
Data una superficie piana S e un campo elettrico
E costante su S, il flusso del vettore campo
elettrico attraverso S è definito:
Se una superficie  non è piana
o E non è costante, bisogna
considerare n piccoli elementi
in cui le condizioni siano
rispettate.
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Il flusso del campo elettrico e il teorema di Gauss
 Dividiamo  in n elementi Si che si possano
considerare piani, in cui E sia circa costante;
 per ogni superficie calcoliamo il flusso:
 troviamo il flusso totale come somma di tutti i
contributi:
ovvero
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Il teorema di Gauss per il campo elettrico
Teorema di Gauss:
il flusso del campo elettrico attraverso una
superficie chiusa è direttamente proporzionale
alla somma algebrica delle cariche interne alla
superficie.
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Il teorema di Gauss per il campo elettrico
Il valore del flusso non dipende:
 dalla forma della superficie  (purché chiusa);
 da come è distribuita la carica interna;
 dalle eventuali cariche esterne.
Per entrambe
le superfici,
 = 3q/.
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Dimostrazione del teorema di Gauss
Dimostrazione per un caso particolare:
 campo generato da una carica puntiforme Q;
  è una sfera di raggio r e centro in Q.
Dividendo  in n parti, si avranno:
Si ed Ei entrambi con
 direzione radiale;
 verso uscente.
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Dimostrazione del teorema di Gauss
 Si ed Ei sono paralleli:
 Tutti gli Ei hanno lo stesso valore:
perciò
.
 Il flusso è:
dove
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. Quindi
6. L'energia potenziale elettrica
L'energia potenziale U associata ad una forza
conservativa F è definita:
1) con la differenza di energia potenziale
U=UB-UA :
;
2) scegliendo poi una posizione di riferimento R e
chiamando UA l’energia potenziale di A:
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L'energia potenziale della forza di Coulomb
 La forza di Coulomb è:
analoga a quella di Newton:
, che è
,
con la sostituzione
 Le due forze hanno la stessa forma matematica
e la forza di Newton è conservativa, quindi anche
la forza di Coulomb è conservativa.
 Anche per la forza elettrica si può definire
un'energia potenziale.
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L'energia potenziale della forza di Coulomb
 L'energia potenziale
masse a distanza r è:
gravitazionale
di
due
 sostituendo
si ha l'energia
potenziale elettrica di due cariche Q1 e Q2 a
distanza r:
 per k = 0:
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L'energia potenziale della forza di Coulomb
 La scelta k = 0 equivale a prendere come
riferimento (U = 0) la situazione di due cariche a
distanza infinita.
 Dal grafico di U in funzione di r si vede che
l'energia potenziale si annulla per r infinitamente
grande.
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Il caso di più cariche puntiformi
Nel caso di più cariche puntiformi l'energia
potenziale elettrica è data dalla somma dei
contributi che si ottengono prendendo tutte le
coppie possibili tra le cariche.
Calcoliamo il lavoro per
portare una alla volta le
cariche all'infinito.
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Il caso di più cariche puntiformi
 Carica Q1:
 Carica Q2:
 Carica Q3:
 Carica Q4: non serve spostarla, perché è già a
distanza infinita dalle altre.
L'energia potenziale di un sistema di cariche è
pari al lavoro fatto dalle forze elettriche per
portare tutte le cariche a distanza reciproca
infinita.
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7. Il potenziale elettrico
Il potenziale elettrico è una grandezza scalare
che dipende dalle N cariche che generano il
campo elettrico, ma non dalla carica di prova:
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Definizione del potenziale elettrico
VA = UA/q : il potenziale elettrico è il rapporto tra
l'energia potenziale della carica di prova q, nel
punto A, dovuta alla presenza delle cariche che
generano il campo, e la carica di prova stessa.
Poiché U è direttamente proporzionale a q, V è
indipendente da q.
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La differenza di potenziale elettrico
Dati due punti A e B, la loro differenza di
potenziale elettrico è:
ovvero
La differenza di potenziale è il rapporto tra il
lavoro fatto dalla forza elettrica sulla carica q per
spostarla da B ad A e la carica q stessa.
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Il moto spontaneo delle cariche elettriche
Se
, lo spostamento da A a B può avvenire
spontaneamente. V = VB – VA è negativo.
 Le cariche positive
“scendono” lungo la
differenza di potenziale
(vanno da V maggiore a V minore);
 le cariche negative “risalgono” la differenza di
potenziale (vanno da V minore a V maggiore).
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L'unità di misura del potenziale elettrico
L'unità di misura del potenziale elettrico nel S.I. è
J/C, che in onore di A. Volta è stato chiamato volt
(V).
Poiché è
tra due punti c'è una differenza di potenziale di
1 V quando, spostando una carica di 1 C da un
punto all'altro, la sua energia potenziale cambia di
1 J.
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Il potenziale di una carica puntiforme
L'energia potenziale di q, in un punto P a distanza
r dalla carica Q che genera il campo, è:
Per la definizione di V si ha quindi
Se il campo è generato da più cariche, il
potenziale è la somma algebrica dei potenziali
generati in P dalle singole cariche.
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L'elettrocardiogramma
Il funzionamento del cuore genera piccoli V
(dell'ordine di 1 mV) tra diversi punti del corpo
umano.
La variazione nel tempo di questi V viene
misurata con degli elettrodi e dà informazioni
fondamentali sullo stato del cuore.
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8. Le superfici equipotenziali
Una superficie equipotenziale è il luogo dei
punti dello spazio in cui il potenziale elettrico
assume lo stesso valore.
Per una carica Q è
equipotenziali sono sfere
concentriche con centro in Q.
Le superfici equipotenziali sono
perpendicolari, in ogni punto,
alle linee del campo elettrico.
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: le superfici
Dimostrazionene della perpendicolarità tra linee di campo
e superfici equipotenziali
Per un campo elettrico uniforme:
 le linee di campo
equidistanti tra loro;
sono
rette
parallele
 le superfici equipotenziali sono piani ad esse
perpendicolari.
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Dimostrazionene della perpendicolarità tra linee di campo
e superfici equipotenziali
Su un segmento AB perpendicolare alle linee di
campo, la forza F è perpendicolare allo
spostamento s da A a B:
il lavoro compiuto
è nullo.
Poiché
è
, cioè V(B) = V(A) :
A e B sono su una superficie equipotenziale.
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Dimostrazionene della perpendicolarità tra linee di campo
e superfici equipotenziali
La dimostrazione vale per qualsiasi superficie
equipotenziale, prendendone porzioni abbastanza
piccole da essere quasi piane.
Linee di
campo e
superfici
equipotenziali
di un dipolo
elettrico.
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9. La deduzione del campo elettrico dal potenziale
È possibile calcolare il campo elettrico in un punto
dello spazio se si conosce l'andamento del
potenziale elettrico nei dintorni di quel punto.
In una zona piccola dove
E è circa uniforme
consideriamo due
superfici equipotenziali
(parallele tra loro):
1, a potenziale VA, e
2, a potenziale VA+V.
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La deduzione del campo elettrico dal potenziale
 il lavoro fatto dalla forza elettrica per spostare
una carica q da A a B è
 Tra A e B c'è
 La componente di l lungo E è
, perciò
 In definitiva:
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e
10. La circuitazione del campo elettrostatico
Data una linea chiusa e orientata
:
 si divide in n piccole parti, circa rettilinee e con
E costante lungo di esse;
 si indicano con e con il vettore spostamento
ed il campo elettrico di ogni parte;
 si calcola il prodotto scalare
 La circuitazione del vettore E lungo
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è:
La circuitazione in fluidodinamica
La circuitazione del vettore velocità in
fluidodinamica permette di capire se il moto della
corrente è laminare o turbolento (cioè con vortici
o senza).
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La circuitazione in fluidodinamica
:circonferenza percorsa in senso antiorario.
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La circuitazione in fluidodinamica
Quindi la circuitazione del vettore velocità in
fluidodinamica è:
 positiva, se nella zona ci sono vortici con lo
stesso verso di ;
 negativa, se nella zona ci sono vortici con verso
opposto a quello di ;
 uguale a zero, se nella zona non ci sono vortici.
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Il significato della circuitazione del campo elettrico
Abbiamo visto che è
;
quindi
La circuitazione del campo elettrico è nulla, per
qualsiasi cammino orientato. Questo perché il
campo elettrico è conservativo.
Il risultato è valido per il campo elettrostatico,
cioè quando tutte le cariche elettriche sono in
equilibrio.
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