Algoritmi e Strutture Dati

Algoritmi e Strutture Dati
Capitolo 11
Grafi e visite di grafi
Camil Demetrescu, Irene Finocchi,
Giuseppe F. Italiano
Algoritmi e strutture dati
Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. Italiano
Definizione
Un grafo G=(V,E) consiste in:
- un insieme V di vertici (o nodi)
- un insieme E di coppie di vertici, detti archi o
spigoli: ogni arco connette due vertici
Esempio 1: V={persone che vivono in Italia},
E={coppie di persone che si sono strette la mano}
Esempio 2: V={persone che vivono in Italia},
E={(x,y) tale che x ha inviato una mail a y}
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Terminologia (1/2)
Esempio 1: relazione simmetrica
grafo non orientato
Esempio 2: relazione non simmetrica
grafo orientato
n = numero di vertici
m = numero di spigoli
∑ d(v)=2m
L ed I sono adiacenti
vV
(L,I) è incidente su L ed I
I ha grado 4: d(I)=4
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Terminologia (2/2)
< L , I , E, C, B, A > è un cammino nel
grafo di lunghezza 5
Non è il più corto cammino tra L ed A
La lunghezza del più corto cammino
tra due vertici si dice distanza: L ed
A hanno distanza 4
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Strutture dati
per rappresentare grafi
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Grafi non orientati
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Grafi orientati
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Prestazioni della lista di archi
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Prestazioni delle liste di adiacenza
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Prestazioni della matrice di adiacenza
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Visite di grafi
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Scopo e tipi di visita
• Una visita (o attraversamento) di un grafo G
permette di esaminare i nodi e gli archi di G in
modo sistematico
• Problema di base in molte applicazioni
• Esistono vari tipi di visite con diverse
proprietà: in particolare, visita in ampiezza
(BFS=breadth first search) e visita in
profondità (DFS=depth first search)
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Algoritmo di visita generica
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Osservazioni
• Un vertice viene marcato quando viene incontrato
per la prima volta: la marcatura può essere
mantenuta tramite un vettore di bit di marcatura
• La visita genera un albero di copertura T del grafo
• L’insieme di vertici FT mantiene la frangia di T:
– vT-F: v è chiuso, tutti gli archi incidenti su v sono
stati esaminati
– vF: v è aperto, esistono archi incidenti su v non
ancora esaminati
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Costo della visita
Il tempo di esecuzione dipende dalla struttura
dati usata per rappresentare il grafo:
• Lista di archi: O(mn)
• Liste di adiacenza: O(m+n)
• Matrice di adiacenza: O(n2)
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Visite particolari
• Se la frangia F è implementata come coda si ha
la visita in ampiezza (BFS)
• Se la frangia F è implementata come pila si ha
la visita in profondità (DFS)
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Visita in ampiezza
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Visita in ampiezza
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Esempio: grafo non orientato (1/2)
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Esempio: grafo non orientato (2/2)
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Esempio: grafo orientato
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Proprietà
• Per ogni nodo v, il livello di v nell’albero BFS
è pari alla distanza di v dalla sorgente s
• Per ogni arco (u,v) di un grafo non orientato,
gli estremi u e v appartengono allo stesso
livello o a livelli consecutivi dell’albero BFS
• Se il grafo è orientato, possono esistere archi
(u,v) che attraversano all’indietro più di un
livello
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Visita in profondità
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Visita in profondità
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Esempio: grafo non orientato (1/2)
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Esempio: grafo non orientato (2/2)
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Esempio: grafo orientato (1/2)
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Esempio: grafo orientato (2/2)
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Proprietà
• Sia (u,v) un arco di un grafo non orientato. Allora:
– (u,v) è un arco dell’albero DFS, oppure
– i nodi u e v sono l’uno discendente/antenato dell’altro
• Sia (u,v) un arco di un grafo orientato. Allora:
– (u,v) è un arco dell’albero DFS, oppure
– i nodi u e v sono l’uno discendente/antenato dell’altro,
oppure
– (u,v) è un arco trasversale a sinistra, ovvero il vertice
v è in un sottoalbero visitato precedentemente ad u
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Riepilogo
• Concetto di grafo e terminologia
• Diverse strutture dati per rappresentare grafi nella
memoria di un calcolatore
• L’utilizzo di una particolare rappresentazione può
avere un impatto notevole sui tempi di esecuzione
di un algoritmo su grafi (ad esempio, nella visita
di un grafo)
• Algoritmo di visita generica e due casi particolari:
visita in ampiezza e visita in profondità
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