Lezione 11: Le onde elettromagnetiche e la luce
Le onde elettromagnetiche
più importante conseguenza delle
equazioni di Maxwell:
esistenza di onde elettromagnetiche
equazioni di Maxwell
B
E
E
0
t
E
B 0 J 0 0
B 0
t
( B) 0 j
E
0 0
t
B
( E)
t
D E
B H
J E
0
equazione generale delle onde
E
E
2
E 2
0
t
t
2
H
H
2
H 2
0
t
t
2
per un mezzo isolante:
E
2
E 2 0
t
2
H
2
H 2 0
t
2
0
E e B propagano
come onde di velocità
1
v
anche nel vuoto (assenza di cariche o correnti)
campo B variabile genera un campo E
campo E variabile ricrea il campo B variabile
il processo continua sotto forma di onda
elettromagnetica che propaga nello spazio
Proprietà delle onde
elettromagnetiche
onda piana
E e B costanti sui
soluzione particolare
equazioni di Maxwell
nel vuoto
piani ortogonali
all’asse x
E e B propagano con
stessa velocità
v 1 /
B
1
0 0
i E
i=
versore asse x
(direzione di propagazione)
onde trasversali
E e B non sono indipendenti
S EH
onda sinusoidale
2
E ( x, t ) E0 cos( x t )
vettore di Poynting
(direzione e verso
di propagazione)
E
B
x
Storicamente:
Maxwell calcola velocità onda elettromagnetica
v
1
velocità della luce
misurata
sperimentalmente
la luce è un fenomeno elettromagnetico;
è costituita da campi elettrici e magnetici
rapidamente variabili ed orientati trasversalmente alla
direzione di propagazione.
unificazione di elettricità e magnetismo
implica la teoria della luce!!!
Conferma sperimentale:
1888 Hertz: scoperta delle onde radio
Marconi: applicazioni commerciali delle
onde radio
Produzione di onde
elettromagnetiche
carica elettrica a riposo: campo E
carica elettrica in moto: campo E, campo B
in condizioni stazionarie:
carica in moto uniforme corrente costante
densità di energia e-m costante nello spazio
la carica non trasporta segnale:
(solo evidenza della sua presenza)
non trasporta energia
non trasporta quantità di moto
non c’è radiazione elettromagnetica
in condizioni dinamiche:
carica in moto accelerato corrente variabile
la radiazione è prodotta
da correnti che
variano nel tempo
in laboratorio:
vario nel tempo corrente
che scorre in un filo
C
genero onda
elettromagnetica
linea di
trasmissione
(cavo coassiale)
L
onda
che si propaga
R
generatore
esterno
circuito
oscillante
RLC
antenna a
dipolo elettrico
geometria antenna determina
proprietà geometriche campi E e B irraggiati
~
antenna a dipolo
elettrico (radio e TV)
al termine di un cavo
coassiale
due conduttori rettilinei
da
cariche fluiscono con frequenza (sospinte
circuito RLC)
dipolo elettrico oscillante con frequenza
radiazione di
p q0 a sin t
dipolo elettrico
emissione
onda dipolare
p q0 a sin t
t
p = p0
t +T/4
p=0
t +T/2
p = -p0
t +3/4T
p=0
t +T
p = p0
Scoperta delle onde radio
(Hertz 1888)
trasmettitore:
corrente oscillante
prodotta da scintille
emesse da un terminale
ad alta tensione
(frequenza di
risonanza 108 Hz)
ricevitore:
onde e-m
propagano per
metri
circuito isolato
le onde inducono una
corrente
analoga
(frequenza di
risonanza 108 Hz)
Radiazione di una carica
in moto accelerato
Carica in moto emette radiazione em:
potenza irradiata
flusso vettore di Poynting
attraverso sup. sferica
contenente la carica al centro
P ( E H ) n da
S
Calcolo E ed H su S a partire dai potenziali A, :
A
E grad
t
E
0
H
0
r
r'
(r ' , t
)
1
c dv'
(r , t )
40 V
r r'
r r'
J
(
r
'
,
t
)
0
c dv'
A(r , t )
4 V
r r'
onda piana
potenziali
ritardati
(r ' , t ' )dv'
quantità di carica nello spazio,
tenente conto del moto di cariche
V
Esempio di calcolo integrale:
Superficie sferica che si
contrae con velocità c
P
se u=0
dq dSdr
se u0 diminuzione
di carica
q
u
dr
u (r r ' )
dS u cos q dt
dSdt
r r'
u (r r ' )
dr / c dt , dSdr dv'
dq (1 ) dv'
c r r'
dq
dv'
u (r r ' )
(1 )
c r r'
(r , t )
1
dq
40 V r r ' u (r r ' )
c
1
e
40 r r ' u (r r ' )
c
0
eu
A(r , t )
u
4 r r ' (r r ' )
c
per velocità non relativistiche
0 eu
0 eu
A(r , t )
4 r r ' 4 R
(r , t )
1
e
1 e
40 r r ' 40 R
per distribuzioni dq
limitate a piccoli volumi
(integrando costante)
Potenziali di
Lienard-Wickert
per elettrone
( u<<c):
Potenza totale istantanea irradiata dall’elettrone:
2
P
2
(
E
H
)
R
senqdqd
n
0
0
A
A
E grad
t
t
E
trascuro componenti
di E e H 1/R2, 1/R3…
0
H
0
sapendo che:
A
e
Eq q ( 0 u sin q )
t
t 4 R
0 e du
sin q
4 R dt
u q Aq
e R
Potenza irradiata:
( E H ) n Eq H
0 2 0 e 2
2
2
2
Eq
sin
q
u
u
0
c (4R) 2
massima
in q/2
1 0 1/ 2 e 2 2 3
P ( )
u sin qdq
2
0
8 0
c
2 0 1/ 2 e 2 2
( )
u
2
3 0
4c
u 2
irraggiamento solo se la
carica è accelerata
irraggiamento
in direzione moto
Onde elettromagnetiche
in un conduttore
equazione generale delle onde
2
E
E
2
E 2
0
t
t
2
H
H
2
H
0
2
t
t
0
soluzione per onda piana monocromatica:
E ( x, t ) E0 ei ( x t ) e -b x
onda smorzata nella direzione x
( ); b b ( )
13
1
basse frequenze ( 4 10 sec )
b / 2
d 1/ b
coefficiente di assorbimento
cammino di assorbimento
(conduttore perfetto: =, d=0
onda riflessa totalmente)
13
1
(
4
10
sec
)
alte frequenze
non c’è assorbimento (il metallo è trasparente)
Ionosfera:
parte di atmosfera 100-400 Km dalla terra
aria ionizzata da radiazione solare ultravioletta
elettroni si muovono di moto armonico
p 108 rad / s
p 1.6 107 Hz
p 18.7 m
frequenza di taglio
< p onda riflessa
> p onda trasmessa
Applicazioni:
106 Hz
onde radio
(modulazione di ampiezza)
vengono trasmesse anche
molto lontano per riflessione
dalla ionosfera
108 Hz
onde radio e TV
(modulazione di frequenza)
passano la ionosfera
utilizzo satelliti oltre la ionosfera
ionosfera
Onde elettromagnetiche
in un dielettrico
In un dielettrico:
considero cariche di polarizzazione;
trascuro effetti di magnetizzazione
(suscettività magnetica piccola)
equazioni di Maxwell
D 0
B 0
B
E
t
D
B 0
t
0
J 0
D 0E P
2
E
1
1
1 P
2
E 2 ( P)
2
t
0 0
0 t 2
0 0
2
onde nel vuoto
mezzi
omogenei
per campi funzioni armoniche
(sin t , cos t )
P 0 e ( ) E
P dipende dalla frequenza
diminuisce all’aumentare di
la fase di P non è la stessa di E
(l’effetto di polarizzazione è in ritardo)
i ( t kr )
E ( r , t ) E0 e
i ( t kr )
P (r , t ) P0 e
onda piana
monocromatica
2
E
1
1 P
2
equazione onde
E
2
2
t
0 0
0 t
2
2
2 2
2
E (r , t ) c k E (r , t )
P(r , t ) e ( ) E (r , t )
0
2
2
c2
1 e ( )
v f ( )
n( )
k
k2
c
1 e ( )
c
r ( )
v f ( )
c
r ( )
mezzo
dispersivo
I potenziali del campo
elettromagnetico
elettrostatica
div E
0
rot E 0
E grad
magnetostatica
div B 0
rotB 0 J
B rotA
2
A 0 J
0
2
divA 0
in condizioni dinamiche:
B
rotE
t
B rotA
(rotA)
rotE
t
A
rot ( E
)0
t
A
E grad
t
irrotazionale
B rotA
dalle equazioni di Maxwell:
divE
0
A
div ( grad )
t
0
E
rotB 0 J 0 0
t
A
rot (rotA) 0 J 0 0 ( grad )
t
t
2
2 2
t
2
A
2
A 2 J
t
divA
0
t
equazioni
delle onde
per i potenziali !!
condizione di Lorentz
(elimina arbitrarietà di A e )
i potenziali ed A generati da una distribuzione di
cariche e correnti si fanno sentire nello spazio con
ritardo, legato alla velocità di propagazione.
Invarianza dell’elettromagnetismo
sotto trasformazioni di Lorentz
sistema S’
sistema S
v
z’
z
x’
x
O
y’
y
O’
moto rettilineo uniforme
rispetto ad S
O O’ per t = t’ = 0
trasformazioni
di Lorentz
x'
x vt
1 v c
2
2
;
y ' y;
z ' z;
v
x
2
c
t'
;
2
2
1 v c
t
mantengono
velocità della luce
uguale nei due sistemi
x 2 y 2 z 2 c 2t 2
=
x'2 y'2 z'2 c 2t 2
la norma del quadrivettore
( x, y, z, ict ) è invariata
equazioni delle onde
per i potenziali
2
2 2
t
2
A
2
A 2 J
t
, ,
x y k
2
2
2
2 2 2 2
x y z
quadrivettore
, , ,
x y k (ict )
2
2
2
2
1 2
1
2 2 2 2 2 2 2 2
x y
z c t
c t
operatore (quadrato del quadrivettore )
è invariante per trasformazioni di Lorentz
( J , i c) quadrivettore densità carica-corrente
( p, i U c) quadrivettore momento-energia
i
( ) 0 (ic )
c
A 0 J
i
A ( A, )
c
A 0 j
( 1,2,3,4)
( 1,2,3,4)
il potenziale e-m è invariante
