Forma dall`ombreggiatura - Dipartimento di Matematica

Forma da X
Oltre alla già citata stereoscopia, sono molti i metodi per
il rilevamento della forma. Si parla di forma da:
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moto
focalizzazioni diverse
zoom
contorni
interferometria laser
tessitura
ombreggiatura
luce strutturata
...
Forma dall’ombreggiatura
Un po’ di terminologia radiometrica.
Irradianza dell’immagine E(p): potenza luminosa per
unità di area ricevuta presso il punto p dell’immagine.
Radianza della scena L(P,d): potenza luminosa per unità
di area emessa presso il punto P dell’immagine, nella
direzione d.
Superficie lambertiana: superficie la cui radianza è
costante al variare di d.
Forma dall’ombreggiatura
Forma dall’ombreggiatura
Supponiamo che la luce provenga da una sola sorgente.
Per una superficie lambertiana vale la seguente
relazione, dove I(P) è il vettore (colonna) che ha
direzione della luce incidente in P, verso rivolto da P alla
sorgente, e modulo uguale alla potenza luminosa per
area rispetto ad un piano ortogonale alla sua direzione;
n(P) è il versore normale alla superficie in P:
L(P) = I(P)Tn(P)
dove l’albedo  è una costante positiva caratteristica del
materiale della superficie.
Forma dall’ombreggiatura
L’equazione fondamentale della formazione radiometrica
dell’immagine è la seguente, dove d è il diametro della
lente, f è la distanza focale,  è l’angolo fra l’asse ottico e
la congiungente il centro ottico con P:
Data la ridotta apertura angolare, e data la possibilità di
compensare con l’ottica l’ultimo fattore, E(p) risulta
proporzionale a I(P)Tn(P).
Forma dall’ombreggiatura
Forma dall’ombreggiatura
Le possibili direzioni della normale alla superficie nel
punto P sono dunque vincolate dall’irradianza in p a
giacere su un cono quadrico.
L’osservazione di un singolo punto P non può farci
determinare la normale. Nei casi reali, però, avremo
conoscenza dei coni relativi a punti di un’intera regione
(che supporremo di classe C2).
Se c’è un punto in cui la normale sia nota, allora si può
ottenere normale e, conseguentemente, profondità di ogni
punto della regione.
Forma dall’ombreggiatura
Forma dall’ombreggiatura
Supponendo che tutta la regione in questione sia
illuminata e visibile, quindi rappresentabile come grafico
di Z=Z(X,Y), se è nota la profondità di un certo punto P,
Z(X0,Y0), allora la profondità del generico punto di
ascissa e ordinata (X1,Y1) si ottiene da
dove p e q sono, in ogni punto, i coefficienti
dell’equazione z = px + qy + c del piano tangente.
Forma dall’ombreggiatura
Avendo un’unica sorgente luminosa, la mappa delle
normali viene usualmente ottenuta con metodi
variazionali.
Potendo, invece, regolare l’illuminazione ad hoc, si può
illuminare la scena con tre sorgenti diverse ed ottenere la
normale in ogni punto come intersezione di tre coni.
La conoscenza delle normali e delle aree (per poliedri) o
delle curvature (per superfici curve) permette la
ricostruzione dell’oggetto tridimensionale!
Forma dall’ombreggiatura
Forma dall’ombreggiatura
Teorema (Minkowski, 1897) - Se, dati due poliedri
convessi dello spazio euclideo tridimensionale, esiste
un’applicazione biunivoca fra gli insiemi delle loro facce,
tale che facce corrispondenti hanno stessa normale e
stessa area, allora i due poliedri sono congruenti.
Si noti che non si chiede che le facce corrispondenti
abbiano lo stesso numero di lati: viene di conseguenza!
Forma dall’ombreggiatura
Per fortuna ne esiste una versione liscia.
Teorema (Aleksandroff, 1942) - Se, dati due convessi
dello spazio euclideo tridimensionale, esiste
un’applicazione biunivoca fra gli insiemi dei punti dei
loro bordi, tale che in punti corrispondenti la curvatura
gaussiana è la stessa, allora i due convessi sono
congruenti.
Luce strutturata
In ambienti controllati è possibile condizionare
totalmente l’illuminazione e proiettare sull’oggetto, di
cui si vuole rilevare la forma, una lama di luce o una
griglia. La deformazione subita dà indicazioni sulla
normale nei punti della superficie.
Il calcolo relativo alla proiezione di una griglia può
essere ricondotto al calcolo da stereoscopia, in quanto
una “immagine” è costituita dalla griglia non deformata.
Si ripresenta, però, il problema della corrispondenza.
Luce strutturata
Luce strutturata
Un tentativo di griglia “disambiguante”.
Luce strutturata
La sua proiezione su un cilindro.
Luce strutturata
Luce strutturata
Un’interessante variante della luce strutturata è l’uso di
frange marezzate (moiré fringes), figure di interferenza
(o di battimento) che si ottengono proiettando una
griglia molto fine sulla superficie della scena, e
interponendo un’analoga griglia davanti all’obiettivo.
Le frange costituiscono curve di livello di una funzione
di Morse definita sulla superficie; i loro punti singolari
danno perciò informazioni sulla struttura topologica
della superficie stessa.
Luce strutturata
L’attenzione si concentra sui punti critici della
funzione di Morse.
Grafo delle viste
Una sintesi combinatoria della forma di un poliedro è
fornita dal grafo delle viste (aspect graph).
Una vista è un insieme di facce del poliedro che può
essere visto da una particolare direzione (con verso).
Ogni vertice del grafo corrisponde ad una vista, e due
vertici sono connessi se e solo se si può passare
direttamente fra le viste corrispondenti cambiando
direzione.
Grafo delle viste
Grafo delle viste
Si noti che i vertici corrispondono a classi di equivalenza
di punti della sfera di Gauss, per cui sono equivalenti
due punti se e solo se rappresentano direzioni con verso
da cui si vede la stessa vista. Due vertici sono adiacenti
se e solo se le classi di equivalenza sono regioni
confinanti.
La versione più usata richiede che le regioni confinino
per più di un punto.
Esiste anche una versione in cui invece di direzioni si
considerano punti di osservazione, con proiezione
prospettica. Ogni vertice corrisponde allora ad una
“bolla” di spazio.
Grafo delle viste
Che relazione c’è fra le immagini che possono essere
registrate da due direzioni (o da due punti) equivalenti?
Si tratta di una trasformazione omografica a tratti, cioè tale
che su parti diverse dell’immagine agiscono omografie
diverse.
Nel caso liscio, non ci può essere un insieme di facce, dato
che l’insieme dei punti visibili cambia con continuità al
variare della direzione (o del punto) di vista.
Una vista, allora, è definita dal tipo di diffeomorfismo del
contorno apparente, cioè della curva formata dai punti
della superficie in cui la congiungente col centro ottico è
tangente.
Grafo delle viste
I punti del contorno
apparente sono i
punti critici della
proiezione (cioè
quelli in cui il
differenziale della
proiezione cala di
rango).
Grafo delle viste
Anche questa volta si ottiene una partizione della sfera di
Gauss.
Grafo delle viste
Per di più, le
transizioni fra le
diverse classi di
equivalenza
(corrispondenti alle
diverse viste) sono
etichettabili
attraverso dei tipi
ben classificati di
singolarità, le
cosiddette
catastrofi
elementari.
Funzioni di taglia
Sia M uno spazio topologico; supponiamo data una
funzione misurante continua  : M IR.
Per ogni numero reale y denotiamo con M  y
l’insieme di tutti i punti di M in cui la funzione
misurante  assume valori non maggiori di y.
Per ogni numero reale y diciamo che due punti P,Q
sono  y-omotopi se e solo se appartengono alla
stessa componente connessa in M y.
Funzioni di taglia
Chiamiamo funzione di taglia (size function)
della coppia di taglia (M,) la funzione l(M,): Rx
RN+ che associa ad ogni punto (x,y) del
piano reale il numero di classi di equivalenza di
M   x rispetto alla  y-omotopia.
Funzioni di taglia
Funzioni di taglia
Funzioni di taglia
Funzioni di taglia
Similitudini
Funzioni di taglia
Affinità
Funzioni di taglia
Omografie
Applicazione al riconoscimento di melanomi
Applicazione al riconoscimento di melanomi
Oltre che con la traduzione diretta in funzioni di taglia, ogni
immagine di lesione viene trattata come segue.
• Segmentazione (individuazione della zona pigmentata).
• Separazione in due metà rispetto a 90 rette passanti per il
suo baricentro.
• Confronto delle due metà mediante Funzioni di Taglia
rispetto a tre funzioni misuranti diverse, che individuano
asimmetrie di bordo, di colore e di strutture.
• Tracciamento di tre curve che riassumono i confronti e
calcolo di alcuni loro parametri caratteristici.
• Classificazione dei vettori di parametri mediante SVM.
Applicazione al riconoscimento di melanomi
Un’immagine ed un suo spezzamento
La curva relativa
all’immagine
Applicazione al recupero di immagini
Concettualizzazione indotta dall’input: la scelta delle funzioni
misuranti è determinata dalla concordanza sulle tre immagini
della query.
Applicazione al recupero di immagini
Gruppo di trasformazioni indotto dall’input.
Applicazione al recupero di immagini
Senza informazioni semantiche: poligonali generate a caso...
Applicazione al recupero di immagini
… e curve lisce a tratti generate a caso.
Applicazione al recupero di immagini
Un campione del nostro database di 498 schizzi.
Applicazione al recupero di immagini
Una query e i primi 10 risultati.
Applicazione al recupero di immagini
La funzione misurante può risultare inadatta...
Applicazione al recupero di immagini
…ma può essere cambiata.
Applicazione al recupero di immagini
de
Trazegnies
et al. (2002)
noi
de
Trazegnies
et al. (2002)
noi
La sfida di un database pubblico.
Applicazione al recupero di immagini
Query
1
2
3
de
Trazegnies
et al. (2002)
noi
de
Trazegnies
et al. (2002)
noi
La sfida di un database pubblico.
CONCLUSIONI
Di matematica nella visione ce n’è tanta, ma ce ne
potrebbe (dovrebbe? ) essere molta di più!