clustering
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ANALISI DEI CLUSTER (metodo kmeans) Sia X x t N t 1 l’insieme degli esempi di training Supponiamo di volerli classificare in k classi, ed indichiamo con mj, j=1,…,k prototipi delle classi Supponiamo per ora di avere a disposizione i k prototipi mj per cui rappresenteremo il vettore di input con il prototipo più vicino x t m i min x t m j j 1 [email protected] ANALISI DEI CLUSTER (metodo kmeans) x t m i min x t m j j Come possiamo calcolare i prototipi mj? Quando xt è rappresentato da mi, vi è un’errore proporzionale alla distanza Il nostro obiettivo è quello di ridurre questa distanza quanto possibile Introduciamo una funzione errore (di ricostruzione) come segue b E mi i 1 X k t 1,.., N i 1,..., k t i xt mi 2 t t 1 se x m min x mj t i j bi altrimenti 0 2 [email protected] ANALISI DEI CLUSTER (metodo kmeans) Migliori performance si ottengono trovando il minimo di E Usiamo una procedura iterativa per trovare i prototipi. Si parte inizializzando i k vettori di riferimento mi casualmente Quindi si calcolano i valori di b con l’equazione precedente e si minimizza l’errore E calcolando la sua derivata prima e ponendola a zero. Quindi si perviene a bt xt mi b i t t t i Chiaramente modificando i valori di m anche quelli di b variano e quindi si ripete il processo finché i prototipi si stabilizzano 3 [email protected] ANALISI DEI CLUSTER (metodo kmeans) 4 [email protected] ANALISI DEI CLUSTER (metodo kmeans) 5 [email protected] ANALISI DEI CLUSTER (kmeans) Bande: XS1 ("green" band), XS2 ("red" band), XS3 ("near infra-red" band) PCA Kmeans: •Initial Number of classes: 15, •Initial Number of iterations: 10, •Change threshold: 5%. 6 [email protected] ANALISI DEI CLUSTER (Fuzzy C-means) 1. Inizializza la matrice delle funzioni membership b con valori tra 0 e 1. Tale che soddisfano il vincolo b 1 t 1,, N k i 1 2. Calcola i centri mi, i=1,…,k con t i N mi (b ) x t 1 N t i t [1, ) (b ) t 1 t i N k 3. Calcola la funzione costo. E (b, m1 , , mk ) (bit ) x t mi t 1 i 1 Criterio di stop: se E<soglia o non vi sono variazioni significative tra una iterazione ed un’altra 4. Calcola la nuova matrice b Vai al passo 2 bit 1 x t mi xt m j j 1 k 7 2 1 [email protected] Template Matching In diverse applicazioni risulta importante ricercare direttamente nell’immagine (e non nello spazio delle caratteristiche) particolari regioni o piccole porzioni di un oggetto. Esempi: •di un pezzo meccanico, si vuole cercare una regione con particolari configurazioni geometriche; •da una immagine da satellite si vogliono cercare finestre che includono intersezioni di fiumi, strade ecc., normalmente usati come punti di riferimento (reference point). Il problema consiste nel ricercare sull’intera immagine una finestra ideale corrispondente ad una rappresentazione dell’oggetto che deve essere identificato nell’immagine. 8 [email protected] Template Matching Il processo di template matching consiste nel muovere la finestra campione (template) di un pixel per volta nell’immagine e calcolare il grado di similarita` di tale finestra con la porzione corrente dell’immagine. Opera come correlazione in analogia al processo di convoluzione. Il template matching e` anche descritto come “matched filtering”. •Sia g(i,j) la finestra prototipo da ricercare •f(i,j) immagine di input, • Il processo inizia posizionando g sull’estremita` in alto a sinistra di f, ed i corrispondenti livelli di grigio sono confrontati pixel per pixel per valutare il livello di similarita` in tutte le possibili posizioni 9 [email protected] Template Matching Misure di similarita`: S1 max | f g | S2 ( i , j )W | f g | S3 ( i , j )W 2 ( f g ) ( i , j )W dove W rappresenta la finestra del campione. La misura di similarita` piu` appropriata e` la correlazione tra la finestra W di dimensioni L×L e l’immagine di input f che puo` essere misurata da: L L M ( i, j ) g( l , k ) f ( i l , j k ) l 1 k 1 dove i e j sono gli indici della finestra nell’immagine f. 10 Il max di M(i,j) rappresenta l’oggetto [email protected] cercato Esempio Template Data Set 1 Data Set 3 Data Set 4 11 Data Set 2 Data Set 5 [email protected] Data Set 1 Immagine originale, Rettangolo trovato, e mappa di correlazione Mappa di correlazione 12 [email protected] Data Set 2 Immagine originale, Rettangolo trovato. Mappa di correlazione 13 [email protected] Data Set 3 Immagine originale, Rettangolo trovato. Mappa di correlazione 14 [email protected] Data Set 4 Immagine originale, Rettangolo trovato. Mappa di correlazione 15 [email protected] Data Set 5, Corr. Map Mappa di correlazione Immagine originale. 16 [email protected] Data Set 5, Results Soglia impostata a 0.800 Soglia impostata a 0.200 17 [email protected] Template Matching - Limitazioni Impossibilita` di operare quando: • l’immagine f cambia di scala ed orientazione. •Se l’immagine f modifica i livelli di grigio la correlazione M(i,j) e` modificata e puo` non indicare misure di similarita` affidabili. Questo inconveniente e` superato con un processo di normalizzazione definito da: L M ( i, j ) L g( l , k ) f ( i l , j k ) l 1 k 1 L L { f 2 ( i l , j k )} l 1 k 1 18 [email protected] Template Matching - Limitazioni •Usa informazioni globali, sensibile a occlusioni •Usa informazioni sui pixel: dall’illuminazione e dal sensore. fortemente 19 dipendente [email protected] 20 [email protected] Reti Neurali 21 [email protected] Computers vs. Neural Networks “Standard” Computers Neural Networks una CPU elaborazione altamente parallela Unita’ di elab. veloci (10-9s) unita’ di elab. Lente (10-3s) Unita’ affidabili unita’ non affidabili Infrastruttura statica Infrastruttura dinamica 22 [email protected] Perche` le reti neurali artificiali? Ci sono due ragioni fondamentali per cui siamo interessati alla costruzione di reti neurali artificiali (ANN): • Tecnico: Alcuni problemi come il riconoscimento di caratteri o la predizione di stati futuri di un sistema richiedono una elaborazione adattiva e massivamente parallela. • Biologico: ANNs possono essere usate per replicare e simulare componenti del cervello umano (o animale) per fornirci chiarimenti circa l’elaborazione naturale dell’informazione. 23 [email protected] Perche` le reti neurali artificiali? Perche` abbiamo bisogno di un altro paradigma per costruire macchine “intelligenti”? • L’Intelligenza Artificiale simbolica e` adatta a rappresentare la conoscenza esplicita che puo` essere appropriatamente formalizzata. • Tuttavia, l’apprendimento nei sistemi biologici e` per lo piu` implicito – esso e` un processo di adattamento basato su ragionamento e informazione incerta. • ANNs sono inerentemente parallele e funzionano in modo efficiente se implementate in hardware parallelo. 24 [email protected] Come funzionano le reti neurali artificiali e naturali? • I “blocchi principali” di una rete neurale sono i neuroni. • Tecnicamente i neuroni sono anche denominati unità di elaborazione o nodi. • Fondamentalmente, ciascun neurone • riceve input da molti altri neuroni, • Varia il suo stato interno (attivazione) basato sull’input corrente, • invia un segnale di output a molti altri neuroni, includendo possibilmente i suoi neuroni di input (reti ricorrenti) 25 [email protected] Modello Biologico - Il Neurone 26 [email protected] Modello del Neurone bk x1 x2 w1 w2 vk Funzione di attivazione (•) Output yk wN xN N vk wkj x j bk j 1 Soglia (v ) lineare Sigmoidale yk (vk ) 27 [email protected] Percettrone La piu` semplice struttura di rete neurale e` il percettrone ideato da Rosenblatt basato sul modello di neurone definito in precedenza. Cosa può rappresentare un percettrone? Per semplicità consideriamo un neurone a due input: b x1 x2 x wk1 Yk=1 wk yk (•) wk2 x1 Yk=0 x2 Il calcolo di questo neurone puo` essere descritto come il prodotto interno di vettori bidimensionali x e wk, seguiti da un’operazione di thresholding. 28 x1wk 1 x2 wk 2 b 0 [email protected] Percettrone 0 x , t 0 1 1 0 0 x2 , t2 0 1 1 x , t 0 3 3 0 Soluzione 1 x4 , t4 1 1 2 w 2 w Regola di apprendimento Errore et y w new wold ex wold (t y )x bnew bold e 29 [email protected] Apprendimento In analogia al comportamento del cervello umano che impara per esperienza, anche un modello computazionale neurale deve risolvere i problemi allo stesso modo senza utilizzare l’approccio algoritmico. In altre parole, una rete neurale artificiale e` vista come una macchina adattiva con le seguenti caratteristiche: la rete deve adattare i nodi (neuroni) per l’apprendimento della conoscenza attraverso una fase di training osservando esempi, organizzare e modellare tale conoscenza mediante i pesi sinaptici delle connessioni, ed infine rendere disponibile tale conoscenza per un suo uso generalizzato 30 [email protected] La Ricerca nei sistemi che apprendono Capire il cervello (fisiologia, psicologia, neuroscienze, medicina) Sviluppare macchine che apprendono (informatica ed ingegneria elettronica) Formalizzare matematicamente l’essenza dell’apprendimento (Scienze dell’Informazione) [email protected] 31 3 Tipi di apprendimento • Supervised learning Trovare una regola caratterizzante il nostro modello partendo dai dati e dall’aiuto di un teacher • Unsupervised learning Trovare la struttura caratterizzante il modello utilizzando solo i dati • Reinforcement learning Trovare una particolare regola dai dati senza l’aiuto di un teacher che massimizza un certo funzionale 32 [email protected] Processi di Apprendimento Supervisionato Non Supervisionato Con Rinforzo 33 [email protected] Obbiettivi del Learning Supervisionato • L’obbiettivo del supervised learning è quello di ottenere una regola sconosciuta. • Il teacher conosce la regola. • Possiamo fare domande al teacher. • Il teacher ci fornisce la risposta appropriata alla domanda. • Le coppie costituite da domande e risposte costituiscono gli esempi di addestramento (training) Regole Domande Risposte 34 [email protected] Capacità nel generalizzare • Se la regola di interesse viene appresa con successo, possiamo rispondere a domande che non abbiamo mai appreso prima. • Tale capacità è denominata generalizzazione. Regola Appresa Risposta appropriata Domande non apprese 35 (Esami) [email protected] Apprendimento del Percettrone Il percettrone realizza la fase di apprendimento mediante la minimizzazione di una funzione costo che accorda, il valore corrente al tempo n della risposta y(n) del neurone ed il valore desiderato t(n), aggiustando in modo appropriato i pesi sinaptici durante le varie iterazioni fino a convergere a risultati ottimali. b x1 wk1 (•) wk2 yk x2 L’algoritmo di convergenza della fase di apprendimento del percettrone si compone delle seguenti fasi: 1. Inizialmente al tempo n=0, i pesi sono inizializzati con valori casuali piccoli wi(n)=0; 2. Ripetere i passi seguenti per tutti i campioni x(1), x(2) ...... 3. Attivazione. Il percettrone e` attivato fornendo il vettore delle caratteristiche x(t) e le risposte desiderate t(n); 36 [email protected] Apprendimento b x1 wk1 (•) wk2 Per semplicità poniamo x0=-1 e b=w0 yk x2 4.Calcolare la risposta attuale del percettrone: N y (n) [ wi (n) xi (n) w0 (n)] i 1 u dove n scandisce i tempi di attivazione del percettrone e coincide con l’indice del vettore del training set, e è la seguente funzione di attivazione (chiamata anche funzione segno): 1 se u 0 (u) 0 se u 0 1 se u 0 1 u 5. Adattamento dei pesi sinaptici: -1 wi (n 1) wi (n) [t (n) y (n)] xi (n) 37 [email protected] Apprendimento x2 dove 1 se x(n) K1 t (n) 1 se x(n) K2 é la risposta desiderata. K1 K2 b x1 x1 wk1 (•) wk2 yk x2 6. Incrementare il tempo n di una unità ed ritornare al passo 3. Il processo di classificazione basato sul percettrone è ottimizzato aggiustando in modo iterativo i pesi sinaptici che minimizzano l’errore e(n)=t(n) - y(n) 38 [email protected] Fase di Test x2 Dopo l’addestramento conosciamo: I pesi sinaptici w1, w2, … wN Il bias b (intercetta) K1 K2 x1 Dato un vettore di feature estratte da un oggetto incognito x=(x1, x2, … xN) Si stimola il percettrone che genera in output il valore della classe di appartenenza: 1 allora x K1 y (x) sgn{ [ wi xi w0 ]} i 1 1 altrim x K2 N 39 [email protected] Esempio: Matlab nnd4pr 40 [email protected] Limitazioni del Percettrone Difficoltà nel risolvere problemi non-linearmente separabili 41 [email protected] CONFRONTO TRA CLASSIFICATORE STATISTICO E PERCETTRONE Mentre nell`approccio statistico e` valutata la funzione costo partendo dalle informazioni statistiche, nell’approccio neurale non e` necessario conoscere le informazioni statistiche dei vettori delle caratteristiche xi. Entrambi sono classificatori lineari Il percettrone opera sotto le condizioni che gli oggetti da classificare sono linearmente separabili p(x ) Il classificatore di Bayes assume che la distribuzione delle classi siano Gaussiane e controlla l’eventuale sovrapposizione delle distribuzioni delle classi con i parametri statistici di media e matrice di covarianza C. p( x | K1 ) p( x | K 2 ) 1 2 x2 Quando le classi non sono separabili l’algoritmo di apprendimento del percettrone oscilla continuamente. L’approccio statistico non presenta problemi invece quando deve classificare oggetti appartenenti alla zona di sovrapposizione. 42 [email protected] Evoluzione del Percettrone – Reti feedforward x1 x2 x1 x2 yk . . . x1 x2 Che tipo di funzione può realizzare questa rete? 43 [email protected] Esempio •Supponiamo che le linee tratteggiate nel diagramma rappresentano zone di separazione che dividono gli ingressi implementati dai neuroni del primo strato: x1 x2 x1 x2 x1 2nd comp. . . . yk x2 1st comp. Quindi, per esempio, il neurone del secondo strato può fornire in output: 1 se l’input è all’interno del poligono, e 0 altrimeni. 44 [email protected] Evoluzione del Percettrone – Reti feedforward x1 x2 x1 x2 yk . . . . . . x1 x2 Che tipo di funzione una rete a tre strati può realizzare? 45 [email protected] Capacità dei Neuroni soglia •Assumiamo che i poligoni nel diagramma indichino le regioni di input in cui ciascun neurone del secondo strato dia un output uguale ad 1: 2nd comp. x1 x2 x1 x2 x1 x2 . . . . . . 1st comp. Quindi, per esempio, il neurone del terzo strato può dare in output 1 se l’input ricade in qualsiasi poligono, e 0 altrimenti. 46 [email protected] Percettrone Multi-Strato (Multi-layer perceptron) input layer hidden layer output layer x1 o1 y1 o2 y2 h2 x2 . . . xN . . . h3 . . . oK output vector h1 yK hJ 47 [email protected] Apprendimento del Percettrone MultiStrato Algoritmo di BackPropagation Prima che l’algoritmo inizi, tutti i pesi wij(0) (sinapsi) della rete devono essere inizializzati con numeri pseudo-casuali. Dobbiamo anche fornire un insieme di esempi di training. Possono essere descritti come un insieme di coppie di vettori ordinate {(x1, t1), (x2, t2), …, (xM, tM)}. Quindi possiamo avviare l’algoritmo di backpropagation. Questo algoritmo iterativamente minimizza l’errore della rete calcolando il gradiente della superficie della funzione errore nello spazio dei pesi e aggiustando i pesi nella direzione opposta (tecnica del gradiente discendente). 48 [email protected] Apprendimento – Alg. Di BP Esempio del gradiente discendente: Calcolo del minimo assoluto di una funzione errore mono-dimensionale f(w): f(w) slope: f’(w(0)) W(0) W(1) = w(0) - f’(w(0)) w Ripeti iterativamente questa procedura finche` per qualche w(i), f’(w(i)) è sufficientemente prossimo a 0. 49 [email protected] Apprendimento – Alg. Di BP Gradiente di due funzioni bi-dimensionali: La funzione 2D nel diagramma a sx e` rappresentata da contorni nel diagramma di destra, dove le frecce indicano la direzione del gradiente in varie posizioni. Ovviamente, il gradiente punta sempre nella direzione in cui la funzione e` crescente. Per trovare il minimo della funzione, dobbiamo muoverci sempre in direzione opposta al gradiente. 50 [email protected] Apprendimento – Alg. Di BP x11 x 21 . . xM 1 x12 . x22 . . . xM 2 . x1N x2 N . . xMN t1 t 2 . . . t M h1 x1 o1 y1 o2 y2 h2 x2 . . . h3 . . . xN 51 hJ . . . oK yK [email protected] Apprendimento – Alg. Di BP L’apprendimento avviene come segue: 1. Seleziona casualmente una coppia di vettori (xp, tp) dal training set, e indichiamolo con (x, t). 2. Usa x come input alla rete e successivamente calcola gli output di tutti i neuroni presenti nella rete fino ad ottenere l’output globale della rete y. 52 [email protected] Apprendimento – Alg. Di BP 3. Calcola l’errore opk, per il pattern p attraverso tutte le k unità dello strato di output usando la formula: (tk yk ) ' (v ) o pk o k Input “x” x1 o1 y1 o2 y2 h2 x2 . . . xN . . . h3 . . . oK Target “t” h1 yK hJ 53 [email protected] Apprendimento – Alg. Di BP Calcola l’errore hpj, per tutti i neuroni J nello strato hidden usando la formula: K ' (v ) wkj h pj h k k 1 o pk x1 o1 y1 o2 y2 h2 x2 . . . xN . . . h3 . . . hJ oK 54 Target “t” h1 Input “x” 4. yK [email protected] Apprendimento – Alg. Di BP Aggiorna il valore dei pesi allo strato hidden usando la formula: w ji (n 1) w ji (n) x h pj i x1 o1 y1 o2 y2 h2 x2 . . . xN . . . h3 . . . hJ oK 55 Target “t” h1 Input “x” 5. yK [email protected] Apprendimento – Alg. Di BP 6. Aggiorna il valore dei pesi dello strato di output usando la formula: o wkj (n 1) wkj (n) pk (v hj ) Input “x” x1 o1 y1 o2 y2 h2 x2 . . . xN . . . h3 . . . hJ oK 56 Target “t” h1 yK [email protected] Apprendimento – Alg. Di BP •Ripeti i passi 1 - 6 per tutte le coppie di vettori del training set; questa e` denominata epoca di addestramento. •Esegui tante epoche quante necessarie per ridurre l’errore della rete E in modo che sia al di sotto di una certa soglia : P K E ( ) o 2 pk p 1 k 1 57 [email protected] Apprendimento – Alg. Di BP La sola cosa che dobbiamo conoscere prima di far funzionare la nostra rete è la derivata della nostra funzione di attivazione, per esempio, ’(vk) per i neuroni di output sigmoidali: 1 ( vk ) 1 evk (vk ) ' ( vk ) yk (1 yk ) vk 58 [email protected] Apprendimento – Alg. Di BP Ora la nostra rete con l’algoritmo BP e` pronta! Se noi scegliamo in modo appropriato il tipo ed il numero di neuroni nella nostra rete, dopo l’addestramento, la rete dovrebbe mostrare il seguente comportamento: • se noi forniamo in input uno dei vettori di training, la rete dovrebbe fornirci l’output atteso (con qualche piccolo margine di errore). • Se noi forniamo in input un vettore che la rete non ha mai “visto” prima, dovrebbe essere in grado di generalizzare fornendo un output plausibile basato sulla sua conoscenza circa vettori simili che in precedenza ha osservato. Basato sulla propria esperienza. 59 [email protected] Leave-One-Out Consideriamo di risolvere un problema a c classi K1,…,Kc con M esempi a disposizione. Come calcolare le performance del nostro classificatore? x11 x 21 . . xM 1 x12 . x22 . . . xM 2 . x1N x2 N . . xMN t1 t 2 . . . t M Esempio di Test Esempio di Test Esempio di Test 60 [email protected] Matrice di confusione K1,…,Kc classi di oggetti da discriminare. Calcolo dell’errore di generalizzazione Pred. Vero K1 Kc K1 Kc 61 [email protected] Esempio: Matlab nnd11bc 62 [email protected] Competitive Learning • Prendono spunto dai lavori di von der Malsburg (1973) circa l’auto-organizazzione (SelfOrganization) di cellule sensibili alle orientazioni nella corteccia striata. • Solo un neurone nello strato di output può essere attivo ad ogni istante. • La tecnica è utile per scoprire caratteristiche statisticamente salienti del pattern di input per classificare. 63 [email protected] Competitive Learning Ci sono tre elementi di base per una regola di apprendimento competitiva (Rumelhart and Zipser, 1985): • un insieme di neuroni casualmente distribuiti che rispondono in modo differente ad un unico insieme di pattern di input. • Un limite imposto sul livello di output per ciascun neurone • un meccanismo che permette la competizione tra i neuroni, in modo che uno solo di essi sia attivo ad ogni istante. Tale neurone che vince la competizione è denominato “winner-takes-all neuron”. 64 [email protected] Competitive Learning Inibizione Eccitazione Definiamo: yk output del neurone k vk campo locale del neurone k per uno specifico pattern di input x x1 x2 x3 1 se vk v j per ogni j tale che j k yk altrimenti 0 ( x j w jk ) se il neurone k vince la competizio ne w jk 0 altrimenti x4 Input layer Output layer x x Questa regola ha l’effetto di muovere il peso sinaptico wk del neurone vincente k verso il pattern di input x. x x x x 65 [email protected] Applicazione del learning Competitivo Le Mappe Auto-organizzanti (SOM) Inizializzata in modo random la mappa, si possono individuare tre processi nella formazione di tali mappe: • Competizione: per ciascun input, I neuroni della rete calcolano il loro rispettivo valore in base ad una funzione discriminante. Questa funzione definisce le modalità della competizione tra neuroni. • Cooperazione: il neurone vincente determina la locazione spaziale di un intorno topologico di neuroni eccitati. • Adattamento sinaptico: abilita i neuroni eccitati ad aumentare il loro livello di attivazione qualora pattern simili verranno presentati in futuro. 66 [email protected] Competizione Dato il vettore di input x x1 , x2 ,, xn T Sia mi il vettore del peso sinaptico del neurone i denotato con mi mi1 , mi 2 ,, min T i 1,2, l •Confronta i seguenti prodotti interni e trova il massimo m x for i 1,2, l Equivale a minimizzare la distanza Euclideatra x ed T i d (i) x mi 2 c arg min i d (i) 67 [email protected] mi Cooperazione Il neurone vincente c localizza il centro di un intorno topologico di neuroni che cooperano tra loro. Sia dc,i la distanza laterale, hci è una funzione della distanza laterale che soddisfa: •hci simmetrica rispetto al punto massimo dc,i=0; •L’ampiezza di hc,i 0 for rc ri (condizione necessaria di convergenza). N c (t1 ) • La larghezza dell’intorno topologico si riduce nel tempo N (t ) c rc ri 2 hc,i(t) exp 2 2(t) t (t ) 0 exp 1 c t 0,1,2,, 68 [email protected] 2 Algoritmo SOM 1. Inizializzazione. Scegli i valori dei pesi in modo casuale mi(0) i=1,…,l. 2. Campionamento. Presenta in input alla rete un pattern x dello spazio dei dati. (|x|=|m|=n) 3. Confronto. Trova il neurone vincitore c al tempo t con il criterio della distanza Euclidea: c arg min i x(t ) mi (t ) i 1,2,, l N c (t1 ) 4. Aggiornamento. Aggiorna i vettori dei pesi come segue: mi (t 1) mi (t ) (t )hci (t )x(t ) mi (t ) 5. Continua al passo 2 finché non vi sono variazioni nella mappa. 69 [email protected] N c (t 2 ) c SOM Training 70 [email protected] SOM After Training 71 [email protected] SOM After Training Olive oil Sunflower oil Mix Sunflower oil Mix 72 [email protected] Component planes 73 [email protected] Learning Vector Quantization The Som algorithm creates an approximation of the probability density function of all input samples, whereas the classification task requires an approximation of the optimal decision borders between classes. Learning Self-Organizing Class vector feature map labels quantizer Teacher The problem of optimal decision or statistical pattern recognition is usually discussed in the framework of the Bayes theory of probability. Let us define the discriminant functions k ( x) p ( x | x S k ) P( S k ) Unknown samples are classified optimally (i.e. the rate of misclassifications is minimized) if a sample x is determined to belong to class Sc according to the decision 74 k ( x) c ( x) max k [email protected] LVQ1 Let us assume that a number of codebook vectors mi are placed into the input space to approximate various domains of the input vector x. Usually several codebooks are assigned to each class and the input vector x is then classified by finding c arg min i x(t ) mi (t ) Classification can then be found in the following learning process: mc (t 1) mc (t ) (t )x(t ) mc (t ) if x and mc belong to the same class mc (t 1) mc (t ) (t )x(t ) mc (t ) if x and mc belong to different classes mi (t 1) mi (t ) for i c Class S1 Class S1 m xc m Class S2 c x 75 Class S2 [email protected]
