Algoritmi e Strutture Dati

UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI PARMA
Corso di Laurea in Ingegneria Gestionale
Fondamenti di Informatica
Algoritmi e Strutture Dati
Prof. Michele Amoretti
Fondamenti di Informatica
a.a. 2007/2008
Algoritmi e Strutture Dati
Prof. M. Amoretti
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Fondamenti di Informatica
Sommario
•
Definizione di algoritmo
•
Attributi degli algoritmi
•
Costo computazionale
•
Descrizione degli algoritmi
•
Tecniche di progettazione di algoritmi
•
Strutture dati
•
Algoritmi di ordinamento
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Definizione di algoritmo
Algoritmo: un insieme ordinato di operazioni non ambigue ed
effettivamente computabili che, quando eseguito, produce un
risultato e si arresta in un tempo finito.
In termini informali, un algoritmo è una sequenza ordinata di
operazioni che risolve un problema specifico.
Se questa idea aveva una certa importanza per il calcolo
matematico, l'avvento dell'informatica l'ha arricchita di nuovi
significati..
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Fondamenti di Informatica
Definizione di algoritmo
.. tanto che, con molta enfasi, è stata data anche la seguente
definizione di informatica:
L’informatica è lo studio degli algoritmi, che comprende:
1.
2.
3.
4.
le
le
le
le
loro
loro
loro
loro
proprietà formali e matematiche;
implementazioni hardware;
implementazioni linguistiche;
applicazioni.
Gibbs, N. E., e Tucker, A. B. “A Model Curriculum for a Liberal Arts Degree in Computer
Science”, Comm. of the ACM, vol. 29, n. 3 (marzo 1986).
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Definizione di algoritmo
L’opposto di algoritmo: euristica.
Si definisce infatti procedimento euristico un metodo di approccio
alla soluzione dei problemi che non segue un chiaro percorso, ma si
affida all'intuito e allo stato temporaneo delle circostanze, al fine di
generare nuova conoscenza.
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Definizione di algoritmo
Tutte le operazioni utilizzate per realizzare algoritmi rientrano in una
delle seguenti tre categorie:
•
Operazioni sequenziali
•
Operazioni condizionali
•
Operazioni iterative
Un’istruzione sequenziale esegue una singola attività ben definita. Terminata
l’attività, l’algoritmo passa all’operazione successiva. Solitamente le
operazioni sequenziali sono espresse come semplici frasi dichiarative.
Si tratta delle istruzioni di un algoritmo che “pongono una domanda”.
L’operazione successiva è selezionata sulla base della risposta fornita alla
domanda.
Si tratta delle istruzioni “di ciclo” di un algoritmo. Indicano di non proseguire
con l’istruzione successiva, ma di tornare indietro e ripetere l’esecuzione di
un precedente blocco di istruzioni.
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Definizione di algoritmo
Un algoritmo deve essere:
- non ambiguo (i risultati non devono variare in funzione della
macchina o persona che esegue l'algoritmo)
- corretto (deve risolvere un dato problema)
- realizzabile (deve essere eseguibile con le risorse a disposizione)
- finito (deve essere composto da un numero finito di passi
elementari; le operazioni sono eseguite un numero finito di volte)
- efficiente (deve avere un costo accettabile, se non ottimo, in
termini di risorse consumate: tempo di CPU richiesto per completare,
quantità di memoria utilizzata, quantità di bit trasferiti)
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Attributi degli algoritmi
• Correttezza
• Facilità di comprensione
• Eleganza
• Efficienza
Talvolta eleganza e facilità di comprensione vanno in direzioni
contrarie: più elegante è la soluzione, più difficile risulta da capire.
Es. somma dei primi N interi (algoritmo di Gauss)
Conviene scambiare la facilità di comprensione per l’eleganza?
Naturalmente l’ideale è un algoritmo elegante e facile da
comprendere al tempo stesso.
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Attributi degli algoritmi
Efficienza è il termine usato per descrivere l’uso attento delle risorse
da parte di un algoritmo.
Come si misurano il tempo e lo spazio consumati da un algoritmo, in
modo da determinare se è efficiente?
L’efficienza rispetto allo spazio si può giudicare in base alla quantità
di informazioni che l’algoritmo deve registrare nella memoria del
computer per svolgere il proprio compito, oltre ai dati iniziali sui quali
opera.
L’efficienza rispetto al tempo di un algoritmo è un’indicazione della
quantità di “lavoro” richiesto dall’algoritmo stesso. È una misura
dell’efficienza implicita del metodo, indipendente dalla velocità della
macchina su cui è eseguito, dai valori dei dati di ingresso elaborati
ma non dalla loro quantità.
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Attributi degli algoritmi
La quantità di lavoro di un algoritmo coincide con il numero di istruzioni
eseguite? Non tutte le istruzioni si equivalgono, perciò forse non vanno
“contate” tutte allo stesso modo.
Alcune istruzioni sono fondamentali per il modo in cui l’algoritmo
opera, mentre altre svolgono attività periferiche in supporto dell’opera
principale.
Per misurare l’efficienza rispetto al tempo, identifichiamo le unità di
lavoro fondamentali dell’algoritmo e contiamo quante volte sono
eseguite.
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Attributi degli algoritmi
Sia N la dimensione dei dati da elaborare.
Tempo di
esecuzione
logN
Tipologia di algoritmo
Risolvono grossi problemi riducendone la
dimensione di un fattore costante.
N
Eseguono poche operazioni su ciascun elemento
dell’input.
NlogN
Suddividono il problema in sottoproblemi più
piccolo che vengono risolti indipendentemente.
N2
Elaborano gli elementi dell’input a coppie
(probabilmente all’interno di due cicli nidificati).
2N
Risolvono alcuni problemi di interesse pratico per
i quali non si conoscono ancora algoritmi non
esponenziali.
N3
Elaborano terne di valori (probabilmente
all’interno di tre cicli nidificati).
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Complessità computazionale
La notazione O(·)
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Complessità computazionale
La notazione Ω(·)
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Complessità computazionale
La notazione Θ(·)
Gli algoritmi si classificano spesso in base all’ordine di grandezza Θ()
della loro efficienza rispetto al tempo.
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Descrizione di algoritmi
Il linguaggio di descrizione di un algoritmo deve essere adeguato alle
caratteristiche del suo esecutore.
• esecutore umano:
- linguaggio naturale (eventualmente strutturato)
- linguaggio grafico (es. diagrammi di flusso)
• calcolatore (esecutore automatico):
- linguaggio di programmazione
(programma = specifica di una computazione)
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Descrizione di algoritmi
La macchina di Turing è un modello astratto di generico sistema
risolutore di problemi (non necessariamente un calcolatore
elettronico).
Le istruzioni della MT sono quindi un modello di algoritmo, infatti:
- non vi è mai confusione su cosa la MT deve fare ad ogni passo, né
sulla successiva istruzione da eseguire (non ambiguità)
- la MT esegue le istruzioni e restituisce un risultato sul nastro di
uscita (correttezza)
- le istruzioni comportano l’uso delle risorse a disposizione, i k nastri,
e di nient’altro (realizzabilità)
Le altre caratteristiche (finitezza ed efficienza) non dipendono da
come è fatta la MT, ma da come le istruzioni sono concepite, e dai
dati in ingresso.
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Pseudocodice
Utilizzare un insieme di istruzioni per MT per descrivere un algoritmo
non è certamente agevole.
Molti studiosi di informatica utilizzano una notazione denominata
pseudocodice per progettare e rappresentare gli algoritmi. Si tratta
di costrutti in simil-linguaggio naturale studiati per assomigliare alle
istruzioni di un linguaggio di programmazione, ma che in realtà non si
eseguono su un computer.
Lo pseudocodice rappresenta un compromesso tra i due estremi del
linguaggio naturale e di quello formale; è semplice, altamente
leggibile e praticamente privo di regole grammaticali.
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Pseudocodice
Esempio
moltiplicazione per somme
Problema: dati due numeri interi a e b maggiori o uguali a 0,
determinarne il prodotto p.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
p0
se b=0 vai all’istruzione 6
p  p+a
b  b-1
vai all’istruzione 2
fine
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Pseudocodice
ATTENZIONE!
Il fatto che il numero di istruzioni presenti nella descrizione di un
algoritmo sia finito non implica necessariamente che l’algoritmo
termini in un tempo finito!
1.
2.
3.
4.
r0
r  r+1
vai all’istruzione 2
fine
Manca la condizione di uscita dal ciclo!
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Diagrammi di flusso
Un diagramma di flusso (flow chart) è la rappresentazione grafica dei
passi che costituiscono un algoritmo.
E’ uno strumento efficace per la descrizione degli algoritmi.
I diagrammi di flusso usano forme geometriche diverse per
rappresentare:
 trasferimento di informazioni (lettura dati, scrittura risultati,
visualizzazione dati intermedi)
 esecuzione di calcoli
 assunzione di decisioni
 esecuzione di iterazioni (ripetizione di sequenze di operazioni)
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Diagrammi di flusso
Simboli convenzionali:
Elaborazione – I blocchi rettangolari possono
rappresentare istruzioni di assegnamento o più in generale
istruzioni che comportano una qualche modifica dello stato
globale della computazione.
Decisione – I blocchi a forma di rombo vengono utilizzati
per rappresentare istruzioni di salto condizionato.
Inizio/fine – I blocchi ovali vengono utilizzati per
rappresentare l’inizio e la fine dell’algoritmo.
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vE
B
i1,i2,..,in
o1,o2,..,on
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Diagrammi di flusso
Strutture per il flusso di controllo:
While-Do
I
O
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Diagrammi di flusso
Strutture per il flusso di controllo:
Repeat-Until
I
O
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Diagrammi di flusso
Strutture per il flusso di controllo:
If-Then-Else
I
Then
Else
O
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Diagrammi di flusso
Esempio
calcolo di N! = N(N-1)(N-2)..1
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Strutture dati
Un problema è generalmente caratterizzato da una o più “variabili”. I
dati in ingresso, i dati in uscita, i dati generati e consumati durante
l’elaborazione, sono spesso indicati come variabili. Quando si
assegnano dei valori precisi ai dati in ingresso, si definisca una
“istanza” del problema.
Ciascuna variabile è caratterizzata da un tipo. Il tipo è un nome che
indica l'insieme di valori che una variabile, o il risultato di
un'espressione (che tipicamente coinvolge più variabili), possono
assumere e le operazioni che su tali valori si possono effettuare.
Dire per esempio che la variabile X è di tipo "numero intero" significa
affermare che X può assumere come valori solo numeri interi
(appartenenti ad un certo intervallo) e che su tali valori sono
ammesse solo certe operazioni (ad esempio le operazioni aritmetiche
elementari).
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Strutture dati
I tipi si dividono in tipi base (o primitivi) e tipi complessi (o derivati).
I tipi base non possono essere decomposti, come i numeri interi, i
numeri in virgola mobile, i booleani (questi ultimi possono assumere
solo due valori: vero o falso), i caratteri (es. caratteri ASCII); ogni
linguaggio tipizzato ne prevede un certo insieme.
I tipi complessi si ottengono dai tipi atomici mediante opportuni
operatori forniti dal linguaggio.
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Strutture dati
Una struttura dati è un'entità usata per organizzare un insieme di dati
all'interno della memoria del computer, ed eventualmente per
allocarli in una memoria di massa.
La scelta delle strutture dati da utilizzare è strettamente legata a
quella degli algoritmi. A tal proposito, solitamente si utilizza il
concetto unificato di “Algoritmi e Strutture Dati”. La scelta della
struttura dati influsce inevitabilmente sull'efficienza degli algoritmi
utilizzati.
La struttura dati è un metodo di organizzazione dei dati, quindi
prescinde dai dati effettivamente contenuti.
Una struttura dati può contenere dati di tipo base, di tipo complesso,
e anche altre strutture dati.
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Strutture dati
ARRAY
Un array è una struttura dati omogenea, che contiene un numero
finito di elementi dello stesso tipo, ad esempio interi.
Questi elementi sono individuati attraverso un indice numerico intero,
che tipicamente va da 0 al numero massimo di elementi meno uno.
1.
2.
int v[10]
v[0]  5
La dimensione dell’array deve essere dichiarata al momento della
sua creazione.
L'accesso ad un elemento di un array ha un costo computazionale
costante, mentre l'aggiunta o la rimozione di elementi in posizione
casuale possono essere piuttosto onerose.
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Strutture dati
ARRAY BIDIMENSIONALE (MATRICE)
1.
2.
int v[10][5]
v[0][2]  5
ARRAY MULTIDIMENSIONALE
1.
2.
int v[10][5]..[7]
v[0][2]..[0]  53
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Strutture dati
RECORD (o STRUTTURA)
Un record definisce un tipo complesso. Gli elementi che lo compongono
sono detti anche campi, e sono identificati da un nome.
Un record può essere eterogeneo, cioè può contenere una
combinazione di elementi di diverso tipo.
struct {
char nome[8];
char coloreDelPelo[8];
char coloreDegliOcchi[8];
int età;
} Gatto;
Gatto unGatto;
unGatto.nome  “Felix”;
unGatto.età  2;
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 definizione del record Gatto
 definizione della variabile unGatto di tipo Gatto
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Strutture dati
CLASSE
Una classe consiste di un record a cui sono associate anche delle
operazioni. Una classe quindi è un altro modo di definire un tipo
complesso.
class Dog {
private char name[8];
private char colour[8];
private char race[16];
private int age;
}
 definizione della classe Dog
int getName() { return name; }
void setName(nome) { this.name = name; }
…
Dog aDog = new Dog;
aDog.setName(“Fido”);
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 definizione di una istanza della classe Dog
(si dice che aDog è un oggetto di tipo Dog)
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Strutture dati
LISTA CONCATENATA
- gli elementi della lista sono disposti sequenzialmente come nell’array,
ciascuno all’interno di un nodo che contiene anche un riferimento al
nodo successivo (ed eventualmente a quello precedente)
- la lista può crescere e decrescere di dimensione
- cambiando i riferimenti nei nodi, la lista può essere riorganizzata
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Strutture dati
STACK (PILA)
Una pila è una struttura dati di tipo LIFO (Last In First Out).
Operazioni:
push() – inserisce un dato in cima alla pila
pop() – estrae un dato dalla cima della pila
Viene tipicamente realizzata con array o liste.
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Strutture dati
QUEUE (CODA)
Una pila è una struttura dati di tipo FIFO (First In First Out).
Operazioni:
insert() – inserisce un dato in fondo alla coda
remove() – estrae un dato dalla testa
Viene tipicamente realizzata con array o liste.
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Strutture dati
GRAFO
Ci sono due modi generali per rappresentare
un grafo con una struttura dati utilizzabile
da un programma:
•
•
la lista delle adiacenze
la matrice delle adiacenze
Ua lista di adiacenze è una lista che mantiene un elenco di nodi, ed ad
ogni nodo è collegata una lista di puntatori ai nodi collegati.
Una matrice di adiacenze è una matrice N per N, dove N è il numero
dei nodi, che mantiene un valore 1 nella cella (a,b) se il nodo a è
collegato al nodo b (0 altrimenti). La matrice è simmetrica solo se il
grafo non è orientato.
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Strutture dati
GRAFO
Indicati con V la cardinalità dell'insieme dei vertici del grafo e con E la
cardinalità dell'insieme degli archi del grafo, le due rappresentazioni,
quella mediante liste e quella mediante matrice delle adiacenze,
richiedono rispettivamente Θ(V+E) e Θ(V2) spazio di memoria.
Ognuna delle due rappresentazioni ha alcuni vantaggi:
•
una lista di adiacenze risulta più adatta a rappresentare grafi sparsi
o con pochi archi, perciò è facile trovare tutti i nodi adiacenti ad un
nodo dato e verificare l'esistenza di connessioni tra nodi;
•
una matrice di adiacenze è invece più indicata per descrivere grafi
densi e con molti archi, inoltre rende più facile invertire i grafi e
individuarne sottografi.
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Strutture dati
GRAFO
Grafo dei collegamenti della
pagina principale di Wikipedia.
http://www.wikipedia.org
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Strutture dati
ALBERO
E’ un grafo connesso che non contiene cicli.
Per ogni coppia di nodi esiste un solo cammino che li connette.
Se il numero dei nodi è V, il numero di archi è E=V-1.
Attraversamento: preorder, postorder, inorder, levelorder.
Molto usati sono gli alberi binari:
• V nodi interni, V+1 nodi esterni
• V nodi  altezza ~ log2V
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Strutture dati
ALBERO
Es.
Preorder: 1,2,3,5,8,9,6,10,4,7
Postorder: 2,8,9,5,10,6,3,7,4,1
Inorder: 2,1,8,5,9,3,10,6,7,4
Levelorder: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10
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Strutture dati
HEAP
E’ un albero binario i cui nodi
soddisfano la condizione di integrità:
La chiave che identifica ciascun nodo
deve essere ≥ della chiave dei
nodi figli (se esistono).
Operazioni:
insert() – aggiunge un nuovo nodo
replace() – sostituisce la radice corrente
remove() – elimina la radice corrente
extract() – elimina un nodo
change() – sostituisce un nodo
NOTA: questo è il max-heap; se nella condizione di integrità usiamo ≤, abbiamo il min-heap
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Tecniche di progettazione di algoritmi
Per definire un algoritmo è necessario:
• condurre un'attenta analisi del problema
• individuare i possibili ingressi
• precisare le uscite
• definire completamente e dettagliatamente la sequenza dei
passi che portano alla soluzione (è conveniente suddividere il
problema in piccoli sottoproblemi)
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Tecniche di progettazione di algoritmi
Dal particolare all’universale: INDUZIONE
Dall’universale al particolare: DEDUZIONE
Principio di induzione
U={nєN: vale P(n)} dove P(n) è un predicato su N
Se
1) si dimostra che vale P(0), cioè 0єU
2) P(n) => P(n+1), cioè nєU => n+1єU
allora
P(n) vale per ogni n, cioè U coincide con N
1) è detto passo base dell’induzione
2) è detto passo induttivo
Es. per tutti gli nєN vale P(n) = 0+1+2+..+n = n(n+1)/2
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Tecniche di progettazione di algoritmi
Algoritmo ricorsivo
contiene richiami a se stesso (ma deve esserci una condizione di
terminazione).
Es. N! = N(N-1)!
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Tecniche di progettazione di algoritmi
Divide et Impera
I. Si divide il problema (di dimensione n) in a sottoproblemi di
dimensione inferiore n/b, operanti su sottoinsiemi disgiunti del set di
dati. Questa fase richiede un tempo D(n).
II. Si risolvono i sottoproblemi. Questa fase richiede un tempo
aT(n/b).
III. Si combinano le soluzioni dei sottoproblemi in modo da ottenere
la soluzione del problema principale. Questa fase richiede un tempo
C(n).
NOTA: i sottoproblemi possono essere a loro volta risolti con la
tecnica divide et impera (quindi operando in maniera ricorsiva).
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Tecniche di progettazione di algoritmi
Ricerca esaustiva (metodo “forza bruta”)
Consiste nel verificare tutte le soluzioni teoricamente possibili fino a
che non si trova quella effettivamente corretta.
Il suo principale fattore positivo è che porta sempre a trovare la
soluzione corretta, ma è anche vero che è sempre la soluzione più
lenta o dispendiosa; viene utilizzato come ultima risorsa sia in
crittanalisi che in altre parti della matematica solamente in quei casi
dove sia l'unica soluzione conosciuta.
Es. Quando su un sistema informatico è possibile un attacco offline (ovvero
quando l'attacco si può eseguire su una copia di lavoro locale del sistema da
attaccare) si può barattare la velocità di esecuzione con la quantità di risorse
necessarie (attacchi "distribuiti“).
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Tecniche di progettazione di algoritmi
Backtracking (= ritorno all’indietro)
E’ una tecnica per trovare soluzioni a problemi in cui devono essere
soddisfatti dei vincoli. Con questa tecnica si considerano
successivamente tutte le possibili soluzioni, scartando man mano le
condizioni che non soddisfano i vincoli.
Una tecnica classica consiste nell'esplorazione di strutture ad albero e
tenere traccia di tutti i nodi e i rami visitati in precedenza, in modo da
poter tornare indietro al più vicino nodo che conteneva un cammino
ancora inesplorato nel caso che la ricerca nel ramo attuale non abbia
successo.
Es. Programmi per giocare a scacchi: generano tutte le mosse possibili per
una profondità di N mosse a partire da quella attuale e poi esaminano con il
backtracking le varie alternative, selezionando alla fine quella migliore.
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Tecniche di progettazione di algoritmi
Greedy
Ad ogni passo viene scelta la soluzione che è ottima o “greediest”
(più golosa) localmente, senza preoccuparsi degli effetti successivi di
tale scelta.
La soluzione locale scelta può dipendere dalle scelte precedenti.
Es.
Il problema "Dai il minor numero di monete di resto utilizzando monete da
100, 10, 1 Euro" è un problema risolvibile tramite un algoritmo di tipo greedy:
ad ogni passo viene controllato il resto ancora da dare e si aggiunge la
moneta con valore maggiore possibile. Quindi per dare un resto di 112 Euro la
macchina farà cadere in sequenza una moneta da 100, poi 10, poi 1 e poi 1
Euro per un totale di 4 monete.
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UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI PARMA
Corso di Laurea in Ingegneria Gestionale
Fondamenti di Informatica
Tecniche di progettazione di algoritmi
Programmazione dinamica
Vengono risolti tutti i possibili sottoproblemi (a priori, in generale,
non si sa quale sia il set di sottoproblemi migliore).
Es. Problema dello zaino (knapsack problem):
- Zaino di capacità M
- N tipi di oggetti (ogni tipo ha un suo valore e spazio occupato)
Per ogni i da 1 a M, troviamo
• Cost(i) = max valore ottenibile per uno zaino di capacità i
• Best(i) = ultimo oggetto messo nello zaino di capacità i per avere Cost(i)
=> Best(M) è nello zaino, e anche Best[M – size{Best(M)}], ecc.
Costo dell’algoritmo: O(MN)
Algoritmi e Strutture Dati
Prof. M. Amoretti
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Fondamenti di Informatica
Algoritmi di ordinamento
Supponiamo di avere memorizzato un array di N elem, dove il
tipo elem è un record contenente due campi: informazione e
chiave.
type elem = record
informazione: tipo_informazione;
chiave: int;
end;
elem a[N];
Vediamo una serie di metodi per ordinare le componenti
dell’array secondo l’ordine crescente del campo chiave.
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Algoritmi di ordinamento
BUBBLE SORT
Confronta ogni elemento con il successivo e li scambia (swap) se
necessario.
Ripete finchè non si ha una passata senza swap.
Complessità computazionale: O(N2)
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Algoritmi di ordinamento
INSERTION SORT
Parte dall’elemento in seconda posizione e lo confronta con il primo.
Se necessario li scambia.
Passa all’elemento in terza posizione e lo confronta con i precedenti,
inserendolo se necessario in prima posizione, o tra il primo e il
secondo.
Prosegue con gli elementi nelle posizioni
successive, inserendoli eventualmente
tra l’insieme dei predecessori (≤) e quello
dei predecessori (>).
Complessità computazionale: O(N2)
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Algoritmi di ordinamento
SELECTION SORT
Per ogni i=0..N-1 trova il più piccolo elemento di a[i+1..N-1] e lo
scambia con a[i].
Complessità computazionale: O(N2)
Es.
31
11
11
11
25
25
12
12
12
12
25
22
22
22
22
25
Algoritmi e Strutture Dati
11
31
31
31
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Algoritmi di ordinamento
SHELL SORT
Divide la lista in sottoinsiemi* e li ordina singolarmente con insertion
sort.
Raggruppa i sottoinsiemi in insiemi più grandi. Ordina questi ultimi
con insertion sort. Ripete fino ad avere un unico insieme ordinato di
cardinalità N.
Complessità computazionale: O(N2)
*: gli elementi dei sottoinsiemi non sono elementi contigui dell’insieme complessivo; se i
sottoinsiemi sono M, gli elementi sono presi uno ogni M dall’insieme complessivo
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Algoritmi di ordinamento
HEAP SORT
for (i = 1; i ≤ N; i++)
heap.insert(a[i]);
For (i = N; i ≥ 1; i--)
a[i] = heap.remove();
E’ più lento degli algoritmi MERGESORT e QUICKSORT, ma non usa
array multipli e non è troppo ricorsivo, per cui per grandi quantità di
dati è la soluzione migliore.
Complessità computazionale: O(NlogN)
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Algoritmi di ordinamento
MERGE SORT
Divide l’array in due parti e le copia
in due array distinti. Continua a
dividere ricorsivamente.
Quando restano array di 2 elementi
ciascuno, li ordina.
Rimette insieme gli array, ordinandoli
dopo ciascuna fusione.
Complessità computazionale: O(NlogN)
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Algoritmi di ordinamento
QUICKSORT
Sceglie un elemento dell’array (è il PIVOT).
Divide l’array in due gruppi:
 elementi < PIVOT
 elementi > PIVOT
Ripete ricorsivamente per ciascun sottogruppo.
Complessità computazionale: O(NlogN)
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