Pierdaniele Giaretta
Primi elementi di logica
Nozioni fondamentali
e
linguaggio logico
La definizione e lo studio della validità di un’inferenza e
la formulazione delle leggi logiche presuppongono
l’introduzione e l’uso di un linguaggio appropriato e,
innanzitutto, di simboli per i
connettivi logici vero-funzionali
I CONNETTIVI VERO-FUNZIONALI sono espressioni
mediante le quali a partire da enunciati o funzioni enunciative
si possono ottenere altri enunciati o funzioni enunciative.
Sono detti vero-funzionali perché il valore di verità
dell’espressione ottenuta dipende soltanto dai valori di verità
delle espressioni da essi connesse.
~
&
non
e
o
se...,allora...
se e solo se
Siano “A”, “B”, “C”, … lettere enunciative o variabili
proposizionali che stanno per enunciati qualsiasi. (Varzi et al.
usano allo stesso modo “P”, “Q”, “R”, … e presentano i connettivi
come operatori logici.)
Mediante le lettere enunciative, i connettivi e le parentesi si
possono costruire le formule : (~A), (A & B), (A B), (A B),
(A B).
A pag. 59 di Varzi et al. (II ed.) vengono presentati il vocabolario
e la definizione di formula ben formata (per un sistema) della
logica proposizionale. A questo scopo Varzi et al. usano le
variabili metalinguistische “” e ””, che - si noti bene - non sono
lettere enunciative: rappresentano formule ben formate qualsiasi
e, in particolare, anche lettere enunciative.
Esempi di formule ben formate (nei quali sono omesse alcune
parentesi non necessarie per la lettura univoca della formula):
AA
A ~~A
A (A B)
(A & (A B)) B
A((B ~A) ~A)
~A & (A A)
~~A A
(A & B) A
(A & ( B A)) A
((A B) & (B C)) (A C)
~B ((B ~A) A)
(A & ~A) B
Le formule ben formate possono essere usate per rappresentare
forme logiche di enunciati del linguaggio naturale. Vedi esercizi
3.5 e 3.7 di Varzi et al.
Notare che il segno “|_” non appartiene al linguaggio della logica
proposizionale, ma al linguaggio con cui ne parliamo. Così
anche “” e ””.
SIGNIFICATO DEI CONNETTIVI
Varzi et al. usano “” e ”” anche per introdurre il
significato vero-funzionale (le tavole di verità) dei
connettivi. Qui, per semplicità, userò le lettere
enunciative.
Negazione
~A è vero se e solo se A è falso.
A
~A
V
F
F
V
Congiunzione
A & B è vero se e solo se A e B sono entrambi veri.
A
B
A&B
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
F
Disgiunzione
A B è vero se e solo se A è vero o B è vero.
A
B
AB
V
V
F
F
V
F
V
F
V
V
V
F
Condizionale
(Implicazione)
A
B è vero se e solo se A è falso o B è vero.
Cioè l'enunciato A B è falso solo nel caso in
cui A sia vero e B sia falso.
A
B
AB
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
V
A si dice antecedente, B conseguente del condizionale.
FORMULAZIONI EQUIVALENTI
DI UN ENUNCIATO CONDIZIONALE
Se A, allora B
B se A
A solo se B
A è condizione sufficiente per B
B è condizione necessaria per A
Bicondizionale
(Equivalenza)
A B è vero se e solo se A e B
sono entrambi veri o entrambi falsi.
A
B
AB
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
V
USO DELLE FORMULE BEN FORMATE PER
RAPPRESENTARE ENUNCIATI DEL LINGUAGGIO
NATURALE
Come risulta dalla definizione di formula ben formata e dagli
esempi fatti nella diapositiva 5, i connettivi possono essere
applicati anche a formule ben formate qualunque, che in Varzi et
al. sono indicate mediante le lettere greche , ....
Le formule ben formate complesse possono rappresentare
enunciati del linguaggio naturale. Ad esempio, nei seguenti
esercizi sul condizionale abbiamo enunciati delle forme:
A B
A ~B
~A B
ESERCIZI SUL CONDIZIONALE
Dicendo “se ha una Regina, allora non ha un Re” quale o quali
dei seguenti casi vengono esclusi:
ha una Regina e non ha un Re
non ha una Regina e ha un Re
non ha una Regina e non ha un Re
ha una Regina e ha un Re
Dicendo “se non ha un Re, allora ha un Fante” quale o quali
dei seguenti casi vengono esclusi:
ha un Re e ha un Fante
ha un Re e non ha un Fante
non ha un Re e non ha un Fante
non ha un Re e ha un Fante
Dicendo “ha una Regina solo se non ha un Re” quale o quali dei
seguenti casi vengono esclusi:
ha una Regina e non ha un Re
non ha una Regina e ha un Re
non ha una Regina e non ha un Re
ha una Regina e ha un Re
Dicendo “non ha un Re solo se ha un Fante” quale o quali dei
seguenti casi vengono esclusi:
ha un Re e ha un Fante
ha un Re e non ha un Fante
non ha un Re e non ha un Fante
non ha un Re e ha un Fante
Dicendo “solo se ha un Re, ha un Fante” si enuncia un
condizionale (NON un bicondizionale). Specificare qual è
l’antecedente e quale il conseguente:
Ant.:
Cons.:
Indicare quale o quali dei seguenti casi sono incompatibili con la
sua verità:
ha un Fante e ha un Re
ha un Fante e non ha un Re
non ha un Fante e non ha un Re
non ha un Fante e ha un Re
Dicendo “condizione necessaria per l’ammissione è avere una
laurea in economia” si enuncia un condizionale. Formulare tale
condizionale con “solo se”.
Indicare quale o quali dei seguenti casi sono incompatibili
con la sua verità:
è ammesso e ha una laurea in economia
non è ammesso e non ha una laurea in economia
è ammesso e non ha una laurea in economia
non è ammesso e ha una laurea in economia
Dicendo “condizione necessaria per l’ammissione è avere una
laurea in economia” si enuncia un condizionale. Formulare tale
condizionale con “se … allora”.
Indicare quale o quali dei seguenti casi sono incompatibili
con la sua verità:
è ammesso e ha una laurea in economia
non è ammesso e non ha una laurea in economia
è ammesso e non ha una laurea in economia
non è ammesso e ha una laurea in economia
Dicendo “condizione sufficiente per l’ammissione è avere una
laurea in economia” si enuncia un condizionale. Formulare
tale condizionale con “se … allora”.
Indicare quale o quali dei seguenti casi sono incompatibili
con la sua verità:
è ammesso e ha una laurea in economia
non è ammesso e non ha una laurea in economia
è ammesso e non ha una laurea in economia
non è ammesso e ha una laurea in economia
CALCOLO DEL VALORE DI VERITA’
Le lettere enunciative si possono pensare come enunciati
minimali, cioè enunciati che non sono costruiti a partire da altri
enunciati mediante l’applicazione di connettivi.
Se si conoscono i valori di verità delle lettere enunciative si può
calcolare il valore di verità della formula composta servendosi
delle tavole di verità dei connettivi nel modo qui sotto illustrato
A
B
~A ~B
V
V
F
F
V
F
V
F
F
F
V
V
F
V
F
V
A ~B
F
V
V
V
(A ~B) ~A
F
V
V
V
ALCUNE FORMULE
LOGICO-PROPOSIZIONALI
AA
AA
A A
A A
(A & B) A
(A & B) B
A (A B)
B (A B)
(A & (A B)) B
((A B) & B) A
(A B) ((A B) & (B A))
A A
Le formule della diapositiva precedente sono tutte tali da risultare
vere in ogni caso, cioè per ogni assegnazione di valori di verità
alle lettere enunciative, com’è mostrato, ad es., dalla seguente
tavola di verità:
A
B
~A ~B
V
V
F
F
V
F
V
F
F
F
V
V
F
V
F
V
AB
V
F
V
V
(A B) & ~B ((A B) & ~B) ~A
F
F
F
V
V
V
V
V
Tali formule sono dette TAUTOLOGIE. Invece non tutte le formule
che seguono sono tautologie. Alcune risultano false per ogni
assegnazione di valori di verità alle lettere componenti, e sono
dette CONTRADDIZIONI. Per esercizio trovare tra le formule che
seguono almeno una tautologia, almeno una contraddizione e
almeno una che non sia né una tautologia, né una contraddizione.
(A & ( B A)) A
A((B ~A) A)
A((B ~A) ~A)
~A ((B & ~A) A)
~A & (~A A)
(A (B A)) A
(A (B & A)) ~A
A((B & ~A) A)
~A (~A A)
~B ((B ~A) A)
(A & (B A)) B
~B & ((B ~A) A)
(A ~B) (B A)
~(A & (B A)) A
(A & ~A) B
~A & ((B ~C) A)
B (A ~A)
((A B) & (B C)) (A C)
Le seguenti equivalenze sono tautologie particolarmente
rilevanti. Le prime due vengono chiamate “leggi di De
Morgan”. Le altre mostrano che ciascuno dei connettivi &,
, può essere espresso mediante la negazione e un
altro connettivo binario:
(A & B) (A B)
(A B) (A & B)
(A & B) (A B)
(A B) (A & B)
(A B) (A B)
(A B) (A & B)
(A & B) (A B )
(A B) (A B)
TAVOLE DI VERITÀ
E
VALIDITÀ INFERENZIALE
Un’inferenza formulata nel linguaggio naturale è valida se la sua
forma inferenziale è valida. Ma
cosa vuol dire che una forma inferenziale è valida?
Se la forma inferenziale è formulata nel linguaggio della logica
proposizionale, ciò significa che le lettere enunciative che
occorrono in essa non possono assumere valori di verità tali che
le premesse siano vere e la conclusione falsa.
Relativamente al linguaggio della logica proposizionale, il
metodo delle tavole di verità può essere usato per verificare la
validità di una forma inferenziale.
Come esempio consideriamo la seguente forma inferenziale:
A B, B |_ A
Costruiamo la tavola di verità di tutte le formule di questa forma
inferenziale nel modo seguente:
A B
V
V
F
F
A B, B |_ A
V V
F V
V F
F F
V
F
V
V
V
F
V
F
FV
VF
FV
VF
FV
FV
VF
VF
Quindi controlliamo che in tutte le righe nelle quali le premesse
risultano vere anche la conclusione risulti vera. Nel nostro
esempio le premesse sono vere in una sola riga e in essa anche
la conclusione è vera. Dunque la forma inferenziale è valida.
Esempio
La seguente forma inferenziale
A B, B |_ A
non è valida. Infatti, se costruiamo la tavola di verità di tutte le
formule di questa forma inferenziale:
A B
A B, B |_ A
V
V
F
F
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
V
V
F
V
F
V
F
V
F
V
V
F x
F
vediamo che non in tutte le righe nelle quali le premesse
risultano vere anche la conclusione risulta vera. Nella terza riga
le premesse sono vere e la conclusione è falsa.
Caso limite 1:
P Q R
R |_ P (P (P & Q))
V
V
V
V
F
F
F
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
V
V
V
F
F
F
F
V
V
V
V
V
V
V
V
V VVVV
VVVV V
VVVF F
VVVF F
FF FFV
FFFFV
FFFFF
F FFFF
Poiché la conclusione è una tautologia, non è possibile
le premesse - la premessa, nel nostro caso - siano vere e la
conclusione falsa, e dunque lo schema inferenziale è valido.
Caso limite 2:
La seguente forma inferenziale in cui la premessa è una
contraddizione
A & A |_ B
è valida. Se costruiamo la tavola di verità di tutte le formule
di questa forma inferenziale:
A B
A & A |_ B
V
V
F
F
V
V
F
F
V
F
V
F
F
F
F
F
FV
FV
VF
VF
V
F
V
F
vediamo che in nessuna riga la premessa risulta vera e la
conclusione falsa e dunque la condizione di validità è
soddisfatta.
Invece di dire che una forma inferenziale è valida, si dice
spesso che la conclusione segue logicamente dalle
premesse, o è una conseguenza logica delle premesse.
Relativamente al linguaggio della logica proposizionale la
nozione di conseguenza logica si definisce come segue.
Definizione
La formula X è conseguenza logica della formula Y (o segue
logicamente dalla formula Y, per brevità Y I= X) se e solo se
per ogni assegnazione di valori di verità alle lettere enunciative
che occorrono in X o in Y, se Y è vera, anche X è vera
[equivalentemente: …se e solo se non c’è alcuna assegnazione
di valori di verità alle lettere enunciative che occorrono in X
o in Y tale che Y sia vera e X sia falsa]
Esempi:
A I= A
A & B I= A B
A & A I= B
B I= A A
A I= B A
Teorema
La formula X è conseguenza logica della formula Y se e solo se
Y X è una tautologia.
Perciò sono tautologie:
AA
(A & B) (A B)
(A & A) B
B ( A A )
A(BA)
Definizione generalizzata
La formula X è conseguenza logica delle formule Y1, …, Yn (o
segue logicamente dalle formule Y1, …, Yn, per brevità
Y1, …, Yn I= X) se e solo se per ogni assegnazione di valori di
verità alle lettere enunciative che occorrono in Y1 o …o in Yn o
in X, se Y1, …, Yn sono vere, anche X è vera.
[Equivalentemente: …se e solo se non c’è alcuna assegnazione
di valori di verità alle lettere enunciative che occorrono in X
o in Y1 o …o in Yn tale che Y1, …, Yn siano vere e X falsa]
Esempi:
A, B I= A & B
A, A B I= B
A B, B I= A
Teorema
La formula X è conseguenza logica delle formule Y1, …, Yn
(o segue logicamente dalle formule Y1, …, Yn, per brevità
Y1, …, Yn I= X) se e solo se la formula (Y1 … Yn ) X
è una tautologia.
Ne segue che sono tautologie:
(A & B) (A & B)
(A & (A B)) B
((A B) & B) A
OSSERVAZIONE IMPORTANTE:
Il connettivo NON esprime la relazione di conseguenza logica.
Solo quando è il connettivo principale di una tautologia,
rappresenta il fatto che il conseguente segue logicamente
dall’antecedente.
ALBERI DI REFUTAZIONE
Le tavole di verità sono, in generale, un metodo di verifica
inefficiente della tautologità, della contraddittorietà e della validità
inferenziale. In particolare sono inefficienti, quando occorrono
molte lettere enunciative. Rispetto agli stessi obiettivi sono
più efficienti gli alberi di refutazione.
Data una lista di formule, un ALBERO DI REFUTAZIONE è una
ricerca esaustiva dei modi in cui tutte le formule della lista possono
essere vere.
Per VERIFICARE LA VALIDITÀ DI UNA FORMA INFERENZIALE
mediante gli alberi di refutazione,
1) si forma una lista composta dalle sue premesse e dalla
negazione della conclusione;
2) si analizzano le formule della lista allo scopo individuare le
sequenze di lettere enunciative o loro negazioni tali che se è
possibile valutarle come vere, risultano vere anche le formule
della lista iniziale.
3)
• Se mediante l’analisi si trova qualche assegnazione di verità o
falsità alle lettere enunciative che rende vere tutte le formule della
lista, allora, rispetto a quell’assegnazione, le premesse della
forma inferenziale sono vere mentre la conclusione è falsa, cioè
si è dimostrato che la forma è invalida.
• Se invece la ricerca non permette di scoprire nessuna
assegnazione di verità o falsità alle lettere enunciative che renda
vere tutte le formule della lista, allora il tentativo di refutazione è
fallito e la forma è valida.
Verifica della validità di “ AB, B |_ A ” (o di: AB, B |= A )
*AB
B
A
** A
B
Le formule scritte nella riga che comincia con ** si ricavano da
AB, la formula preceduta da *, pensando alle condizioni
sotto le quali questa formula è vera, cioè: A vero o B vero. Se
seguiamo entrambi i rami che partono da *, vediamo che in
ciascuno di essi non abbiamo mai una lettera enunciativa e la sua
negazione. Abbiamo, invece, B e A che possono essere resi
veri assegnando a B vero e ad A falso. Per questa assegnazione
le formule AB, B e A risultano tutte vere, quindi risultano vere
AB, B e falsa A. Ciò mostra che
la forma inferenziale “ AB, B |_ A ” non è valida
o (equivalentemente)
non è vero che AB, B |= A
Verifica della validità di “ A&B |_ A ” (o di: A&B |= A )
* A&B
+ A
**
A
**
B
++ A
In questo caso abbiamo un unico ramo, e in esso compare la
lettera A e la sua negazione A. Quindi in tutti i rami abbiamo
una lettera e la sua negazione. Ciò vuol dire che non esiste alcun
modo di rendere vera la premessa A&B e falsa la conclusione
A. Ciò mostra che
la forma inferenziale “ A&B |_ A ” è valida
o (equivalentemente)
A&B |= A
Esempi più complessi si trovano nel testo di Varzi et al. (II ed.),
pp. 77-89.
Conviene esaminarli dopo aver letto e compreso le seguenti regole:
Negazione (): Se un cammino aperto contiene sia una formula,
sia la sua negazione, scrivere una 'X' in fondo al cammino.
Negazione negata (): Se un cammino aperto contiene una
formula non segnata della forma , segnarla e scrivere alla
fine di ogni cammino aperto contenente la formula appena
segnata.
Congiunzione (&): Se un cammino aperto contiene una formula
non segnata della forma & , segnarla e scrivere e alla fine
di ogni cammino aperto contenente la formula appena segnata.
Disgiunzione (): Se un cammino aperto contiene una formula
non segnata della forma , segnarla, tracciare due rami sotto
ciascun cammino aperto contenente la formula appena segnata,
e scrivere alla fine del primo ramo e alla fine del secondo.
Condizionale (): Se un cammino aperto contiene una formula
non segnata della forma , segnarla, tracciare due rami sotto
ciascun cammino aperto contenente la formula appena segnata,
scrivere ~ alla fine del primo ramo e alla fine del secondo.
Bicondizionale (): Se un cammino aperto contiene una formula
segnata della forma , segnarla e tracciare due rami sotto
ciascun cammino aperto che contiene la formula appena segnata,
del secondo.
Congiunzione negata (&): Se un cammino aperto contiene una
formula non segnata della forma ( & ), segnarla e tracciare due
rami sotto ciascun cammino aperto contenente la formula appena
segnata, scrivere alla fine del primo e alla fine del secondo.
Disgiunzione negata ( ): Se un cammino aperto contiene una
formula non segnata della forma ( ), segnalarla e scrivere
sia che alla fine di ogni cammino aperto contenente la
formula appena segnata.
Condizionale negato ( ): Se un cammino aperto contiene una
formula non segnata della forma ( ), segnarla e scrivere
sia che alla fine di ogni cammino aperto contenente la
formula appena segnata.
Bicondizionale negato ( ): Se un cammino aperto contiene
una formula non segnata della forma ( ), segnarla e
tracciare due rami sotto ciascun cammino aperto contenente la
formula appena segnata, scrivere e alla fine del primo ramo
e scrivere e , alla fine del secondo.
VERIFICA DELLA TAUTOLOGICITÀ
Un albero di refutazione può essere costruito anche per verificare
la tautologicità di una formula. Ad esempio il seguente albero
prova che la formula A&B A è una tautologia.
* A&B A
* A&B
* A
A
B
A
Il calcolo deduttivo
della
logica enunciativa
Finora ci siamo occupati delle forme inferenziali e delle leggi
logiche da un punto di vista semantico, utilizzando tecniche per
testare la validità deduttiva di forme argomentative (o relazioni
di conseguenza logica tra premesse e conclusione) e la
tautologità di una formula. Queste tecniche sono basate
sull’interpretazione intesa degli operatori logici.
Tuttavia quando deduciamo procediamo in modo diverso. Senza
controllare direttamente la validità, procediamo per piccoli passi
fino a che otteniamo la conclusione che ci interessa. Ciascun
passo può essere considerato il risultato dell’applicazione di
una regola d’inferenza. In generale
Una REGOLA D’INFERENZA è uno schema che rappresenta
una classe di passi inferenziali. Le regole d’inferenza più
semplici e usuali hanno la forma:
Y1
.
.
.
Yn
X
dove Y1, …, Yn sono le premesse e X la conclusione della
inferenza.
Definizione
Una regola d’inferenza della logica enunciativa è logicamente
valida se e solo se la conclusione X è conseguenza logica delle
premesse Y1, …, Yn.
Ci sono alcuni passi inferenziali molto elementari che sono
governati da regole d’inferenza (valide) basate sul significato dei
connettivi.
Eliminazione della negazione (~E):
Da una formula della forma ~~ possiamo inferire .
~~
Eliminazione del condizionale (E):
Da un condizionale e dal suo antecedente possiamo inferire il suo
conseguente.
Esempio di derivazione
1
2
3
4
5
~A ~~B
~~~A
~A
~~B
B
Ass.
Ass.
2 ~E
1,3 E
4 ~E
Questa derivazione mostra che la forma inferenziale
~A ~~B, ~~~A |_ B
è valida poiché le regole d’inferenza in essa applicate per ottenere
la conclusione B dalle premesse ~A ~~B e ~~~A sono
valide.
Introduzione della congiunzione (&I):
Da formule qualsiasi e ψ, possiamo inferire la congiunzione &ψ.
&
Eliminazione della congiunzione (&E):
Da una congiunzione possiamo inferire l’uno o l’altro dei congiunti.
&
&
Esempio di derivazione
1
2
3
4
5
6
7
(A & B) (C & D)
~~A
B
A
A&B
C&D
D
Ass.
Ass.
Ass.
2 ~E
3, 4 &I
1, 5 E
6 &E
Questa derivazione mostra che la forma inferenziale
(A & B) (C & D), ~~A, B |_ D
è valida poiché le regole d’inferenza in essa applicate per ottenere
la conclusione dalle assunzioni sono valide.
Introduzione della disgiunzione (I):
Da una formula possiamo inferire la disgiunzione di con
qualsiasi formula ( può essere sia il primo che il secondo
disgiunto di questa disgiunzione).
Eliminazione della disgiunzione (E):
Da formule della forma , χ, e χ possiamo inferire la
formula χ.
χ
χ
χ
Esempi di derivazioni
1
2
3
4
A
AB
AC
(A B) & (A C)
Ass.
1 I
1 I
2,3 &I
Ciò dimostra: A |_ (A B) & (A C)
1
2
3
4
AB
A (C & ~C)
B (C & ~C)
C & ~C
Ass.
Ass.
Ass.
1,2,3 E
Ciò dimostra: A B, A (C & ~C), B (C & ~C) |_ C & ~C
Introduzione del bicondizionale (I):
Da due qualsiasi formule della forma () e () possiamo
inferire .
Eliminazione del bicondizionale(E):
Da una qualsiasi formula della forma , possiamo inferire
o .
Esempi di derivazioni
1
2
3
4
AB
(A B) (B A)
BA
AB
Ass.
Ass.
1,2 E
1,3 I
Ciò dimostra: A B, (A B) (B A) |_ A B
È facile comprendere, e anche ricordare, le regole riguardanti il
bicondizionale tenendo conto che è logicamente equivalente
a (() & ()) e quindi introdurre ed eliminare un bicondizio_
nale è come, rispettivamente, introdurre ed eliminare una
congiunzione.
Le regole d’inferenza introdotte finora hanno tutte la forma
hanno la forma:
Y1
.
.
.
Yn
o
Y1, …, Yn
X
X
dove Y1, …, Yn sono le premesse e X la conclusione della
inferenza. Altre regole , quelle riguardanti l’introduzione di e
di ~ hanno invece la seguente forma:
[Y]
.
.
.
Z
X
dove Y è un’ipotesi aggiuntiva che non compare tra le ipotesi già
date, o assunte fin dall’inizio. Se da essa si deriva Z allora si può
concludere X, “scaricando” Y cosicché X non “dipende” da Y.
Il ruolo dell’ipotesi Y è bene illustrato nelle pp. 87 e 88 di Varzi et
al., dove regole che hanno questa forma sono presentate con il
nome di REGOLE IPOTETICHE.
Introduzione della negazione (~I):
Data la derivazione di un assurdo da una ipotesi , scaricare
l’ipotesi e inferire ~.
[]
.
.
.
& ~
~
Introduzione del condizionale (I):
Data la derivazione di una formula da una ipotesi , scaricare
l’ipotesi e inferire .
[]
.
.
.
Si osservi che l’introduzione della negazione rappresenta il modo
in cui si ragiona per assurdo, mentre l’introduzione del condizionale
rappresenta il modo in cui si dimostrano teoremi della forma “Se A,
allora B”. Ricordiamo che in questo caso si procede assumendo
l’ipotesi A e derivando B da A e dagli assiomi (o teoremi già
dimostrati) e da altre ipotesi che si hanno a disposizione.
Esempi di derivazioni
1
2
3
4
5
6
AB
~B
A
B
B & ~B
~A
Ass.
Ass.
[Ass.]
1,3 E
2,4 &I
3-5 ~I
Ciò dimostra: A B, ~B |_ ~A (Modus tollens)
1
2
3
4
5
6
AB
BC
A
B
C
AC
Ciò dimostra:
Ass.
Ass.
[Ass.]
1,3 E
2,4 E
3-5 I
A B, B C |_ A C
